Download - Diapositivas Método Steffensen
Método Steffensen..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Universidad Autónoma Gabriel René Moreno – Métodos Numéricos
Método Steffensen
Eliana Montero Reyes
R. Joshep Lujan Pardo
Willian Cardona Terceros
Oscar Reinaldo Calisaya
Luis Alberto Baigorria R.
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
INTEGRANTES:
Un polinomio es una suma de términos llamados monomios.
Un monomio es el producto de un coeficiente, una variable elevada a un exponente (entero positivo).
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
GENERALIDADES
Polinomios
Ejemplos:
Monomio: 5x2
Binomio: 9x7-6
Trinomio: 6y5-7y3-8
f(x) = a0+a1x+a2x2+…+anx
n (ai є Z)
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
GENERALIDADES
Cálculo de raíces de ecuaciones
El objeto del cálculo de las raíces de una ecuación es determinar los valores de x para los que se cumple:
f(x) = 0
La importancia radica en que si podemos determinar las raíces de una ecuación también podemos determinar:
• Máximos y Mínimos
• Valores propios de matrices
• Res. sistemas de ecuaciones lineales y diferenciales.
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
GENERALIDADES
Reglas para determinar raíces de ecuaciones
Regla de los signos (Renato Descartes)
”El número de raíces ‘positivas’ en un polinomio f(x), es igual al número de cambios de signos término a término de f(x)”
f(x) = x2+x-12 ; Tiene una raíz positiva
g(x) = x3-4x2+x+6 ; Tiene dos raíces positivas
h(x) = x4+4x2+3x ; No tiene raíces positivas
Valores de posibles raíces: Encontrar un conjunto de valores que son candidatos a ser raíces de la ecuación f(x). Esto es si trabajamos con polinomios de la siguiente forma:
f(x)= xn + an-1xn-1 + an-2x
n-2 + an-3xn-3+...+a3x3 + a2x
2 + a1x1 + a0
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
GENERALIDADES
Reglas para determinar raíces de ecuaciones
El conjunto de posibles raíces de f(x) se forma con los divisores de a0 (término independiente), hay que considerar estos divisores tanto con signo positivo como con negativo.
GENERALIDADES
Reglas para determinar raíces de ecuaciones
Función Divisores Raíces
x2 + x-121,2,3,4,6,12
-1,-2,-3,-4,-6,-12-4 y 3
x3-2x2-5x+61,2,3,6
-1,-2,-3,-6-1,2 y 3
x4-5x2+41,2,4
-1,-2,-4-1,-2,1 y 2
Nota: Éste método es poco potente por lo que solo nos sirve como una orientación para el cálculo de raíces de ecuaciones.
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
BIOGRAFÍA
Johan Frederik Steffensen (1873–1961)
Nacido en abril de 1873 en Copenhague (Dinamarca).
Desde muy temprano (12 años) se introdujo en el campo de las matemáticas, haciendo investigaciones sobre el cálculo numérico.
Especialista en matemáticas y estadística. Realizó investigaciones al cálculo de diferencias finitas e interpolación.
Los diferentes estudios e investigaciones realizados, lo llevaron a descubrir un algorítmo que permite calcular las raíces en ecuaciones no lineales.
Falleció en septiembre de 1961.
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
BIOGRAFÍA
Johan Frederik Steffensen (1873–1961)
Método numérico que nos permite calcular la raíz de una ecuación.
A diferencia del método de la secante, presenta una convergencia rápida hacia la raíz.
El proceso de iteración solo necesita un punto inicial (p0).
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO
Definición/Ventajas
- Dada la función:
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO
Proceso de resolución
- Creamos otra función despejando la variable de mayor grado, así tenemos:
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO
Proceso de resolución
- Considerando el punto inicial P0 , encontramos el
valor de Xi entonces tenemos:
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO
Proceso de resolución
- Recordando..
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
INTRODUCCIÓN AL MÉTODO
Proceso de resolución
- Finalmente, teniendo los puntos: Xi , Yi , Zi.
Reemplazamos en la fórmula general de Steffensen:
Dada la función: f(x) = x3-x-1 y el punto inicial x0=1. Calcular la raíz de la ecuación con un error absoluto de 0,005.
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
ALGUNOS EJEMPLOS
Demostración:
1º Paso: Se debe calcular G(x). Para obtener G(x) se tiene que despejar de F(x) la variable de mayor exponente, en el presente caso seria x3.
-Igualando la ecuación a 0 (cero):
x3 – x - 1 = 0
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
ALGUNOS EJEMPLOS
Demostración:
- Despejando x3 tenemos:
3 1 ( )x x G x 2º Paso: Dado el punto inicial: x0=1, calculamos Y0
reemplazando en G(x) en valor de xi.
0
30
0
(1)
( 1)
1,25992105
y G
y x
y
ALGUNOS EJEMPLOS
Demostración:
3º Paso: Con y0 calculamos z0, reemplazando el valor de y0 en G(x)
0 0
0
( )
1,312293837
z G y
z
4º Paso: Calculamos x(i+1) con la fórmula:
2
12
i i
i i
i i i
z yx z
z y x
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
ALGUNOS EJEMPLOS
Demostración:
5º Paso: Calculamos el error relativo porcentual con la fórmula correspondiente:
*100
actual anterior
a
actual
V VE
V
Repetimos desde el 2º paso las iteraciones que sean necesarias para satisfacer la condición de error que nos dan. Así tenemos:
ALGUNOS EJEMPLOS
Demostración:
I Xi Yi Zi X(i+1) E%
0 1 1.2599215 1.312293837 1.308832542 -----
1 1.308832542 1.321693675 1.324143255 1.324134441 1.16%
2 1.324134441 1.324607111 1.324696902 1.32469689 0.04%
Cumple el error relativo porcentual
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
PRESENTACIÓN DEL SOFTWARE
Diagrama de flujo
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
..para el cálculo de raíces de ecuaciones.
Método Steffensen
¡ Gracias por su
atención !
By Bangui