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Differentialrechnung - 1
Optimierung des Volumen eines Zylinders in einem Kegel
Von Veysi Demir und Ann-Kathrin Beck
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Differentialrechnung - 2
Einem Kegel vom Radius RK=3 cm und der Höhe HK=6 cm wird ein Zylinder
eingeschrieben. Wie muss rz und hz gewählt werden, damit ein maximales Volumen
erreicht wird?
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Differentialrechnung - 3
Skizze
RK=3 cm; HK=6 cmRK=3 cm; HK=6 cm
rz
HK
RK
hz
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Differentialrechnung - 4
Da die beiden Dreiecke gleichgroß sind, erhält
man folgende Nebenbedingung: HK/RK = hz/(RK-rz)
=> hz=HK/RK*(RK-rz)
Da die beiden Dreiecke gleichgroß sind, erhält
man folgende Nebenbedingung: HK/RK = hz/(RK-rz)
=> hz=HK/RK*(RK-rz)
Wir setzen h in die Zielfunktion ein:
VZylinder= π*rz²*HK*(RK-rz)/RK
Wir setzen für RK=3 und für HK=6 ein:
VZylinder: π*rz²*6*(3-rz)/3
Mathematische HerleitungZielfunktion: VZylinder= π*rz²*hz
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Differentialrechnung - 5
Mathematische Lösung I
VZylinder = π*rz²*6*(3-rz)/3
= (18*π*rz²-6*π*rz³)/3
= -2*π*rz³+6*π*rz²
V‘Zylinder = -6*π*rz²+12*π*rz
0 = -6*π*rz²+12*π*rz | / (-6*π)
0 = rz²-2*rz | / rz
0 = rz-2
rz = 2
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Differentialrechnung - 6
Mathematische Lösung II
V‘‘Zylinder = -12*π*rz+12*π | rz einsetzen
= -12*π*2+12*π
= -36,69911184
Damit liegt in rz=2 ein Hochpunkt vor!
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Differentialrechnung - 7
Ergebnis: Bei rz=2 ist das
Volumen am größten
Ergebnis: Bei rz=2 ist das
Volumen am größten
Funktionsgraph
-15
-10
-5
0
5
10
15
20
25
30
-1 0 1 2 3 4
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Differentialrechnung - 8
Das Volumen V muss mit
einer Formel berechnet werden:
V=π*rz²*HK*(RK-rz)/RK
Das Volumen V muss mit
einer Formel berechnet werden:
V=π*rz²*HK*(RK-rz)/RK
Solver I
Menü: „Extras“ „Solver“
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Differentialrechnung - 9
Solver II
Volumen soll maximal sein
Volumen soll maximal sein
Veränderbare Zelle
Veränderbare Zelle
nächste Folie
nächste Folie
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Differentialrechnung - 10
Wählen sie die Schaltfläche „OK“, um die Lösung zu
verwenden
Wählen sie die Schaltfläche „OK“, um die Lösung zu
verwenden
Solver III
Markieren sie den
Optionsbutton, um die Lösung zu verwenden
Markieren sie den
Optionsbutton, um die Lösung zu verwenden
Wählen sie die Schaltfläche „Abbrechen“, um zurück in die
Mappe zu gelangen
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Mappe zu gelangen
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Differentialrechnung - 11
Solver IV
Wählen sie die Schaltfläche „Szenario speichern“, um das Szenario zu speichern
Wählen sie die Schaltfläche „Szenario speichern“, um das Szenario zu speichern
Markieren sie den Optionsbutton
„Ausgangswerte“, um die
Ausgangswerte wiederherzustellen
Markieren sie den Optionsbutton
„Ausgangswerte“, um die
Ausgangswerte wiederherzustellen
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Differentialrechnung - 12
Lösung
Der Zylinder hat das maximale Volumen, wenn rz=2 beträgt.
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Differentialrechnung - 13
Quellen
http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/extrem.htm