Desarrollo e Implementacion de Algoritmos de
Control para Turbinas de Gas Combustible
Br. Gamboa Arguello Genderson Enrique
Profesor Guıa: Prof. Addison Rıos Bolıvar
Proyecto de Grado presentado ante la ilustre Universidad de Los Andes
como requisito final para optar al Tıtulo de Ingeniero de Sistemas
Merida, Venezuela
Mayo 2007
Universidad de Los Andes c© Derechos Reservados 2007
CALIFICACION DE
PROYECTO DE GRADO
Los suscritos, Miembros del Jurado designado para evaluar el Proyecto
de Grado titulado “Desarrollo e Implementacion de Algoritmos
de Control para Turbinas de Gas Combustible” realizado por
Br. Gamboa Arguello Genderson Enrique, C.I. N◦ 13.356.847, presentado
como requisito parcial para la obtencion del grado de Ingeniero de Sistemas, han
resuelto, de acuerdo a lo pautado en el Artıculo 13 del Reglamento de Proyecto de
Grado, colocar la calificacion de
CALIFICACION:
Fecha: Mayo 2007
OBSERVACIONES:
Profesor Guıa:Prof. Addison Rıos Bolıvar
Jurado:Prof. Claudia S. Gomez Quintero
Prof. Juan Cardillo Albarran
Dedicado a Carmen Arguello de Gamboa,
Adelso Gamboa y todas aquellas personas
que hicieron posible el terminar este
largo camino
Indice
Indice de Figuras viii
Agradecimientos xii
Resumen xiii
Introduccion xv
1 Un Modelo de Turbina a Gas Combustible 1
1.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Definicion de Turbina a Gas Combustible . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2.1 Antecedentes historicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2.2 Componentes Principales de una Turbina a Gas . . . . . . . . . 4
1.2.3 Funcionamiento de una Turbina a Gas Combustible . . . . . . . 4
1.2.4 Campos de Aplicacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
1.3.1 Apreciacion General del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
1.3.2 Diagramas de bloque en MatlabTM − Simulink . . . . . . . . . 6
1.3.3 Turbina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3.4 Variables del Modelo y Unidades . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
1.3.5 Ecuaciones Matematicas del Modelo . . . . . . . . . . . . . . . 14
2 Enfoques de Control Aplicados al Problema 20
2.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.2 Definicion de un Sistema de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
iv
2.2.1 Conceptos de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.2.2 Clasificacion de sistema de control . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3 Fases para el Diseno de Sistemas de Control . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.1 Modelado fısico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.2 Identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.3.3 Diseno de controladores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.4 Sintonizacion y Validacion del diseno . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.5 Implantacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.3.6 Pruebas y Depuracion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4 Criterios para el Analisis de Desempeno de un Sistema . . . . . . . . . 28
2.4.1 Respuesta transitoria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
2.4.2 Respuesta Estacionaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5 Enfoque de Espacio Estado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.1 Construccion del Vector de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.5.2 Observador de Estados . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.3 Diseno de Sistemas por Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . 35
2.5.4 Diseno de Control Optimo Cuadratico . . . . . . . . . . . . . . 38
2.6 Enfoque en el Dominio de Frecuencia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.1 Estabilidad Relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.2 Sensibilidad de los Parametros . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.6.3 Rechazo de Perturbaciones . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7 Tecnicas Clasicas de Control . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.1 Controlador por Adelanto de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
2.7.2 Controlador por Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
2.7.3 Controlador PD (Proporcional Derivativo) . . . . . . . . . . . . 48
2.7.4 Controlador PI (Proporcional Integral) . . . . . . . . . . . . . . 50
2.7.5 Diseno del controlador PID . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
2.8 Esquema Anti-Rebote (Anti-Windup) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
2.8.1 Metodologıa General para el Diseno del esquema Antirebote
(Anti-windup) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3 Identificacion de un Modelo de Turbina a Gas Combustible 56
3.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.2 Identificacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2.1 Obtencion del Modelo Parametrico . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.2.2 Validacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
4 Diseno y Analisis de Resultados de las Estrategias de Control
Aplicadas 65
4.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4.2 Diseno de un Observador de Orden Completo . . . . . . . . . . . . . . 66
4.3 Diseno de Control por Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.4 Diseno del Control Optimo Cuadratico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.5 Diseno de Controladores Clasicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
4.5.1 Diseno de Controlador por Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . 77
4.5.2 Diseno de un Controlador Proporcional Integral (PI) . . . . . . 81
4.5.3 Diseno de Controlador Proporcional Integral (PID) . . . . . . . 84
4.6 Diseno de Esquema Anti-Rebote (Anti-Windup) . . . . . . . . . . . . . 89
4.7 Analisis y Comparacion entre los Enfoques previamente mencionados . 93
5 Implantacion de Algoritmos de Control Bajo PLC. 97
5.1 Introduccion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5.2 Transmision a traves de MatlabTM usando comunicacion serial RS-232
y/o TCP/IP. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
5.2.1 Xpc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.2 Conexion de la Red para un Xpc . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2.3 Propiedades del Ambiente Xpc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
5.3 Plataformas Logix 5000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.3.1 Caracterısticas de la Plataforma Logix 5000 . . . . . . . . . . . 102
5.3.2 Lenguajes de Programacion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
5.4 Implatacion Digital de Algoritmos de Control . . . . . . . . . . . . . . 104
6 Conclusiones y Recomendaciones 106
Bibliografıa 108
A Codigos y Pantallas Usadas en el Editor de MatlabTM 110
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU . . . . . . . . 110
A.2 Codigo para generar las graficas de las diversas variables que maneja el
modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU . . . . . . . . . . . . 126
A.3 Codigo para generar el informe de los puntos de operacion de las diversas
variables que maneja el modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 131
A.4 Codigo para la validacion mediante el error del modelo identificado de
la Turbina de Gas Combustible HTDU . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.5 Turbina HTDU Control por Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.6 Turbina HTDU Control Optimo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.7 Turbina HTDU Control por Atraso de Fase . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.8 Turbina HTDU Control Proporcional Integral (PI) . . . . . . . . . . . 141
A.9 Turbina HTDU Control Proporcional Integral Derivativo (PID) . . . . 141
Indice de Figuras
1.1 Modelo de una turbina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Modelo en Simulink de una turbina, (proporcionado por el Dr. Silvio
Simani) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
1.3 Modelo en Simulink del Sub-sistema Turbina HTDU . . . . . . . . . . 11
1.4 Esquema del Modelo de la Turbina HTDU . . . . . . . . . . . . . . . . 13
1.5 Esquema del Modelo en Simulink HTDU . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1 Curva de respuesta de sistema de orden 2, ante una entrada escalon
unitario . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.2 Diagrama de bloques del esquema de control realimentado con un
observador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.3 (a) Graficas de las curvas e(t) y u(t) que muestran una senal de control
diferente de cero cuando la senal de error es cero(control integral); (b)
graficas de las curvas e(t) y u(t) que muestran una senal de control de
cero cuando la senal de error es cero (control proporcional). . . . . . . . 35
2.4 Sistema de seguimiento de tipo 1 con un observador de estado . . . . . 38
2.5 (a) Aporte de fase positiva: Adelanto de fase. (b) Aporte de fase
negativa: Atraso de fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.6 Esquema de control Anti-windup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.1 Un modelo de turbina HTDU en laso abierto sin compensar . . . . . . 57
3.2 Senales entrada/salida del modelo sin compensar . . . . . . . . . . . . 58
3.3 Herramienta System Identification Toolbox de MatlabTM utilizada . . . 59
3.4 Metodos Parametricos usando el System Identification Toolbox MatlabTM 61
viii
3.5 Resultados de los Metodos Parametricos del System Identification
Toolbox MatlabTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6 Error Absoluto entre el modelo real y el identificado . . . . . . . . . . . 63
3.7 Error Porcentual entre el modelo real y el identificado . . . . . . . . . . 64
4.1 Diagrama analogico del espacio estado identificado en MatlabTM −Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
4.2 Diagrama analogico del observador de orden completo en MatlabTM −Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
4.3 Digrama del sistema de seguimiento en MatlabTM − Simulink . . . . . 71
4.4 Entrada/Salida del sistema compensado (control por seguimiento),
referencia: 1466,1 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.5 Entrada/Salida del sistema compensado (control por seguimiento),
referencia: 1660,5 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.6 Entrada/Salida del sistema compensado (control por seguimiento),
referencia: 1780,2 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73
4.7 Entrada/Salida del sistema compensado (control por optimo),
referencia: 1466,1 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
4.8 Entrada/Salida del sistema compensado (control por optimo),
referencia: 1660,9 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.9 Entrada/Salida del sistema compensado (control por optimo),
referencia: 1780,2 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
4.10 Diagrama de Bode: a la izquierda la planta sin compensar mientras que
a la derecha esta compensada con Kc1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
4.11 Entrada/Salida del sistema compensado (control por atraso de fase),
referencia: 1047,2 [rad/g] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.12 Entrada/Salida del sistema compensado (control por atraso de fase),
referencia: 1256,6 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80
4.13 Entrada/Salida del sistema compensado (control por atraso de fase),
referencia: 1455,6 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
4.14 Diagrama de bode de la planta sin compensar . . . . . . . . . . . . . . 82
4.15 Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral
(PI)), referencia: 1466,1 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.16 Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral
(PI)), referencia: 1660,5 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
4.17 Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral
(PI)), referencia: 1780,2 [rad/seg] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.18 Diagrama de Bode: a la izquierda, la planta sin compensar; a la derecha,
esta la planta compensada con Kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.19 Diagrama de Bode compensado con Kp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.20 Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral
derivativo(PID)), referencia: 1466,1 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.21 Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral
derivativo(PID)), referencia: 1660,5 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.22 Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral
derivativo(PID)), referencia: 1780,2 [rad/s] . . . . . . . . . . . . . . . . 88
4.23 Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador sin antirebote) y
la plata sin compensador . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.24 Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion
[0.1,-0.1] sin Kcr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.25 Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion
[0.2,-0.2] sin Kcr) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.26 Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion
[0.1,-0.1] con Kcr=2000) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.27 Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion
[0.1855,-0.1855] con Kcr=8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
4.28 Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion
[0.19,-0.19] con Kcr=8) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.29 Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia
= 1413,7 rads
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
4.30 Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia
= 1445,1 rads
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.31 Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia
= 1660,9 rads
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94
4.32 Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia
= 1780,2 rads
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.33 Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia
= 1885 rads
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
5.1 Xpc TargetBoxTM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
5.2 Conexion entre PC, a traves de comunicion serial RS232 y TCPIP . . . 100
5.3 Ventana con propiedades de configuracion . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.4 Control Logix 5555 de Allen-Bradley . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.5 Conexion con el Control Logix . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
A.1 Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control por
Seguimiento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
A.2 Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control Optimo 140
A.3 Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control Atraso
de Fase . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140
A.4 Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control
Proporcional Integral (PI) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
A.5 Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control
Proporcional Integral Derivativo (PID) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
Agradecimientos
A Dios Todopoderoso.
A la Ilustre Universidad de los Andes, por abrir sus puertas y ofrecerme la
oportunidad para mi formacion profesional y el financiamiento economico a traves del
CDCHT con el proyecto No I-1001-06-02-f.
Al Profesor Addison Rıos y la Profesora Claudia Gomez, por su incondicional
apoyo y guıa que hicieron posible la culminacion de este Proyecto.
A mi hermano Frank Gamboa y el Sr. Jesus Omar Leon por su continua ayuda
desde el inicio hasta el final de la carrera.
A la Sra. Juana Hernandez de Di’nucci que en vida me recibio como un Hijo,
deseo expresarle mi gratitud y enorme aprecio.
A mi familia y todas aquellas personas que de alguna manera brindaron su
colaboracion y ayudaron a hacer realidad esta meta.
xii
Resumen
Los sistemas de control se encuentran en la mayorıa de los sectores industriales,
tales como control de la calidad de los productos manufacturados, lıneas de ensamble
automatico, control de maquinas-herramientas, robotica y muchos otros.
El proposito del control automatico, a traves de sus metodos, consiste en
mantener en un determinado valor de operacion las variables del proceso, tales como:
temperaturas, presiones, flujos y velocidad. Los procesos son de naturaleza dinamica
y no lineales, en ellos siempre ocurren cambios y si no emprenden las acciones
pertinentes, las variables importantes del proceso, no cumpliran con las condiciones
de diseno, basadas en un estudio completo.
El estudio para el desarrollo de un modelo de control esta fundamentado en
esquemas existentes, para la construccion de controladores. La finalidad de estas
tecnicas es ser implementada en un sistema de turbinas a gas combustible, con el
proposito de alcanzar los objetivos especıficos del proyecto.
Para ello se disena una ley de control convencional de acuerdo a las
especificaciones de funcionamiento propuestas y las restricciones de los actuadores
presentes en el proceso. Su ejecucion es programada a traves de la herramienta
matematica Simulink−MatlabTM destinado a generar el codigo en texto estructurado
correspondiente a los enfoques de control.
Finalizando se explicara como podrıan ser implantados los controladores en el
Computador Logico Programable (PLC) bajo la Plataforma-Logix, cuyos elementos
xiii
y variables pueden ser modificados automaticamente a traves de un sistema de
supervision basado en esta tecnologıa.
Descriptores: Turbina a gas combustible, Enfoques de Control, Plataformas
Tecnologicas, optimizacion, modelos matematicos.
Cota: no tiene
Introduccion
Los enfoques de control, han experimentado diversos cambios a lo largo de la historia.
Desde tiempos antiguos el hombre ha necesitado crear mecanismos que le permitan
resolver problemas especıficos. En la actualidad se han desarrollado numerosas tecnicas
y principios a traves de los cuales se logra un desempeno optimo de determinados
procesos.
La principal inquietud del ser humano ha sido el diseno de sistemas capaces
de realizar sus tareas, de forma independiente, bajo un ambiente seguro, inclusive en
condiciones no aptas para el desenvolvimiento humano, donde la vida de las personas
no corra ningun tipo de riesgo, razon por la cual se deben implementar dichos metodos
en los procesos industriales.
En este proyecto, el proceso industrial de estudio tiene que ver con las turbinas
a gas combustible cuyo funcionamiento consiste en un motor de flujo continuo que se
caracteriza por presentar una baja relacion de peso-potencia y velocidad de giro muy
elevada. Los orıgenes de las turbinas a gas combustible se remontan a mucho antes
de que el desarrollo tecnologico, tanto de materiales como de procesos industriales,
permitiera su correcta implantacion.
Las turbinas de gas orientadas a la propulsion a reaccion se usan en la gran
mayorıa de aviones comerciales y militares, mientras las turbinas de gas orientadas
a la generacion de trabajo en un eje se usan tambien en buques, trenes, autobuses,
camiones y vehıculos, pero la funcion prioritaria es la produccion de energıa electrica.
xv
En general, los elementos basicos de una turbina estan conformados por:
compresor, camara de combustion, turbina de potencia y carga. La variable a ser
controlada es la velocidad de la turbina, manejada en unidades de radianes por
segundo o revoluciones por minuto; la variable manipulada es el flujo de combustible
y finalmente las variables restantes son las medidas.
Desde el punto de vista del diseno de sistemas de control para procesos
industriales, es necesario recurrir a enfoques, los cuales, mediante pruebas y
comparaciones, permiten alcanzar funcionamientos optimos. En particular se busca
una solucion de facil manejo y flexible a modificaciones.
Para implementar estos enfoques en la actualidad existe una variedad de
tecnologıas disponibles. Como es el caso de la Rockwell Automation que mediante un
PLC, disponible en el laboratorio de control de la Facultad de Ingenierıa, Escuela-
Sistemas, que permite la implantacion automatizada de leyes de control.
En este sentido, se debe alcanzar un objetivo principal como es la identificacion,
evaluacion, analisis e implementacion de polıticas de control para un modelo de
turbina prototipo High Temperature Demonstration Unit (HTDU) a gas combustible.
Especıficamente se pretende la Identificacion de las tecnologıas y metodologıas de
desarrollo disponibles para el control de turbinas a gas combustible que permitan
comparaciones con cualquier aplicacion de control existente en la industria y explicar
como pudiese ser la implantacion de dichos enfoques, en un PLC.
De esta manera aprovechar las potencialidades matematicas para la construccion
de algoritmos de control y de esta forma contribuir con una generacion de mecanismos
para la regulacion de turbinas a gas combustible bajo plataformas de automatizacion.
Capıtulo 1
Un Modelo de Turbina a Gas
Combustible
Este capıtulo concierne la teorıa de las turbinas de gas combustible, explicando todo
lo relacionado con la misma, desde ¿que es una turbina? hasta su funcionamiento,
descripcion, y campos de aplicacion. Tambien se explica en plenitud el modelo en
MatlabTM − Simulink de la turbina prototipo High Temperature Demonstration Unit
(HTDU) utilizado durante este estudio.
1.1 Introduccion
Las turbinas a gas, son las mas recientes. Si bien hubo intentos de fabricarlas desde
inicios del siglo pasado, el primer ensayo exitoso data de 1937. Los mismos difieren
de otras en el sentido de que la combustion se realiza dentro de la maquinas y, por lo
tanto, el fluido de trabajo son gases de combustion (de allı su nombre).
En los proximos parrafos se explora algunos aspectos fundamentales acerca de
la Turbina a Gas y su modelo matematico en MatlabTM − Simulink. Estos son:
• Definicion de la Turbina a Gas: descripcion general sobre la produccion de
1.2 Definicion de Turbina a Gas Combustible 2
gases para generar la energıa mecanica para luego transformarla en electrica.
• Aspectos historicos: algunos detalles sobre la evolucion historica de la turbina
a gas. Implementacion en la aviacion y para la produccion de la energıa electrica.
• Componentes principales: Compresor, turbinas y sistema de combustion.
• Funcionamiento de la Turbina a Gas: ciclo empleado y como se realiza el
ciclo de operacion.
• Campos de aplicacion: Usos orientados a la generacion de trabajo.
1.2 Definicion de Turbina a Gas Combustible
Una turbina a gas combustible es un motor rotativo de flujo continuo que se caracteriza
por presentar una baja relacion de peso potencia y velocidad de giro muy elevada.
La elevada velocidad de giro, que en funcion del tamano puede llegar a alcanzar
una velocidad de 40000 revoluciones por minuto, orienta su uso a una unidad de
generacion elevada de entalpıa que puede utilizarse para propulsion a reaccion o puede
ser encargada de accionar una turbina de potencia acoplada a un eje, en la que puede
acoplarse cualquier tipo de carga (Prado y Lemus 1987).
La turbina de gas esta conformada por dos elementos principales:
• El generador de gases.
• La unidad generadora de potencia.
El generador de gases esta formado a su vez por uno o varios compresores, la camara
de combustion, donde se mezclara el combustible con el aire y donde tendra lugar la
combustion y finalmente la o las turbinas de expansion de gases, que en este caso solo
obtendran la potencia necesaria para mover los compresores.
1.2 Definicion de Turbina a Gas Combustible 3
La unidad generadora de potencia es donde se obtendra la potencia util de la
maquina y dependiendo de la aplicacion sera otra turbina de expansion de gases o
bien una tobera de propulsion.
Figura 1.1: Modelo de una turbina
1.2.1 Antecedentes historicos
Los orıgenes de las turbinas a gas combustible se remontan a muchos antes del
desarrollo tecnologico. Las limitaciones esenciales provienen de las altas temperaturas
de trabajo de los materiales, el correcto equilibrio y la articulacion del rotor, por el
elevado regimen de giro del mismo (Ediciones UPC 2007).
La primera patente de una turbina de gas se obtiene en 1871 por John Barber,
pero no es hasta 1900 que se construye la primera turbina a gas que funciono realmente
y que fue disenada en Francia por Stolze, aunque los resultados obtenidos fueron
decepcionantes. El aporte de diversos cientıficos como Frank Whittle, permitio que en
1939 se construyese el primer avion del mundo propulsado por una turbina de gas, el
avion aleman He 178, ano en el que tambien se implemento la primera turbina a gas
para la produccion de energıa electrica.
1.2 Definicion de Turbina a Gas Combustible 4
1.2.2 Componentes Principales de una Turbina a Gas
Los principales accesorios de la turbina a gas son los componentes del rotor, formados
por el compresor de flujo axial y las ruedas de turbina, y los componentes estacionarios,
formados por la carcasa de la turbina y el combustor (Prado y Lemus 1987).
1. Compresor: Su funcion es la de proveer aire de alta presion a las camaras de
combustion para producir gases calientes, necesarios para hacer girar la turbina.
Tambien suministra aire de enfriamiento para las toberas, las ruedas de la
turbinas, las piezas de transmision y otras porciones de espacio recorrido por
los gases calientes.
2. Turbina: los alabes de turbina convierten la energıa cinetica de los gases de escape
en energıa mecanica y rotacional util, la cual produce la fuerza necesaria para
accionar el compresor de flujo axial y cumplir con los requisitos de carga.
3. Sistema de combustion: Provee energıa mediante el calor necesario para el ciclo
de turbina. Esto se logra quemando combustible en el flujo de aire del compresor
y diluyendo los productos de combustion con el aire excedente para lograr la
temperatura deseada.
1.2.3 Funcionamiento de una Turbina a Gas Combustible
El principio de funcionamiento de una turbina a gas combustible consiste en un
compresor dinamico que suministra aire a una camara de combustion en donde
se quema combustible, con exceso de aire, a presion constante. A este proceso lo
llamamos ciclo simple, solo significa que los productos de la combustion se mezclan
con un exceso de aire para producir gas con energıa a una temperatura lo bastante
baja para el tipo de materiales usados.
El gas energizado se expande en una turbina que impulsa el compresor de aire y
produce potencia adicional como salida mecanica. Como ultimo paso, los productos
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 5
de la combustion se descargan en la atmosfera.
Una turbina de gas, en general, no funciona a plena potencia, por lo que la
variacion del rendimiento es un factor de gran importancia economica; para adaptar
una turbina de gas a una potencia dada se puede actuar sobre la temperatura de
admision de los gases en la turbina φ, o sobre el numero de r.p.m. del compresor n, lo
que implica una modificacion del gasto G y de la relacion α de compresion, que solo
es posible cuando el receptor pueda admitir variaciones de velocidad de gran amplitud
(Prado y Lemus 1987).
El punto de funcionamiento viene definido por la interseccion de las curvas
caracterısticas de cada maquina.
1.2.4 Campos de Aplicacion
Las turbinas de gas orientadas a la propulsion a reaccion se implementan en la gran
mayorıa de aviones comerciales y militares, mientras que las turbinas de gas orientadas
a la generacion de trabajo en un eje tambien se han utilizado en buques, trenes,
autobuses, camiones y vehıculos, pero la funcion prioritaria es la produccion de energıa
electrica, para cubrir las demandas de la dicha fuente energetica.
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU
Este es un modelo desarrollado por Alstrom Corporation el cual fue extraıdo de una
turbina prototipo HTDU, con todos los procesos internos modelados, mediante el uso
de tecnologıa de punta describiendo a plenitud su funcionamiento (Silvio Simani y
Cesare Fantuzzi b. 2006).
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 6
1.3.1 Apreciacion General del Modelo
El flujo de aire entra por el conducto hacia el compresor, este es sometido a grandes
presiones de aire, donde el compresor lo calienta y envıa hacia la camaras de
combustion y estas se propagan por la turbina de fase del compresor, donde una
valvula tipo Mariposa proporciona un medio de generar una presion posterior en la
turbina del compresor (no hay potencia presente en el modelo de la turbina).
El aire refrigerante manado por el paso de la valvula del compresor enfrıa
el estator y el rotor de la turbina. Bajo condiciones de estado estable, la potencia
generada por la turbina del compresor esta en equilibrio, de manera que el compresor
la asimila, junto a sus perdidas. Los elementos recesivos representan perdidas de
presion en los componentes, los elementos acumuladores representan volumenes en los
componentes.
1.3.2 Diagramas de bloque en MatlabTM − Simulink
Los componentes entre el conducto de la entrada y la valvula de paso de la turbina del
compresor, incluso las perdidas mecanicas, se representan por la etiqueta ’turbina de
HTDU ’.
El bloque de entrada se representa por la temperatura y presion ambiental
los cuales son ′t1′ y ′p1′, el flujo de combustible es ′ff ′ y la presion posterior de la
turbina es ′p7′. Las salidas de dicho bloque son el flujo de ventilacion refrigerante de
la turbina y la temperatura ′m10′ y ′t4′, el flujo de salida de la masa de la turbina y
temperatura ′m8′ y ′t7n′, y velocidad de la turbina ′Wt′. La valvula de paso de la
turbina representa el volumen del conducto y tiene por etiqueta ′c5′; los flujos ′m10′ y
′m8′ son elementos mixtos.
Siendo estas las entrada para el bloque ′c5′, las salidas de la turbina son ′m8′,
′m10′, ′t4′, ′t7n′ descritas anteriormente, junto con la presion del flujo de masa de la
valvula ′m9′. Los bloques sombreados mostrados en la parte superior izquierda inician
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 7
el modelo y procesan las diversas opciones tal como se muestra en la figura 1.2, un clic
del raton sobre el bloque apropiado ejecuta el archivo correspondiente en MatlabTM .
El bloque ′Init1′ inicializa los datos del modelo donde estan las variables que
conforman la dinamica de desempeno. Los parametros son la estructuracion de la
secuencia de la demanda de velocidad y el angulo de apertura de la valvula. El bloque
′Plot′ invoca rutinas que trazan la historia de tiempo de muchas de las variables de
los modelos (Silvio Simani y Ron J. Patton 2006).
Figura 1.2: Modelo en Simulink de una turbina, (proporcionado por el Dr. Silvio Simani)
1.3.3 Turbina
En esta seccion se describira cada componente, bloque y etiqueta que forma parte del
modelo que pueden apreciarce en la figura 1.3. Estos son:
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 8
1. Conducto de entrada: Las perdidas del conducto de entrada se representan
por el bloque de elemento recesivo ′R1′, y el volumen del conducto por el
elemento acumulador ′c1′.
2. Compresor: Se evalua el flujo de la masa y la validez isentropica como funcion
de presion de la entrada, la presion del paso de la valvula, temperatura de la
entrada y velocidad.
La temperatura de salida es calculada de la proporcion de presion, energıa,
temperatura de entrada. El torque del diagrama del compresor, calcula el flujo
de masa, escapes de temperatura, con media ′cp′ y el diagrama de velocidad.
3. Sistema de combustible: Todos los componentes desde la valvula de escape
del compresor hasta la entrada de la turbina son incluidos en este bloque.
4. Difusor: El bloque ′c2′ representa el volumen de gas del compresor, y promueve
el paso de la valvula del compresor. El bloques ′R2′ representa las perdidas del
difusor.
5. Camara de Combustion: Todas las combustiones se combinan y modelan
como un solo componente. El bloque ′c3′ representa el volumen asociado con los
casos externos de las camaras de la combustion.
El bloque ′R3′ representa las perdidas asociadas con el flujo de aire en las
camaras de la combustion. El bloque ’Combustion’ representa el proceso de la
combustion, para el cual ′t5c′ es la variable de salida de la temperatura, ′t5′ es
la entrada de la temperatura y dt el diferencial de temperatura. La variable dt
es el diferencial de temperatura. La salida de ’Combustion’ es la suma de los
flujos de las masa entrantes, el flujo de la masa de ventilacion es ′m5′ y flujo de
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 9
combustible es ′ff ′.
El bloque ′c4′ representa el volumen de gas de la camara de combustion y la ruta
del gas entre la camara de combustion y la entrada de la turbina.
6. Flujos de Aire Refrigerante que Escapan: El flujo de aire se desvıa de la
salida del compresor hacia el estator y el rotor para refrigerar la potencia de la
turbina. Los bloques ’Chk R10’ y ’Chk R6’ representan las trayectorias del flujo
del escape de ventilacion para la refrigeracion del compresor de la turbina.
El flujo a traves de estas trayectorias se considera bloqueado y una de las
funciones sobre la corriente son la temperatura y presion. Diversas trayectorias
en la ventilacion de enfriamiento son suministradas en el motor, estos se han
combinado y se han reducido a dos en el modelo.
La vıa de la trayectoria del bloque ’Chk R6’ se asume antes de la entrada de la
turbina y contribuye a la potencia del eje de la turbina. La vıa de la trayectoria
’Chk 10’ asume la entrada de la trayectoria de gas anterior de la turbina de
poder sin la contribucion del eje de potencia (Silvio Simani y Ron J. Patton 2006).
7. Compresor de la Turbina: El compresor de la turbina es modelado usando
las curvas genericas para calcular la eficacia de la turbina y el flujo de masa.
El rendimiento de la turbina es calculado de una serie de curvas parabolicas
modificadas que relacionan el rendimiento isentropico y la proporcion de
velocidad usando una curva de Hodge que permite calcular el flujo de masa
como una funcion proporcion a la presion (Silvio Simani y Ron J. Patton 2006).
Ambas curvas se encuentran a una escala para ajustar las condiciones del punto
de diseno. Las entradas al bloque son: la temperatura, presion, presion del paso
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 10
por la valvula, velocidad del eje. Las salidas del bloque son las siguientes: eje
del torque, potencia en el eje, rendimiento isentropico, temperatura de paso por
la valvula y flujo de masa.
8. Carga mecanica: Este bloque representa la relacion entre el torque de carga
y la velocidad de su eje rotacional. Es el esfuerzo de torsion de la carga y la
diferencia entre el compresor y el torque de la turbina, es la entrada al bloque
′c5′, y la velocidad del eje es la salida del bloque.
Dentro de las perdidas del bloque del torque, la velocidad proporcional asumida
se obtiene de la carga del torque dividida por la carga de inercia integrando
los resultados para proporcionar la velocidad del eje. Tambien es incluido
linealmente a la rampa la velocidad durante la parte inicial de la simulacion al
punto donde los modelos del componente son validos, de una manera similar al
juez de salida en el artefacto real.
Una caracterıstica que tambien se le incluye a la rampa es la velocidad lineal
durante la parte inicial de la simulacion, al punto donde los elementos de los
componentes del modelo esten validados, de manera similar al arranque en el
motor real.
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 11
Figura 1.3: Modelo en Simulink del Sub-sistema Turbina HTDU
9. Valvula presurizada: La valvula presurizada es de tipo Mariposa. El
segmento de obstaculo en la valvula estandar se une al paso de la valvula en la
turbina siguiendo la ruta del volumen del conducto, bloque ′c5′.
La valvula la constituye un orificio con dos estados, uno con paso obstruido y
otro de paso abierto. Este orificio se considera como una area eficiente siendo
funcion del angulo de la valvula y estando compensada con la presion.
Los bloques de entrada son: presion del caudal de subida, presion del caudal de
bajada (ambiente), temperatura del caudal de subida y angulo de apertura de
la valvula. La salida del bloque es el flujo de la valvula. El angulo de apertura
de la valvula es parte de una funcion escalon que puede ser programada para
introducir un escalon deseado para el angulo de la valvula durante el tiempo de
simulacion.
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 12
1.3.4 Variables del Modelo y Unidades
A continuacion se definen, en las siguientes tablas todas la variables pertenecientes al
modelo (Silvio Simani y Ron J. Patton 2006).
Variables Descripcion
Av Angulo de apertura
ff Flujo de combustible
t1 Temperatura del entorno
p1 Presion del entorno
Tabla 1.1: Definicion de las variables de entrada al modelo.
Variables Descripcion
m1 Flujo masico hacia ′c1’
m3 Flujo masico hacia la camara de combustion
m4 Flujo masico hacia ′c3′
m5 Flujo masico hacia el proceso de combustion
m6 Flujo masico hacia ′c4′
m8 Flujo masico hacia ′c4′
m9 Salida de flujo masico presurizado
p2 Presion de entrada al compresor
p3 Presion de salida del compresor
p4 Presion de entrada ′R3′
p5 Presion de salida hacia la camara de combustion
p7 Presion de retorno a la turbina
Tabla 1.2: Definicion de las variables medidas en el modelo Parte I.
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 13
Variables Descripcion
pt Presion de retorno a la turbina
qa Torque de la carga
qc Torque del compresor
qt Torque de la turbina
t3 Temperatura de salida del compresor
t4 Temperatura refrigeracion entrante en ′R3′
t5 Temperatura de salida del compresor
t6 Temperatura de salida del compresor
t7 Temperatura de entrada a la valvula presurizada
qc Torque del compresor
qt Torque de la turbina
Tabla 1.3: Definicion de las variables medidas en el modelo Parte II.
Esquema de variables segun las tablas 1.1, 1.2 y 1.3 que conforman el modelo
de la turbina de gas combustible.
Figura 1.4: Esquema del Modelo de la Turbina HTDU
en donde:
T1 = Condicion inicial fija de la temperatura del ambiente.
P1 = Condicion inicial fija de la presion del ambiente.
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 14
Av(t) = Presion de apertura de la valvula.
ff(t) = El flujo de combustible es la variable manipulada.
Wt(t) = La velocidad de la turbina es la variable a ser controlada.
Yi(t) = Variables medidas las cuales son descritas en las tablas 1.2 y 1.3.
Las variables del modelo en computadora, que estan en unidades SI, son las siguientes:
p - presion [ Nm2 ]
q - torque [N ·m]
m - flujo de masa [kgs]
ff - flujo de combustible [kgs]
t - temperatura [K]
Nt - velocidad de la turbina [rad/s]
av - angulo de apertura [deg]
pct - Potencia de la turbina [W ]
1.3.5 Ecuaciones Matematicas del Modelo
Las ecuaciones que se muestran a continuacion fueron extraıdas del modelo de la turbina
prototipo HTDU plasmadas en MatlabTM −Simulink. El siguiente esquema muestra
una apreciacion general del modelo.
Figura 1.5: Esquema del Modelo en Simulink HTDU
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 15
• Turbina HTDU : Este subsistema del modelo contiene la mayor parte de los
modulos que describen el desempeno de la turbina, cada modulo cumple una
labor diferente e importante para el proceso. A continuacion se mostraran las
ecuaciones de los modulos.
• Conducto(entrada, salida): La entrada y salida no tiene ecuaciones en el
modelo, al igual que la camara combustion, pero este modulo ocurre un proceso
en el cual la turbina de gas no sufre transformaciones termodinamicas, solo de
flujo de masa. Para realizar simulaciones dinamicas, su modelo es especialmente
importante porque el conducto es el lugar donde suceden fenomenos inerciales
debidos a la masa del fluido que contiene. Estos fenomenos son descritos en
termino de masa y momento por las ecuaciones (Silvio Simani 2002). En
particular, para la i-seccion del modulo, las siguientes son las ecuaciones que
lo describen:
k =cp
cv(1.1)
δpi
δt=
kRTi
V i(mi −m(i+1)) (1.2)
δmi
δt=
Ai
Li(p(i−1) − pi)−
λikRT(i−1)m2
AiDi(p(i−1) − pi)(1.3)
en donde:
A = area del conducto [m2].
L = longitud de conducto [m].
cp = calor especıfico a presion constante.
cv = calor especıfico a volumen constante.
k= constante de calor especıfico.
D = diametro hidraulico [m].
m = tasa de flujo masico [kg/s].
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 16
p = presion [ Nm2 ].
R = constante del gasto masico.
T= temperatura [K].
λ = coeficiente de friccion.
• Compresor: Las siguientes ecuaciones forman parte de esta porcion:
m3 = mp2√t1
(1.4)
t3 = (t2(p3
p2)nisc(α−1
α))(
1
Tcs + 1) (1.5)
qc =m3(t3− t2)
Ncp (1.6)
en donde:
m = flujo de masa [kg/s].
nisc = constante de eficiencia Isentropica del compresor.
cp = calor especıfico para una presion constante [cd].
Tcs= periodo en el compresor [s].
N= velocidad en el compresor [rad/s].
α= promedio gamma del calor especıfico.
Las variables restantes estan definidas en las tablas 1.1, 1.2 y 1.3
• Camara de Combustion: Este subsistema no contiene ecuaciones. En su
mayorıa usa tablas, procesos de interpolacion y extrapolacion de datos. El
Dr. Silvio Simani explica de manera general, lo siguiente en sus notas sobre la
procedencia matematica del proceso.
Combustor (Proceso de combustion interna): Cuando el modelo dinamico
del fluido incluye al combustor, las ecuaciones de balance de masa y momento
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 17
son integradas para calcular la presion y la tasa de fluido de masa de gas en la
salida del combustor para condiciones y geometrıas dadas.
La temperatura del gas Ti en la salida del combustor es calculada utilizando la
ecuacion de balance (1.7), bajo la hipotesis de que la combustion y salida de calor
son instantaneos ya que la inercia termica ha sido graduada respecto a la inercia
mecanica (Silvio Simani y Ron J. Patton 2002).
δρ
δt+
δv
δt= 0 (1.7)
ρδρ
δt+ ρv
δv
δt= −(
δp
δt) + F + ρg(
δz
δt) (1.8)
Ti ≈ Ti−1 +(LHV · ηcc)mf
mi · cp(1.9)
en donde:
ρ=coeficiente de la densidad.
v=velocidad [rad/s].
p=presion [ Nm2 ].
F=coeficiente de la fuerza de friccion.
g=gravedad [m/s2].
z=altura de la camara de combustion [m].
mf= flujo masico del combustible [kg/s].
LHV =Valor mınimo de calentamiento [cd]].
ηcc=eficiencia del combustor(camara de combustion).
Sub-Modulo Combustion: Este proceso forma parte del sistema de la
camara de combustion y representa el proceso de combustion de la turbina
cuya resultado es posible debido a la combinacion de combustible mas aire, las
siguientes ecuaciones forman parte del proceso.
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 18
mp5 = ff + m5 (1.10)
en donde:
mp5=Salida de flujo de masa [kg/s].
ff=flujo de combustible [kg/s].
m5=flujo de aire [kg/s].
• Turbina: Este modulo presenta las siguientes ecuaciones:
qt =(t6− t7n)cp ·m8
wt(1.11)
pt = (t6− t7n)cp ·m8 (1.12)
tisd = t6(1− (p7
p5)
(α−1)α ) (1.13)
en donde:
tisd = temperatura isentropica [K].
Las variables restantes estan definidas en las tablas 1.1, 1.2 y 1.3
• Modulo Carga: Este modulo presenta las siguiente ecuacion:
qa = (qt− qc)− qloss (1.14)
qloss = tss2TI (1.15)
1.3 Modelo de Turbina Prototipo HTDU 19
en donde: qloss=perdida en el torque [N ·m].
tss=tiempo de establecimiento en la turbina [s].
TI=2.018e-5 coeficiente de perdida en el torque [Nm]/[rad/s]2
Las variables restantes estan definidas en las tablas 1.1, 1.2 y 1.3
• Valvula Presurizada: Este modulo presenta las siguientes ecuaciones:
Rg =cp(α− 1)
α(1.16)
mg = (cdv · p7 · Ae√
t7)(
√(α(α− 1)
2Rg)((
p8
p7)2/α − (
p8
p7)(1+α)/α)) (1.17)
en donde:
Ae = Area eficiente [m2].
cdv = 0.97 constante de valvula [cd].
Rg = constante de gas para una tempatura [K].
mg = flujo de masa del gas [kg/s].
Capıtulo 2
Enfoques de Control Aplicados al
Problema
En este capıtulo se dan algunos conceptos de control y se explican las fases para el
diseno de los controladores que se han implantado en este estudio. Se trataran diversos
enfoques tales como: espacio estado, dominio en frecuencia, tecnicas clasicas de control,
sistemas de seguimiento, control optimo cuadratico y anti-rebote.
2.1 Introduccion
La necesidad del hombre de entender y aprender todo lo que sucede en su medio, a
traves de la observacion, lo ha conducido a la necesidad de manipular el mismo, con
la finalidad de resolver los problemas que implica vivir en el.
Estos ambientes estan bajo la influencia de leyes fısicas, quımicas, mecanicas
o de alguna otra ındole, que permiten al hombre concebir mejor y en una forma mas
sistematica su entorno. Todos estos medios podemos llamarlos sistemas y, por tanto,
a traves de las propiedades que lo rigen, extraer modelos que representen de forma
idonea sus comportamientos.
2.1 Introduccion 21
Estos modelos constituyen una representacion abstracta realizada en terminos
de lenguaje y simbologıa. Una vez logrado este objetivo, es posible estudiar un
sistema cualquiera, proporcionando las bases necesarias para tener una idea de como
influenciar (controlar) el comportamiento del sistema real (Hebert Sira-Ramırez y
Francklin Rivas-Echeverrıa 1997).
En ultimo termino, este es el interes practico del modelo en sı. En ocasiones
suele ser complejo, difıcil y engorroso obtener el modelo matematico, por tal razon
se debe utilizar una tecnica llamada identificacion que consiste en la toma de
datos entrada y salida del proceso para luego manipularlos mediante el uso de una
herramienta matematica. De esta manera, se puede obtener un modelo que permitira
conocer e interpretar que sucede con la respuesta, siendo de gran utilidad al momento
de optimizar el desempeno.
Una vez conocidos y estudiados los requerimientos del sistema, se indaga la
tecnica conveniente para hacer control y posteriormente llevar a cabo el diseno. El
modelo de la planta y el controlador son descritos a traves de las ecuaciones que
representan su dinamica. En la actualidad existen diversas tecnicas de control de las
cuales concentraremos nuestra atencion a las siguientes:
1. Enfoque espacio estado: utiliza informacion directa relativa a sus estados;
cuando no esta disponible se debe estimar. La estimacion de semejantes datos o
variables por lo general se denomina observacion.
Una vez conocidos los valores estimados, podemos manipular la respuesta del
sistema a nuestra conveniencia, mediante la compensacion, que consiste en
la modificacion de la dinamica de un sistema, realizada para satisfacer las
especificaciones determinadas. Dicha compensacion puede hacerse bajo diferentes
esquemas, entre los cuales tenemos:
• Construccion del vector de estados: Se considera un sistema lineal o una
aproximacion al mismo para luego obtener la senal de control mediante un
estado instantaneo.
2.1 Introduccion 22
• Control por seguimiento: La respuesta debe seguir una senal de referencia
convirtiendose en un sistema regulador asintoticamente estable tal que e(t)
tienda a cero, dada cualquier condicion inicial e(t=0)(Ogata Katsuiko 1998).
• Control optimo cuadratico: Consiste en sistemas reguladores optimos
basados en ındices de desempeno usando la ecuacion de Riccati.
2. Tecnicas clasicas de control: Son suficientes para resolver problemas de
control en muchas aplicaciones industriales, particularmente cuando la dinamica
del proceso lo permite y los requerimientos de desempeno son modestos. Estas
tecnicas son:
• Familia de controladores Proporcional Derivativo Integral(PID) : Son
controladores cuyo proposito es hacer que el error en estado estacionario,
entre la senal de referencia y la senal de salida, sea cero de manera asintotica
en el tiempo, lo que se logra mediante el uso de la accion integral.
Ademas el controlador tiene la capacidad de anticipar el futuro a traves de
la accion derivativa que tiene un efecto predictivo sobre la salida del proceso.
• Controladores Adelanto-Atraso: Son una buena herramienta para ajustar
las ganancias de un sistema de control a fin de poder cumplir con las
especificaciones dadas. Existen dos maneras de calcular dichas tecnicas:
el diseno de sistemas de control mediante el lugar geometrico de las raıces
y el diseno de sistemas de control mediante la respuesta en frecuencia.
Un compensador en adelanto puede incrementar la estabilidad o velocidad
de respuesta de un sistema; un compensador en atraso puede reducir (pero
no eliminar) el error de estado estacionario. Dependiendo del efecto deseado,
uno o mas compensadores en adelanto y en atraso pueden usarse en varias
combinaciones.
2.2 Definicion de un Sistema de Control 23
3. Control anti-rebote (anti-windup): Este control es usado para evitar efectos
indeseables de saturacion en la actuacion, debido a lımites de operacion en
equipos, producto de la constante integracion del error.
2.2 Definicion de un Sistema de Control
Un sistema de control describe la conducta de un proceso con el fin de regular de
manera optima su funcionamiento.
2.2.1 Conceptos de Control
Unifiquemos terminos a fin de utilizar un lenguaje comun en este aspecto de la
tecnologıa, siempre teniendo en cuenta que nuestro objeto de estudio seran los sistemas
de control lineales.
• Proceso: Se define como una operacion continua, marcado por cambios
graduales que suceden uno al otro en forma fija, con el fin de obtener un resultado,
y en este caso particular se refiere a cualquier operacion sometida a control.
• Planta: Es el elemento fısico que se desea controlar. La planta puede ser un
motor, un circuito electrico, una vehıculo, un tanque, sistema de nivel de lıquidos
entre otros.
• Sistema: Consiste en un conjunto de elementos que actuan coordinadamente
para lograr un objetivo determinado.
• Sistema dinamico: Es aquel en el cual los efectos actuales (salidas) son el
resultado de causas actuales y previas (entradas).
• Variable controlada: Es la cantidad o condicion que se controla.
• Variable manipulada: Es la cantidad o condicion que el controlador modifica
para afectar el valor de la variable controlada.
2.3 Fases para el Diseno de Sistemas de Control 24
• Variable medida: Es la cantidad o condicion que se mide.
• Perturbacion: Es una senal que tiende a afectar adversamente el valor de la
salida de un sistema. Si la misma se genera dentro del sistema se la denomina
interna, de lo contrario se la denomina externa.
2.2.2 Clasificacion de sistema de control
Los sistemas de control se pueden describir de la siguiente manera:
• Sistemas de control lineales - no lineales: la mayorıa de los sistemas fısicos no
son lineales. Sin embargo, algunas veces pueden linealizarse dentro de un rango
para representar un comportamiento aproximado.
• Sistemas de control invariables en el tiempo - variables en el tiempo: los primeros
no son muy comunes en procesos reales debido a que presentan parametros que
no son funcion del tiempo, por el contrario los otros son muy comunes y poseen
parametros que varıan con el tiempo.
• Sistemas de control de tiempo continuo - tiempo discreto: en los primeros todas
las variables son funcion de un tiempo continuo ′t′, en cambio en los otros existen
una o mas variables que son conocidas solo en ciertos instantes de tiempo.
2.3 Fases para el Diseno de Sistemas de Control
En lo que sigue se explicara como se encaran los problemas reales planteando una serie
de pasos a partir de la concepcion del proceso hasta el diseno de los controladores.
2.3.1 Modelado fısico
El objetivo principal de la especificacion de un sistema y el modelado fısico consiste en
proporcionar una descripcion del sistema en estudio lo mas precisa posible, aunque lo
bastante sencilla como para permitir el analisis y diseno subsecuentes. Este modelo se
2.3 Fases para el Diseno de Sistemas de Control 25
reduce a un conjunto de ecuaciones que representan su dinamica, tomando en cuenta
que no es unico.
La dinamica de muchos sistemas, tales como mecanicos, electricos, termicos,
economicos, biologicos, etc., se describen en terminos de ecuaciones diferenciales.
Dichas ecuaciones se obtienen a partir de leyes fısicas que gobiernan un sistema
determinado, como las leyes de Newton para sistemas mecanicos, leyes de Kirchoff
para sistemas electricos.
Debemos tener en cuenta que esta etapa es la parte mas importante de todo el
analisis. Para el modelado consideraremos los siguientes topicos:
• Construccion del modelo: Se debe descomponer. Una vez logrado, se
estudia la conducta de cada uno de los componentes y sus interacciones pueden
aproximarse utilizando teorıas conocidas.
• Identificacion de los componentes: Se debe trazar el diagrama de los
componentes que indique las entradas y salidas, ası como las interconexiones de
los componentes internos y los que estan al limite del sistema, se debe identificar
todas las variables, parametros necesarios, ası como sus sentidos y convencion de
signos.
• Relaciones entrada y salida: Describir el comportamiento de estos
componentes.
• Solucion del modelo: La solucion del modelo es fundamental para estudiar
su dinamica. Se requiere de ecuaciones diferenciales correctamente calculadas
que permitan determinar el comportamiento ante varias entradas y con distintas
configuraciones o valores de los parametros.
2.3.2 Identificacion
Habitualmente en la vida real no es sencillo obtener un modelo; esta labor puede
tornarse tediosa y hasta extremadamente complicada, por esta razon debemos utilizar
2.3 Fases para el Diseno de Sistemas de Control 26
este metodo alterno para obtener un modelo.
Implementando la tecnica de mınimos cuadrados para generar estos modelos,
se logra una aproximacion al proceso real con alta precision. Esta tecnica consiste en
determinar la recta que mejor se aproxime cuando el error involucrado es la suma de
los cuadrados de las diferencias entre los valores de y en la recta de aproximacion y los
valores de y dados.
El problema general de ajustar la recta de mınimos cuadrados a un conjunto
de datos minimizando la ecuacion (2.1) con respecto a los parametros a y b se muestra
a continuacion (Burden Fairs 1996).
Ecuacion general:
m∑i=1
[yi − (axi + b)]2 (2.1)
Para que se presente un mınimo es necesario:
δ
δa
m∑i=1
[yi − (axi + b)]2 = 0 (2.2)
δ
δb
m∑i=1
[yi − (axi + b)]2 = 0 (2.3)
Por lo tanto (2.2) y (2.3) quedan:
2m∑
i=1
(yi − axi − b)(−xi) = 0 (2.4)
2m∑
i=1
(yi − axi − b)(−1) = 0 (2.5)
Las ecuaciones se simplifican a las ecuaciones normales:
am∑
i=1
x2i + b
m∑i=1
xi =m∑
i=1
xiyi (2.6)
a
m∑i=1
xi + b ·m =m∑
i=1
yi (2.7)
2.3 Fases para el Diseno de Sistemas de Control 27
En la actualidad existe una variedad de herramientas cientıficas y tecnologicas
que contribuyen a facilitar este trabajo.
Un programa utilizado por los ingenieros para realizar este tipo de tareas
tiene por nombre MatlabTM (The MathWorks 2007), herramienta poderosa para las
matematicas que puede interpretar datos para luego generar un modelo matematico
del proceso.
2.3.3 Diseno de controladores
En el diseno de control automatico, se debe seguir una serie de tecnicas y algoritmos
matematicos cuya meta en estudio suele medirse por un conjunto de especificaciones de
rendimiento, el proceso de diseno es interactivo. Todos los comportamientos pertinentes
del sistema controlado, determinados durante la solucion del modelo, normalmente son
usados en el proceso de diseno.
2.3.4 Sintonizacion y Validacion del diseno
Existen diversos metodos para la sintonıa de controladores, algunos analıticos y otros
de tanteo. La eleccion correcta de los parametros permite el desempeno optimo y
deseado del sistema, para luego validarlo y asegurar una respuesta satisfactoria ante
diversas entradas o perturbaciones.
2.3.5 Implantacion
Consiste en la puesta en funcionamiento del sistema en un lugar donde desempenara su
labor. Para ello deben afrontarse tareas tan variadas como la formacion de los usuarios
o la carga inicial de los datos con los que trabajara.
2.4 Criterios para el Analisis de Desempeno de un Sistema 28
2.3.6 Pruebas y Depuracion
Son necesarias para comprobar la validez del modelo en un entorno no lineal, ofreciendo
las condiciones para estimar la robustez del sistema propuesto. Estas pruebas deben
practicarse en un lapso de tiempo considerable, para observar el desempeno del mismo,
y ası realizar la depuracion o afinacion de las ganancias.
2.4 Criterios para el Analisis de Desempeno de un
Sistema
El analisis del desempeno permite interpretar que sucede con los resultados obtenidos,
a partir de la respuesta de un sistema, de allı la premisa de optimizar el diseno.
La respuesta de un sistema de control en el tiempo se divide en dos etapas que se
explicaran a continuacion.
2.4.1 Respuesta transitoria
La respuesta temporal en lazo cerrado, normalmente es implementada ante una
entrada del tipo escalon, puesto que contiene un espectro lo suficientemente amplio de
frecuencias. Por lo general los requerimientos de la respuesta transitoria se describen
en terminos de polos y ceros, que se denominan polos dominantes del sistema que se
encuentran mas cercanos al origen en el plano complejo.
Las principales caracterısticas que modifican los polos dominantes son tiempo
de crecimiento (td), sobredisparo maximo (Mp), tiempo de establecimiento (ts),
tiempo pico (tp) y tiempo de retardo (tr) para sistemas de segundo orden, ya que las
especificaciones transitorias se expresan en funcion de estas caracterısticas.
2.5 Enfoque de Espacio Estado 29
La respuesta transitoria de un sistema de control practico exhibe con frecuencia
oscilaciones amortiguadas antes de alcanzar el estado estable (Ogata Katsuiko 1998).
Figura 2.1: Curva de respuesta de sistema de orden 2, ante una entrada escalon unitario
2.4.2 Respuesta Estacionaria
Por respuesta en estado estable, se refere a la manera en la cual se comporta la
salida del sistema conforme el tiempo tiende a infinito. Esta respuesta tiene como
caracterıstica principal seguir la referencia hasta un punto de equilibrio (set point) o
valor deseado de referencia y estabilizarse.
Entre mas precision exista entre la referencia y la salida, el error en estado
estable sera mas pequeno.
2.5 Enfoque de Espacio Estado
Este metodo se considera particularmente atractivo porque, proporciona la oportunidad
suficiente de aplicar la intuicion fısica sobre las causas y efectos en los componentes
2.5 Enfoque de Espacio Estado 30
de sistemas, siendo transparente para el tipo de sistema que se modela: mecanico,
quımico, electrico, etc. Este enfoque lo conforma:
• Variables de estado: Son el conjunto linealmente independiente de variables
que se utilizan para especificar el estado de un sistema.
El numero de variables de estado determina el orden del sistema, como se observa
en la siguiente ecuacion:
c1x1 + c2x2 + ... + cnxn (2.8)
• Ecuacion de estado: Representacion matematica que satisface particularmente
el requerimiento del valor inicial mediante una ecuacion diferencial ordinaria de
primer orden (para sistemas de tiempo continuo) o una ecuacion en diferencia
(para sistemas en tiempo discreto). Este conjunto de ecuaciones diferenciales
ordinarias de primer orden son representadas en (2.9),(2.10) y (2.11) (Ogata
Katsuiko 1998).
x1 = f1(x1, x2, ..., xn, u1, u2...ur, t) (2.9)
x2 = f1(x1, x2, ..., xn, u1, u2...ur, t) (2.10)
xn = f1(x1, x2, ..., xn, u1, u2...ur, t) (2.11)
• Espacio estado: Se describe como el espacio matematico (de dimension n) cuyas
coordenadas son variables de estado. Por tanto, en cualquier instante, el estado
del sistema esta representado por un punto en el espacio estado.
Esta descripcion explica el uso del termino enfoque de espacio estado, para
describir un sistema de estado como se observa en las ecuaciones (2.12) y (2.13).
x = Ax + Bu (2.12)
y = Cx (2.13)
en donde:
A=Matriz de estados.
2.5 Enfoque de Espacio Estado 31
B=Matriz de entrada.
C=Matriz de salida.
x=Variable de estado.
u=Senal de control.
y=Senal de salida.
Caracterısticas del enfoque espacio estado
Para la controlabilidad de los sistemas lineales, conocer los conceptos de
controlabilidad y observabilidad juega un papel importante debido a que
gobiernan la existencia de una solucion para un problema de control.
Controlabilidad: Se dice que el proceso es controlable si cada variable de
estado del proceso se puede controlar para llegar a un cierto objetivo en un
tiempo finito, a traves de algun control no restringido (Benjamin C. Kuo 1996).
Observabilidad: Un sistema es completamente observable si cada variable de
estado del sistema afecta alguna de las salidas (Benjamin C. Kuo 1996).
2.5.1 Construccion del Vector de Estados
El problema de reconstruccion del vector de estado, o, equivalentemente, de
construccion (diseno) de un observador para un sistema lineal fue resuelto a principios
de los anos 60 por un profesor americano de nombre David Luenberger (Salvador
Saucedo 2006).
En su honor, el observador determinıstico de estado recibe en la literatura el
nombre de ”Observador de Luenberger”. Para este diseno consideraremos un sistema
lineal en modelo de espacio estado y seleccionaremos la senal de control como:
u = −Kx (2.14)
2.5 Enfoque de Espacio Estado 32
en donde:
K=Ganancia del vector de estados.
Esto significa que la senal de control se determina mediante un estado
transitorio. Tal esquema se denomina realimentacion del estado. La matriz K
se denomina matriz de ganancias de la realimentacion del estado.
2.5.2 Observador de Estados
Un observador de estado estima las variables con base en las mediciones de salida y
de control. Las variables de estado que no estan disponibles son las que se necesitan
medir mediante este proceso llamado observacion.
Existen metodos para estimar las variables de estado que no se miden sin un
proceso de diferenciacion. Cuando se necesita captar todas las variables del sistema,
sin importar si algunas estan disponibles para una medicion directa, se denomina
observador de orden completo. Se debe tener en cuenta que el sistema en estudio
requiere ser controlable y observable.
Se dice que un sistema es controlable en el tiempo to si se puede llevar de
cualquier estado inicial x(to) a cualquier otro estado, mediante un vector de control
sin restricciones, en un intervalo de tiempo finito (Salvador Saucedo 2006). Se dice
que un sistema es observable en el tiempo to si, con el sistema en el estado x(to),
es posible determinar este estado a partir de la observacion de la salida durante un
intervalo de tiempo finito.
En muchos casos practicos el vector de estado observado x se usa en la
realimentacion del estado para generar el vector de control deseado.
2.5 Enfoque de Espacio Estado 33
Algoritmo de diseno
Suponga que se aproxima el estado mediante x. Considerando el sistema
definido mediante (2.12) y (2.13), entonces se tiene:
˙x = Ax + Bu + Ke(y − Cx) (2.15)
en donde:
x=Representa el vector de estado aproximado
Ke=Ganancia del observador de estado para manipular el error y asegurar una
dinamica asintoticamente estable.
Sustituyendo(2.13) en (2.15) y luego restando con (2.12) obtenemos:
(x− ˙x) = Ax− Ax + Bu−Bu + Ke(Cx− Cx) (2.16)
(x− ˙x) = (A−KeC)(x− x) (2.17)
el error de observacion es:
Ae = |A−KeC| (2.18)
L(s) = |sI − Ae| (2.19)
en donde:
Ae = Matriz que representa la dinamica del error.
I = Matriz identidad.
L(s)= Matriz de ganancias del observador.
Para calcular los valores Ke del observador, se debe igualar la matriz L(s) a un
polinomio deseado Pd(s).
• Polinomio con raıces reales negativas.
Pd(s) =n∏
i=1
(s + ai) (2.20)
2.5 Enfoque de Espacio Estado 34
• Polinomio con raıces complejas conjugadas.
Pd(s) =n∏
i=1
(s + ai ± bij) (2.21)
en donde:
a = Polo real en el plano complejo.
b = Polo imaginario en el plano complejo.
Finalmente, sustituyendo (2.18) en (2.19) e igualando al polinomio deseado se tiene.
Pd(s) = |sI − A + KeC| (2.22)
De tal manera, se pueden calcular los valores de la matriz Ke del observador. La
siguiente figura (3.2) ilustra el diagrama de bloques de la realimentacion de un sistema.
Figura 2.2: Diagrama de bloques del esquema de control realimentado con un observador
2.5 Enfoque de Espacio Estado 35
2.5.3 Diseno de Sistemas por Seguimiento
En el control proporcional de una planta, cuya funcion de transferencia no posee un
integrador, hay un error en estado estable, o desplazamiento, en la respuesta para
una entrada escalon. Tal error se elimina si se incluye la accion de control integral
en el controlador. En el control integral de una planta, la senal de salida a partir del
controlador, es en todo momento el area bajo la curva del error hasta tal momento.
La senal de control u(t) tiene un valor diferente de cero cuando la senal de
error e(t) es cero, como se aprecia en la figura 2.3(a). Esto es imposible en el caso del
controlador proporcional, dado que una senal de control diferente de cero requiere de
una senal de error diferente de cero. La figura 2.3(b) muestra la curva e(t) contra t y
la curva u(t) correspondiente contra t cuando el controlador es de tipo proporcional.
Figura 2.3: (a) Graficas de las curvas e(t) y u(t) que muestran una senal de control diferente de cero
cuando la senal de error es cero(control integral); (b) graficas de las curvas e(t) y u(t) que muestran una
senal de control de cero cuando la senal de error es cero (control proporcional).
Si la planta no tiene integrador (planta de tipo 0), el principio basico del diseno
de un sistema de seguimiento de tipo 1 es insertar un integrador en la trayectoria
directa entre el comparador de error y la planta, como se observa en la figura 2.4. Las
ecuaciones son descritas a continuacion (Ogata Katsuiko 1998).
u = −Kx + KIζ (2.23)
ζ = r − y = r − Cx (2.24)
2.5 Enfoque de Espacio Estado 36
en donde:
ζ=Salida del integrador.
r=Senal de referencia.
KI=Ganancia de integracion.
Algoritmo de diseno
1. Para evitar la posibilidad de que el integrador insertado se cancele por un cero
de la planta en el origen la funcion de transferencia de la planta, Gp(s) no debe
tener ceros en el origen.
2. Suponga que la entrada de referencia (funcion escalon) se aplica en t = 0. En
este caso, para t > 0, la dinamica del sistema se describe mediante una ecuacion
que es una combinacion de las ecuaciones (2.12),(2.13) y (2.23):
x(t) = Ax(t) + Bu(t)
ζ(t) = r(t)− Cζ(t) (2.25)
3. Se disenara un sistema asintoticamente estable, tal que x(t = ∞), x(ζ = ∞)
y x(u = ∞) tiendan a valores constantes, respectivamente. Ası, en un estado
estable, ζ(t) = 0 y obtenemos, y(∞) = r.
4. Considerando que r(t) es una entrada escalon, tenemos que r(∞) = r(t) = r
constante para todo t > 0. Por ello debemos restar las ecuacion (3.25) cuando
t = 0 y t = ∞. La idea basica es disenar un sistema regulador estable de (n
+ 1 )-esimo orden que lleve a cero el nuevo vector de error e(t), dada cualquier
condicion inicial e(t=0), de tal manera que:
˙xe(t) = Axe(t) + Bue(t) (2.26)
˙ζe(t) = r(t)− Cζe(t) (2.27)
ue(t) = −Kxe(t) + Kiζe(t) (2.28)
2.5 Enfoque de Espacio Estado 37
Luego se define la matriz dinamica del error y los siguientes vectores:
Ae =
[A 0
−C 0
](2.29)
e(t) =
xe(t)
ζe(t)
(2.30)
B =
B
0
(2.31)
K = [K −KI ]. (2.32)
Agrupando terminos y sustituyendo, resulta:
e(t) = (Ae− BK)e(t) (2.33)
que es, finalmente, la ecuacion de estado del error.
5. Para calcular los valores de K, se aplica la siguiente ecuacion:
Pd(s) = |sI − Ae + BK|. (2.34)
En el diseno actual, es necesario considerar varias matrices K diferentes
(que correspondan a varios conjuntos distintos de valores caracterısticos deseados) y
realizar simulaciones en computadora para encontrar aquella que resulten con el mejor
desempeno general del sistema. Como ocurre normalmente, no todas las variables de
estado se pueden medir en forma directa. En ese caso, necesitamos usar un observador
de estado. La figura 3.4 muestra un diagrama de bloques de un sistema de seguimiento
de tipo 1 con un observador de estado.
2.5 Enfoque de Espacio Estado 38
Figura 2.4: Sistema de seguimiento de tipo 1 con un observador de estado
2.5.4 Diseno de Control Optimo Cuadratico
El diseno de los sistemas de control optimo y los sistemas reguladores optimos basados
en ındices de desempeno cuadraticos se reduce a la determinacion de los elementos
de la matriz K. Una ventaja de usar el esquema de control optimo cuadratico es que
el sistema disenado sera estable, excepto en donde el sistema no es controlable. Al
disenar sistemas de control con base en la minimizacion de los ındices de desempeno
cuadratico necesitamos resolver las ecuaciones de Riccati, a fin de minimizar el ındice
de desempeno:
J =
∫ ∞
0
(xT Qx + uT Ru)dt (2.35)
en donde:
Q = una matriz simetrica real semidefinida positiva.
R = una matriz hermitiana o simetrica real definida positiva.
Las matrices Q y R determinan la importancia relativa del error y del gasto de este
sistema.
Ahora se mostrara que una funcion de Liapunov se usa efectivamente en la
solucion de este problema. Supongamos que:
xT Qx = − d
dt(xT Px) (2.36)
2.5 Enfoque de Espacio Estado 39
en donde P es una matriz hermitiana o simetrica real definida positiva.
En este caso, obtenemos:
xT Qx = −xT Px− xT Px = −xT AT Px− xT PAx = −xT (AT P + PA)x (2.37)
Mediante el segundo metodo de Liapunov, sabemos que, para una Q determinada,
existe P, si A es estable, tal que:
AT P + PA = −Q. (2.38)
Siguiendo el analisis obtenido al resolver el problema de optimizacion de parametros,
se establece:
x = Ax + Bu = Ax−BKx = (A−BK)x (2.39)
Suponiendo que la matriz en (2.39) es estable, o que los valores caracterısticos de esta
matriz tienen partes reales negativas:
xT (Q + KT RK)x = −xT Px− xT Px = −x[(A−BK)T P + P (A−BK)]. (2.40)
Comparando ambos miembros de esta ultima ecuacion y considerando que la misma
debe ser valida para cualquier x, requerimos que:
(A−BK)T P + P (A−BK) = −(Q + KT RK) (2.41)
en donde P es una matriz hermitiana o simetrica real definida positiva.
Mediante el segundo metodo de Liapunov, si en la ecuacion (2.39) la matriz es
estable, existe una matriz P definida positiva que satisface la ecuacion (2.41).
Dado que se ha supuesto que R es una matriz hermitiana o simetrica real
definida positiva, escribimos.
R = T T T (2.42)
2.5 Enfoque de Espacio Estado 40
en donde T es una matriz no singular.
Ası, la ecuacion (2.41) se puede escribe como:
(A−KB)T P + P (A−BK) + Q + KT RK = 0. (2.43)
Rescribiendo esta ultima, se obtiene:
AT P +PA+[TK− (T T )−1BT P ]T [TK− (T T )−1BT P ]−PBR−1BT P +Q = 0. (2.44)
La minimizacion de J con respecto a K requiere de la minimizacion, como:
xT [TK − (T T )−1BT P ]T [TK − (T T )−1BT P ]x. (2.45)
Dado que esta ultima expresion es no negativa, el mınimo ocurre cuando es cero, o
cuando:
TK = (T T )−1BT P. (2.46)
Por tanto:
K = T−1(T T )−1BT P = R−1BT P (2.47)
De la ecuacion (2.47) resulta la matriz de ganancia K. Ası, el problema de control
optimo cuadratico es lineal cuando el ındice de desempeno se obtiene mediante la
siguiente ecuacion:
u(t) = −Kx(t) = −R−1BT Px(t) (2.48)
La matriz P de la ecuacion anterior debe satisfacer la ecuacion (2.35) o la ecuacion
reducida siguiente:
AT P + PA− P (BR−1B)T P + Q = 0, (2.49)
la cual se denomina ecuacion matricial reducida de Riccati (Ogata Katsuiko 1998).
2.6 Enfoque en el Dominio de Frecuencia 41
2.6 Enfoque en el Dominio de Frecuencia
En el enfoque de la respuesta en frecuencia, se analiza el estado estacionario del
sistema ante perturbaciones (senoidales) en distintas frecuencias, con la expectativa de
deducir la dinamica del sistema. El sistema que se somete a una prueba de respuesta
en frecuencia tiene que ser asintoticamente estable, es decir, que todos los valores
propios se hallan en el plano complejo de la mitad izquierda, excluido el eje imaginario.
Para un sistema marginalmente estable (sistema estable con valores especıficos
en el eje imaginario), cualquier perturbacion persistira a menos que se imponga una
condicion inicial precisa que pueda cancelar con exactitud la perturbacion de inicio.
2.6.1 Estabilidad Relativa
El proposito del diseno mediante este enfoque es obtener una determinada velocidad
de respuesta del sistema en lazo cerrado. Los criterios mas usados para medir la
estabilidad relativa son el margen de fase y el margen de ganancia. Los valores para
un buen desempeno son un margen de ganancia mayor a 6 db (decibeles) y un margen
de fase entre 30◦y 60◦, por lo general, para sistemas de segundo orden.
2.6.2 Sensibilidad de los Parametros
La finalidad del diseno es lograr que el sistema en lazo cerrado se comporte de forma
deseada a pesar de errores (incertidumbres) o cambios en el modelo del proceso. La
sensibilidad es el grado con el cual los cambios en los parametros afectan el desempeno
global sistema. Los valores de ganancias de lazo altas contribuyen a la disminucion de
la sensibilidad, en lazo cerrado, debido a cambios en los parametros. Se debe buscar
un compromiso entre estabilidad y sensibilidad.
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 42
2.6.3 Rechazo de Perturbaciones
La idea del diseno, en este caso, es lograr que la senal controlada sea igual a la senal de
referencia a pesar de la influencia permanente de las perturbaciones. La realimentacion
reduce el efecto de las perturbaciones y el ruido en el comportamiento del sistema.
2.7 Tecnicas Clasicas de Control
El objetivo principal es presentar los procedimientos clasicos de control que son de
gran uso en el campo de control de procesos. Actualmente son ampliamente utilizados
en la industria moderna, controlando un elevado porcentaje de procesos industriales
en lazo cerrado.
2.7.1 Controlador por Adelanto de Fase
En la presente seccion se explicara el procedimiento matematico para el diseno de
controladores adelanto-atraso . Consideremos la siguiente funcion de transferencia:
G(s) =s + zc
s + pc
(2.50)
en donde:
zc=Cero del controlador.
pc=Polo del controlador.
Gc(s)=Funcion de transferencia del controlador.
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 43
Figura 2.5: (a) Aporte de fase positiva: Adelanto de fase. (b) Aporte de fase negativa: Atraso de fase
la figura (2.5) nos muestra los aportes de fase del controlador respecto de un
punto en el plano complejo.
en donde:
θc=Fase aportada por el controlador.
θzc=Fase de zero del controlador.
θpc=Fase del polo del controlador.
Diseno del Controlador por Adelanto de Fase
Para una funcion de transferencia del controlador descrita por:
Gc(s) = Kc(s + 1
T)
(s + 1αT
)(2.51)
o tambien por :
Gc(s) = Kcα(Ts + 1)
(αTs + 1), (2.52)
Condicion:
0 < α < 1, (2.53)
en donde:
Kc(s) = ganancia del controlador, α = factor de atenuacion, T = periodo, la fase
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 44
aportada por el compensador es:
θc = θzc − θpc = tan−1(ωT )− tan−1(ωαT ). (2.54)
Diferenciando con respecto de ω, para encontrar la frecuencia donde ocurre el maximo
avance de fase, se tiene que:
δθ
δω=
T
1 + (ωT )2=
αT
1 + (αωT )2. (2.55)
Igualando a cero y resolviendo para ω, tenemos:
ωmax =1
T√
α. (2.56)
Sabiendo que:
θc = θzc − θpc ⇒ tan(θzc − θpc) =tan(θzc)− tan(θpc)
1 + tan(θzc) tan(θpc)(2.57)
Y tambien que:
θzc = arctan(ωT ) (2.58)
θpc = arctan(αωT ) (2.59)
se obtiene que el avance de fase maximo puede calcularse a traves de la siguiente
expresion:
tan(θm) =
1T√
αT − 1
T√
ααT
1 + 1T√
αT − 1
T√
ααT
=1− α
2√
α(2.60)
o, de manera directa, como:
θm = tan−1(1− α
2√
α) = sin−1(
1− α
1 + α) (2.61)
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 45
Algoritmo de Diseno
1. Determinar la ganancia requerida para eliminar el error en estado estable. Es
decir: es:
Ke = lim(s→0)
Gp(s) = lim(s→0)
K
∏mi=1(s + zi)∏nj=1(s + pj)
(2.62)
Ked = Kc1Ke (2.63)
en donde:
Ked=Constante deseada de error.
Kc1=Constante del controlador.
Ke =Constante de error de la planta.
K=Ganancia de la planta.
2. Dibujar el diagrama de Bode de la funcion de transferencia del sistema
compensado con la ganancia Kc1, esto es:
G(s) = Kc1K
∏ni=1(s + zi)∏mj=1(s + pj)
(2.64)
3. Calcular el valor del margen de fase actual y determinar el adelanto de fase que
sera aportado por el controlador. Esto es:
θc = θd − θp (2.65)
en donde:
θd=Margen de fase deseado. θp=Margen de fase de la planta.
4. Determinar el factor de atenuacion usando la ecuacion (2.56).
5. Determinar la frecuencia en la cual el sistema no compensado tiene un valor de
−20 lg 1√α. Seleccionar esta frecuencia como ωmax.
6. Encontrar el valor del cero del compensador, usando la ecuacion (2.61).
7. Determinar el valor del polo del compensador conocido el valor de 1/T y α.
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 46
8. Determinar el valor de Kc, sabiendo que Kc = Kc1/α.
Comentarios: Esta propuesta de diseno puede no alcanzar condiciones deseadas
sobre los tiempos de respuesta (ancho de banda, en el dominio frecuencial). En este
caso, podrıa ser necesario un rediseno del compensador.
Tomando en cuenta que el compensador ”empujara” la frecuencia de cruce de
ganancia actual hacia las altas frecuencias, sera, es necesario incorporar un factor
de correccion de error de (10◦ aprox.) sobre la fase que aportara el compensador.
Limitaciones del diseno: Si el sistema original es inestable o con un margen de
estabilidad baja (margen de fase pequeno), el adelanto de fase adicional que debe ser
aportado por el controlador puede ser excesivo, lo cual exige un aporte de fase mas
grande. Esto puede afectar la magnitud de la respuesta frecuencial alrededor de la
frecuencia que determina el ancho de banda (aumento de magnitud), incrementando
el ancho de banda y, en consecuencia , aumentando la sensibilidad a los ruidos que se
introducen por la entrada del sistema. En este sentido, si se requiere de un adelanto
de fase de mas de 90◦, se debe emplear un controlador de etapas multiples (Benjamin
C. Kuo 1996).
2.7.2 Controlador por Atraso de Fase
El principio diseno de este tipo de compensador requiere de un valor de ganancia que
satisfaga condiciones de error en estado estable, ubicando el cero de controlador para
lograr la atenuacion necesaria en la curva de magnitud en la frecuecia donde ocurre el
margen de fase deseado.
Diseno del Controlador por Atraso de Fase
la funcion de transferencia del controlador se describe como:
Gc(s) = Kc(s + 1
T)
(s + 1βT
)(2.66)
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 47
o, tambien como:
Gc(s) = Kcβ(Ts + 1)
(βTs + 1)(2.67)
Condicion:
β > 1 (2.68)
siendo beta el factor de atenuacion.
Algoritmo de Diseno
1. Determinar la ganancia de lazo que el requerimiento de error en estado estable.
Esto es:
Ked = Kc1Ke (2.69)
2. Dibujar el diagrama de Bode de la funcion de transferencia del sistema
compensado con la ganancia Kc1, es decir.
G(s) = Kc1K
∏ni=1(s + zi)∏mj=1(s + pj)
(2.70)
y ubicar la frecuencia deseada (ωgd) donde ocurre el margen de fase deseado (θd +
eφ). El margen de fase deseado esta asociado a una especificacion de respuesta
temporal. El termino (eφ) indica una correccion de error de fase entre 5◦ y 10◦
introducido por el compensador alrededor de ωgd.
3. Elegir un cero del compensador (frecuencia de cruce en 1/T ) una decada por
debajo de la frecuencia de cruce de ganancia deseada.
1
T=
ωgd
10(2.71)
4. Para lograr que (ωgd) sea la frecuencia de cruce de ganancia del sistema
compensado, se aprovecha la atenuacion introducida por la curva de magnitud
del compensador, la cual es igual a −20 lg 1√α. Ası debe lograrse que:
|G(jωgd)|dB = −20 lg(β). (2.72)
Usando la ecuacion anterior, se podra calcular el valor de β.
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 48
5. Obtener la ubicacion del polo del compensador (frecuencia de cruce en 1/βT ).
6. Determinar el valor de Kc, sabiendo que Kc = Kc1/β.
Diseno de controladores por etapas multiples: para este metodo, el uso del lugar
de las raıces puede resultar algo engorroso. Ası que es conveniente el diseno basado en
la respuesta frecuencial. En este caso, el diseno se traduce en compensar una parte de
la fase requerida con un compensador y a partir de este nuevo sistema compensado, se
terminan de satisfacer los requerimientos con el segundo compensador (Benjamin C.
Kuo 1996).
2.7.3 Controlador PD (Proporcional Derivativo)
Este tipo de controlador pertenece a la familia de controladores PID (Proporcional
Derivativo Integral), que aplican en forma casi general a la mayorıa de los sistemas
de control. Es un hecho bien conocido que los esquemas de control PID basicos
y modificados han demostrado su utilidad para aportar un control satisfactorio.
Interpretacion del controlador PD en el dominio frecuencial
El control PD se comporta como un filtro paso alto, agregando fase positiva (adelanto
de fase) al sistema no compensado. Esta caracterıstica permite:
• Mejorar al margen de fase de un sistema de control y, en consecuencia, mejorar
la estabilidad relativa del sistema.
• La curva de magnitud del controlador ”empuja” la frecuencia de cruce de ganancia
hacia el valor mas alto.
• Incrementar el ancho de banda lo que reduce los tiempos de respuesta pero
acentua los ruidos a alta frecuencia.
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 49
Diseno del Controlador PD
Consiste basicamente en localizar la frecuencia de corte del controlador ωgd = KpKd
para lograr una mejora en el margen de fase deseado en la nueva frecuencia de cruce del
sistema compensado. Para propositos de diseno en el dominio frecuencial, se representa
la funcion de transferencia del controlador de la siguiente manera:
Gc(s) = Kp + sKd = Kp(1 +Kd
Kp
) = Kp(1 +1
ωgd
) (2.73)
en donde Kp y Kd son las constantes del controlador.
u(t) = Kpe(t) + Kdδe(t)
δt(2.74)
U(s) = KpE(s) + sKdE(s) (2.75)
Algoritmo de Diseno
1. Fijar el valor de Kp para los satisfacer requerimientos de error en estado estable.
2. Dibujar el diagrama de bode del sistema compensado con Kp.
3. Encontrar el margen de fase del sistema, θp, y determinar la contribucion angular
del controlador θc, para alcanzar el margen de fase deseado θd. Recordar agregar
un poco mas de fase deseada en virtud del desplazamiento de la frecuencia de
corte del sistema no compensado por efecto de la incorporacion del cero del
controlador.
θc = θd − θp + eφ (2.76)
4. Elegir ωgd a la izquierda de la frecuencia de cruce de ganancia si θc > 45◦ o la
derecha si θc < 45◦.
5. Dibujar el nuevo diagrama de bode compensado y ajustar el controlador si es
necesario.
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 50
Con este diseno en el dominio frecuencial, tambien es posible satisfacer otra
especificacion del dominio temporal, tomando en cuenta que existe la siguiente
ecuacion que relaciona el margen de fase y la frecuencia donde este ocurre
(frecuencia de cruce de ganancia), en la respuesta frecuencial en lazo abierto,
con el tiempo de asentamiento del sistema en lazo cerrado:
tan θp =8
ωcgTs
, (2.77)
en donde:
ωcg=Frecuencia de cruce de ganancia.
Ts=Tiempo de estableciemiento.
2.7.4 Controlador PI (Proporcional Integral)
Aun cuando el controlador PI esta concebido para mejorar el error en estado
estacionario, este puede disenarse para lograr algunas mejoras en estado transitorio.
Sin embargo, teniendo en cuenta que el controlador PD puede ser usado para lograr
las mejoras en el regimen transitorio de manera adecuada, el PI sera disenado para
minimizar, en lo posible, el deterioro del desempeno transitorio, bien sea no compensado
o previamente compensado por un control del tipo PD (Benjamin C. Kuo 1996). Dicho
efecto es asegurado localizando el cero del controlador muy cerca del polo en origen,
con valores Ki y Kp relativamente pequenos.
Interpretacion del controlador PI en el dominio frecuencial
El control PI se comporta como un filtro pasa baja, agregando fase negativa (retraso
de fase) al sistema no compensado. Esta caracterıstica permite:
• Mejorar el margen de ganancia, pero puede perjudicar la estabilidad, segun la
posicion de la frecuencia de corte.
• Si Kp < 1, la curva de magnitud del controlador tiene un efecto atenuante,
”empujando” la frecuencia de cruce de ganancia hacia un valor mas bajo,
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 51
disminuyendo el ancho de banda. Esto filtra los ruidos a alta frecuencia pero
aumenta los tiempos de respuesta.
Diseno del Controlador PI
Para propositos de diseno en el dominio frecuencial, representamos a la funcion
de transferencia del controlador de la siguiente manera:
Gc(s) = Kp +1
sKi = (
Ki + Kp
s) =
Ki(1 + 1ωgd
)
s(2.78)
u(t) = Kpe(t) + Ki
∫ t
0
dt (2.79)
U(s) = KpE(s) +1
sKiE(s) (2.80)
Teniendo en cuenta que:
ωgd =Ki
Kp
(2.81)
y que Ki y Kp son las contantes del controlador, tal y como se describen en (2.79) y
(2.80).
Algoritmo de Diseno
1. Elegir el valor de Kp para proporcionar un factor de atenuacion adecuado sobre
la curva de magnitud del sistema no compensado con el fin de lograr el margen
de fase deseado.
2. Dibujar el diagrama de bode del sistema no compensado.
3. Encontrar el valor de frecuencia para el cual se logra el margen de fase deseado.
Denotar a esta frecuencia como la frecuencia de cruce deseada.
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 52
4. Elegir el valor de Kp para lograr una atenuacion de magnitud, tal que el sistema
compensado logre la frecuencia de cruce deseada. En efecto, el valor de Kp viene
dado por:
Kp = 10−|Gp(ωgd)|
20 (2.82)
Otra forma es:
Kp = 1/|Gp(ωgdj)| (2.83)
ωgd =Ki
Kp
=ωgd
10. (2.84)
Despejando se tiene:
Ki =(ωgdj)
10Kp. (2.85)
Recordemos que alrededor de ωgd, la curva de ganancia es afectada solo por
Kp. Por otro lado, en virtud de la eleccion de la frecuencia de corte del controlador,
en principio, a una decada por debajo de ωgd, generalmente se incorpora un termino
correctivo de error de fase de 5◦. Ası, ωgd se elige para una diferencia de fase de θd +5.
2.7.5 Diseno del controlador PID
El control PID se comporta como un filtro pasa banda, agregando fase negativa (retraso
de fase) en las bajas frecuencias y agregando fase positiva (adelanto de fase) en las altas
frecuencias (Benjamin C. Kuo 1996). Estas caracterısticas permiten:
• Mejorar el margen de ganancia.
• Mejorar el margen de fase.
2.7 Tecnicas Clasicas de Control 53
• Minimizar los efectos no deseados del adelanto de fase (empujar la frecuencia de
cruce de ganancia hacia un valor mas alto), esto significa que pueden atenuarse
con el efecto del atraso de fase (empujar la frecuencia de cruce de ganancia hacia
un valor mas bajo), a traves de una ubicacion adecuada de las frecuencias de
corte del controlador PID.
Para propositos de diseno en el dominio frecuencial, representamos a la funcion
de transferencia del controlador de la siguiente manera:
Gc(s) = Kp +Ki
s+ Kds (2.86)
en donde Kp, Ki y Kd son las constantes del controlador.
u(t) = Kpe(t) + Kdδe(t)
δt+ Ki
∫ t
0
dt (2.87)
U(s) = KpE(s) + sKdE(s) +1
sKiE(s) (2.88)
Algoritmo de Diseno
Este enfoque de diseno es sencillo debido a que requiere de la construccion previa del
PD y el PI. Utilizado las siguientes ecuaciones obtenemos los parametros de diseno:
Kp = Kp2 + Kd1Ki2 (2.89)
Kd = Kd1Kp2 (2.90)
Ki = Ki2 (2.91)
en donde:
Kp2=Ganancia proporcional del controlador PI.
Kd1=Ganancia derivativa del controlador PD.
Ki2=Ganancia integral del controlador PI.
2.8 Esquema Anti-Rebote (Anti-Windup) 54
2.8 Esquema Anti-Rebote (Anti-Windup)
En la mayorıa de los problemas de control existen limitaciones en los actuadores. El
principal efecto indeseable se debe a la presencia de un integrador en el controlador
(suponiendo que haya alguno, como sucede con los controladores de la familia PID)
que continuara integrando aun mientras la entrada se encuentra saturada.
Ası, el estado del integrador en cuestion puede alcanzar valores excesivos, que
deterioraran la respuesta transitoria del sistema, generalmente produciendo grandes
sobrevalores (Virginia Mazzone 2002).
Si estas limitaciones se ignoran en la etapa de diseno, el desempeno real del
sistema de control puede sufrir una severa degradacion respecto al esperado si la senal
de control alcanza sus lımites.
2.8.1 Metodologıa General para el Diseno del esquema
Antirebote (Anti-windup)
1. Disenar un controlador PID o PI ideal.
2. Definir valores de saturacion (Maximo y Mınimo) previos a un estudio sobre los
lımites de desempeno del actuador.
3. Elegir un valor de ganancia Kcr, necesaria para compensar el error producto de
la accion integral, tal como lo muestra la figura 2.6. Este valor se calcula de la
siguiente manera:
• Kcr = 1Ki
, en el caso de un PI.
• Kcr =√
Ki ·Kd, en el caso de un PID.
4. Ajustar los valores de no lograr las especificaciones deseadas.
2.8 Esquema Anti-Rebote (Anti-Windup) 55
Cuando existe saturacion, se modifica el valor del efecto integral para que sea
igual a la salida lımite del actuador. Si el lazo no presenta saturacion el lazo no actua,
siendo Kcr la ganancia que indica la rapidez con la que se hace la correccion.
En caso que la salida no se pueda medir se toma un modelo matematico del
actuador (Jorge Vento 2005).
Figura 2.6: Esquema de control Anti-windup
Capıtulo 3
Identificacion de un Modelo de
Turbina a Gas Combustible
El siguiente capıtulo contiene el procedimiento para identificar el modelo de la turbina
facilitado por el Dr. Silvio Simani.
3.1 Introduccion
Los sistemas convencionales, basados en compresores, procesos de combustion,
valvulas y turbinas son procesos industriales que resultan tediosos y engorrosos al
momento de ser modelados fısicamente. Por tal razon, es usado el metodo de mınimos
cuadrados basado en datos entrada-salida de un proceso industrial.
Bajo la tecnica previamente mencionada la companıa Alstrom extrajo un
modelo de la turbina prototipo HDTU en Simulink−MatlabTM el cual fue facilitado
por el Dr. Silvio Simani, aportando informacion importante sobre el funcionamiento
del sistema. Para luego ser manipulado debido a su complejidad, desconectando el
controlador que tiene incluido. Posteriormente se inserta una senal del tipo escalon
como la entrada de flujo de combustible y lograr de esta manera la identificacion.
3.2 Identificacion 57
Para finalmente, usandando el Toolbox−MatlabTM obtener un modelo reducido
de segundo orden que se mostrara en esta seccion.
3.2 Identificacion
El primer paso para disenar cualquier esquema de control es la obtencion de un
modelo de la turbina a gas combustible en lazo abierto que aporte la informacion
correspondiente al comportamiento dinamico de la planta, para proceder al ajuste
de los parametros de los diversos controladores, de tal manera que satisfagan los
requerimientos de diseno establecidos.
Figura 3.1: Un modelo de turbina HTDU en laso abierto sin compensar
Para el caso particular de este proyecto fue un tanto laborioso lograr el
modelo en lazo abierto debido a que el modelo de referencia programado en
MatlabTM − Simulink fue facilitado con un gobernador incorporado cuya estructura
interna contempla un controlador tipo PI.
3.2 Identificacion 58
Antes de desconectar el bloque del gobernador se observo el valor estacionario de
la variable del flujo de combustible para luego insertarlo, a traves de una senal del tipo
escalon en cadena directa con el bloque de la turbina logrando los siguientes resultados.
Figura 3.2: Senales entrada/salida del modelo sin compensar
Observando la senal de entrada/salida en la figura (3.2) es claro notar una
respuesta libre de la accion de control y apta para ser identificada. Debido a la no
linealidad del proceso, la identificacion se realiza entorno a un punto de operacion en
el cual se estabiliza el sistema.
3.2.1 Obtencion del Modelo Parametrico
Este metodo consiste en usar la tecnica de mınimos cuadrados la cual, a traves de
cualquier herramienta matematica, puede ser implementada para la obtencion de un
modelo.
El principio de mınimos cuadrados, segun Gauss dice que: los parametros
3.2 Identificacion 59
desconocidos de un modelo se deben elegir de modo que ”la suma de los cuadrados
de las diferencias entre los valores observados realmente y los observados estimados,
multiplicada por numeros que midan el grado de precision, sea un mınimo”.
Este metodo puede aplicarse a una gran variedad de sistemas con excelentes
resultados.
Figura 3.3: Herramienta System Identification Toolbox de MatlabTM utilizada
El procedimiento aplicado, para identificar el sistema con la ayuda de MatlabTM
es:
1. Importar los datos.
2. Preprocesamiento: quitar la medias y separa los datos de identificacion y control.
3. Estimacion del modelo: seleccion del orden y especificacion de la estructura del
modelo.
3.2 Identificacion 60
Identificacion del Sistema
Por medio de la herramienta de identificacion de MatlabTM , utilizando un
periodo de muestreo de 0.001[s], 1100 muestras del modelo original, insertarlas al
System Identification Toolbox MatlabTM como vectores de entrada-salida dadas las
referencias 0.2186 [kg/seg] para el flujo de combutible y de 1660.9 [rad/s] para la
velocidad de la turbina como se ilustra en la figura (3.3) se obtuvieron los siguientes
resultados:
1. Metodo ARX: Para este metodo el modelo que se ajusto a la salida muestreada
con mayor porcentaje fue de grado 4, posee 4 ceros, 1 polos y ningun retardo,
este se ajusto con un 96.36 porciento.
2. Metodo OE: En este metodo el modelo que se ajusto con mayor porcentaje a la
salida muestreada fue de grado 2, posee 2 ceros, 1 polos y ningun retardo, este
se ajusto con un 97.86 porciento.
3. Metodo ARMAX: Para este metodo el porcentaje a la salida medida fue de grado
2, este siguio la senal en un 93.49 porciento.
4. Metodo Box-Jenkins(BJ): Para el metodo BJ el modelo con mas porcentaje de
ajuste a la salida medida fue de grado 2, el cual se aproximo a la respuesta real
del sistema con un 99.12 porciento.
La comparacion entre las respuestas adquiridas por los diversos modelos
parametricos resulto ser mejor el metodo Box-Jenkins (BJ) y la funcion de
transferencia obtnida es la ecuacion (5.1) y se demuestra en la siguiente figura (3.4):
3.2 Identificacion 61
Figura 3.4: Metodos Parametricos usando el System Identification Toolbox MatlabTM
Funcion de transferencia obtenida por el metodo (BJ):
G(s) =10025s + 41410
s2 + 9.0138s + 5.4382(3.1)
3.2.2 Validacion
De los 4 modelos identificados, es necesario seleccionar el que mejor se ajuste para
implementar la tecnica de control correspondiente; por tal razon se evalua el error
entre la respuesta del modelo identificado y los datos reales.
Se tomaron dos de los cuatro modelos por ajustarse con mayor porcentaje de
exactitud y poseer funciones de transferencia de orden 2, estos son los modelos (OE) y
el(BJ), para posteriormente realizar comparaciones las cuales arrojaron los siguientes
resultados:
3.2 Identificacion 62
Metodo Punto operacion Error Porcentual
BJ 1664.5456 [rad/seg] 0.00084108
OE 1664.5456 [rad/seg] 0.0033818
Tabla 3.1: Tabla de error porcentual de los metodos en el punto de operacion
Para validar el modelo se han variado los valores de la entrada escalon
incorporada para saber en que medida los modelos soportan los cambios.
Variacion de la referencia por debajo del punto de operacion.
Metodo 1ra Var Porc. 1er Error Porc. 2do Var. Porc. 2do Error Porc.
BJ 5 4.1418 10 8.6561
OE 5 8.6561 10 8.66
Tabla 3.2: Variacion porcentual de la referencia por debajo del punto de operacion
Variacion de la referencia sobre el punto de operacion.
Metodo 1ra Var. Porc. 1er Error Porc. 2do Var. Porc. 2do Error Porc.
BJ 5 3.3737 10 7.8316
OE 5 3.3737 10 7.8270
Tabla 3.3: Variacion porcentual de la referencia por arriba del punto de operacion
3.2 Identificacion 63
Las siguientes graficas ilustran los resultados.
Figura 3.5: Resultados de los Metodos Parametricos del System Identification Toolbox MatlabTM
Figura 3.6: Error Absoluto entre el modelo real y el identificado
3.2 Identificacion 64
Figura 3.7: Error Porcentual entre el modelo real y el identificado
A traves, de las figuras 3.5, 3.6 y 3.7, se observan los resultados de los metodos
parametricos, error absoluto y el error porcentual del sistema, donde se aprecia
claramente una gran diferencia en el regimen transitorio de las curvas, debido a que en
la identificacion se tomaron datos solo de un pequeno trozo de la curva transitoria y el
resto fue en regimen permanente lo que implica un error muy grande para el transitorio
y mınimo para el estado permanente.
Capıtulo 4
Diseno y Analisis de Resultados de
las Estrategias de Control Aplicadas
En el siguiente capıtulo se mostrara el proceso matematico para el diseno de observador,
diseno de controladores, resultados y analisis correspondientes a los algoritmos
mencionados en el capıtulo 2.
4.1 Introduccion
Este capıtulo busca probar la eficiencia y eficacia de los metodos matematicos
previamente mencionados, que permitan poner en funcionamiento un sistema de
turbinas a gas combustible que, sin arriesgar vidas humanas, logre realizar diversas
tareas.
Para ello se usan diversas tecnicas de compensacion, siendo una buena
herramienta el ajuste de ganancias de un sistema de control, y ası poder cumplir con
las especificaciones dadas.
Tambien se expondran los diversos calculos, respuestas y analisis de los sistemas
compensados con los diferentes metodos, a fin de apreciar las ventajas que ofrecen y de
elaborar una comparacion general para determinar cual es el mejor enfoque de diseno
4.2 Diseno de un Observador de Orden Completo 66
en cuanto a desempeno ante las diversas variaciones de los valores de referencia.
4.2 Diseno de un Observador de Orden Completo
Considerese el sistema de turbina de gas combustible que fue expuesto en el capıtulo
1. Este sistema esta descrito por el siguiente espacio estado proveniente de la ecuacion
(4-1):
[x1
x2
]=
[−9.0138 −5.4382
1 0
] [x1
x2
]+
[1
0
]· u (4.1)
y = 10025x1 + 41410x2 (4.2)
Es conocido que todo polo cuya parte real negativa es ai = ζωn, permite influenciar
el tiempo de establecimiento del sistema pues ts = 4ζωn
(criterio de 2 porciento de
presicion), de tal modo que el observador puede ser mas rapido o mas lento que el
sistema en estudio, segun que tan cerca esten los polos del polinomio deseado al origen.
Para tal sistema es necesario que el observador sea mas rapido que cualquier
accion de control, debido a que se debe estimar primero los estados antes de pasar
por el controlador; la aplicacion inversa de esta acotacion no funciona. Para el caso
senalado en este trabajo se escogieron valores de polos no muy cercanos al origen para
evitar esta clase de problemas en el futuro.
A partir del espacio estado, obtenemos el diagrama analogico necesario para la
simulacion en MatlabTM − Simulink. de las variables del sistema (figura 4.1)
4.2 Diseno de un Observador de Orden Completo 67
Figura 4.1: Diagrama analogico del espacio estado identificado en MatlabTM − Simulink
Apreciando la salida del sistema se puede concluir que la estimacion debe
hacerse de los dos estados debido a que la salida del modelo identificado es
y = 10025x1 +41410x2, por lo tanto no se tiene ningun estado, lo que implica elaborar
un observador de orden completo.
Una vez aclarado este topico, obtenido el diagrama analogico y las ecuaciones,
se inicia con los calculos para el diseno del observador.
Usando la ecuaciones del capıtulo 2, tenemos:
x = Ax + Bu + Ke(y − Cx) (4.3)
en donde:
x=Representa el vector de estado aproximado
Por lo tanto el error de observacion es:
Ae = |A−KeC| (4.4)
L(s) = |sI − Ae| (4.5)
4.2 Diseno de un Observador de Orden Completo 68
|sI−A+Ke| =
(s 0
0 s
)−
(−9.0138 −5.4382
1 0
)+
(Ke1
Ke2
) (10025 41410
)
|sI − A + Ke| = s2 + s(41410Ke2 + 9.0138 + 10025Ke1)+
9.0138Ke241410 + 5.4382− 5.4385Ke210025 + 41410Ke1 (4.6)
El polinomio caracterıstico deseado se describecomo:
Pd(s) = s2 + (a1 + a2)s + a1a2 (4.7)
donde:
a1 = 3 (4.8)
a2 = 8 (4.9)
Por lo tanto, queda:
Pd(s) = s2 + 11s + 24 (4.10)
Igualando terminos entre el polinomio caracterıstico y el polinomio deseado para
el calculo de ganancias del observador, se obtiene:
41410Ke2 + 9.0138 + 10025Ke1 = 11 (4.11)
9.0138Ke241410 + 5.4382− 5.4382Ke210025 + 41410Ke1 = 24 (4.12)
Resolviendo, se tiene que:
Ke1 = 1.1078 · 10−4 (4.13)
Ke2 = 2.1147 · 10−5 (4.14)
4.3 Diseno de Control por Seguimiento 69
Figura 4.2: Diagrama analogico del observador de orden completo en MatlabTM − Simulink
Los valores de ke1 y ke2 calculados e insertados en el diagrama analogico que se
ilustra con la figura 4.2, proporcionan una dinamica rapida y adecuada para el sistema,
debido a la posicion de sus polos descritos en las ecuaciones (4.8) y (4.9), de tal manera
que si se modifican el sistema podrıa ser mas lento, rapido o no cubrirıa adecuadamente
los requerimientos deseados.
4.3 Diseno de Control por Seguimiento
El objetivo de este control es poder seguir una senal de referencia, incrementar la
velocidad de respuesta del proceso y lograr una curva de suave, tambien cabe mesionar
que al implementar este enfoque el sistema se extiende a tercer orden y por lo tanto
se deben fijar 3 polos.
Para la seleccionar el polo a1 se tomo en cuenta la dinamica del observador,
para ello se ubica el polo deseado cerca del origen, de esta manera influenciar la
4.3 Diseno de Control por Seguimiento 70
estabilidad del sistema y la velocidad del mismo mientras que el polo a2 esta alejado
por lo menos 8 veces para no afectar de manera significativa el primer polo y a su vez
el polo a3 esta 5 veces lejos, lo que permite al primer polo ser el dominante.
Usando la ecuaciones (2.33) y (2.34) del capıtulo 2, tenemos:
e(t) = (Ae− BK)e(t)
Con la ecuacion del error se calcula los valores de K , mediante:
Pd(s) = |sI − Ae + BK|s 0 0
0 s 0
0 0 s
−−9.0138 −5.4382 0
1 0 0
10025 41410 0
+
1
0
0
(K1 K2 −Ki
)
Pd(s) = s3 + s2(K1 + 9.0138) + s(10025Ki + K2 + 5.4382K2) + 41410Ki (4.15)
El polinomio caracterıstico deseado es:
Pd(s) = s3 + (a1 + a2 + a3)s2 + (a1a2 + a1a3 + a2a3)s + a1a2a3 (4.16)
donde:
a1 = 0.8086 (4.17)
a2 = 6.7085 (4.18)
a3 = 4.043 (4.19)
Por lo tanto, queda:
Pd(s) = s3 + 11.56s2 + 35.816s + 21.931 (4.20)
Igualando terminos entre el polinomio caracterıstico y el polinomio deseado para
el calculo de ganancias del control por seguimiento se obtiene:
K1 + 9.0138 = 11.56 (4.21)
4.3 Diseno de Control por Seguimiento 71
41410Ki = 21.931 (4.22)
10025Ki + K2 + 5.4382K2 = 35.816 (4.23)
a partir de las cuales se obtiene:
Ki = 5.2961 · 10−4 (4.24)
K1 = 2.5471 (4.25)
K2 = 6.3877 (4.26)
La siguiente figura ilustra las conexion de un sistema de seguimiento
implementado con un integrador en MatlabTM − Simulink.
Figura 4.3: Digrama del sistema de seguimiento en MatlabTM − Simulink
Los resultados obtenidos para este esquema de control se ilustran en las
figuras 4.4, 4.5 y 4.6. Para poder apreciar los beneficios obtenidos por el sistema de
seguimiento se realizo una comparacion entre las graficas del sistema compensado y
sin compensar.
4.3 Diseno de Control por Seguimiento 72
a. Valor de la referencia: 1466,1 [rad/s].
Figura 4.4: Entrada/Salida del sistema compensado (control por seguimiento), referencia: 1466,1 [rad/s]
b. Valor de la nueva referencia: 1660,5 [rad/s].
Figura 4.5: Entrada/Salida del sistema compensado (control por seguimiento), referencia: 1660,5 [rad/s]
4.4 Diseno del Control Optimo Cuadratico 73
c. Valor de la nueva referencia: 1780,2 [rad/s].
Figura 4.6: Entrada/Salida del sistema compensado (control por seguimiento), referencia: 1780,2 [rad/s]
Al comparar la respuesta simulada de la planta y la obtenida al implementar
el controlador mediante el sistema de seguimiento, se observa un desempeno mas
eficiente en la curva compensada y que manipula perfectamente la variable de flujo de
combustible (ff) para lograr cualquier valor de referencia.
Tambien se puede observar un pequeno sobresalto en el regimen transitorio
debido a la accion integral, pero este percance puede ser corregido a posteriori por el
control anti-rebote.
4.4 Diseno del Control Optimo Cuadratico
Este enfoque persigue un objetivo similar al esquema anterior excepto por las ventajas
que implica la aplicacion del mismo, las cuales garantizan la estabilidad basado en
ındices de desempeno cuadraticos.
4.4 Diseno del Control Optimo Cuadratico 74
Para este algoritmo, los criterios de diseno, deben cumplir las siguientes
condiciones:
Parametros de diseno:
Q=matriz hermitiana o simetrica real definida positiva (o semidefinida positiva).
R=matriz hermitiana o simetrica real definida positiva (o semidefinida positiva).
se tamara en cuenta la ecuacion de riccati (2.46) indicada en el capıtulo 2:
AT P + PA− P (BR−1B)T P + Q = 0
Haciendo uso de la herramienta MatlabTM se obtendra la matriz K, de valores
de ganancias correspondientes, a traves de la expresion (2.47).
Procedimiento general, para el diseno:
1. Declarar en la consola de MatlabTM las matrices Q y R correspodientes a los
parametros diseno.
2. Utilizar el comando Care que se encarga calcular una solucion unica X para la
ecuacion algebraica de Riccati en tiempo continuo.
[X, L,G] = CARE(A, B, Q, R, S, E)
Cuando los parametros R, S y E son omitidos, se asignan valores prefijados
R = I, S = 0 y E = I.
en donde:
X=Matriz de estados.
L=Matriz de autovalores.
G=Matriz de ganancias.
3. Modificar los valores de Q y R hasta lograr las especificaciones deseadas.
Para la diseno de control optimo en este trabajo se elaboraron una serie de
pruebas con diversas matrices Q y R hasta que se logro conseguir los valores indicados
4.4 Diseno del Control Optimo Cuadratico 75
para lograr resultados que permiten una respuesta sin sobresaltos del tipo amortiguada
y con un error que tiende a cero. Para lo cual se utilizaron las siguientes matrices:
Q =
(1 0
0 1
)(4.27)
R =
(900 0
0 900
)(4.28)
Para tales matrices se obtuvo una solucion de MatlabTM de K = [0.0720 · 10−3,
0.0720 · 10−3, 0.1022 · 10−3], donde:
Ki = 0.0720 · 10−3
K1 = 0.0720 · 10−3
K2 = 0.1022 · 10−3
los resultados se ilustran en las figuras 4.7, 4.8 y 4.9.
a. Valor de la referencia: 1466,1 [rad/s].
Figura 4.7: Entrada/Salida del sistema compensado (control por optimo), referencia: 1466,1 [rad/s]
4.4 Diseno del Control Optimo Cuadratico 76
b. Valor de la nueva referencia: 1660,9 [rad/s].
Figura 4.8: Entrada/Salida del sistema compensado (control por optimo), referencia: 1660,9 [rad/s]
c. Valor de la nueva referencia: 1780,2 [rad/s].
Figura 4.9: Entrada/Salida del sistema compensado (control por optimo), referencia: 1780,2 [rad/s]
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 77
4.5 Diseno de Controladores Clasicos
En esta seccion se implementan redes adelanto-atraso de fase siendo una buena tecnica
para ajustar ganancias de un sistema de control, y de tal manera que cumpla con las
especificaciones que establecidas por el disenador. Tambien se mostrara el diseno de
una estructura de control que es casi universalmente utilizada en la industria. Se trata
de la familia de controladores de estructura fija llamada la familia de controladores
PID.
4.5.1 Diseno de Controlador por Atraso de Fase
La funcion primaria de un compensador en atraso consiste en atenuar la curva de fase
en el rango de alta frecuencia para dar al sistema suficiente margen de fase.
Usando las ecuacion (2.60) del capıtulo 2, tenemos:
Ked = Kc1Ke
Observando la constante del error Ke = 7614, 7 perteneciente a la planta sin compensar
se tomo el siguiente valor de Ked = 0.01 debido a que mejora el margen de fase y el
error en estado estable en un 95 porciento, por lo tanto:
Kc1 =Ked
Ke
=13.3958
7614, 7= 1.7592 · 10−3
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 78
La siguiente grafica ilustra ambos casos:
Figura 4.10: Diagrama de Bode: a la izquierda la planta sin compensar mientras que a la derecha esta
compensada con Kc1
Para desplazar la curva de magnitud hasta los cero decibeles y obtener una nueva
frecuencia de cruce de ganancia para mejorar el desempeno y la estabilidad del
sistema, es necesario utilizar la expresion: 20log 1β
= -20 decibeles, por lo tanto:
β = 10 (4.29)
Seleccionando el aporte de fase basado en la observacion y la experiencia de diseno, se
tiene:
θd + eφ = 50, 2◦ + 10◦ = 60, 2◦ (4.30)
A partir de este valor de margen de fase, se ubica en el diagrama de bode la frecuencia
de cruce deseada (ωgd):
ωgd = 2.22rad
s. (4.31)
Se elige el cero del compensador (frecuencia de cruce en 1/T ) una decada por debajo
de la frecuencia de gananacia de tal modo que resulta:
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 79
1
T=
ωgd
10= 0.222 (4.32)
Luego se calcula:
Kc =Kc1
β= 1.7592 · 10−4. (4.33)
Finalmente se calcula la funcion de transferencia del controlador:
Gc1(s) = Kc(s + 0.222)
(s + 0.0222). (4.34)
Debido a que el compensador no fue suficiente para llegar al desempeno deseado se
anade otro controlador por atraso.
Se asume el valor de Kc2 = 1, para elegir el siguiente aporte:
θd + eφ = 70◦ + 10◦ = 80◦ (4.35)
para una frecuencia deseada de:
ωgd = 2.5549rad
s. (4.36)
Se decrementa en una decada la frecuencia, obteniendo el cero del controlador por
atraso.
1
T=
ωgd
10= 0.2554 (4.37)
Finalmente la funcion de transferencia del segundo controlador es:
Gc2(s) =(s + 2.554)
(s + 0.2554)(4.38)
el Producto en cascada de los controladores resulta:
Gc(s) = 1.7592 · 10−4 (s + 0.222)
(s + 0.0222)· (s + 2.554)
(s + 0.2554)· (4.39)
Los resultados obtenidos al implantar este control se presentan en las figuras 4.10, 4.11
y 4.12.
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 80
a. Valor de la referencia: 1047,2 [rad/s].
Figura 4.11: Entrada/Salida del sistema compensado (control por atraso de fase), referencia: 1047,2
[rad/g]
b. Valor de la nueva referencia: 1256,6 [rad/s].
Figura 4.12: Entrada/Salida del sistema compensado (control por atraso de fase), referencia: 1256,6
[rad/s]
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 81
c. Valor de la nueva referencia: 1455,6 [rad/s].
Figura 4.13: Entrada/Salida del sistema compensado (control por atraso de fase), referencia: 1455,6
[rad/s]
Como se observa en las figuras anteriores, es claro notar una ganancia en tiempo
de la respuesta, la curva es mas suave y la manera eficiente como sigue la referencia,
pese a estas ventajas se paga con un sobresalto de magnitud aceptable.
4.5.2 Diseno de un Controlador Proporcional Integral (PI)
El principio de este metodo consiste en localizar la frecuencia de corte del controlador
en un valor que permita lograr ciertas especificaciones de error en estado estable.
En primer lugar se dibuja el diagrama de bode no compensado (figura 4.14).
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 82
Figura 4.14: Diagrama de bode de la planta sin compensar
Observando la figura anterior se puede notar claramente que para una fase de
θ = −60, 2 se tiene una frecuencia de cruce en el valor ωgd = 15, 6 · rads
por lo tanto
usando las ecuaciones (2.80) y (2.82) del capıtulo 2, tenemos:
Kp = 1/|Gp(ωgdj)| (4.40)
Kp = 1/(2.3377 · 103) = 6.6731 · 10−4 (4.41)
Por lo tanto, podemos obtener:
Ki =Gp(ωgdj)
10Kp
Ki =15, 6
106.6731 · 10−4 = 4.2777 · 10−4 (4.42)
La funcion de transferencia del controlador resultante es:.
Gc(s) =Ki + Kps
s=
(4.2777 · 10−4 + 6.6731 · 10−4s)
s· (4.43)
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 83
En las figuras 4.15, 4.16 y 4.17 y se muestran los resultados de la simulacion del sistema
con este tipo de control.
a. Valor de la referencia: 1466,1 [rad/s].
Figura 4.15: Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral (PI)), referencia:
1466,1 [rad/s]
b. Valor de la nueva referencia: 1660,5 [rad/s].
Figura 4.16: Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral (PI)), referencia:
1660,5 [rad/s]
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 84
c. Valor de la nueva referencia: 1780,2 [rad/s].
Figura 4.17: Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral (PI)), referencia:
1780,2 [rad/seg]
La respuesta para este control es satisfactoria debido a que, en estado estable y
para cualquier valor de referencia, el error tiende a cero. Tambien la respuesta es mas
rapida, aunque estan los sobresaltos por error de integracion no son un problema de
magnitud debido a que se pueden corregir con un sistema anti-rebote.
4.5.3 Diseno de Controlador Proporcional Integral (PID)
Para iniciar con el diseno de este controlador se debe tener en cuenta que se requiere
disenar un controlador del tipo PD, puesto que el PID es la suma de los enfoques: PD
para regimen transitorio y PI para regimen estacionario.
Diseno de Controlador PD
El principio de este metodo consiste en localizar la frecuencia de corte del
controlador en un valor que permita lograr mejoras en el regimen transitorio como se
explica en la seccion (2.4.2).
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 85
Con el diseno del PI se consiguio satisfacer mejoras de error en estado estable
de un 95 porciento. Es por ello que utilizaremos el mismo valor de Kp. En la figura
(4.18) se muestra el diagrama de bode compensado con dicho valor de Kp.
Figura 4.18: Diagrama de Bode: a la izquierda, la planta sin compensar; a la derecha, esta la planta
compensada con Kp
Luego, se determina la contribucion angular del controlador a partir del valor
de margen de fase mostrado en la grafica anterior.
θc = θd − θp + eφ = 130◦ − 109◦ + 9◦ = 30◦ (4.44)
Dado que θc < 45◦, se elige un valor de frecuencia deseada a la derecha de la frecuencia
de cruce del sistema.
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 86
Figura 4.19: Diagrama de Bode compensado con Kp
En la figura anterior se puede observar una fase de θ = −80, 1 tenemos una
frecuencia de cruce en el valor ωgd = 50, 6 · rads
Usando la ecuacion siguiente:
ωgd =Kp
Kd
(4.45)
tenemos:
Kd =Kp
ωgd
(4.46)
Kd =6.6731 · 10−4
50.6= 1.3188 · 10−5 (4.47)
Una vez obtenido los dos controladores, se pueden calcular los parametros del
PID con las ecuaciones (2.85), (2.86), (2.87) y (2.88) del capıtulo 2:
Kp = Kp2 + Kd1Ki2
Kp = 6.6732 · 10−4 (4.48)
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 87
Kd = Kd1Kp2
Kd = 8.8005 · 10−9 (4.49)
Ki = Ki2
Ki = 4.2777 · 10−4 (4.50)
Finalmente la funcion de transferencia del controlador es:
Gc(s) = Kp +Ki
s+ Kds
Gc(s) = 6.6732 · 10−4 +4.2777 · 10−4
s+ 8.8005s · 10−9· (4.51)
Debido que, al implementar el controlador en el modelo real de la turbina
no responde satisfactoriamente y genera errores de procesamiento, se ajustan los
parametros de diseno hasta lograr la siguiente funcion de transferencia con la cual
si alcanzar la respuesta deseada.
Gc(s) = 1.4620 · 10−5 +0.086
s+ 2.4854s · 10−10 (4.52)
Los resultados obtenidos al implantar este control se presentan en las figuras 4.20, 4.21
y 4.22.
a. Valor de la referencia: 1466,1 [rad/s].
Figura 4.20: Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral derivativo(PID)),
referencia: 1466,1 [rad/s]
4.5 Diseno de Controladores Clasicos 88
b. Valor de la nueva referencia: 1660,5 [rad/s].
Figura 4.21: Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral derivativo(PID)),
referencia: 1660,5 [rad/s]
c. Valor de la nueva referencia: 1780,2 [rad/s].
Figura 4.22: Entrada/Salida del sistema compensado (control proporcional integral derivativo(PID)),
referencia: 1780,2 [rad/s]
4.6 Diseno de Esquema Anti-Rebote (Anti-Windup) 89
Como se aprecia en la figura anterior, la respuesta del sistema controlado en el
regimen transitorio muestras mejorıa, tales como: suavidad en la curva de respuesta, el
error estacionario tiende a cero y llega adecuadamente a la referencia con un pequeno
sobresalto pero no puede ocasionar danos fısicos relevante a la planta real por la sencillez
de su magnitud, ademas de poder corregirse con un sistema anti-rebote.
4.6 Diseno de Esquema Anti-Rebote (Anti-
Windup)
Para el siguiente diseno los parametros fueron obtenidos de manera empırica.
Implementando el esquema presentado en la figura 2.6 y siguiendo los casos:
1. Caso 1: Sin compensacion Kcr, ni saturacion.
Figura 4.23: Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador sin antirebote) y la plata sin
compensador
En donde:
Kcr= Ganancia de realimentacion del esquema antirebote.
Como se observa en la figura 4.23 hay un sobresalto producto del control PI al
integrar el error, en lo que sigue se aplicara el anti-rebote con diversos valores
4.6 Diseno de Esquema Anti-Rebote (Anti-Windup) 90
hasta obtener los resultados deseados de la respuesta.
2. Sin compensacion Kcr con saturacion de [0.1,-0.1].
Figura 4.24: Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion [0.1,-0.1] sin Kcr)
3. Sin compensacion Kcr con saturacion de [0.2,-0.2]
Figura 4.25: Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion [0.2,-0.2] sin Kcr)
La respuesta de la velocidad saturada segun la figura 4.25 no muestra mejora,
siendo esta igual a la senal sin saturar.
4. Con compensacion de Kcr = 8, saturacion [0.1,-0.1]
4.6 Diseno de Esquema Anti-Rebote (Anti-Windup) 91
Figura 4.26: Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion [0.1,-0.1] con Kcr=2000)
En esta experiencia se calculo el valor de Kcr = 1Ki
= 2000, que al aplicarse no
se obtuvieron resultados satisfactorios (figura 4.27).
5. Con compensacion de Kcr = 8, saturacion [0.1855,-0.1855]
Figura 4.27: Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion [0.1855,-0.1855] con
Kcr=8)
Observando la figura anterior la compensacion con los parametros establecidos
logra anular el error de integracion, limita la accion de potencia acoplada al eje
de la turbina y ofrece una respuesta mas rapida de establecimiento.
4.6 Diseno de Esquema Anti-Rebote (Anti-Windup) 92
6. Con compensacion de Kcr= 8, saturacion [0.19,-0.19]
Figura 4.28: Entrada/Salida del sistema compensado (Gobernador con saturacion [0.19,-0.19] con Kcr=8)
La figura 4.28 indica que no hay cambios de ningun tipo en la respuesta del
sistema, lo que implica que los valores implementados no funcionaron.
Estudiando las graficas se demuestra que los parametros eficientes para aplicar
el algoritmo antirebote son los utilizados en el punto 5, debido a que elimina el error
en estado estable y mejora la velocidad de respuesta de manera muy aceptable.
4.7 Analisis y Comparacion entre los Enfoques previamente mencionados 93
4.7 Analisis y Comparacion entre los Enfoques
previamente mencionados
Esta seccion pretende ilustrar mediante graficas los resultados correspondientes a cada
controlador donde se observan las diversas respuestas de la velocidad de la turbina ωt
en rads
.
a. Para un valor de referencia de 13500 r.p.m o 1413,7 rads
.
Figura 4.29: Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia = 1413,7 rads
4.7 Analisis y Comparacion entre los Enfoques previamente mencionados 94
b. Para un valor de referencia de 13800 r.p.m o 1445,1 rads
.
Figura 4.30: Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia = 1445,1 rads
c. Para un valor de referencia de 15860 r.p.m o 1660,9 rads
.
Figura 4.31: Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia = 1660,9 rads
4.7 Analisis y Comparacion entre los Enfoques previamente mencionados 95
d. Para un valor de referencia de 17000 r.p.m o 1780,2 rads
.
Figura 4.32: Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia = 1780,2 rads
e. Para un valor de referencia de 18000 r.p.m o 1885 rads
.
Figura 4.33: Respuesta del sistema, comparacion entre controladores con referencia = 1885 rads
4.7 Analisis y Comparacion entre los Enfoques previamente mencionados 96
Como se puede apreciar en las graficas anteriores, es sencillo clasificar al control
optimo como el unico que reune las siguientes carcaterısticas:
1. El error tiende a cero en estado estable para las variaciones de la referencia.
2. La curva no tiene sobresaltos siendo del tipo sobre-amortiguado e igual para las
diversas variaciones de la referencia.
3. Mejora el tiempo de respuesta para todos los cambios de la referencia.
Capıtulo 5
Implantacion de Algoritmos de
Control Bajo PLC.
Este capıtulo muestra como debe ser la implantacion de los algoritmos de control
usando la plataforma logix 5000 y estableciendo la comunicacion a traves de MatlabTM
con el Xpc y los puertos seriales RS − 232 o TCP/IP .
5.1 Introduccion
Para la implantacion de los algoritmos desarrollados podrıa usarse una plataforma
logix 5000 o un dispositivo para la comunicacion serial RS232 - TCPIP a traves del
Xpc para la transmision de datos, estos dispositivos son de suma importancia debido
a que permiten supervisar un proceso en tiempo real, esta seccion pretende servir de
guıa, explicando como seria la aplicacion real de los enfoques disenados en el capıtulo
4 e implementarlos bajo un PLC y ası controlar el desempeno de una turbina de gas
combustible.
Para elaborar tal implantacion se debe seleccionar mediante simulaciones,
pruebas y ajustes los algoritmos de control que mejor desempeno logren, para
luego discretizarlos y traducirlos a los lenguajes de programacion manejados por el
5.2 Transmision a traves de MatlabTM usando comunicacion serial RS-232 y/o TCP/IP.98
PLC debido a que este es un dispositivo digital que ademas posee 4 lenguajes de
programacion diferentes, los cuales son:
1. Funciones de Diagramas de Bloque: Aplicaciones donde se produce flujo de
informacion entre componentes de control.
2. Lenguaje de alto nivel: Similar a Pascal, es utilizado para desarrollar expresiones
complejas con un amplio rango en el manejo de datos.
3. Listado de instrucciones: Lenguaje de bajo nivel, basado en funciones de algebra
logica en donde solo es permitida una operacion por lınea.
4. Software de Programacion: La plataforma Logix de Rockwell Automation trabaja
con un software de programacion comun denominado RSLogix 5000, el cual
brinda herramientas para la programacion de aplicaciones a traves de lenguajes
estandares.
Con la implantacion de los algoritmos se pretende controlar la velocidad de
respuesta de la turbina y mejorar el desempeno de la misma.
5.2 Transmision a traves de MatlabTM usando
comunicacion serial RS-232 y/o TCP/IP.
El Xpc TargetBoxTM es distribuido por MathWorks. Es una PC Industrial con una
configuracion personalizada que provee una solucion de hardware de puesta en marcha
inmediata para las mas populares aplicaciones de prototipaje rapido.
5.2 Transmision a traves de MatlabTM usando comunicacion serial RS-232 y/o TCP/IP.99
5.2.1 Xpc
Este dispositivo provee a un sistema de tiempo real integrado, basado en un PC para
la ejecucion de codigo generado automaticamente desde Real-Time Workshop (The
MathWorks 2007).
Figura 5.1: Xpc TargetBoxTM
El Xpc soporta dos protocolos de conexion y comunicacion entre un computador
origen y destino: conexion serial y por internet. En la conexion serial la computadora
origen y destino estan conectadas directamente con un cable serial utilizando los puertos
RS232. Este cable es conectado a un enlace de MODEM nulo que puede ser de mas
de 5 metros y con una tasa de transferencia entre 1200 y 115200 baudios.
5.2.2 Conexion de la Red para un Xpc
Las computadoras origen y destino son conectadas a traves de una red. La red puede
ser del tipo LAN , INTERNET o una conexion directa utilizando un cable cruzado
para ETHERNET .
5.2 Transmision a traves de MatlabTM usando comunicacion serial RS-232 y/o TCP/IP.100
Los computadores origen y destino son conectados a la red con tarjetas para
ETHERNET utilizando el protocolo de comunicacion TCP/IP . La transferencia de
datos puede ser de 10 megabits por segundo o 100 megabits por segundo.
Figura 5.2: Conexion entre PC, a traves de comunicion serial RS232 y TCPIP
Debe instalarse un software destino Xpc en el computador de origen, pero no
es necesario. El software se puede bajar desde la web. Antes de instalar el Xpc, se
debe obtener un archivo de licencia valido o una clave personal.
El archivo de licencia o la clave de la licencia personal identifica los productos
comprados a MathWorks y los paquetes permitidos para uso e instalacion.
5.2.3 Propiedades del Ambiente Xpc.
Estas propiedades dan informacion al Xpc sobre los productos de software y hardware
con los que trabaja. Se pueden cambiar algunas propiedades, mientras que otras
raramente se pueden cambiar.
Procedimiento para la aplicacion del ambiente Xpc: en la ventana de comandos
5.2 Transmision a traves de MatlabTM usando comunicacion serial RS-232 y/o TCP/IP.101
de Matlab siga los siguientes pasos:
1. Escriba xpcsetup para que se abra el cuadro de dialogo.
2. La ventana del Xpc.
Figura 5.3: Ventana con propiedades de configuracion
3. Para la opcion Ccompiler: Se puede seleccionar Visual C o Watcom.
4. La opcion CompilerPath: Debe escribirse la ruta donde fueron instalados sus
compiladores de C y C + +.
5. HostTargetComm: Debe seleccionar RS − 232.
6. RS232HostPort: Permite seleccionar el COM1 o COM2 para la conexion al
computador destino. El Xpc determina el puerto COM que debe utilizar el
computador automaticamente.
5.3 Plataformas Logix 5000 102
7. RS232BaudRate: Permite seleccionar el rango de baudios de la conexion serial.
8. Una vez finalizados los cambios a las propiedades, oprimir el boton con la opcion
update.
El Xpc actualiza el ambiente de trabajo con las nuevas propiedades, no es
necesario salir y reiniciar Matlab, aun si se cambie la comunicacion entre el origen y
destino de RS − 232 a TCP/IP .
5.3 Plataformas Logix 5000
Las plataformas Logix de Allen-Bradley proporcionan una unica arquitectura de
control integrada para el control discreto de procesos, movimiento y variadores. Las
plataformas Logix proporcionan una maquina de control, un entorno de software
de programacion y compatibilidad para comunicaciones comunes a traves de varias
plataformas de hardware.
Figura 5.4: Control Logix 5555 de Allen-Bradley
Todos los controladores Logix funcionan con un sistema operativo de multitarea,
multiprocesamiento y aceptan el mismo conjunto de instrucciones en varios lenguajes
de programacion (Rockwell Automation 2005).
5.3.1 Caracterısticas de la Plataforma Logix 5000
El software RSLogix 5000 Enterprise Series esta disenado para funcionar con las
plataformas Logix de Rockwell Automation.
5.3 Plataformas Logix 5000 103
Tambien admite configuracion y programacion de ejes para el control de
movimiento, desarrollando las siguientes actividades:
• Crear y Modificar el codigo ejecutable.
• Supervisar datos en lınea.
• Configurar las comunicaciones.
• Configurar modulos I/O y dispositivos.
El software RSLinx (serie 9355) es un paquete de servidor de comunicacion
que proporciona conectividad de dispositivos a nivel de la planta para una amplia
variedad de aplicaciones. RSLinx permite que multiples aplicaciones de software se
comuniquen simultaneamente con una serie de dispositivos en muchas redes diferentes
(Jorge Vento 2005).
5.3.2 Lenguajes de Programacion
La Comision Internacional Electrotecnica (IEC) define una normativa de
estandarizacion a mediados de los anos 90, en su estandar IEC 61131, donde define 4
lenguajes normalizados (Rockwell Automation 2005).
1. Funciones de Diagramas de Bloque: Utilizados en aplicaciones donde se produce
flujo de informacion entre componentes de control, debido al manejo de los
elementos como bloques que pueden ser facilmente conectados entre sı en forma
similar a un circuito.
2. Lenguaje de alto nivel: Similar a Pascal, es utilizado para desarrollar
expresiones complejas con un amplio rango en el manejo de datos, ademas
posee instrucciones para ejecutar lazos de repeticion, estructuras condicionales y
funciones aritmeticas.
3. Listado de instrucciones: Lenguaje de bajo nivel, basado en funciones de algebra
logica en donde solo es permitida una operacion por lınea y cuyo manejo puede ser
5.4 Implatacion Digital de Algoritmos de Control 104
tedioso para grandes aplicaciones por ser similar al lenguaje ensamblador, cada
instruccion consta de un componente armonico de operacion y una direccion que
identifica elementos particulares dentro del controlador.
4. Software de Programacion: La plataforma Logix de Rockwell Automation
trabaja con un software de programacion comun denominado RSLogix 5000,
el cual brinda herramientas para la programacion de aplicaciones a traves de
lenguajes estandares, estableciendo un ambiente de programacion que eleva la
productividad, ofrece facilidad de mantenimiento y brinda estabilidad al sistema.
5.4 Implatacion Digital de Algoritmos de Control
El software permite organizar y configurar toda la informacion necesaria para controlar
el proceso en tiempo real mediante la creacion de un proyecto. La tabla 5.1 muestra
como configurar los datos para crear un proyecto nuevo.
Tipo del controlador Tipo del controlador
Tipo del Chasis 1756 10 Slot Control-Logix Chasis
Numero de Slot del controlador 5
Descripcion opcional
Nombre del controlador Control Optimo
Revision 11
Tabla 5.1: Propiedades del Proyectos
El controlador digital implementado consta de una tarea periodica con un solo
programa. El programa agendado en la tarea se compone de la rutina principal y
las subrutinas. En las subrutinas se deben implantar los algoritmos de control para
aplicar al sistema de turbinas de gas combustible, que debe ser editado en lenguaje
escalera.
5.4 Implatacion Digital de Algoritmos de Control 105
Para editar los algoritmos de control en lenguaje escalera es necesario discretizar
los controladores obtenidos lo que da como resultado la senal de control a envıar hacia
la valvula donde pasa el flujo de combustible.
Figura 5.5: Conexion con el Control Logix
Capıtulo 6
Conclusiones y Recomendaciones
Al finalizar esta tesis se han podido obtener importantes conclusiones, como el
desarrollo de algoritmos para el control de turbinas a gas combustible, que permiten
hacer comparaciones con cualquier aplicacion de control existente en la industria
logrando una solucion de facil manejo y flexible a modificaciones.
Se puede comprender la complejidad y la gran cantidad de tecnicas matematicas
que implica el desarrollo de las estrategias de control presentadas en este proyecto, por
lo cual este trabajo tambien pretende servir de aporte al estudio de los algoritmos de
control para turbinas bajo Plataformas - automatizadas y transmision de informacion
en tiempo real.
Al cabo de la construccion de los modelos de control, estos demostraron
resultados conforme a los objetivos planteados. La razon principal que conllevo a
los mismos fue la identificacion del sistema mediante la tecnica de mınimos cuadros
alrededor de un punto de operacion. A pesar que, el proceso es no lineal y los datos
no fueron extraıdos directamente de un modelo real sino de un simulador previamente
elaborado por Alstrom Company.
Las simulaciones e implementaciones en MatlabTM−Simulink de los esquemas
de control indican que cada algoritmo tiene su proposito particular y se piensa que
6 Conclusiones y Recomendaciones 107
los resultados constituyen un aporte significativo al momento de establecer cualquier
necesidad planteada.
Para la implantacion de los controladores en el PLC se menciona como deberıa
hacerce usando la tecnologıa de Rockwell Automation disponible en la escuela de
sistemas de la Universidad de los Andes, siendo una herramienta muy util debido ha
que cuenta con paquetes de software que permiten programar cualquier algoritmo
de control que dependa de operaciones matematicas como sumas, restas, productos,
divisiones, integraciones, derivaciones, incluso mas complejas, a traves de editores de
lenguaje escalera, texto estructurado, diagrama de bloques funcionales.
Otra herramienta util es el Xpc de MatlabTM para transmitir datos en tiempo
real de PC a PC por medio del puerto serial RS-232 o vıa TCP/IP, la facilidad
del mismo para adaptarse a cualquier tecnologıa actual en el campo del control de
procesos industrial es un motivo de relevancia para mencionarlo en este trabajo.
como recomendacion principal, se sugiere la toma de datos directamente
de un modelo de turbina real, para considerar otras variables que podrıan ser
importantes en la dinamica del proceso, ya que este trabajo no utilizo informacion
de una fuente real sino de un modelo previamente elaborado en MatlabTM−Simulink.
De tal manera de lograr una identificacion mas compleja para la continuacion
de este proyecto implantando los algoritmos bajo un PLC en cualquiera de sus
lenguajes disponibles, para su futuro uso en la industria o la universidad. A su
vez se propone implementar otros esquemas o enfoques de control para observar su
desempeno y ofrecer mas alternativas utiles.
Tambien se puede hacer enfasis en la implantacion de controladores bajo
Plataformas de automatizacion que manejen entornos de programacion libre, de tal
manera de evitar inconvenientes con licencias, permisos o costosas asesorıas por parte
de companıas privadas.
Bibliografıa
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Burden Fairs (1996), Analisis Numerico, segunda edn, Editorial Iberoamerica.
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Virginia Mazzone (2002), Estructuras practicas de control siso. http://iaci.unq.
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Anexo A
Codigos y Pantallas Usadas en el
Editor de MatlabTM
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas
Combustible HTDU
%file in1_htdu.m ’m’ file to initialise HTDU
%model: model htdu8.m and
later
R B Page: 26/9/96
Conditions to model dynamic run
% -------------- p l o t d a t a ---------------
Num_pts = 1e4; Dec_int = 100;
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 111
% --------- I S O d a y c o n d i t i o n s
Tiso = 288.16; % ISO day temperature [K]
Piso = 101325; % ISO day pressure [N/m^2]
---------- table of Cp and Gamma for air -------------
table organised as [ T[K] Cp[kJ/kg] gamma ]
CpGmAir=[ 100 1002 1.401
200 1002 1.401
298.15 1005 1.400
400 1013 1.395
500 1030 1.387
600 1051 1.376
700 1075 1.364
800 1099 1.354
900 1121 1.344
1000 1141 1.336
1100 1159 1.329
1200 1174 1.323
1300 1188 1.318
1400 1200 1.314
1500 1211 1.311
1600 1221 1.308
1700 1229 1.305
1800 1237 1.302
2000 1250 1.298 ];
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 112
%---------- table of Cp and Gamma for combustion gas ---
% table organised as [ T[K] Cp[kJ/kg] gamma ]
% table below shows Cp as function of t from gate cycle
%data: note Cp
%also function of air fuel ratio
CpGmGas=[ 734 1121
861 1163
902 1162
940 1174
1080 1233
1143 1225
1190 1238
1289 1289
1332 1279
1399 1297
1561 1329
1619 1348 ];
% to smooth data fit polynomial
[p_ s_]=polyfit(CpGmGas(:,1),CpGmGas(:,2),2);
% generate new table from poly using same temperature
%range as for air
temp_=polyval(p_,CpGmAir(:,1));
CpGmGas=[CpGmAir(:,1) temp_];
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 113
% ----------- table of gamma for combustion gas -------
GmGas= [ 902 1.331
940 1.331
1143 1.314
1190 1.310
1332 1.299
1399 1.294
1561 1.286
1619 1.281];
% to smooth data fit polynomial
[p_ s_]=polyfit(GmGas(:,1),GmGas(:,2),2);
% generate new table from poly using same temperature
%range as for air
temp_=polyval(p_,CpGmAir(:,1)); CpGmGas=[CpGmGas temp_];
% cleanup
%clear p_ s_ temp_ GmGas;
% --------- gas constant for air --------------------
%Rgas = 287; % gas constant for air [J/kg/K]
% --------- C o m p r e s s o r d a t a -----------
% load date CompP1 CompN0 CompNmax CompM1 CompE1
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 114
load comp_dat;
% CompM1= matrix of compressor mass flows [kg/s]
% each column represents a particular compressor
%speed
%each row a particular compressor pressure ratio
%Pout/Pin
% CompN0= vector of compressor speeds [RPM]
%each element in n0 defines the speed associated with
%each column of m1
% CompP1= vector of pressure ratios
%each element in p1 defines the pressure ratio
%associated with each row of m1
% CompNmax= scaler 100% compresser speed [RPM]
% CompE1= polytropic efficiency [per unit]
CompM1= CompM1 *sqrt(Tiso)/Piso; % corrected mass flow
CompN0= CompN0 * (2*pi/60) / sqrt(Tiso);% corrected
%speed
%GcM = 1.4; % gamma for air at mean compressor
%temperature
TcS = .01; % compressor heat
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 115
%soak time constant [s]
%CpCm = 1000; % mean compresser Cp [J/kg/K]
% ------------- T u r b i n e D a t a --------------
% Hodge tables for turbine impedance;
%single stage turbine
Hodge1Pr=[0 1 1.003 1.006 1.02 1.041 1.07
1.09 1.113 1.1431.178 1.217 1.270
1.342 1.446 1.603 1.725 2.01e33];
Hodge1Wr=[0 0 .1 .2 .3 .4 .5 .55
.6 .65 .7 .75 .8 .85 .9 .95 .975 1
1];
Ke0 = 2.6; % Hodge efficiency curve ’shape’ coefficient
Ke1 = sqrt(Ke0)+1; % Hodge efficiency curve coefficient
EtD = .8; % Turbine efficiency at the design point
KsrD= 1.989; % Turbine design point pressure ratio
KfrD= 5.61e-4; % Turbine design point flow ratio
%CtCm = 1000; % Turbin mean Cp [J/kg/K]
%GtM = 1.4; % Turbine mean gamma
TtS =.01; % Turbine heatsoak time constant [s]
TtSic= 300; % Initial condition on heat soak
%time constant [K]
% ------ P r e s s u r i s i n g V a l v e ---------
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 116
% valve effective area tables:-
PrV = [.1 .274 .4]; % pressure ratio P2/P1
AnV = [0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 55]; % valve
%angle [Deg]
AeV = [.0300 .0303 .0311 .0323 .0340 .0363
.0390 .0421 .0456 .0495
.0538 .0591 .0296 .0299
.0305 .0318 .0334 .0357
.0384 .0415 .0449
.0487 .0530 .0581 .0289
.0294 .0299 .0311 .0328
.0350 .0376 .0406
.0438 .0477 .0520 .0569]; % effct area [m^2]
%GmV = 1.3; % ratio of specific heats for air in valve
%Rv = 287; % gas constant for air in valve [J/kg/K]
CdV = 0.97; % Valve Cd
AvI = 40; % Initial valve angle, prior to time AvT [Deg]
AvF = 63.15; % Final valve angle, after time AvT [Deg]
AvT = 7; % Time at which valve angle
%changes from AvI to AvF [s]
% -------- C o m b u s t i o n C h a m b e r ------------
% temperature rise tables
TcI = [300 400 500 600 700 800 900];% Inlet air
%temperature [K]
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 117
AcfR = [.004 .016 .025]; % Air fuel ratio
TcR = [ 172 595 935
170 580 910
165 565 890
160 550 870
155 540 855
150 525 835
145 515 920];
% temperature rise liquid fuel [K]
TcR = TcR*49.0/42.6;
% correct tempreature rise: Liquid >> Gas [K]
%----- R e s i s t i v e p i p e s e c t i o n s -----
LcR1 = 1167; % loss coeff R1; compressor inlet duct loss
LcR2 = 2.28e5; % loss coeff R2; compressor o/p diffuser loss
LcR3 = 4.78e5; % loss coeff R3; combustion chamber loss
FcR4 = 4.85e-5; % flow coeff R4; cooling air bleed flow
FcR6 = 3.59e-5; % flow coeff R5; cooling air bleed flow
% ------------ inlet conditions ---------------------------
Pinlet = 1.009e5; % inlet air pressure [N/m^2]
Tinlet = 273.6; % inlet air temperature [K]
% ---- P l e n u m v o l u m e s ------------------------
% V1: i n l e t d u c t
%GmV1 = 1.4; % gamma for air in volume 1
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 118
PiV1 = 1e5; % initial pressure of air in volume V1 [N/m^2]
TiV1 = 300; % Initial temperature of air in volume V1 [K]
V1 = 9.75; % volume V1 [m^3]
% V2: c o m p r e s s o r + o u t l e t d i f f u s e r
%GmV2 = 1.4; % gamma for air in volume 2
PiV2 = 1e5; % initial pressure of air in volume V2 [N/m^2]
TiV2 = 300; % Initial temperature of air in volume V2 [K]
V2 = 0.273; % volume V2 [m^3]
% V3: o u t e r c a s e o f c o m b u s t c h a m b e r
%GmV3 = 1.4; % gamma for air in volume 3
PiV3 = 1e5; % initial pressure of air in volume V3 [N/m^2]
TiV3 = 300; % Initial temperature of air in volume V3 [K]
V3 = 0.032; % volume V3 [m^3]
% V4: c o m b u s t i o n c h a m b e r
%GmV4 = 1.32;% gamma for air in volume v4
PiV4 = 1e5; % initial pressure of air in volume V4 [N/m^2]
TiV4 = 300; % Initial temperature of air in volume V4 [K]
V4 = 0.02; volume V4 [m^3]
V5: t u r b i n e o u t l e t d i f f u s e r
%GmV5= 1.35; % gamma for air in volume 5
PiV5 = 1e5; % initial pressure of air in volume V5 N/m^2]
TiV5 = 300; % Initial temperature of air in volume V5 [K]
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 119
V5 = 0.305; % volume V5 [m^3]
% -------------- CP of gas streams into gas junction -------
%Cp4 = 1000; % CP of bleed air flow [J/kg/K]
%Cp5 = 1300; % CP of gas in combustion chamber [J/kg/K]
%Cp6 = 1000; % CP of gas at turbine outlet [J/kg/K]
% -------------------- mechanical load ----------------------
Jl = 4.8; % total inertia [kg m^2]
Tl = 2.018e-5; % torque loss coeff [Nm]/[rad/s]^2
Ws1 = 7000*2*pi/60; % initial turbine speed at time t=0 [rad/s]
Ws2 = 10000*2*pi/60; % turbine speed at end of starter
%ramp at time t=Ts1[rad/s]
Ts1 = .5; % time at end of starter ramp [s]
Ts2 = .75; % time at end of starter hold time [s]
% --------------- gobernador ------------------------
Gi = .5e-3; % ganancia integral del gobernador
Gp = 1e-3; % ganancia proporcional del gobernador
Ts3 = 1.5; % rompiento del 2do tiempo del flujo de
%combustible[seg]
Ws4 = 11500*2*pi/60; % speed at which governor
%activated [rad/s]
Ws5 = 12286*2*pi/60;
% governor 1st speed set point [rad/s]
Ws6 = 17000*2*pi/60; %
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 120
% 15860 governor 2nd speed set point
Ts6 = 10;
% time at which 2nd speed set point activated
Fr1 = .05;
% initial fuel flow ramp rate [kg/s/s]
Fr2 = .05;
% final fuel flow ramp rate [kg/s/s]
Sdr = 1000*2*pi/60;
% speed demand rate limit [Rad/s/s]
%--------- Control por seguimiento ---------------------
TWf=10;
% tiempo de activacion del set point final
Winicio=12286*2*pi/60;
% 1ra Velocidad deseada de operacion [rad/seg]
Wfinal=17000*2*pi/60;
% 2da Velocidad deseada de operacion,
%set point final [rad/seg]
K1s=2.5471; K2s=6.3877; Kir=5.2961e-004;
%--------------Adelanto-Atraso ------------------------
Kc=1.7592e-004; beta=10; T1=4.5045; T2=0.3922;
%-------------- PID -----------------------------------
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 121
Kp=1.4620e-005; Ki=0.086; Kd=2.4854e-010;
%-------------- PI ------------------------------------
Kii=4.2777e-004 Kip=6.6731e-004;
%-------------Control Optimo ---------------------------
A=[-9.138 -5.4382;1 0];
B=[1 0;0 0]; C=[10025 41410]; D=[0];
S=eye(2)*0; QB=eye(2)*1; RB=eye(2)*900;
%QA=eye(2)*1;
%RA=eye(2)*2;
%Q1=eye(2)*1;
%R1=eye(2)*1;
%Q2=eye(2)*100;
%R2=eye(2)*100;
%Q3=eye(2)*1e-002;
%R3=eye(2)*1e-002;
%Q4=eye(2)*1e-003;
%R4=eye(2)*1e-003;
%Q5=eye(2)*1e-004;
%R5=eye(2)*1e-004;
%*************** Polinomio de Riccati
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 122
%[P,L,G] = care(A,B,QB,RB,S)
%*** Variacion de parametros Q y R de dise~no ********
%*** Variacion con R1 y Q1
%P = [0.0645 0.0912; 0.0912 1.1896];
%L = [-8.5562;-0.6462];
%G = [0.0645 0.0912;0 0];
%K1r = 0.0645;
%K1 = 0.0645;
%K2 = 0.0912;
%*************** Variacion con R1 y Q2
%P = [4.8403 5.9449; 5.9449 109.4215];
%L = [-13.1100;-0.8683];
%G = [4.8403 5.9449;0 0];
%K1r = 4.8403;
%K1 = 4.8403;
%K2 = 5.9449;
%*************** Variacion con R1 y Q3
%P = [0.0006 0.0009;0.0009 0.0119];
%L = [-8.4986;-0.6400];
%G = 1.0e-003*[0.6477 0.9193;0 0];
%K1r = 1.0e-003*0.6477;
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 123
%K1 = 1.0e-003*0.6477;
%K2 = 1.0e-003*0.9193;
%*************** Variacion con R1 y Q4
%P = [0.0006 0.0009;0.0009 0.0119];
%L = [-8.4986;-0.6400];
%G = 1.0e-003*[0.6477 0.9193;0 0];
%************** Variacion con R2 y Q1
%P = [0.0648 0.0919; 0.0919 1.1924];
%L = [-8.4986;-0.6400];
%G = 1.0e-003*[0.6477 0.9193; 0 0];
%************** Variacion con R2 y Q2
%P = [0.0648 0.0919;0.0919 1.1924]
%L = [-8.4986; -0.6400]
%G =1.0e-003 *[0.6477 0.9193;0 0]
%************** Variacion con R2 y Q3
%P = [0.0006 0.0009;0.0009 0.0119];
%L = [-8.4981;-0.6399]
%G = 1.0e-005*[0.6478 0.9194;0 0];
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 124
%K1r = 1.0e-005*0.6478;
%K1 = 1.0e-005*0.6478;
%K2 = 1.0e-005*0.9194;
%************** Variacion con R2 y Q4
%P = [0.0001 0.0001;0.0001 0.0012];
%L = [-8.4981;-0.6399]
%G =1.0e-006*[0.6478 0.9194;0 0];
%K1r = 1.0e-006*0.6478;
%K1 = 1.0e-006*0.6478;
%K2 = 1.0e-006*0.9194;
%************** Variacion con R2 y Q5
%X = 1.0e-003*[0.0065 0.0092;0.0092 0.1192]
%L = [-8.4981;-0.6399]
%G = 1.0e-007*[0.6478 0.9194;0 0]
%K1r = 1.0e-0014*0.6478;
%K1 = 1.0e-0014*0.6478;
%K2 = 1.0e-0014*0.9194;
%************** Variacion con RA y QA
%P = [0.0646 0.0916;0.0916 1.1910];
%L = [-8.5272;-0.6431];
%G = [ 0.0323 0.0458;0 0];
%K1r = 0.0323;
A.1 Codigo Fuente de la Turbina de Gas Combustible HTDU 125
%K1 = 0.0323;
%K2 = 0.0458;
%************** Variacion con R3 y Q1
%P = [0.0484 0.0594;0.0594 1.0942]
%L = [-13.1100;-0.8683]
%G = [4.8403 5.9449;0 0]
%*************** Variacion con Q1 y R2
%P = [0.0648 0.0919;0.0919 1.1924];
%L = [-8.4986;-0.6400];
%G = 1.0e-003*[0.6477 0.9193;0 0];
%*************** Variacion con Q1 y R3
%P = [0.0484 0.0594;0.0594 1.0942];
%L = [-13.1100;-0.8683];
%G = [4.8403 5.9449;0 0];
%*************** Variacion con Q1 y R4
%P = [0.0246 0.0266;0.0266 1.0322];
%L = [-32.7363;-0.9802];
%G = [24.5785 26.6488;0 0];
%K1 = 14.5785;
%K2 = 16.6488;
A.2 Codigo para generar las graficas de las diversas variables que maneja el
modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 126
%************************************************
%************************************************
%****************** Con QB y RB
%P = [0.0648 0.0919;0.0919 1.1924];
%L = [-8.4981;-0.6399];
%G = 1.0e-003*[0.0720 0.1022;0 0];
K1r=1.0e-003*0.0720; K1op=1.0e-003*0.0720;
K2op=1.0e-003*0.1022;
A.2 Codigo para generar las graficas de las diversas
variables que maneja el modelo de la Turbina
de Gas Combustible HTDU
file plt_t2.m plot commands for tests on HTDU_1
figure(1); clf; subplot(5,1,1),plot(t,p2),grid,
ylabel(’p2’)
title([’HTDU simulation’,’ : ’,date])
subplot(5,1,2),plot(t,p3),grid,ylabel(’p3’)
subplot(5,1,3),plot(t,p4),grid,ylabel(’p4’)
subplot(5,1,4),plot(t,p5),grid,ylabel(’p5’)
subplot(5,1,5),plot(t,p7),grid,ylabel(’p7’)
A.2 Codigo para generar las graficas de las diversas variables que maneja el
modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 127
xlabel(’--------- time ------->’)
figure(2); clf; subplot(2,1,1),plot(t,p3-p5),grid,
ylabel(’p3-p4’)
title([’HTDU simulation’,’ : ’,date])
subplot(2,1,2),plot(t,p4-p5),grid,ylabel(’p4-p5’)
xlabel(’--------- time ------->’)
figure(3); clf; subplot(4,2,1),plot(t,m1),grid,
ylabel(’m1’)
title([’HTDU simulation’,’ : ’,date])
subplot(4,2,2),plot(t,m3),grid,ylabel(’m2’)
subplot(4,2,3),plot(t,m3),grid,ylabel(’m3’)
subplot(4,2,4),plot(t,m4),grid,ylabel(’m4’)
subplot(4,2,5),plot(t,m5),grid,ylabel(’m5’)
subplot(4,2,6),plot(t,m6),grid,ylabel(’m6’)
subplot(4,2,7),plot(t,m8),grid,ylabel(’m8’)
subplot(4,2,8),plot(t,m9),grid,ylabel(’m9’)
xlabel(’--------- time------->’)
figure(5); clf; subplot(4,2,1),plot(t,t3),grid,
ylabel(’t3’)
title([’HTDU simulation’,’ : ’,date])
A.2 Codigo para generar las graficas de las diversas variables que maneja el
modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 128
subplot(4,2,2),plot(t,t4n),grid,ylabel(’t4n’)
subplot(4,2,3),plot(t,t4),grid,ylabel(’t4’)
subplot(4,2,4),plot(t,t5n),grid,ylabel(’t5n’)
subplot(4,2,5),plot(t,t5),grid,ylabel(’t5’)
subplot(4,2,6),plot(t,t6),grid,ylabel(’t6’)
subplot(4,2,7),plot(t,t7),grid,ylabel(’t7’)
subplot(4,2,8),plot(t,t3n),grid,ylabel(’t3n’)
xlabel(’--------- time ------->’)
figure(6); clf; subplot(4,1,1),plot(t,qc),grid
,ylabel(’qc’)
title([’HTDU simulation’,’ : ’,date])
subplot(4,1,2),plot(t,qt),grid,ylabel(’qt’)
subplot(4,1,3),plot(t,qa),grid,ylabel(’qa’)
subplot(4,1,4),plot(t,wt*60/2/pi),grid,ylabel(’Nt’)
xlabel(’--------- time ------->’)
figure(7); clf
compressor surge line
csl=[ 3 1.8
5 3
6.5 4.3
8 5.4
A.2 Codigo para generar las graficas de las diversas variables que maneja el
modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 129
9.3 7
13 10.4
14 11.4
16 14
17.8 16.4
19 17 ];
plot(m3,p2.\p3),grid,ylabel(’p3/p2’),xlabel(’m3’)
hold on;
plot(csl(:,1),csl(:,2),’m’); title([’HTDU simulation:
compressor
operating point’,’ : ’,date]) clear csl;
figure(8); clf subplot(2,1,1),plot(t,ffa),grid, ;hold
on,plot(t,ffg,’r’),plot(t,ff,’k’),ylabel
(’Flujo de Combustible
[Kg/seg]’); title([’HTDU Simulacion’,’ : ’,date]);
subplot(2,1,2),,plot(t,wtg*60/2/pi,’k’),grid,;hold
on;plot(t,wta*60/2/pi,’r’)
,ylabel(’Velocidad [rad/seg]’)%,plot(t,av),
grid,ylabel(’av’);
plot(t,wts*60/2/pi,’g’),;hold on;grid,
plot(t,wtpid*60/2/pi,’k’),
plot(t,wtpi*60/2/pi,’r’)
,plot(t,wtco*60/2/pi,’c’),
ylabel(’Velocidad [rad/seg]’)%
A.2 Codigo para generar las graficas de las diversas variables que maneja el
modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 130
plot(t,qc.*wt,’m’),ylabel(’pt’) ;
,plot(t,wtaa*60/2/pi,’y’)
legend(’Control Por Seguimiento’,’Control PID’,
’Control PI’,’Control
Optimo’,0);
xlabel(’--------- tiempo ------->’)
;hold on;
figure(9) title([’HTDU simulation’,’ : ’,date]);
plot(t,wt*60/2/pi),grid,ylabel(’wt’);
figure(10) title([’HTDU simulation’,’ : ’,date]);
plot(t,ff),grid,ylabel(’Flujo de Combustible’);
xlabel(’--------- time ------->’)
A.3 Codigo para generar el informe de los puntos de operacion de las diversas
variables que maneja el modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 131
A.3 Codigo para generar el informe de los puntos
de operacion de las diversas variables que
maneja el modelo de la Turbina de Gas
Combustible HTDU
file printss.m
function to print HTDU steady state values;
disp(’ ’)
disp(’ ’)
disp(’ ’)
disp(’ ’)
%del htdu_ss.dry;
diary htdu_ss.dry; c_=clock;
tstr_=[’’,num2str(c_(4)),’:’,num2str(c_(5))];
disp([’HTDU simulation: steady-state values’ ,
date,tstr_]) formatshort e;
disp(’ ’) disp([’t= ’,num2str(t(length(t))),’ [s]’])
disp([’ Piso=’,num2str(Piso),’ [N/m^2]’])
A.3 Codigo para generar el informe de los puntos de operacion de las diversas
variables que maneja el modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 132
disp([’ Tiso= ’,num2str(Tiso),’ [K]’])
disp(’ ’)
disp([’ p1 = ’,num2str(p1(length(p1))), ’ [N/m^2]’])
disp([’ p2 = ’,num2str(p2(length(p2))), ’ [N/m^2]’])
disp([’ p3 = ’,num2str(p3(length(p3))), ’ [N/m^2]’])
disp([’ p4 = ’,num2str(p4(length(p4))), ’ [N/m^2]’])
disp([’ p5 = ’,num2str(p5(length(p5))), ’ [N/m^2]’])
disp([’ p7 = ’,num2str(p7(length(p7))), ’ [N/m^2]’])
disp([’ p8 = ’,num2str(p8(length(p8))), ’ [N/m^2]’])
disp(’ ’)
disp([’ m1 = ’,num2str(m1(length(m1))), ’ [kg/s]’])
disp([’ m3 = ’,num2str(m3(length(m3))), ’ [kg/s]’])
disp([’ m4 =’,num2str(m4(length(m4))), ’ [kg/s]’])
disp([’ m5p = ’,num2str(m5p(length(m5p))), ’ [kg/s]’])
disp([’ m5 = ’,num2str(m5(length(m5))), ’ [kg/s]’])
A.3 Codigo para generar el informe de los puntos de operacion de las diversas
variables que maneja el modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 133
disp([’ m6 = ’,num2str(m6(length(m6))), ’ [kg/s]’])
disp([’ m8 = ’,num2str(m8(length(m8))), ’ [kg/s]’])
disp([’ m9 = ’,num2str(m9(length(m9))), ’ [kg/s]’])
disp([’ m10 = ’,num2str(m10(length(m10))),’ [kg/s]’])
disp([’ ff = ’,num2str(ff(length(ff))), ’ [kg/s]’])
disp(’ ’)
disp([’ t1 = ’,num2str(t1(length(t1))), ’ [K]’])
disp([’ t2 = ’,num2str(t2(length(t2))), ’ [K]’])
disp([’ t3n = ’,num2str(t3n(length(t3n))), ’[K]’])
disp([’ t3 = ’,num2str(t3(length(t3))), ’ [K]’])
disp([’ t4n = ’,num2str(t4n(length(t4n))),’ [K]’])
disp([’ t4 = ’,num2str(t4(length(t4))), ’ [K]’])
disp([’ t5n = ’,num2str(t5n(length(t5n))),’ [K]’])
A.3 Codigo para generar el informe de los puntos de operacion de las diversas
variables que maneja el modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 134
disp([’ t5c = ’,num2str(t5c(length(t5c))),’ [K]’])
disp([’ t5 = ’,num2str(t5(length(t5))), ’ [K]’])
disp([’ t6 = ’,num2str(t6(length(t6))),’ [K]’])
disp([’ t7 = ’,num2str(t7(length(t7))), ’ [K]’])
disp([’ t7n = ’,num2str(t7n(length(t7n))), ’[K]’])
disp(’ ’)
disp([’ qc = ’,num2str(qc(length(qc))), ’ [Nm]’])
disp([’ qt = ’,num2str(qt(length(qt))), ’ [Nm]’])
disp([’ qa = ’,num2str(qa(length(qa))), ’ [Nm]’])
disp([’ qloss = ’,num2str(qloss(length(qloss))),’[Nm]’])
disp(’ ’)
disp([’ CpCm = ’,num2str(CpCm(length(CpCm))), ’
[J/kg/K]’])
disp([’ GmCm = ’,num2str(GmCm(length(GmCm))), ’
[]’])
disp([’ CpTm = ’,num2str(CpTm(length(CpTm))), ’
[Nm]’])
A.3 Codigo para generar el informe de los puntos de operacion de las diversas
variables que maneja el modelo de la Turbina de Gas Combustible HTDU 135
disp([’ GmTm = ’,num2str(GmTm(length(GmTm))), ’
[Nm]’])
disp(’ ’) pcta = CpCm.*m3.*(t3-t2);
ptta = CpTm.*m8.*(t6-t7n);
disp([’pcm = ’,num2str(qc(length(qt))*wt(length(wt))),’[W]’])
disp([’pct = ’,num2str(pcta(length(pcta))), ’ [W]’])
disp(’ ’)
disp([’ qtm = ’,num2str(qt(length(qt))*wt(length(wt))),
’ [W]’])
disp([’ ptt = ’,num2str(ptta(length(ptta))), ’
[W]’]) clear pcta ptta;
disp(’ ’)
disp([’qloss = ’,num2str(qloss(length(qloss))), ’ [Nm]’])
disp([’qloss = ’,num2str(qloss(length(qloss))*wt(length(wt))),
’[W]’])
disp(’ ’)
disp([’ wd = ’,num2str(wd(length(wd))), ’
[rad/s]’])
disp([’ wt = ’,num2str(wt(length(wt))), ’
[rad/s]’])
A.4 Codigo para la validacion mediante el error del modelo identificado de la
Turbina de Gas Combustible HTDU 136
disp([’ Nt = ’,num2str(wt(length(wt))*60/2/pi), ’
[RPM]’])
disp(’ ’)
disp([’ av = ’,num2str(av(length(av))), ’
[Deg]’])
disp(’ ’)
disp([’ CompE= ’,num2str(CompE(length(CompE))), ’
[]’])
disp([’ turbE= ’,num2str(turbE(length(turbE))), ’
[]’])
diary off;
A.4 Codigo para la validacion mediante el error
del modelo identificado de la Turbina de Gas
Combustible HTDU
clc close all
hold on plot(t,VelocidadTR(:,2))
plot(t,VelocidadTBJ(:,2),’r’)
A.4 Codigo para la validacion mediante el error del modelo identificado de la
Turbina de Gas Combustible HTDU 137
plot(t,VelocidadTOE(:,2),’k’)
legend(’Velocidad Wt(rad/seg) Modelo
REAL’,’Velociadad Wt(rad/seg) Modelo IDENTICADO BJ’,
’Velociadad Wt(rad/seg) Modelo IDENTICADO OE’,0)
ylabel(’Velocidad (Rad/Seg)’)
title(’Respuesta de la Velocidad Wt, Turbina HTDU’)
xlabel(’Tiempo’);grid;hold off
figure(2) plot(t,(abs(wt-WtIdent)))
title(’Error Absoluto, Modelo
Real & Identificado bj, Turbina HTDU’)
xlabel(’Tiempo’) grid
figure(3) plot(t,(abs(wt-WtIdent)*100/1664.5456))
title(’Error Porcentual, Modelo Real & Identificado bj,
Turbina HTDU’)
ylabel(’Pocentaje del Error %’)
xlabel(’Tiempo’)
%grid
A.4 Codigo para la validacion mediante el error del modelo identificado de la
Turbina de Gas Combustible HTDU 138
disp(’ ’)
disp(’ ’)
disp(’ ’)
disp(’ ’)
diary htdu_ss.dry; c_=clock;
tstr_=[’ ’,num2str(c_(4)),’:’,num2str(c_(5))];
disp([’Turbina HTDU : Valores ’,date,tstr_])
format short e;
disp(’ ’)
disp([’Valor del Set Point Wt de la Planta Real=
’,num2str(wt(length(wt))), ’ [rad/seg]’])
disp(’ ’)
disp([’Valor del Set Point Wt de la Planta Identificada=
’,num2str(WtIdent(length(WtIdent))),’ [rad/seg]’])
disp(’ ’)
disp([’Valor Maximo de Flujo de Combustible=
’,num2str(ff(length(ff))),’ [Kg/seg]’])
disp(’ ’)
disp([’Error Porcentual bj=
’,num2str(abs(wt(length(wt))-WtIdent(length(WtIdent)))
A.5 Turbina HTDU Control por Seguimiento 139
/wt(length(wt))*100 ),’ %’])
disp(’ ’)
disp([’Error Porcentual oe= ’,
num2str( abs(wt(length(wt))-
WtIdent1(length(WtIdent1)))
/wt(length(wt))*100 ),’ %’])
diary off;
A.5 Turbina HTDU Control por Seguimiento
Figura A.1: Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control por Seguimiento
A.6 Turbina HTDU Control Optimo 140
A.6 Turbina HTDU Control Optimo
Figura A.2: Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control Optimo
A.7 Turbina HTDU Control por Atraso de Fase
Figura A.3: Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control Atraso de Fase
A.8 Turbina HTDU Control Proporcional Integral (PI) 141
A.8 Turbina HTDU Control Proporcional Integral
(PI)
Figura A.4: Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control Proporcional Integral (PI)
A.9 Turbina HTDU Control Proporcional Integral
Derivativo (PID)
Figura A.5: Pantalla secundaria de la turbina HTDU, estructura del Control Proporcional Integral Derivativo
(PID)