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Laboratorio Digital Interactivo

By: Mariangela Mezoa

Laboratorio Digital Interactivo

By: Mariangela Mezoa Translated By: Mariangela Mezoa

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CONNEXIONSRice University, Houston, Texas

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Table of Contents1 1. Introduccin a los Sistemas de Comunicaciones Digitales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 2. Introduccin a LabVIEW y teora bsica de PCM (Pulse Code Modulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 3. Ortogonalizacin Gram-Schmidt y teora bsica de las Constelaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 4. Cdigos de Lnea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 5 5. Modulaciones Binarias: Teora y simulacin en LabVIEW . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 6 6. Modulaciones M-arias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 7 7. Introduccin del ruido en los sistemas de Comunicaciones Digitales: Deteccin ptima y Probabilidad de Error . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 8 8. Deteccin no Coherente para modulaciones OOK y FSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 9 9. Interferencia Intersimblica (ISI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 10 10. Codicacin de Canal: Cdigo Hamming y Cdigo Convolucional . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 Glossary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 Attributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

iv

Chapter 1

1. Introduccin a los Sistemas de Comunicaciones Digitales1

1.1 INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES DIGITALESGonzlez C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

Resumen

Este mdulo sirve como prembulo a las comunicaciones, especcamente en el mbito digital. Se explicar a travs de un diagrama de bloques terico el procedimiento necesario para transmitir exitosamente un mensaje, considerando factores como la codicacin del mensaje, codicacin del canal y la inclusin del ruido en el sistema. La comunicacin, como se sabe, es la transferencia de informacin desde un punto considerado como emisor hasta otro punto considerado como receptor. Dicha transferencia se hace a travs de un canal, y se estima que el proceso sea seguro y conable, de modo tal que la informacin desde la fuente sea recibida en su totalidad. Ahora bien, es el

sistema de Comunicacin

el conjunto de subsistemas y mecanismos que permite

el enlace entre el emisor y el receptor. Ya sea entre humanos o entre mquinas, se deben cumplir ciertos conceptos para asegurar la transmisin y recepcin ptima del mensaje, pero, en general, se toman en cuenta tres factores principales que son:

Un Un

transmisor, que toma la informacin y la convierte en una seal. Medio de Transmisin o Canal Fsico que `lleva' la seal. Un Receptor, que toma la seal del canal y la convierte de vuelta a informacin til.y

Es importante resaltar que para las Telecomunicaciones existen dos tipos de seales de comunicacin:

Analgicas

Digitales,

siendo esta ltima con la que nos enfocaremos.

La seal digital se reconoce

porque la informacin es codicada por medio de un set nito de valores discretos (1's y 0's), mientras que en el sistema Analgico se representa con una seal continua en el tiempo. A continuacin se podr observar un diagrama de bloques que dene paso a paso el procedimiento de envo de informacin:

1 This

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1

2

CHAPTER 1.

1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES DIGITALES

Diagrama de bloques de un sistema de transmisin digital

Figure 1.1

1.1.1 Fuente de Informacin:Corresponde al procedimiento de conversin del mensaje a transmitir en una seal que se adecue al sistema a usar; dado que es un sistema digital, la fuente genera una seal de tipo digital (binaria). Analgico/Digital que haga el proceso de muestreo y cuanticacin. Es comn encontrarnos con informacin a transmitir en formato analgico, por lo que ser necesario usar un conversor

1.1.2 Codicacin de Fuente:Encargada de eliminar parte de la redundancia de informacin ofrecida por el bloque de la fuente. implica una compresin directa del mensaje. Esto

1.1.3 Codicacin de Canal:Capaz de detectar y corregir los errores que se producen en los datos durante el proceso de la transmisin. Dichos errores pueden darse por la existencia de ruido en canal, por lo que este bloque es capaz de introducir redundancia en la cadena de datos, haciendo posible la reconstruccin de la misma lo ms aproximado a la secuencia original.

1.1.4 Modulacin:Modular consiste, en el mbito de las comunicaciones, en la variacin de una o ms propiedades de una

moduladora,

forma de onda peridica de alta frecuencia (conocida como

seal portadora)

con respecto a una

seal

que es la que se desea transmitir. Con esto es posible transportar el mensaje dentro de otra

seal que puede ser transmitida fsicamente a travs de un canal pasabanda. Para la transmisin digital estamos hablando de una seal portadora analgica

Sinusoidal que es modu-

lada de acuerdo con una cadena de bits. Ahora, dependiendo del parmetro que se decida variar, se generan distintos tipos de modulacin. Los fundamentales son (Trabajan con una cadena de 0 y 1's):

3

PSK (Phase-shift Keying ) FSK (Frequency-shift Keying ) ASK (Amplitude-shift Keying )

Pero, si hablamos de la modulacin m-aria o multinivel, se tendrn entonces:

QPSK (Quadrature Phase-shift Keying ) MPSK QAM (Quadrature Amplitude Modulation)

1.1.5 Filtro Transmisor:Al trabajar con un sistema de comunicaciones real, se debe considerar una restriccin fundamental:

Ancho de Banda.

El

Evidentemente, es muy comn que estos sistemas limiten el ancho de banda del canal

de transmisin, por lo que es necesario implementar un ltro que se encargue de limitar la seal modulada y que tambin adecue la potencia de transmisin de la misma.

1.1.6 Canal de Transmisin:Es el medio de transporte de la seal modulada. En la vida real, el canal de transmisin es un gran contribuyente a la introduccin de ruido e interferencias, lo que genera errores inmediatos en el mensaje. Esto se debe a la atenuacin que condiciona la potencia recibida (es difcil aumentar la potencia de transmisin sin disminuir la distancia entre la fuente y el destino) y el ancho de banda limitado. Los siguientes mdulos profundizarn mejor esta situacin por medio de la inclusin de ruido AWGN en el sistema y una posible Interferencia Inter-Simblica (ISI). Luego de denir el Canal de Transmisin, deber hacerse el proceso inverso para que el mensaje ya demodulado, decodicado y convertido de Digital a Analgico llegue al destino. En los prximos mdulos de este curso se desarrollar con ms profundidad cada bloque perteneciente al sistema de Comunicaciones Digitales, a travs de Laboratorios Digitales elaborados en la herramienta de simulacin

LabVIEW,

permitindole al usuario enriquecer y reforzar los conocimientos tericos como

prcticos de este sistema.

4

CHAPTER 1.

1. INTRODUCCIN A LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES DIGITALES

Chapter 2

2. Introduccin a LabVIEW y teora bsica de PCM (Pulse Code Modulation)1

2.1 INTRODUCCIN AL SOFTWARE LABVIEW Y TEORA BSICA DE PCM (Pulse Code Modulation)Gonzlez C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

Resumen

A travs del presente mdulo se pretende dar una introduccin muy general al software de simulacin LabVIEW de National Instruments, englobando su funcionalidad para el rea de las Comunicaciones Digitales. Adicionalmente, se explicar detalladamente la teora referente a la modulacin por cdigo de pulso (PCM), en conjunto con una simulacin en LabVIEW que respalde el contenido terico.

2.1.1 Qu es LabVIEW?LabVIEW es una herramienta de programacin destinada para desarrollar sistemas de pruebas, diseo y control a travs de un lenguaje llamado

Lenguaje G,siendo la G el smbolo que representa el mbito Grco.

Pudiramos decir que estructurar un sistema en este software se aproxima a elaborar un diagrama de ujo, dado que sus herramientas (representadas por conos grcos) son intuitivas y secuenciales, permitindole hasta al usuario menos experimentado programar proyectos relativamente complejos. Su ventaja ms fuerte, como ya se mencion, es que la programacin es a travs de

grcos o bloques,

simplicando as el desarrollo de programas por lneas de cdigo. En adicin a lo anterior, su capacidad de desarrollar prcticamente cualquier tipo de programa lo hace compatible con miles de software.

2.1.2 Cmo funciona LabVIEW?Los programas elaborados en LabVIEW se conocen como y estn constituidos por dos paneles:

VIs o Virtual Instruments (Instrumentos Virtuales)

Panel Frontal (1 This

se encargar de introducir datos para luego representar las salidas proporcionadas por el programa.

Front Panel):

Interfaz grca con el usuario. Es en esta seccin donde el usuario


5

6

CHAPTER 2.

2. INTRODUCCIN A LABVIEW Y TEORA BSICA DE PCM (PULSE CODE MODULATION)

Aqu, es posible la introduccin de botones, grcos e indicadores que varen los parmetros necesarios para el funcionamiento correcto del mismo.

Panel Frontal

wen desplegdo de ontroles implementr por el usurioF gomo se puede oservr en l imgenD se pueden de(nir desde ontroles numrios hst deoriones de l interfz del progrmFFigure 2.1:

Diagrama de Bloques (

VI. Es el programa como tal, en donde se colocan bloques con cierta funcionalidad que conectados estratgicamente (de acuerdo con las necesidades del usuario) realizarn una determinada funcin. Cada Control que se coloque en el panel frontal tendr en el Diagrama de Bloques un terminal que podr interconectarse con la estructura hecha en el programa, generando as la interaccin de informacin de entrada y salida del VI.

Block Diagram):

Es el panel en donde se construye el cdigo fuente del

7

Diagrama de Bloques

wen desplegdo pr el roesmiento de elesF he uerdo on el progrm que se desee herD hr un grn vriedd de funiones que se dpten l neesidd del usurioFFigure 2.2:

Para los mdulos de este curso, se tomar en cuenta una librera en particular: El

Modulation Toolkit.

Con esta herramienta es posible desarrollar una gran cantidad de programas relacionados con la comunicacin digital, dado que posee un listado de bloques que representan ciertos pasos en el procesamiento de una seal. En la imagen siguiente se puede apreciar que engloba 3 aspectos principales:

Analog Digital VIs

8

CHAPTER 2.


Modulation Toolkit

Figure 2.3

En el primero se ofrecen una serie de bloques que se encargan de los procesos de modulacin y demodulacin de seales analgicas:

9

Modulation Toolkit Seccin Analgica

Figure 2.4

Por ltimo, el bloque VIs permite la visualizacin de determinados grcos como, por ejemplo, el Diagrama de Constelacin:

Modulation Toolkit Seccin VIs

Figure 2.5

Otra de las facilidades de LabVIEW es que tiene una amplia librera de sub-VIs previamente elaborados (apartando el ya explicado Modulation Toolkit) que pueden agregarse a los programas sin necesidad de crearlos desde cero. Para ms informacin acerca del software y de su uso, consultar los siguientes mdulos: NI LabVIEW Getting Started FAQ LabVIEW Environment3 4 2

Introduction to the LabVIEW Modulation Toolkit

2 "NI LabVIEW Getting Started FAQ" 3 "LabVIEW Environment" 4 "Introduction to the LabVIEW Modulation Toolkit"

10

CHAPTER 2.5


Primeros pasos con LabVIEW

Para complementar un poco el funcionamiento general de LabVIEW, el mdulo contiene la simulacin de un sistema PCM que, tomando una muestra de X segundos de voz muestreada a Y KHz, permite codicar una seal de forma digital (bits o smbolos). Sin embargo, es importante refrescar los conocimientos de este tipo de Modulacin.

2.1.3 PCM (PULSE CODE MODULATION)PCM es una tcnica de modulacin por codicacin digital que es usada para la transmisin digital de informacin. Ms que una modulacin, es una forma de codicacin de fuente puesto que toma una seal analgica para luego representarla de manera digital. En esta representacin, la magnitud de la seal analgica es muestreada a intervalos uniformes, siendo cada muestra cuanticada al valor ms cercano de un rango de niveles digitales. Esta codicacin tiene dos propiedades que determinan la delidad de la seal digital con la seal original:

La tasa de muestreo, que Nivel de Cuanticacin:

es el nmero de muestras que se toman por segundo; Rango de valores digitales que puede tomar una muestra.

Para codicar correctamente deben seguirse estos pasos:

2.1.4 1. Muestreo y Retencin de la seal analgicaTeniendo una seal en formato analgico que vara en el tiempo, se toma una muestra peridica de la misma, para luego convertir el conjunto de muestras en una serie de pulsos que se puedan transformar con ms facilidad a un cdigo PCM binario o m-ario. El mtodo ms comn de muestreo y retencin se conoce como muestreo de parte plana o muestreo tope plano, donde las amplitudes de los pulsos de muestreo toman el valor de la forma de onda analgica en el punto inicial del intervalo de muestreo y lo conservan durante una porcin (Duty Cycle) del tiempo de muestreo. En el muestreo natural, en cambio, los pulsos de muestreo toman los valores de la forma de onda analgica, durante la porcin de Duty Cycle elegida por el usuario. Muestreo Natural:

Figure 2.6

5 Primeros

pasos con LabVIEW

11

Muestreo Tope Plano:

Figure 2.7

2.1.5 2. Cuanticacin DigitalEn este punto se toma el nivel de voltaje de cada una de las muestras del primer paso y se les atribuye un valor discreto de amplitud, de acuerdo al formato de aproximacin dentro de un rango de valores digitales previamente establecido. Cuando se pretende obtener una seal binaria, el nmero de niveles de cuanticacin toma el valor de alguna potencia de 2. La cuanticacin puede ser:

Uniforme: La distancia entre cada nivel de cuanticacin siempre es igual. No Uniforme: Se le asigna un nmero mayor de niveles a aquellas zonas de voltaje de la seal originalmas frecuente, y menos niveles en aquellas zonas de voltajes menos frecuentes. Un detalle que es importante resaltar es que la seal resultante luego de la cuanticacin es evidentemente distinta a la seal analgica original. Esta diferencia se conoce como Error o Ruido de Cuanticacin, que se modela en la parte de recepcin del sistema de Comunicacin como un ruido que se le aade a la seal.

2.1.6 3. Codicacin DigitalEl ltimo paso para este sistema es el de asignarle a los niveles discretos y nitos del paso 2 una traduccin al sistema binario, quedando como seal resultante un tren de impulsos digitales (bits). Por ejemplo, si se precisaron 8 niveles de cuanticacin, entonces se necesitarn tres bits para la codicacin. Para concluir este mdulo, a continuacin se muestra una simulacin que se encarga de tomar una seal de voz para pasarla por los tres pasos explicados y observar as la seal codicada digitalmente, en conjunto con un video que le permitir al usuario entender el grupo de bloques usados en el diagrama para construir el sistema PCM, de forma tal que el mismo pueda ir adaptndose al entorno del software LabVIEW. Para descargar el archivo de audio necesario para la modulacin, se debe hacer click en el siguiente enlace: This media object is an audio le. Please view or download it at El cdigo fuente para la simulacin de PCM puede descargarse aqu: [Media Object]7 [Media Object] 6

6 This media object is a downloadable le. Please view or download it at 7 This media object is a video le. Please view or download it at

12

CHAPTER 2.


Chapter 3

3. Ortogonalizacin Gram-Schmidt y teora bsica de las Constelaciones1

ORTOGONALIZACIN GRAM-SCHMIDT Y TEORA BSICA DE LAS CONSTELACIONES

Gonzlez C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

Resumen

Este mdulo contiene la teora correspondiente al mtodo de Ortogonalizacin Gram-Schmidt aplicado para el proceso de la comunicacin digital. Se explicarn los pasos necesarios para generar las bases ortogonales dados ciertos parmetros de la seal. Finalmente, teniendo las bases calculadas, se explicar el procedimiento para hallar la constelacin correspondiente. En matemticas, el concepto de producto escalar de ellos

Ortogonalidad

est referido al de

Perpendicularidad.

Se dice que

dos vectores pertenecientes a cierto espacio vectorial (V) son ortogonales si se cumple la condicin de que el

da cero, es decir:

Sean x y

:

V V(3.1) = x

Si

: x , y

y = 0

Entonces x

:

y

A partir de un conjunto de vectores linealmente independientes se puede construir un nuevo conjunto de vectores conoce como el mtodo de

ortonormales (Que cumplan con las condiciones de ortogonalidad y norma vectorial). Esto se OrtogonalizacinGram-Schmidt (G-S). Pero, cmo aplicamos este concepto

para un sistema de comunicacin digital?

1 This


13

14

CHAPTER 3.

3. ORTOGONALIZACIN GRAM-SCHMIDT Y TEORA BSICA DE LAS CONSTELACIONES

3.1 Ortogonalizacin Gram-SchmidtSupongamos que se tiene una seal Si(t) que representa a un smbolo mi . Se estima que esta seal pase por el receptor que est encargado de obtener cada smbolo de la misma. Sin embargo, es evidente que al pasar por el canal, la seal se contaminar debido a la existencia de ruido en el sistema. En una condicin ideal, el resultado sera el siguiente:

Figure 3.1

Al introducir ruido (AWGN) en el sistema, quedara como sigue:

Figure 3.2:

istem de reepin on introduin de ruido eqxF

La segunda situacin ocasiona que a la salida del receptor no se obtiene el smbolo mi como tal, ms bien se obtiene un

estimado del smbolo original.

Es en este punto en donde entra el concepto de ortogonalizacin G-S: La seal Si(t) puede expresarse en funcin de un conjunto nito de bases (o vectores) ortonormales ( estara relacionada con un coeciente que llamaremos esto:

s(Una seal de energa). Matemticamente tendramossij .Uj (t)

U), de forma tal que cada forma de onda

nSi (t)

=i=1

(3.2)

todos los smbolos posibles, tendramos un sistema de ecuaciones como sigue:s1 s2 s3 . . . sm

Es decir, a cada smbolo mi se le asocia una forma de onda s. Si desarrollamos la frmula anterior,

para

(t) = s11 .U1 (t) + s12 .U2 (t) + s13 .U3 (t) + (t) = s21 .U1 (t) + s22 .U2 (t) + s23 .U3 (t) + (t) = s31 .U1 (t) + s32 .U2 (t) + s33 .U3 (t) +

... ... ...

+ s1n .Un (t) + s2n .Un (t) + s3n .Un (t)(3.3)

(t) = sm1 .U1 (t) + sm2 .U2 (t) + sm3 .U3 (t) + ... + smn .Un (t)

15

El objetivo en el segundo sistema mostrado en la

Figura 1 es el de obtener el estimado que ms se aproximeT

al valor real. Esto se hace minimizando la energa de la seal de error entre el smbolo original y el estimado:

sj

= s (t) .Uj (t) dt0

(3.4)

j = 1,2,3, . . . , N Si lo vemos desde la perspectiva vectorial, el procedimiento ser entonces el de obtener una representacin de la seal en funcin de dos vectores en el plano. El estimado del vector original sera entonces la proyeccin de ste sobre el plano:

ijemplo plido vetoresF @tA es el estimdo de d form de ond originl s@tA y e@tA s ser l introduin de ruido de eqx en el sistemFFigure 3.3:

Habiendo explicado la sntesis terica de la ortogonalizacin, Cmo podemos hallar las bases necesarias para representar las seales de nuestro sistema? Para ello deben seguirse estos pasos: Supongamos que se da un conjunto de seales de energa s i (t) que se quieren representar por medio de bases U j en un intervalo de tiempo [0,T]:

nSi (t)

=i=1

sij .Uj (t)

(3.5)

Las bases deben cumplir con el principio de ortonormalidad mencionado al principio:

T

Uj (t) .Uk (t) dt = {0Entonces:

1j=k 0j=k

(3.6)

3.2 Paso 1: Se ja sij = 0 exceptuando el primer valor: s11:

Figure 3.4

16

CHAPTER 3.


Elevamos toda la ecuacin al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T]:

T

T

T

[s1 (t)]0

2

dt

=0

s112 .U12 (t) dt =0

s112 .U1 (t) .U1 (t) dt

(3.7)

Por el principio de ortonormalidad:

Figure 3.5

Quedando s1 (t) slo en funcin de s11 , por lo que ya se puede despejar:

2 t

[s1 (t) ]0Finalmente:

dt

= s11

(3.8)

U1 (t) =

s1 (t) s11

(3.9)

Con esto obtenemos la primera base para representar nuestra seal. Para calcular U2 (t), debemos restarle a s2 (t) su proyeccin sobre U1 (t); esto cumplira con la condicin de que la base sea ortogonal.

3.3 Paso 2: Se ja Sij=0 exceptuando los valores de s21 y s22:

Figure 3.6

Ecuacin (a) Multiplicamos la ecuacin por U1 (t) y la integramos en el intervalo [0,T]:

T

T

T

s2 (t) .U1 (t) dt =0 0

s21 .U1 (t) .U1 (t) dt +0

s22 .U2 (t) .U1 (t) dt

(3.10)

17

Quedando entonces:

T

s2 (t) .U1 (t) dt = s210La ecuacin (a) podemos reordenarla as:

(3.11)

s2 (t) s21 .U1 (t) = s22 U2 (t)quedando como sigue:

(3.12)

Al igual que para el paso 1, elevamos toda la ecuacin al cuadrado y la integramos en el intervalo [0,T],

T

T

(s2 (t) s21 U1 (t) )0

2

dt

=0

s222 U2 .U2 (t)

(3.13)

Usando nuevamente el principio de ortonormalidad, nos queda S22 en funcin de la seal S2 , el coeciente S21 y la base U1 :

2 T

s22 =0Finalmente, con la ecuacin (a): s2

(s2 (t) s21 U1 (t) )

dt

(3.14)

(t) = s21 U1 (t) + s22 U2 (t)(3.15) U2

de la siguiente forma:

(t) =

[s2 (t)s21 U1 (t)] s22

Se buscarn cuantas bases sean necesarias hasta el punto en el que Un=0. Se pudiera resumir este proceso

Figure 3.7

18

CHAPTER 3.


Donde:

X1 =y

+

E1 =

X12 (t) dt(3.16)

=

x (t) y (t) dt

Es importante resaltar que si el proceso de ortogonalizacin se inicia con una seal diferente a la seal s1 (t), se obtendra un conjunto distinto de bases ortonormales pero igualmente representativa.

3.4 ConstelacinEs la representacin grca de cada seal s i (t) en funcin de las bases Ui . Ms adelante observaremos que los diagramas de constelacin tambin sirven para representar los esquemas de modulacin digital en el plano complejo. Cada punto perteneciente a la constelacin corresponde a un smbolo de modulacin. Aqu consideraremos como `ejes' las bases calculadas a partir de la Ortogonalizacin, es decir, procedimiento es sencillo: slo se debe representar con un punto a la(s) forma(s) de onda

si

Uj.

El

sobre el eje de

la base. Por ejemplo: Supongamos que se tienen dos seales, que identican una determinada codicacin o modulacin, y que pueden representarse con una sola base de acuerdo a las siguientes ecuaciones: S1 S2

= V = V

Tb.U1 Tb.U1

(3.17)

Como slo se necesita una base para representar estas formas de onda, entonces se tendr un `eje' que es U1 :

Figure 3.8:

ijemplo de onstelinF

A partir de la constelacin se puede obtener un parmetro fundamental que es la la primera forma de onda S1 : Es1

Energa.

Si elevamos

al cuadrado la distancia que existe entre el origen y un punto de la constelacin obtendramos la energa de

= V 2 Tb

Para calcular la Energa de S2 se hace exactamente el mismo procedimiento. En la simulacin de este mdulo se podr calcular el nmero de bases necesarias de acuerdo a los coecientes si dados.3 [Media Object]

A partir de ellas tambin se podr observar la constelacin correspondiente.2

Para

descargar el cdigo fuente, se debe hacer click en el siguiente enlace: [Media Object]


Chapter 4

4. Cdigos de Lnea4.1 CDIGOS DE LNEAGonzlez C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

1

Resumen

En este mdulo se desarrollarn tericamente los cdigos de lnea usados comnmente en un sistema de Comunicaciones Digitales: NRZ, RZ y Manchester. Se explicarn sus parmetros ms importantes como lo son la seal en frecuencia y en tiempo, el ancho de banda, la potencia de la seal y las constelaciones correspondientes a cada cdigo. Finalmente, se har una demostracin en LabVIEW que permita reforzar la informacin terica del tema. De acuerdo a la estructura de un sistema de Comunicaciones Digitales, al tener una seal discretizada en el tiempo y en la amplitud, estara representada por smbolos cuya tasa de transmisin es medida en baudios. Ahora bien, cuando se quiere transmitir la seal en bandabase binario o m-ario a travs del canal debe asignarse una forma de onda a cada uno de los smbolos. Esto se hace gracias al mtodo conocido como codicacin de lnea.

4.1.1 Qu es la codicacin de Lnea?Esta surge de la necesidad de representar una seal en formato digital a travs de diversos medios de transmisin. Para esto se le asignan formas de onda arbitrarias a cada bit o smbolo que representa la seal, generando cambios inmediatos en los parmetros ms importantes de la seal como lo son la Potencia de Transmisin, el Ancho de Banda requerido por el canal, nivel DC, entre otros. Antes de denir los cdigos de lnea ms usados en los sistemas de Comunicaciones, repasaremos algunos conceptos fundamentales que facilitarn el entendimiento del tema:

Denition 4.1: Ancho de Banda (BW):En el mbito de las comunicaciones, el ancho de banda representa el rango (en Hertz, Hz) de frecuencias en donde se concentra la mayor parte de la potencia de la seal que se est usando. A partir de este punto se podr calcular el ancho de banda en las simulaciones usando la transformada de Fourier, cuando se expresa la seal original en el dominio de la frecuencia. Matemticamente se pudiera denir as:

BW

= f = fcs fci

(4.1)

Siendo fcs y fci las frecuencias de corte Superior e Inferior, respectivamente.

1 This


19

20

CHAPTER 4.

4. CDIGOS DE LNEA

Denition 4.2: Tiempo de bit (Tb):Est denido como el tiempo empleado para la representacin y transmisin de un bit en el sistema.

Denition 4.3: Intervalo de impulso ( ):Es la duracin mnima del impulso usado para representar la informacin.

Denition 4.4: Velocidad de Transmisin (Vt):Se dene como el nmero mximo de cambios por segundo que experimenta la seal o el nmero de impulsos que pueden transmitirse en un segundo. Matemticamente viene expresado como

Vt

=

1 baudios

(4.2)

Denition 4.5: Tasa de Bits (R):Nmero de bits transmitidos por segundo. Su unidad son los bps (bits per second) y se representa matemticamente como:

R=asumiendo equiprobabilidad.

1Tb

bps

(4.3)

A continuacin se denen diversos cdigos de lnea binarios y se deduce su Densidad Espectral de Potencia

4.2 1. NRZ (Non Return to Zero)Estn caracterizados por mantener constante el valor de la seal de lnea durante todo el intervalo Tb. Para efectos de asimilar la informacin proporcionada por la simulacin al nal del mdulo, se considerarn dos tipos de codicacin de este tipo:

4.2.1 1.a. NRZp (No Retorno a Cero-Polar)Al smbolo 1 se le asigna un valor alto de seal (V) y al smbolo 0 se le asigna el valor opuesto, es decir, -V.

Figure 4.1:

epresentin de its usndo el digo xp

Para hallar su

DEP,

se debe representar la seal como el resultado de la

convolucin

de un tren de

impulsos aleatorio y un pulso de duracin Tb y Amplitud +V.

21

Figure 4.2

Por lo que:

Y (t) = x (t) p (t)Gy Dado que p(t) es una funcin primero la autocorrelacin

= Gx (f ) | P (f ) |

2

(4.4)

determinstica, Rx( ):Gx (f ) Rx ( ) Rn

el reto estar en calcular Gx(f ).

Para esto se calcular

= F {Rx ( )}Rn. Tb

=

( + nTb)k

(4.5)

= limT tb T

Ak .A(n+k)

note: Estas frmulas aplicarn para todos los cdigos de lnea, siendo el factor variante los valores

de Ak, A(n+k) y Tb Los posibles valores de Ak y A(n+k) son

+1 y -1, por lo que:Rx ( )

=

1Tb

( )

(4.6)

Y al sacar la transformada de Fourier correspondiente, nos queda que: Gx (f )

=

1Tb

| P (f ) | = V 2 .Tb2 .Sinc2 (ftb)Gy (f ) Su

2

(4.7)

= V 2 .Tb.Sinc2 (ftb)

DEP ser entonces:

22

CHAPTER 4.

4. CDIGOS DE LNEA

Figure 4.3:

il f orrespondiente es fF

Finalmente, se tiene que se necesita una sola base U1 (t) que es un pulso de duracin Tb y altura raz de 1/Tb

S1 (t) = V

S2 (t) = V

Tb.U1

(t) (t)

Tb.U1

(4.8)

Figure 4.4:

gonstelin pr xp

4.2.2 1.b. NRZu (No Retorno a Cero-Unipolar)Al smbolo 1 se le asigna un valor alto de seal (V) y al smbolo 0 se le asigna el valor cero, es decir, 0V.

23

Figure 4.5:

epresentin de its usndo el digo xu

Para obtener la DEP se descompone la seal:

Figure 4.6

+1 y 0, por lo que:

Ahora bien, siguiendo el mismo proceso que para el punto

1.a,

los posibles valores de Ak y A(n+k) son

Rx ( )

=

1 ( ) + 4Tb

1 ( + nTb) 4Tb

(4.9)


=

| P (f ) | = VGy (f ) Su

1 4Tb 2

+

1 (f + nfb) 4Tb2 2 2 2 .Tb .Sinc (ftb)

(4.10)

=

2 V 2 4 .Tb.Sinc (ftb)

+

V 2 4 (f )

DEP ser:

24

CHAPTER 4.

4. CDIGOS DE LNEA

Figure 4.7:

il f orrespondiente tmin es fF

Y su base y constelacin:

S1 (t) = Vtb.U1

(t)

(4.11)

Figure 4.8:

gonstelin pr xu

4.3 2. RZ (Return to Zero)Los cdigos de Retorno a Cero se caracterizan por mantener el valor de la seal constante durante el primer semi-intervalo de Tb, para luego pasar a otro nivel en el segundo semi-intervalo. Dependiendo del tipo de cdigo, esta segunda parte puede tener un nivel de V o un nivel 0V. Los tipos de cdigo RZ pueden ser:

4.3.1 2.a. RZp (Retorno a Cero-Polar)Para el smbolo 1 tendr dos valores: en el primer semi-intervalo [0, Tb/2] tendr un nivel +V y para el segundo semi-intervalo [Tb/2, Tb] retornar a 0V. Ahora, para el smbolo 2 ser: en el primer semi-intervalo tendr un nivel opuesto (-V) y para el segundo semi-intervalo tambin retornar a 0V. Grcamente:

25

Figure 4.9:

epresentin de its usndo el digo p

Si descomponemos la seal:

Figure 4.10

Ahora bien, los posibles valores de Ak y A(n+k) son Rx ( )

+1 y -1, por lo que:1 ( )(4.12)

=

Tb


=

1Tb

| P (f ) | =Gy (f ) Su

2

2 V 2 .Tb2 .Sinc 4

f tb 2 f tb 2

=

DEP

2 V 2 4 .Tb.Sinc es como sigue:

26

CHAPTER 4.

4. CDIGOS DE LNEA

Figure 4.11:

il f orrespondiente es PfF

4.3.2 2.b. RZu (Retorno a Cero-Unipolar)Para el smbolo 1 tendr dos valores: en el primer semi-intervalo [0, Tb/2] tendr un nivel +V y para el segundo semi-intervalo [Tb/2, Tb] retornar a 0V. Ahora, para el smbolo 2 se mantendr en 0V por todo el intervalo Tb. Grcamente:

Figure 4.12:

epresentin de its usndo el digo u

La descomposicin de la seal para obtener la DEP es como sigue:

27

Figure 4.13

La autocorrelacin es entonces:

Rx ( )

=

1 ( ) + 4Tb

n

1 ( + nTb) 4Tb

(4.13)

Por lo que la transformada de Fourier de la misma y la Funcin Gy(f ) nos queda as: Gx (f )

=

| P (f ) | =Gy (f )

1 4Tb 2

+

=

V 2 Tb16

2 Sinc

f

Tb

2

1 n 4Tb2 (f + nfb) 2 2 V .Tb .Sinc f tb 4 2 2 + n V Sinc2 f Tb 16 22

(4.14)

(f + nfb)

En el dominio de la frecuencia, Gy puede expresarse como:

Figure 4.14:

il f orrespondiente es PfF

4.3.3 3. ManchesterAl igual que con los cdigos RZ, el cdigo Manchester se caracteriza por tener una transicin de valor en Tb/2 durante el intervalo [0, Tb]. opuesto. El 1 se representa por cambio de +V a V y el 0 hace el proceso

28

CHAPTER 4.

4. CDIGOS DE LNEA

Figure 4.15:

epresentin de its usndo el digo wnhester

Descomponemos la seal:

Figure 4.16

Y, haciendo el mismo procedimiento que para los puntos anteriores, llegamos a:

Gy (f )

= V 2 Tb.Sinc2 f

Tb

2

.Sen

2

f

Tb

2

(4.15)

Con su expresin grca en el dominio de la frecuencia:

29

Figure 4.17:

il f orrespondiente es Pf

En la simulacin de este mdulo se podrn observar los diferentes cdigos de lnea explicados previamente, pudiendo observar con ms exactitud las grcas en los dominios de tiempo y frecuencia, el clculo de la potencia de la seal, observar la constelacin de cada cdigo (en base a la teora explicada en el mdulo 3 (Chapter 3)) y el diagrama de Ojo correspondiente.

4.3.4 VI de simulacinEl VI principal y sus Sub-VIs correspondientes pueden descargarse en el siguiente enlace. [Media Object]2

4.3.5 Video de demostracin3 [Media Object]


30

CHAPTER 4.

4. CDIGOS DE LNEA

Chapter 5

5. Modulaciones Binarias: Teora y simulacin en LabVIEW1

5.1 MODULACIN BINARIA: TEORA Y SIMULACIN EN LABVIEWGonzlez C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

Resumen

En este mdulo se podrn analizar con profundidad los tipos de modulacin binaria ms importantes: OOK, PSK, FSK, MSK y GMSK para los sistemas de comunicacin digital. Se desarrollarn sus parmetros ms relevantes como lo son la potencia, el Ancho de Banda, su constelacin y su representacin en los dominios de la frecuencia y el tiempo. Como ya mencionamos al principio de este curso, el trmino modular implica modicar ciertos parmetros de una onda portadora en funcin de otra seal llamada onda moduladora, que es la que contiene informacin, para que sea transmitida por el canal de nuestro sistema de Comunicacin Digital. De acuerdo con la naturaleza de la seal portadora, los mtodos de modulacin a modo general- se pueden clasicar de dos tipos:

Modulacin por onda continua. Modulacin por pulsos.

En este mdulo trabajaremos con la Modulacin por Onda Continua, dado que se da una onda portadora sinusoidal a la que se le puede modicar su amplitud, su frecuencia o su fase en funcin de la seal moduladora; como estamos trabajando con un sistema digital, el mensaje que se desea transmitir viene en formato binario. Entre los mtodos de modulacin binaria ms importantes tenemos:

Modulacin Digital de Amplitud/Modulacin por cambio de amplitudes. (ASK) Modulacin por Desplazamiento de Frecuencia (FSK) Modulacin por Cambio de Fase (PSK) Modulacin por Desplazamiento Mnimo de Frecuencia (MSK) Modulacin por Desplazamiento Mnimo de Frecuencia Gaussiano (GMSK)

1 This


31

32

CHAPTER 5. 5. MODULACIONES BINARIAS: TEORA Y SIMULACIN EN LABVIEW

5.1.1 1. Amplitude Shift Keying (ASK)La tcnica de modulacin digital ms simple es la modulacin digital de amplitud, ya que el parmetro que se vara de la portadora es la amplitud. Como el mensaje es binario, entonces la amplitud de la sinusoide vara entre dos valores posibles. Un caso especial de esta modulacin es cuando uno de los dos valores posibles es cero, por lo que la modulacin toma el nombre de OOK (On-O Keying): Aqu la portadora se considera encendida (Valor de Amplitud V para el bit 1) o apagada (supresin de la portadora para el bit 0). Se tiene entonces:

Figure 5.1:

ijemplo de modulin yyuF

Una ecuacin que dene este tipo de modulacin digital es:

Xask (t) = (1 + b (t)) .Donde:

V Cos (wc t) 2

(5.1)

Xask(t)= Seal modulada. b(t) = seal binaria moduladora (volts). Puede tomar dos valores: +1 cuando el bit enviado es 1, y -1 cuando el bit enviado es 0. V = Amplitud de la seal portadora (volts) Wc = Frecuencia de la seal portadora (radianes por segundo)Entonces tenemos que si b(t) = 1:

Xask (t) = VCos (wc t)Pero, si b(t) = -1:

(5.2)

Xask (t) = 0Para hallar el espectro de la seal modulada OOK es necesario hacerle la transformada de Fourier a la funcin de autocorrelacin.

Xask (t) Gask (f )(5.3)

Xask (t)

V

2

16

(f fc) + (f + fc) +

tb Sinc2

((f + fc) tb ) +

tb Sinc2

((f fc) tb ]

33

Al gracar, tenemos que:

Figure 5.2:

yyu en el dominio de l freueni

La potencia puede obtenerse integrando la Densidad Espectral de Potencia o a partir de la seal en tiempo. Para equiprobabilidad la potencia resultara V /4 El Ancho de banda puede determinarse a partir del espectro: BW2

= fc + fb (fc fb) = fc fc 2fb = 2fb

(5.4)

Finalmente, se puede representar la seal modulada en OOK a partir de la constelacin. Se dene entonces la base para representar la seal:

Figure 5.3:

gonstelin de yyu

5.1.2 2. Frequency-Shift Keying (FSK)Aqu, el parmetro que se vara de la portadora es la frecuencia.

34


Figure 5.4:

ijemplo de modulin puF

Si se transmite el bit 1, la seal modulada ser una sinusoide de frecuencia fA . Si se transmite el bit 0, la seal FSK tendr frecuencia fB .

fA = fB =La frecuencia de la seal portadora es:

(wc +) 2 (wc ) 2

(5.5)

fc

=

(fA + fB ) 2

(5.6)

Ahora, la ecuacin que dene esta modulacin es:

Xfsk (t) = V .Cos (2 (fc + b (t) f) t)Donde:

(5.7)

Xfsk(t)= Seal modulada. b(t) = seal binaria moduladora (volts). Puede tomar dos valores: +1 cuando el bit enviado es 1, y -1 cuando el bit enviado es 0. V = Amplitud de la seal portadora (volts) fc = Frecuencia central de la seal portadora (Hz) f = Desviacin mxima de frecuencia alrededor de la portadora. fA=fc+f; fB=fc+fEntonces tenemos que si b(t) = 1:

Xfsk (t) = VCos (2 (fc + f) t)Pero, si b(t) = -1:

(5.8)

Xfsk (t) = VCos (2 (fc f) t)seales OOK; en este caso

(5.9)

La Densidad Espectral de Potencia de la seal FSK puede obtenerse modelndola como la suma de dos

35

Gfsk (f ) =V2

V2

16

[ (f fA ) + (f + fA ) + (f fB ) + (f + fB )] +

16

tb.Sinc

2

((f fA ) tb) + tb.Sinc2 ((f + fA ) tb) + tb.Sinc2 ((f fB ) tb) + tb.Sinc2 ((f + fB ) tb)

(5.10)

Figure 5.5:

gpu en el dominio de l freueni

El ancho de banda total de la seal es: BW Y su constelacin:

= (fA fB ) + 2f b

(5.11)

Figure 5.6:

gonstelin de gpu

5.1.3 3. Phase-Shift Keying (PSK)En esta modulacin, el parmetro de la seal sinusoidal portadora que se vara es la fase. Es una forma de modulacin digital angular en donde la amplitud de la portadora se mantiene constante. Tericamente

36


se aproxima al concepto de modulacin en fase convencional (PM), con la diferencia que aqu la seal de entrada es digital binaria, por lo que se tienen dos fases de salida para una sola frecuencia portadora: Una fase de salida representa el bit 1 y otra representa el bit 0. Cuando la seal binaria de entrada cambia de estado, la fase de la portadora de salida vara entre dos ngulos que estn desfasados 180 caso la modulacin se le llama PRK (Phase Reverse Keying) Se tiene entonces la siguiente situacin:

(0 y

).

En este

Figure 5.7:

ijemplo de modulin uF

La ecuacin correspondiente para este tipo de modulacin es:

X prk (t) = V .b (t) .Cos (wc t)Donde:

(5.12)

Xprk(t)= Seal modulada. b(t) = seal binaria moduladora (volts). Puede tomar dos valores: +1 cuando el bit enviado es 1, y -1 cuando el bit enviado es 0. V = Amplitud de la seal portadora (volts) Wc = Frecuencia de la seal portadora (radianes por segundo)Si

b (t) = 1 X prk (t) = V .Cos (wc t) b (t) = 1 X prk (t) = V .Cos (wc t)La Densidad Espectral de potencia resulta ser:

(5.13)

Xprk (t) Gprk (f )(5.14)

Gprk (f ) =

V2 4

tb Sinc2

((f + fc) tb ) +

tb Sinc2

((f fc) tb ]

37

Figure 5.8:

u en el dominio de l freueni

Como se observa, el ancho de banda prctico ser BW=2fb . Finalmente su constelacin es:

Figure 5.9:

gonstelin de u

5.1.4 4. Minimum-Shift Keying (MSK)En la modulacin digital FSK, cuando se tiene una seal binaria de entrada que cambia de

1

0

lgico a un Ellas se de modo

lgico (y viceversa), la frecuencia de la seal modulada en la salida se desplaza entre dos frecuencias:

una que

frecuencia de marca

(o de 1 lgico,

f m)

y una

frecuencia de espacio

(o de 0 lgico,

encuentran separadas de la frecuencia de la portadora por la desviacin mxima de frecuencia

f,

f s ).

fc f

(5.15)

38


Figure 5.10

La modulacin por desplazamiento mnimo se da cuando la diferencia entre la frecuencia de espacio y la frecuencia de marca es igual a fb/2. Entonces, con una seal binaria de entrada, la seal modulada en MSK quedara as

Figure 5.11:

ijemplo de modulin wuF

Como se observa, la seal modulada es muy parecida a la seal FSK, por lo que se le considera un caso especial de la ltima (Dado que la transicin de bits no presenta discontinuidad). Las frmulas matemticas y la ecuacin de MSK en el dominio de la frecuencia coinciden con las de FSK pero grcamente la Densidad Espectral de Frecuencia luce diferente, presentando un menor ancho de banda ya que los dos Sinc al cuadrado se superponen.

5.1.5 5. Gaussian Minimum-Shift Keying (GMSK)En las comunicaciones digitales, GMSK tambin representa un esquema de modulacin por desplazamiento de frecuencia con fase continua. Es muy parecido a la modulacin MSK, con la diferencia de que la seal

39

digital binaria de entrada pasa primero por un ltro Gaussiano antes de ser modulada. Esto provoca una reduccin evidente en los lbulos laterales del espectro de la seal modulada y en la interferencia entre portadoras de seales en canales de frecuencia adyacentes, con una consecuente reduccin del ancho de banda comparada incluso con MSK

5.2 Simulaciones en LabVIEWPara entender mejor el funcionamiento de estas modulaciones digitales se muestran a continuacin cinco VIs correspondientes a cada punto explicado previamente. Para descargarlos se debe seguir los siguientes enlaces: [Media Object]2

5.3 Demostracin:3 [Media Object]


40


Chapter 6

6. Modulaciones M-arias6.1 MODULACIONES M-ARIASGonzlez C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

1

Resumen

El contenido de este mdulo engloba las caractersticas ms relevantes de las modulaciones m-arias, adems de la simulacin de cada modulacin en LabVIEW. Hasta el mdulo anterior (Modulaciones Binarias ) habamos considerado las tcnicas de modulacin cuando slo se empleaba un bit a la vez del mensaje de entrada. El trmino Aqu tomaremos en consideracin los representa la cantidad de condiciones diferentes tipos de modulacin cuando se toman smbolos para producir cambios sobre la seal portadora.2

M-ario

deriva de la palabra

binario.

La letra

M

posibles (smbolos) para una determinada cantidad de variables binarias consideradas. En los casos anteriores de modulacin (OOK, PRK, FSK, etc) habamos trabajado con bits individuales (1 y 0), por lo que se podra decir que estos mtodos son M-arios en donde M =2. Si los smbolos provienen de combinaciones de bits, se puede usar la siguiente ecuacin para relacionar el nmero de bits con el nmero de smbolos:

Figure 6.1

En donde:

N = Cantidad de bits codicados M = Cantidad de condiciones posibles de salida con N bits.Entonces, si por ejemplo tomamos la modulacin digital binaria FSK tendramos dos posibles variantes: 1 lgico o un 0 lgico, as que M = 2:

1 This content is 2 "Modulaciones

available online at . Binarias"

41

42

CHAPTER 6.

6. MODULACIONES M-ARIAS

Figure 6.2

Si se toman dos bits codicados juntos entonces M=2 =4. En general:

2

N1 2 3 4 5

M2 4 8 16 32

Table 6.1

El ancho de banda de cada seal modulada M-aria estar relacionado con la tasa de smbolos tasa de bits

fb de la siguiente forma:

fs y con la

Figure 6.3

Donde

fs es la tasa de smbolos (bauds) y fb es tasa de bits de entrada(bps).

6.1.1 1. QPSK (Quaternary Phase Shift Keying)La modulacin por desplazamiento cuaternario de fase es un tipo de modulacin M-aria en donde el factor M es igual a

4.

Aqu se tendrn entonces cuatro posibles fases de salida para una sola frecuencia de portadora

y cuatro condiciones distintas de entrada. Como con un slo bit no se pueden obtener cuatro condiciones distintas (slo dos, 1 y 0), tomamos combinaciones de dos bits, de modo que:

00 01 10 11

43

Cada par de bits (

dibits)

genera una fase posible de salida.

Tenemos entonces la siguiente ecuacin que

dene este tipo de modulacin:

Figure 6.4

En donde:

Figure 6.5

Los parmetros

lgico tienen valor de

bp y bi siguen el mismo lineamiento que para +1 y para un 0 lgico tienen valor de 1.

las modulaciones binarias: para un

1

44

CHAPTER 6.


Figure 6.6

Para una de las cuatro fases posibles de salida, la portadora tiene exactamente la misma amplitud, lo que evidencia el tipo de modulacin con amplitud constante.

Figure 6.7:

pse de slid pr uF

45

Figure 6.8:

WH FF

fses y onstelin pr u v seprin ngulr entre dos puntos dyentes es de

La ecuacin de la seal modulada en funcin de las bases ortonormales quedar as:

46

CHAPTER 6.


Figure 6.9

Podemos hallar la ecuacin en el dominio de la frecuencia usando la Transformada de Fourier de la autocorrelacin, resultando:

Figure 6.10

6.1.2 2. MPSK (Multiple PSK)En el caso anterior se haca la combinacin de dos bits para generar cuatro salidas de fase. El trmino MPSK aplica para cuando se desee combinar bits de N en N. Pudiramos llegar entonces a una ecuacin general que aplique para cuantas combinaciones de bits se necesite:

Figure 6.11

47N

Esto produce M=2

Smbolos. Las bases quedaran como sigue:

Figure 6.12

Y la Densidad Espectral de Potencia es :

Figure 6.13

Por ejemplo, si queremos realizar la modulacin 8-PSK:

Figure 6.14:

pse de slid pr VEu

Sus bases y Constelacin seran:

48

CHAPTER 6.


Figure 6.15

Y para la modulacin 16-PSK:

49

Figure 6.16

6.1.3 3. QAM (Quadrature Amplitude Modulation)En este tipo de modulacin se varan los parmetros de amplitud y fase de la seal portadora transmitida. Bsicamente, consiste en modular en amplitud dos seales portadoras que trabajan con la misma frecuencia pero se encuentran desfasadas 90 ecuacin viene dada por:

entre s lo que produce, tambin, cambios en la fase.

En general, su

Figure 6.17

En donde an y bn son valores discretos correspondientes al total de los N bits codicados. Supongamos que tomamos el valor

M=8 8-QAM

Los datos que llegan antes del modulador se dividen en combinaciones de tres bits (tribits). Se denen entonces dos bases ortonormales para representar la seal:

50

CHAPTER 6.


Figure 6.18

Por lo que la ecuacin de QAM en el tiempo quedara as;

Figure 6.19

Siendo a una constante y k1 y k2 seales Non-Return to Zero (NRZ) multinivel con tiempo de duracin N*tb. Su constelacin es como sigue:

Figure 6.20:

gonstelin pr VEewF

51

Las formas de onda correspondientes a las combinaciones de bits quedaran as:

Figure 6.21

Y la ecuacin de 8-QAM en el dominio de la frecuencia:

Figure 6.22

Si ahora tomamos el valor

M=16 16-QAM

Figure 6.23

Su constelacin:

52

CHAPTER 6.


Figure 6.24:

gonstelin pr ITEew

Figure 6.25

Y la Densidad Espectral de Potencia sera:

53

Figure 6.26

6.1.4 Simulacin en LabVIEWpara observar los tipos de modulacin previamente explicados, se debe descargar el codigo fuente del VI m-arias.vi a travs del siguiente enlace: [Media Object]3

6.1.5 Demostracin4 [Media Object]


54

CHAPTER 6.


Chapter 7

7. Introduccin del ruido en los sistemas de Comunicaciones Digitales: Deteccin ptima y Probabilidad de Error1

7.1 INTRODUCCIN DEL RUIDO EN LOS SISTEMAS DE COMUNICACIONES DIGITALES: DETECCIN PTIMA Y PROBABILIDAD DE ERRORGonzlez C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

Resumen

El contenido de este mdulo abarca la introduccin del ruido en los sistemas de comunicacin digital, especcamente el ruido AWGN (Additive White Gaussian Noise ). Se observarn los cambios que produce en las seales codicadas y moduladas en formato tanto binario como m-ario y se usar el procedimiento de Deteccin Coherente (ptima) para la recepcin de las mismas. En un sistema digital (y en cualquier sistema de comunicacin en general) se desea que el mensaje a transmitir llegue completo y sin problemas hasta el destino. Sin embargo, debido a ciertos factores como:

Limitacin del ancho de banda del canal; Medio de transmisin que se use; Interferencias producidas por el hombre o por la naturaleza del medio, entre otros.

Existe la posibilidad de que el mensaje llegue errado o incompleto (o incluso que el mismo no llegue a su destino). De los factores mencionados nos encontramos con uno que siempre est presente en el sistema, independientemente de si hay una seal de entrada o no: este se llama

(Blanco Gaussiano Aditivo). Denition 7.1: AWGN

De este tipo de ruido resalta uno que es el que tomaremos en cuenta para este mdulo:

Ruido No Correlacionado. Ruido AWGN

Corresponde a un modelo en el que al canal de comunicaciones se le suma ruido blanco en banda base, con una densidad espectral constante ([U+F068]/2) y una amplitud de distribucin Gaussiana.

Antes de observar los cambios que genera el ruido AWGN sobre el sistema, debemos resaltar el procedimiento de deteccin ptima o coherente:

1 This

content is available online at .55

CHAPTER 7.56

7. INTRODUCCIN DEL RUIDO EN LOS SISTEMAS DE DE ERROR

COMUNICACIONES DIGITALES: DETECCIN PTIMA Y PROBABILIDAD

7.1.1 Deteccin Coherenteestar relacionada con las formas de onda transmitidas codicadas o moduladas. Supongamos que se tiene una seal de entrada (modulada) obtiene la seal de salida llamar

Este tipo de deteccin se obtiene cuando en el receptor se usa un ltro ptimo cuya respuesta impulsiva

nout (t).

y(t).

p(t),

y que al pasar por el ltro ptimo, se

A la entrada tambin se le suma el ruido

n(t),

que al pasar por el ltro se

Figure 7.1

El objetivo de esta deteccin es la de maximizar la relacin entre la seal modicada por el ltro en un tiempo de muestreo especco t0 y el voltaje rms del ruido a la salida

( ):

y(t0)

2 | | y (t0 ) | = 2

2 P (f ) .HR (f ) .ejwt0 df | 2 Gn (f ) | HR (f ) | df

(7.1)

Esta ecuacin puede simplicarse si usamos el concepto de la desigualdad de Schwartz :

|

V (f ) .W (f ) df | Si

2

| V (f ) |

2

df.

| W (f ) |

2

df

: V (f ) = k .W (f )(7.2)

| W (f ) |

2

df

=

R | V (f ).W (f )df|2 R |V (f )|2 df

Pudiramos entonces asignar los siguientes valores en base a la funcin maximizada:

V (f ) = V (f ) .W (f ) =Gn (f )HR

Gn (f )HR

(f )(7.3)

(f ) .W (f ) = P (f ) .HR (f ) .ejwt0 W (f ) =P (f )ejwt0

Gn(f )

Para cumplir con la igualdad:

V (f ) = kW (f ) = k .

P (f ) ejwt0Gn (f )

(7.4)

Finalmente, tenemos que la ecuacin del ltro ptimo es:

57

Figure 7.2

Cuando el ruido que se introduce en el sistema es AWGN, el ltro toma el nombre de ya que su respuesta impulsiva tiene la forma de p(t) (pulso transmitido). En este caso:

ltro adaptado

|y(t0 )|2 2

=

2

| P (f ) | :2

2

df

2 = E

Donde

Ex =

| X | (f ) df = S .ts(7.5)

S = Potenciats

= TsmboloS B

|y(t0 )|2 2

2 = S .tb =

=

S N

7.1.2 Probabilidad de Error:La probabilidad de error es la expectativa de que cierto sistema contenga una tasa de errores. Por ejemplo, si se obtiene una Probabilidad de Error de 10 promedio, 1 bit errado. Ahora bien, debemos considerar la situacin en la que se tiene una seal que se desea pasar por el proceso de deteccin ptima para obtener el mensaje original en el destino. Para eso tomamos como condicin inicial el clculo de la probabilidad de error por bit de una seal polar en bandabase. Para un sistema binario, supongamos que a la salida del receptor se tienen dos niveles de amplitud: 0.5A y -0.5A ms el ruido blanco. La probabilidad de error quedara as:-4

, quiere decir que por cada 10.000 transmitidos se tiene, en

Pe

=

1 1 P (0.5A + n < Umbral) + P (0.5A + n > Umbral) 2 2

(7.6)

Como los valores de salida (0.5A y -0.5A) son equiprobables, es decir, tienen la misma probabilidad de ocurrencia, entonces el valor del umbral es CERO:

Umbral

=

1 (0.5A + (0.5A)) = 0 2

(7.7)

Por lo que la probabilidad de error quedara:

Pe

=

1 1 P (0.5A + n < 0) + P (0.5A + n > 0) = P (n > 0.5A) 2 2

Ecuacin

(a)

(7.8)

CHAPTER 7.58

7. INTRODUCCIN DEL RUIDO EN LOS SISTEMAS DE DE ERROR

COMUNICACIONES DIGITALES: DETECCIN PTIMA Y PROBABILIDAD

En general, para un sistema bandabase polar con y(t) de salida, tendramos que la probabilidad de error es: Pe

= P (n > y (to ))

(7.9)

Siendo to el momento donde se toma la decisin. Partiendo de la ecuacin (a) podemos obtener las probabilidades de error correspondientes a cada modulacin binaria en la cual los pulsos para el 0 (p0 (t)) y para el 1 (p1 (t)) toman formas diferentes. Entonces la probabilidad de error puede calcularse en funcin de los pulsos a la salida p00 (t0 ) y p10 (t0 ): Pe

=

1 2

(P0o (t0 ) + n > Umbral) +1 2

1 2

(P1o (t0 ) + n < Umbral) y:

Umbral

=

(P0o (t0 ) + P1o (t0 ))Entonces

:1 2

(7.10)

Pe

=

1 2

P0o (t0 ) + n >

1 2

(P0o (t0 ) + P1o (t0 )) + Pe = n >1 2

1 2

P1o (t0 ) + n Umbral) P (T0 )

(8.9)

La probabilidad de error tal que se transmite un 1 se calcular usando la distribucin Rice. La probabilidad de error tal que se transmite un 0 ser calculada usando la distribucin de Rayleigh.

Figure 8.4

69

Al igualar las reas obtenemos el Umbral:

Umbral

A 1 2 A2 tb E1 = 2

=

+

8 A

E0 = 0(8.10) Entonces

: =A 2

S NSi se tiene bajo ruido (Ep/[U+F068]) 1:

=

E1 2

=

Ep

P (e/T0 ) =

PR (Rayleigh) dR = e 82 = e

A2

Ep 2

(8.11)

P (e/T1 ) = PR (Gauss) dR Q0Finalmente:

E

1 qE 2

e

Ep 2

PeOOK

=

1 Ep e 2 2

(8.12)

A continuacin se comparan las curvas de probabilidad de error cuando se usa detector coherente y no coherente para OOK:

70

CHAPTER 8.

8. DETECCIN NO COHERENTE PARA MODULACIONES OOK Y FSK

Figure 8.5

Como se observa, OOK con deteccin coherente presenta

menor

valor de Probabilidad de error para un

determinado valor E/[U+F068]. Para que OOK con deteccin no coherente tenga la misma probabilidad de error que con deteccin coherente es necesario que se transmita ms potencia.

8.1.2 2. Deteccin No Coherente FSKEl sistema de deteccin no coherente para una seal FSK es:

Figure 8.6

71

La seal de entrada FSK entra de forma simultnea a los dos ltros Pasabanda. Cada ltro pasar la frecuencia asignada para un 1 lgico o un 0 lgico a su detector de envolvente correspondiente. Para un 1 la situacin ser opuesta La probabilidad de error tal que se transmite un 1 se calcular usando la distribucin Rice. La probabilidad de error tal que se transmite un 0 ser calculada usando la distribucin de Rayleigh. La regeneracin de la seal est basada en la diferencia de envolventes simetra del receptor, no importa el valor de A, La P(e/T1 ) ser igual a: Cuando llegue la seal modulada correspondiente al 0 y1 ser pequeo y y0 ser grande; la resta ser negativa.

Y1-Y0= y1(t)-y0(t).

Dada la

P () = P (Y1 Y0 < 0 | H1 ) = P (Y0 > Y1 | H1 )Como

P () = P () = Pe

Pe

=0

PY1 (Y1 | H1 )Y1 Pe

PY0 (Y0 | H1 ) dy0

dy1

(8.13)

=0

y1 2 e .I0

Ay1

2

dy1

(d)

Si hacemos los cambios de variable:

=

2y1

=

A 2

(8.14)

Y los sustituimos en la ecuacin (d), tendremos que el integrando de la Probabilidad de Error total de FSK es exactamente la misma funcin correspondiente a la fdp de Distribucin Rice. Por lo tanto:

Pe

1 = 2e

0

2 eI0

2

d(8.15)

PeFSK

1 = 2e = 1e 2

Ep 2

Se observa que las Probabilidades de Error para FSK y OOK no coherentes son prcticamente iguales. Slo se diferenciarn para cuando Ep/[U+F068] sea un valor muy pequeo.

72

CHAPTER 8.

8. DETECCIN NO COHERENTE PARA MODULACIONES OOK Y FSK

Figure 8.7

Entre los dos sistemas, quien presenta menor probabilidad de error es FSK con Deteccin Coherente, lo que la hace ms fuerte contra el ruido.

8.1.3 Simulaciones en LabVIEWLos VIs correspondientes a la deteccin No Coherente pueden descargarse en los siguientes enlaces:

VI de Deteccin No Coherente OOK3 [Media Object] 4 [Media Object]

VI de Deteccin No Coherente FSK

3 This media object is a downloadable le. Please view or download it at 4 This media object is a downloadable le. Please view or download it at

Chapter 9

9. Interferencia Intersimblica (ISI)9.1 INTERFERENCIA INTERSIMBLICA (ISI)Gonzlez C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

1

Resumen

En este mdulo se introducir el concepto de la interferencia intersimblica dentro de un sistema de comunicacin digital. Se considerarn los dos criterios de Nyquist y se explicarn los pasos para poder calcular la fdp de la ISI y su probabilidad de Error. Cuando deseamos transmitir un mensaje, el objetivo primordial es que ste sea recibido de manera ntegra. Sin embargo, debido a ciertas limitaciones en el sistema, se dan los casos en el que el mensaje llega completamente distorsionado. Pongamos el siguiente ejemplo: Supongamos que se tiene una seal a la entrada de un ltro Pasabajos:

Figure 9.1:

espuests l impulsoF

El caso ideal sera un ltro que no introduce ningn tipo de distorsin de fase o amplitud a la seal, por lo que la seal a la salida del ltro deber ser igual a la seal de entrada. Pero, en el caso real, el ltro es imperfecto, por lo que la respuesta de salida se aproximar a la parte derecha de la imagen mostrada. Se observa que los pulsos de salida se `chorrean' en el tiempo, interriendo con los pulsos siguientes. Dicho de otra manera, los extremos de los pulsos se solapan, interriendo con el lbulo principal del pulso. Esto es lo que se conoce como

Interferencia Intersimblica (intersymbol interference, ISI ): los pulsos rectangulares

no mantendrn su forma siempre que el ancho de banda para el proceso de transmisin sea nito. Mientras ms pequeo sea el ancho de banda, los pulsos se dispersarn, interriendo con el siguiente pulso transmitido.

1 This

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74

CHAPTER 9.

9. INTERFERENCIA INTERSIMBLICA (ISI)

Esta interferencia puede atribuirse a cuatro causas principales: problemas de sincronismo, distorsin de amplitud o de fase, o limitacin del ancho de banda del canal La FDP de la ISI se calcular mediante el ejemplo de transmisin polar banda base siguiente: Cuando un pulso pasa por la cadena conformada por Tx-Canal-Rx, se ver afectado por retardos o limitaciones del canal:

Figure 9.2

Si transmitimos una secuencia de pulsos:

Figure 9.3

Observe que en este ejemplo tb=1 seg. El pulso punteado (centrado en

t=6seg) ser el que aislaremos.

Tal como lo muestra la gura, se ve afectado por sus pulsos vecinos, por lo que se deber calcular el valor total de ISI en el perodo donde el pulso est dispersado (es decir, de 6seg.-2tb hasta 6seg.+2tb). Se deben tomar los voltajes

de todos los pulsos que coincidan con el centro del pulso aislado (t=6seg).

A primera vista se observa que los pulsos amarillo y rojo tienen voltaje 0 para 6seg., por lo tanto no lo

75

intereren

9.1.1 Paso 1:Primero tomamos el pulso que se encuentra a -2tb a la izquierda (azul claro). Para t=6seg., toma el valor de -0.2V. Pero si el pulso fuese el de polaridad opuesta, el valor sera de 0.2V. Luego tomamos el pulso que est a tb a la izquierda (verde). Para t=6seg. toma un valor de 0.4V. Si fuese el de polaridad opuesta, tendra un valor de -0.4V.

9.1.2 Paso 2:Repetimos el procedimiento del paso 1, pero tomando en consideracin los pulsos que estn a +tb y +2tb del aislado (naranja y morado, respectivamente).

9.1.3 Paso 3:Elaboramos una tabla que contenga todas las combinaciones de ISI posibles. Dado que el pulso aislado se ve afectado por cuatro vecinos (dos a su izquierda y dos a su derecha), cada uno con dos valores posibles, el total de combinaciones ser de diecisis (16):

-2tb-0.2V -0.2V -0.2V -0.2V -0.2V -0.2V -0.2V -0.2V 0.2V 0.2V 0.2V 0.2V 0.2V 0.2V 0.2V 0.2V

-tb0.4V 0.4V 0.4V 0.4V -0.4V -0.4V -0.4V -0.4V 0.4V 0.4V 0.4V 0.4V -0.4V -0.4V -0.4V -0.4V

tb0.4V 0.4V -0.4V -0.4V 0.4V 0.4V -0.4V -0.4V 0.4V 0.4V -0.4V -0.4V 0.4V 0.4V -0.4V -0.4V

2tb-0.2V 0.2V -0.2V 0.2V -0.2V 0.2V -0.2V 0.2V -0.2V 0.2V -0.2V 0.2V -0.2V 0.2V -0.2V 0.2V

TOTAL ISI0.4 0.8 -0.4 0 -0.4 0 -1.2 -0.8 0.8 1.2 0 0.4 0 0.4 -0.8 -0.4Table 9.1

Probabilidad de ocurrencia1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16 1/16

Finalmente:

76

CHAPTER 9.


Total ISI0 0.4 -0.4 0.8 -0.8 1.2 -1.2

Probabilidad4/16 3/16 3/16 2/16 2/16 1/16 1/16

Table 9.2

Es a partir de esta tabla que se puede gracar la fdp:

Figure 9.4

Para el clculo de la probabilidad de error se deben considerar las combinaciones de la primera tabla que pudieran provocar la decisin incorrecta. El pulso punteado toma como mximos valores 1 (para el 1) y -1 (para el 0). Cuando a estos valores se les sume la ISI podr ocurrir un error. Por ejemplo si se transmiti un 1 (1 volt.) y la ISI vale -1.2, al sumar 1-1.2=-0.2. Como el umbral est en cero se tomar la decisin de que lo transmitido fue un 0 y se comete un error. Si se analizan todos los casos posibles, existen dos posibilidades de error por interferencia: que se transmita un 1 y la ISI sea de -1.2V o que se transmita un 0 y la ISI d 1.2V. Por lo tanto:

Pe

=

1 1 P () + P () = 2 2 2

1 1 . 2 16

=

116

(9.1)

An cuando la interferencia Intersimblica es crtica al momento de recibir una seal, pudiramos disminuir (o eliminar) los errores de decisin a travs de ciertos mtodos. p(t) (determinstico). Como se sabe, una seal codicada y(t) Para ello puede representarse como la convolucin de una secuencia de impulsos aleatorios x(t) con un pulso conocido Este pulso se puede variar de forma tal que se controle interferencia: presentaremos los siguientes criterios:

77

9.1.4 Primer Criterio de NyquistEl pulso determinstico p(t) debe cumplir con los siguientes parmetros:

1 p (t) = { 0

; t=0(9.2)

; t = ntb =1 2tb

BW

Una posibilidad es que p(t) sea un Sinc lo que arrojara un pulso rectangular en frecuencia como se muestra en la gura:

Figure 9.5:

ulso determinstio en los dominios de tiempo y freueniF

Sin embargo, esto aplicara para un caso ideal.

Para el caso real, pudiramos considerar un ancho de

banda ligeramente mayor. Para determinar que tipo de pulsos, como ste, pueden ser usados para evitar la ISI se plantea el problema en el dominio del tiempo y luego se llega a una condicin en el dominio de la frecuencia. En el receptor lo que se hace es muestrear cada tb (seria como convolucionar p(t) con una sumatoria innita de impulsos); lo que se desea es que al muestrear cada pulso y sus vecinos, solo quede el valor del pulso en el instante de muestreo de inters. Por ejemplo suponga que estamos tomando el valor en t=0

78

CHAPTER 9.


Figure 9.6

Esto implica que al sumar todas las repeticiones de P(f ) cada fb estas deben sumar una constante

Figure 9.7

El pulso resultante tiene simetra vestigial

79

Figure 9.8

Este ltro puede representarse como la suma de:

Figure 9.9

Matemticamente:

P (f ) = p (t) =

f fb t tb

+ H1 (f ) + h1 (t)

1 tb Sinc

(9.3)

80

CHAPTER 9.H1 (f ) es simtrica y par.


h1 (t) = h1 (t) = 2

H1 (f ) ejt df = 2 H1 (f ) Cos (t) df 0 +

H1 (f ) Cos (t) df + 2

H1 (f ) Cos (t) df : f = x

ParalaprimeraIntegral

c.d.v : {ParalasegundaIntegral Entonces

: f = +x

:fb

h1 (t) = 2 H10

fb

2

x

Cos

2

fb

2

x

tdx

+ 2 H10

2

+x

Cos

2

fb

2

+x

tdx (9.4)

Porsimetra

:

H1

fb

2

+x

= H1

fb

2

x

h1 (t) = 2 H10

fb

2

+x

Cos

2t

fb

2

+x

Cos 2t

fb

2

x

dx

h1 (t) = 4 H10

fb

2

+ x [Sen (f b t) .Sen (2 xt)] dx

h1 (t) = 4Sen (f b t) H10Para cada

fb

2

+x

Sen (2 xt) dx De esta forma, se evita la

ntb

el trmino que se encuentra fuera de la integral se anular.

interferencia. A partir de este criterio podemos implementar el ltro de simetra vestigial de tipo ms simple, est alzado (es decir, se encuentra por encima del eje de frecuencia):

Coseno Alzado:

Este se caracteriza porque puede reducir la ISI. La parte no nula del espectro es un coseno que, en su forma

Figure 9.10

81

Figure 9.11:

epresentin del pulso en los dominios de freueni y tiempoF

9.1.5 Segundo Criterio de NyquistEn este criterio se busca no slo eliminar la interferencia, tambin se presenta como objetivo el disminuir el ancho de banda. Esto se hace deniendo, en el transmisor, una interaccin conocida entre pulsos vecinos. El sacricio, en este caso, es un mayor consumo de potencia. Entonces, en vez de transmitir ak (secuencia original), se enviar yk =ak +ak-1 . De esta forma se pueden enviar dos bits haciendo uso del mismo ancho de banda. Supongamos el siguiente ejemplo: Secuencia original de bits:

01010011

Secuencia original ak yk

0 -1

1 1 0

0 -1 0

1 1 0

0 -1 0

0 -1 -2

1 1 0

1 1 2

Table 9.3

El ltro que se coloca en el transmisor pudiera modelarse como:

82

CHAPTER 9.


Figure 9.12

Teniendo considerada la condicin de un sistema con interferencia, ahora se debe tomar en cuenta cuando se introduce ruido AWGN al canal. Supongamos que a la entrada de un sistema de comunicaciones se tiene una secuencia aleatoria, con cdigo de lnea NRZ y duracin tb. La Densidad Espectral de Potencia sera:

G (f ) =

|P (f )|2tb

;

P (f ) TransformadadeFourierdelasealdeentrada.Asumiendo un sistema como sigue:

(9.5)

Figure 9.13

La salida del sistema sera una sucesin de pulsos y(t), asociada a un pulso de salida pR (t) y a los de entrada:

Ak | PR (f ) |=| P (f ) | . | HT (f ) | . | Hc (f ) | . | HR (f ) | Ecuacin (1)Silapotenciadetransmisines

:

ST =

|P (f )|2 |HT (f )|2tb

df

PudiramosExpresarlaenfuncindelaecuacin (1)

:

tb.ST

= Ak 2

|PR (f )|2 |Hc (f )|.|HR (f )| df

Ahora bien, como nuestro objetivo es maximizar la relacin seal a ruido, despejamos el valor de Ak

83

(Amplitud del pulso) y denimos

2

(que debe ser minimizado):

Ak 2 =

R

tb.ST |PR (f )|2 df |Hc (f )|.|HR (f )|

y

2 =

Gn (f ) |

HR (f ) | :

2

df (9.6)

Porloque

Ak2 2

=

R

tb.ST Gn(f )|HR (f )| df.2

R

|PR (f )|2 df |Hc (f )|.|HR (f )|

Minimizar

A travs de la igualdad de Schwartz podemos cumplir el objetivo:

|

V (f ) .W (f ) df |

| V (f ) |

2

.df.

| W (f ) |

2

.df

QueserigualcuandoV

(f ) = k .W (f ) .Si :Gn (f )

W (f ) =

|PR (f )| |HC (f )||HR (f )| yV

(f ) =| HR (f ) | :|PR (f )| |HC (f )||HR (f )|

Entonces

| HR (f ) |

Gn (f )

=k

| HR (f ) | = k

2

|PR (f )| |HC (f )|

Gn(f )

Finalmente, con la ecuacin (1) tenemos que:

| HT (f ) | =

2

Ak2 | PR (f ) |

Gn (f )

k | HC (f ) | | PR (f ) |

2

(9.7)

9.1.6 Simulaciones en LabVIEWEl VI correspondiente a la teora de este mdulo puede descargarse a travs del siguiente enlace: [MediaObject]2

2 This media object is a downloadable le. Please view or download it at

84

CHAPTER 9.


Chapter 10

10. Codicacin de Canal: Cdigo Hamming y Cdigo Convolucional

1

10.1 CODIFICACIN DE CANAL: CDIGO HAMMING Y CDIGO CONVOLUCIONALGonzlez C. Y. Venuska Mezoa R. Mariangela

Resumen

Este mdulo contiene informacin acerca del bloque de codicacin de canal de un sistema de comunicaciones digitales, especcamente la codicacin por bloque (Cdigo Hamming) y la codicacin convolucional para la deteccin y correccin de errores. Cuando transmitimos informacin, uno de los objetivos principales es el de minimizar la cantidad de errores que pudieran producirse en el proceso. Esta transmisin depende del factor Seal a Ruido (S/N), potencia y velocidad de transmisin. Si optimizando estas variables se necesita an mejorar la calidad de la transmisin, entonces se deben buscar ciertos mtodos que aseguren y mejoren la abilidad. Es a partir de aqu que surge el concepto de la codicacin para control de errores. La

codicacin de canal

para el control de errores se encarga, bsicamente, de la adicin de dgitos Ellos no poseen informacin como tal, pero hacen posible la deteccin y

extra al mensaje a transmitir.

correccin de errores en el bloque de recepcin del mensaje.

10.1.1 Deteccin y Correccin de Errores:En un sistema de comunicaciones, detectar un error es ms sencillo que corregirlo. Si existen irregularidades, el receptor puede pedir una retransmisin del mensaje que contiene el error (

ARQ:

Automatic Repeat(Forward Error

Request). Sin embargo, cuando el sistema no implementa esta tcnica por no ser prctico o simplementeporque no es posible, debe aplicar redundancia en el cdigo a travs del mtodo

FEC

Correction).El mtodo ms sencillo de redundancia en el cdigo consiste en repetir patrn de repeticin cambiando un 1 a 0 (o viceversa). aleatoria (e independiente) con probabilidad

n

veces el smbolo de mensaje.

Cuando los smbolos son 1 y 0, cualquier error de transmisin en una palabra cdigo recibida alterar el

i errores en una palabra cdigo de n bits como:1 This

Pe, entonces se pudiera denir la probabilidad de que ocurran

Si los errores de transmisin ocurren de forma


85

86

CHAPTER 10.

10. CODIFICACIN DE CANAL: CDIGO HAMMING Y CDIGO CONVOLUCIONAL

Figure 10.1

Por ejemplo, si se considera un cdigo de repeticin triple (3, 1) (1 bit de mensaje, dos bits de repeticin, palabra cdigo de tres bits), las palabras cdigo seran 000 y 111. Cualquier mensaje recibido que no coincida con estas palabras cdigo evidencian la presencia de errores. Pero, si los tres bits estn errados (Se transmite 000 pero se recibe 111) entonces ser imposible detectar el error:

Figure 10.2

Si se quiere corregir el error, asumimos que al menos dos de los tres bits son correctos. Entonces, 001 se decodica como 000 y 101 se decodica como 111. Esto corrige palabras con un solo error, pero para dos o tres errores la probabilidad de que una palabra est errada resulta como:

Figure 10.3

87

10.1.2 Distancia HammingUna palabra cdigo de n bits puede ser representarse como un vector en un espacio de n dimensiones. Por ejemplo, el cdigo 010 puede representarse como X=( 0 1 0 ). repeticin (3, 1): Tomemos el caso anterior de cdigo de

Figure 10.4:

etores que representn plrs digo de tres itsF

En total se gracan las 8 posibles combinaciones de palabras cdigo y los puntos azules representan el cdigo de repeticin. La distancia que separa dos puntos cualesquiera se reconoce como la distancia Hamming, que est relacionada con el poder de control de errores del cdigo (Fortaleza del cdigo) y se dene como el nmero de elementos diferentes entre dos puntos. Por ejemplo:

88

CHAPTER 10.


Figure 10.5

La distancia mnima de un cdigo en particular es la distancia Hamming de cdigo

vlidos.

ms pequea entre dos vectores

De esta forma, la deteccin de errores es posible siempre que se cumpla que el nmero de

errores de transmisin en una palabra cdigo sea menor a dmn , por lo que la palabra errada no es un vector vlido. Si es mayor o igual, la palabra errada puede corresponder a un vector vlido y el error no podra ser detectado. La capacidad de correccin y deteccin de un cdigo se dene como:

Figure 10.6

Para el ejemplo desarrollado, dmn= 3, por lo que el cdigo de repeticin es capaz de corregir hasta 1 error por palabra y detectar hasta 2 errores. Evidentemente, la fortaleza del cdigo depende del nmero de bits que se le agregan al mensaje original. La distancia mnima de una codicacin por bloque (repeticin) se dene como:

89

Figure 10.7

10.1.3 Codicacin FECUn sistema FEC puede expresarse grcamente como:

Figure 10.8

Los bits de entrada llegan con una tasa de rb . La probabilidad de error tomar un valor de Pe

El codicador toma bloques de k bits del mensaje y

construye un cdigo de bloques (n, k) con tasa Rc=k/n rb . 1, que evidentemente depender de la energa de la seal y la densidad de potencia del ruido en el receptor ([U+F068]0 ). Si Eb representa la energa promedio por bit de mensaje, entonces la energa promedio por bit de cdigo es Rc.Eb. Entonces:

90

CHAPTER 10.


Figure 10.9

10.2 Codicacin por Bloques LinealComo ya se mencion antes, un

cdigo por bloques(n,k)k

consiste en vectores de n bits, con cada vector Dado que existen 2k

correspondiente a un bloque nico de k bits de mensaje. vectores de n bits, la meta est en seleccionar los 2 la

bloques de mensaje y 2

n

distancia mnima Hamming

vectores de cdigo que cumplan con la condicin de que

sea lo ms grande posible.

Supongamos un vector de cdigo arbitrario tal que:

Figure 10.10

91

Se cumple que esta codicacin por bloques es lineal si al sumar, en mdulo 2, dos palabras cdigo se genera una tercera palabra cdigo vlida, incluyendo el cdigo de puros ceros. Esta suma se dene como:

Figure 10.11

Ahora bien, una codicacin por bloques sistemtica consiste en vectores cuyos primeros (o ltimos) k elementos son idnticos a los bits de mensaje, tomando el resto de los elementos (n-k) como bits de chequeo. Por lo tanto, un vector de cdigo se expresa como:

Figure 10.12

El vector de cdigo X puede obtenerse a travs de una multiplicacin de matrices:

92

CHAPTER 10.


Figure 10.13

La matriz identidad en G reproduce el vector de mensaje para los primeros k elementos de X, mientras que la sub-matriz P genera el vector C a travs de inicialmente, esta multiplicacin de matrices sigue el procedimiento de la suma mdulo 2.

C=MP. Al igual que con la suma de vectores explicada

Para la recepcin, tomaremos el vector Y. Cualquier error de transmisin resultar en Y=X. Uno de los mtodos ms fciles es haciendo uso de una P. Se dene como:

matriz de chequeo de paridad H derivada de la sub-matriz

93

Figure 10.14

Si esta ltima condicin no se cumple, el cdigo recibido contiene errores. La deteccin de errores puede basarse a partir del vector sndrome S:

Figure 10.15

Si todos los elementos de S son iguales a CERO, entonces hay dos posibilidades:

Y es igual a X o Y; Y es igual a otro vector cdigo y el error de transmisin no se detecta.

De igual forma, los errores se indican con la presencia de elementos distintos a cero en S. Ahora bien, si el vector X se corrompe con un vector de error E, el vector Y resultar en:

94

CHAPTER 10.


Figure 10.16

Por lo que S ser:

Figure 10.17

Esto evidencia que el Sndrome depender completamente del patrn de error, no del vector transmitido. Al existir errores en la codicacin, S indicar en dnde se encuentra el mismo. Si un cdigo debe corregir hasta t errores por palabra, entonces q y n deben cumplir con la desigualdad o relacin de Hamming, denida como:

Figure 10.18

10.2.1 Cdigo HammingEs un cdigo de bloques lineal ecuaciones:

(n,k)

con 3 ms bits de chequeo/redundancia (q) que cumple con estas

95

Figure 10.19

Dado que su distancia mnima siempre es 3 (sin importar el valor de q), este tipo de cdigo es capaz de corregir hasta un error y detectar dos, por lo que:

Figure 10.20

Supongamos el caso Hamming (7,4) (n=7, q=3, k=4).

Para construir dicho cdigo, tomamos la sub-

matriz P de la matriz generadora G y la llenamos con todas las palabras de q bits que tengan dos o ms 1's, sin ningn orden en particular. Como son k=4 bits de mensaje original, entonces la matriz G tendr cuatro las. Entonces:

Figure 10.21

96

CHAPTER 10.


Dado un bloque de bits de mensaje M = (m1 m2 m3 m4 ), los bits de chequeo se calculan sustituyendo los elementos de la sub-matriz P en la ecuacin C=MP, por lo que:

Figure 10.22

Para este ejemplo se pudiera construir un codicador Hamming de la siguiente forma:

Figure 10.23

Las palabras cdigo correspondientes a este cdigo Hamming (7,4) se observan en la tabla (Todas generadas a partir de C=MP):

97

Mensaje0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1

Bits Redundantes0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1

Table 10.1

10.2.2 Cdigos ConvolucionalesA diferencia de la codicacin por bloque, los cdigos convolucionales trabajan bit por bit. Su estructura pudiera generalizarse de la siguiente forma:

98

CHAPTER 10.


Figure 10.24

Esta estructura genera V smbolos a la salida por cada smbolo de entrada. Su tasa de smbolos de salida ser entonces Rc=1/V. Existen 4 mtodos de representacin de los cdigos convolucionales:

Por Conexin. Diagrama de estados. rbol de cdigo. Diagrama Trellis

10.2.3 Representacin por Conexin:Supongamos que se tiene el siguiente codicador convolucional:

99

Figure 10.25

Para que el cdigo funcione correctamente, antes de que llegue el primer bit del mensaje el registro de desplazamiento est `limpio' (Slo contiene 0's). Supongamos que el mensaje de entrada es

101.

Esto implica que la primera salida ser U1=0 y U2=0.

Entonces, el codicador har los siguientes pasos:

100

CHAPTER 10.


Figure 10.26: higrm de onexin on slids I y P undo se tiene omo mensje de entrd l seueni IHIF e sume que iniilmente los registros estn vosF

La secuencia de salida ser:

U11 1 0 1 1

U21 0 0 0 1

Table 10.2

10.2.4 Representacin por Diagrama de Estados:El estado del codicador convolucional se dene como los contenidos de los registros de desplazamiento de las k-1 etapas ms a la derecha del codicador. Para el ejemplo actual:

101

Figure 10.27:

higrm de estdosF

10.2.5 Representacin por rbol de cdigo:La raz representa el estado inicial (U1U2=00). Si el prximo bit es un 0, se toma la ramicacin superior. Dado que la longitud del registro es igual a 3 (L=3), entonces el rbol ser:

102

CHAPTER 10.


Figure 10.28

103

10.2.6 Diagrama TrellisA travs de l se puede observar la evolucin del codicador por cada T que pase. El diagrama deber tener 2k-1

nodos que representen los posibles estados (a,b,c y d). Entonces:

Figure 10.29

Para la decodicacin implementamos la

mxima verosimilitud

(maximum-likelihood ), que busca

maximizar P(Z/Um), siendo Um las posibles secuencias recibidas.

104

CHAPTER 10.


Figure 10.30

Esto puede verse a travs del rama una

Algoritmo de Viterbi: Se basa en el Diagrama de Trellis. Asigna a cada mtrica que es igual a la distancia Hamming correspondiente a la rama recibida y todas las ramas

de Trellis que intervienen en ese instante de tiempo. Supongamos el siguiente ejemplo:

105

Figure 10.31

Como se observa, se debe esperar hasta el instante T4 (que es cuando empiezan a cerrarse los lazos) para tomar una decisin sobre el camino ms corto. All, se tendrn dos caminos para llegar a ese instante:

106

CHAPTER 10.


Figure 10.32

Partiendo del estado a, en el estado 4 convergen dos trayectorias dos mtricas: la primera con un total de 4(la de arriba) y la segunda con un total de 3(la que va por debajo). Luego se analizan situaciones similares en T4. Por ejemplo, al estado b en T4 se llega por dos trayectorias: la de arriba con mtrica 4 y la de abajo con mtrica 3. Para T4 pero al estado c tambin se llega por dos caminos: el de arriba con mtrica 5 y el de abajo con mtrica 0. Para T4 pero al estado d los dos caminos tienen mtricas 3 y 2 respectivamente. Al eliminar todas las trayectorias de mtrica mayor, en este ejemplo se logra ya despejar el bit transmitido entre la transicin T1-T2 y decidir que es un 1.

107

Figure 10.33

Se repite el mismo procedimiento para el nodo T5 y luego para los dems nodos hasta que se vayan obteniendo cada uno de los bits transmitidos. Se descartan entonces todos los caminos no viables. Este proceso debe repetirse hasta que se logre obtener la secuencia original.

108

CHAPTER 10.


Figure 10.34

10.2.7 Simulacin en LabVIEWLas pruebas para las codicaciones Hamming(7,4), Hamming(15,11) y Convolucional pueden realizarse descargando el VI del siguiente enlace: [Media Object]2

2 This media object is a downloadable le. Please view or download it at

GLOSSARY

109

GlossaryA Ancho de Banda (BW):En el mbito de las comunicaciones, el ancho de banda representa el rango (en Hertz, Hz) de frecuencias en donde se concentra la mayor parte de la potencia de la seal que se est usando. A partir de este punto se podr calcular el ancho de banda en las simulaciones usando la transformada de Fourier, cuando se expresa la seal original en el dominio de la frecuencia. Matemticamente se pudiera denir as: Es la duracin mnima del impulso usado para representar la informacin.

T Tasa de Bits (R):Nmero de bits transmitidos por segundo. Su unidad son los bps (bits per second) y se representa matemticamente como:

Tiempo de bit (Tb):Est denido como el tiempo empleado para la representacin y transmisin de un bit en el sistema.

AWGNCorresponde a un modelo en el que al canal de comunicaciones se le suma ruido blanco en banda base, con una densidad espectral constante ([U+F068]/2) y una amplitud de distribucin Gaussiana.

V Velocidad de Transmisin (Vt):Se dene como el nmero mximo de cambios por segundo que experimenta la seal o el nmero de impulsos que pueden transmitirse en un segundo. Matemticamente viene expresado como

I Intervalo de impulso ( ):

110

INDEX

Index of Keywords and TermsKeywords are listed by the section with that keyword (page numbers are in parentheses).apples, 1.1 (1) Keywords do not necessarily appear in the text of the page. They are merely associated with that section. Ex.

Terms are referenced by the page they appear on.

Ex.

apples, 1

A B C D

Analgicas, 1 Ancho de Banda (BW):, 19 AWGN, 55 binario, 41 bloques, 5 cdigo por bloques, 90 de todos los pulsos, 74 Deteccin Coherente, LabVIEW, mathscript, Probabilidad de error, ruido AWGN, 7(55) Deteccin no coherente, ruido AWGN, LabVIEW, probabilidad de error, 8(65) Digitales, 1

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