Download - Desarrollo Taller3.V1
-
7/26/2019 Desarrollo Taller3.V1
1/4
Taller 3 - soluciones
MAT-021
Departamento de Matematica
Universidad Tecnica Federico Santa Mara
8 de abril de 2016
1. La suma de los 2n primeros terminos de una P.G., cuyo primer termino es a y cuya razon es R, esigual a la suma de los n primeros terminos de otra P.G. cuyo primer termino es b y cuya razon es R2.Demuestre que b es igual a la suma de los dos primeros terminos de la primera P.G.
SolucionSean
a,aR,aR2, ...,aR2n1
la progresion de primer termino a y razon R y
b,bR2, bR4, ...bRn1
la segunda progesion de primer termino b y razon R2
.La suma de los 2nprimeros terminos es S2n= a
(1 R2n)1 R de la primera progresion.
La suma de los n primeros terminos es Sn= b(1 R2n)
1 R2 de la segunda progresion.
ComoS2n= Sn tenemos que a(1 R2n)
1 R =b(1 R2n)
1 R2Por lo tanto se tiene que b = a
(1 R2n)(1 R)(1 +R)(1 R)(1 R2n) =a(1 +R) = a+aR
2. Paraa, c R+, considere la funcion f(x) = ax2 + 4ax+c. Verifique que f : R R no es biyectiva.Determine los conjuntos A y B maximos, de manera que f :A R B R sea biyectiva y encuentresu inversa.
Solucion
La funcion no es inyectiva ya que si suponemos para u, v R que f(v) = f(u),tenemos que a(u v)(u + v + 4) = 0, lo que quiere decir que dadosu, v Rque satisfacen u + v + 4 = 0,obtendramos que f(v) = f(u).
Usando esta misma condicion y que u = v, podemos concluir que considerando A1 =] , 2] obien, A2 = [2, [, la funcion es inyectiva.
Por otra parte, Rec(f)neqRentonces nos es sobreyectiva.
Calculamos el recorrido de la funcion, buscando y R tal que f(x) = y
y= ax2 + 4ax+c (x+ 2)2 = y c+ 4aa
Luegoy c+ 4a 0 lo que implica que Rec(f)=[c 4a, +[
-
7/26/2019 Desarrollo Taller3.V1
2/4
Finalmente, paraA= [2, [ y B = [c4a, +[ tenemos quef : [2, [ [c4a, +[ es biyectiva
y su inversa, es la funcion:f1 : [c 4a, +[ [2, [
definida porf1(x) =
y c+ 4a
a 2
3. En el desarrollo de (a
a+a4)n, el coeficiente del tercer termino es mayor que el coeficiente del segundoen 44 unidades. Hallar el termino independiente de a en este desarrollo.Solucion
(a
a+a4)n =n
k=0
n
k
a3n/211k/2
El tercer termino se obtiene con k = 2 y su coeficiente esn2
El segundo termino se obtiene con k = 1 y su coeficiente es
n1
Ademas estos coeficientes cuamplen que
n2
n1
= 44 de donde se obtiene que n = 11.
Por lo tanto, si n = 11 el binomio es
(a
a+a4)11 =
11
k=0
11
k
a33/211k/2
El termino independiente de aen este desarrollo se obtiene cuando k = 3
El termino es11
3
= 165
4. Considere las funciones
f(x) =
x2 + 2 , si x 0
x+ 2 , si x >0 ; g (x) =
2x+ 5 , si x >3
x2 , si x 3
a) Determine los conjuntos A, B, C y D de manera que las funciones f : A R B R yg: C R D R sean biyectivas y encuentre la inversa de cada una.
Solcuion
Para la funcion f podemos ver que el recorrido de f para x 0 es igual al recorrido de f six >0.Por lo tanto, podemos considerarA1 =] , 0] o bien A2 =]0, +[ para que fsea inyectiva.Luego, si A1 =] , 0] y B = [2, +[, la funcion
f1 :] , 0] [2, +[
dada por f1(x) = x2 + 2 es biyectiva y su inversa es la funcion
f11 : [2, +[] , 0]
dada por f11 (x) =
y
2
-
7/26/2019 Desarrollo Taller3.V1
3/4
Por otra parte, si consideramos A2 =]0, +[ la restriccion de la funcion fque denotamos por f2es
f2 :]0, +[ [2, +[dada por f2(x) = x+ 2 es biyectiva y su respectiva inversa es
f12 : [2, +[]0, +[
dada por f12 (x) = x 2
Para la funcion g, vemos que para x 3 el recorrido es R+0 y para x > 3 el recorrido es elintervalo ]11, +
[ por lo tanto existenv, u
R, con v
=u tales que g(u) = g(v) por lo tanto no es
inyectiva.Una restriccion inmediata de esta funcion es considerar C1 =] , 0] o bien C2 = [0, [ y lasrespectivas funciones son
g1 :] , 0] [0, +[dada por g1(x) = x
2 es biyectiva y su inversa es
g11 : [0, +[] , 0]
dada por g11 (x) =
x
Y considerandog2 :] , 0] [0, 9]]11, [
dada por
g2(x) =
2x+ 5 , si x >3
x2 , si 0 x 3Es biyectiva y su inversa es
g12 : [0, 9]]11, [] , 0]dada por
g12 (x) =
x5
2 , si x >11
x , si 0 x 9b) Encuentre las funcionesf g y g fcon sus respectivos dominios y recorrido
Solucion
(f g)(x) =
(2x+ 5)2 + 2 , si 2x+ 5 0 x >32x+ 5 + 2 , si 2x+ 5 > 0 x >3
x2 + 2 , si x20 x 3x4 + 2 , si x2 0 x 3
(f g)(x) =
2x+ 7 , si x >3x2 + 2 , si 0< x 3x4 + 2 , si x= 0
-
7/26/2019 Desarrollo Taller3.V1
4/4
(g f)(x) =
2(x2 + 2) + 5 , si x2 + 2> 3 x 0(x2 + 2)2 , si x2 + 2 3 x 0
2(x+ 2) + 5 , si x+ 2 >3 x >0(x+ 2)2 , si x+ 2 3 x >0
(g f)(x) =
2x4 + 8x2 + 13 , si x < 1(x2 + 2)2 , si 1 x 0
2x+ 9 , si x >1(x+ 2)2 , si 0< x