UNIVERSIDAD NACIONAL DE EDUCACIÓN
Enrique Guzmán y Valle
Alma Máter del Magisterio Nacional
FACULTAD DE CIENCIAS
Escuela Profesional de Matemática e Informática
Portada
MONOGRAFÍA
DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
Derivadas de funciones reales de variable real: Teoremas básicos.
Derivadas de las funciones trigonométricas. Derivadas de orden superior.
Máximos y mínimos. Teorema re Rolle y teorema del valor medio.
Problemas de máximos y mínimos. Puntos extremos y puntos de
inflexión. Gráfica de funciones usando los criterios sobre derivadas.
Derivación implícita. Regla de L'Hospital. Diferenciales. Didáctica de las
derivadas y la resolución de problemas.
Examen de Suficiencia Profesional Res. N° 0724-2019-D-FAC
Presentada por:
Pezo Rojas, Wille Kervan
Para optar al Título Profesional de Licenciado en Educación
Especialidad: Matemática e Informática
Lima, Perú
2019
ii
MONOGRAFÍA
DERIVADAS DE FUNCIONES REALES DE VARIABLE REAL.
Derivadas de funciones reales de variable real: Teoremas básicos.
Derivadas de las funciones trigonométricas. Derivadas de orden superior.
Máximos y mínimos. Teorema re Rolle y teorema del valor medio.
Problemas de máximos y mínimos. Puntos extremos y puntos de
inflexión. Gráfica de funciones usando los criterios sobre derivadas.
Derivación implícita. Regla de L'Hospital. Diferenciales. Didáctica de las
derivadas y la resolución de problemas.
Designación de Jurado Resolución N° 0724-2019-D-FAC
__________________________________
Dr. Quispealaya Aliaga, Carlos
Presidente
__________________________________
Lic. Huaringa Flores, Herminia
Secretario
__________________________________
Lic. Giles Nonalaya, Modesto Isidoro
Vocal
Firma de jurados
Línea de investigación: Tecnología y soportes educativos
iii
Dedicatoria
A mi familia, por su genuina ayuda a lo largo de mi propia y
experta vida, a mis educadores, por darme los apoyo
fundamentales para triunfar, y a cada uno de los individuos que de
una u otra forma me urgen a sobresalir, a cada uno de ellos,
muchas gracias.
iv
Índices de contenidos
Portada............................................................................................................................... i
Firma de jurados ............................................................................................................... ii
Dedicatoria ...................................................................................................................... iii
Índices de contenidos ....................................................................................................... iv
Lista de figuras ................................................................................................................ vi
Introducción .................................................................................................................... vii
Capítulo I. Derivadas de funciones reales de variable real ................................................. 8
1.1 Historia ....................................................................................................................... 8
1.2 Derivadas de funciones reales de variable real ............................................................. 9
1.2.1 Teoremas básicos. .............................................................................................. 9
1.3 Derivadas de las funciones trigonométricas ............................................................... 10
1.4 Derivadas de orden superior ...................................................................................... 11
1.5 Máximos y mínimos .................................................................................................. 12
1.5.1 Teorema A: Hipótesis de máxima y menor presencia. ....................................... 13
1.5.2 Teorema B: Teorema de los puntos críticos....................................................... 14
1.6 Monotonía y concavidad ........................................................................................... 15
1.6.1 Monotonía y concavidad. .................................................................................. 16
Capítulo II. Teorema re Rolle y teorema del valor medio................................................. 20
2.1 El teorema re Rolle.................................................................................................... 20
2.1.1 La hipótesis re Rolle. ........................................................................................ 21
2.2 Hipótesis de estimación media para filiales ............................................................... 23
2.3 Teorema del valor medio ........................................................................................... 24
2.3.1 Definición del valor medio ............................................................................... 24
v
Capítulo III. Problemas de máximos y mínimos .............................................................. 26
3.1 Definición de máximos y mínimos ............................................................................ 26
3.2 Puntos extremos y puntos de inflexión..................................................................... 30
3.3 Gráfica de funciones usando los criterios sobre derivadas ......................................... 31
3.4 Derivación implícita .................................................................................................. 36
3.5 Regla de L'Hospital ................................................................................................... 38
3.6 Diferenciales ............................................................................................................. 41
3.6.1 Enfoques. ......................................................................................................... 42
3.6.2 Error relativo. ................................................................................................... 42
3.6.3 Motivación para cambiar. ................................................................................. 43
3.7 Didáctica de las derivadas y la resolución de problemas ............................................ 44
Aplicación didáctica ........................................................................................................ 49
Síntesis ........................................................................................................................... 56
Apreciación crítica y sugerencias .................................................................................... 57
Referencias ..................................................................................................................... 58
vi
Lista de figuras
Figura 1. Teorema máximo y mínimos…………………………………………………....13
Figura 2. Concavidad……………………………………………………………………...15
Figura 3. Decreciente y creciente…………………………………………………………16
Figura 4. El diagrama de la capacidad…………………………………………………….18
Figura 5. Monotonía y extremos relativos de una función..................................................19
Figura 6. Interpretación geométrica…………………………………………………...…..20
Figura 7. El punto del teorema………………………………………………………….....21
Figura 8. El punto c del teorema…………………………………………………………..22
Figura 9. Estimación media para filiales…………………………………………………..23
Figura10. Teorema del valor medio……………………………………………………….24
Figura 11.Verticales de la ventana………………………………………………………...26
Figura 12. Definición de máximos y mínimo……………………………………………..28
Figura 13. Punto de inflexión en x………………………………………………………...30
Figura 14. Puntos extremos y puntos de inflexión………………………………………...32
Figura 15. Los signos de f (x)………………………………………………………..........33
Figura16. Los puntos de inflexión………………………………………………………...34
Figura 17. La curva, en el diagrama………………………………………………………35
Figura 18. Las señales en un eje numérico………………………………………………..35
Figura 19. Los puntos de inflexión………………………………………………………..36
Figura 20. Las diferenciales……………………………………………………………….41
Figura 21. El radio I guardabosque………………………………………………………..44
Figura 22. Un punto moldeado espesor…………………………………………………...45
Figura 23. El rango es de 50 m, si el espesor es h………………………………………...46
Figura 24. Nivel h1 y h2, se comparan individualmente………………………………….48
vii
Introducción
Las derivadas de funciones reales de variable real, son objeto de estudio del cálculo
diferencial y del análisis matemático la cual gestiona la representación y el examen de
cantidades, espacios y estructuras, cambios y conexiones, al igual que la vulnerabilidad.
En el caso de que revisemos ello, vemos que estos segmentos están disponibles en todas
las partes de la vida de las personas: en su trabajo diario, en los medios, etc.
En este trabajo monográfico se examina el tema de las derivadas y sus aplicaciones.
Es un conocimiento clave en las investigaciones de Física, Química y Biología, la derivada
es una de las tareas más importantes con respecto a elementos genuinos de variable
genuina, ya que demuestra el ritmo de variedad de la capacidad en un minuto dado o para
una estimación específica de la variable, si este no es el momento, de esta manera, la
derivada de una capacidad para un valor variable es el ritmo de variedad inmediato de esa
capacidad y para la estimación particular de la variable en ángulo significativo en la
investigación de la derivada de una capacidad es la inclinación o tendencia de la digresión
de línea a la curva en un punto que habla de la velocidad del cambio momentáneo de esta
manera, cuanto más notable sea la tendencia de la línea de digresión en un determinado
punto, más rápido será el ajuste en la estimación de la capacidad en la región del punto.
La relación que las derivadas de orden superior, tiene con los temas de las
metodologías más extremas y básicas, sin precedentes y acercamientos de tono, tabla de
límites que utilizan los criterios de las derivadas, determinación entendida, la regla de
clínica médica y diferenciales.
Presentamos en 3 capítulos, capítulo I. Derivadas de funciones reales de variable
real. Capítulo II. Teorema re Rolle y teorema del valor medio. Capítulo III. Problemas de
máximos y mínimos, al último presentamos. Aplicación didáctica.
8
Capítulo I
Derivadas de funciones reales de variable real
1.1 Historia
Para mantenerse alejado de la utilización de pequeñas cantidades, Newton piensa que las
cantidades numéricas están representadas. “Por un desarrollo constante las curvas se
representan y de esta manera se producen, no por un plan de juego de partes, sino por el
desarrollo incesante de enfoques” (Brinton, 2006, p.965).
Fernández (2008) afirma que:
El segundo pionero de las matemáticas diferenciales fue Leibniz, el
pensamiento original de Leibniz debía considerar las curvas como una relación
de la infinitud de porciones insolubles de minutos de término con la
perspectiva de la extensión de estas piezas que deambularían por las líneas
hacia la curva en los diversos procedimientos, Leibniz dice, una figura
curvilínea debería estar moderadamente iluminada a un polígono con un
número incesante de lados (p.12).
Tomaría 100 años adicionales hasta la repetición no estándar de A. Robinson, que es
la premisa extrema de la investigación leibniziana, se introdujo en 1960-70
9
1.2 Derivadas de funciones reales de variable real
La derivada de una función en un punto es esencialmente, el introducido por Cauchy en
1.823 en su libro "Lecciones de cálculo Infinitesimal"
La oportunidad de ser un interino abierto de reales, x un punto de I y ser el límite f: I
→ R, en ese punto. “Afirmamos que f es lógico en el punto x si hay lo más lejos posible y,
en tal caso, en su valor lo que queremos decir con f ′ (x)” (Martínez, 1999, p.5).
limh→0
f(x+h)-f(x)
h= lim
h→0
f(x)-f(x0)
x-x0
Nota: los dos últimos de prisión son correspondientes
1.2.1 Teoremas básicos.
El concepto de derivación se define al procedimiento para encontrar la derivada de
un función, para evitar. “Usar la definición y calcular ciertos límites que es muy laborioso,
Usaremos teoremas para ayudarnos a encontrar la derivada de muchas funciones de
una manera instantánea y sencilla, para no utilizar los conceptos de límites” (Martínez,
1999).
Potencias: 𝑦=xn → y,=n.xn-1 y=[f(x)]n → y,=n.[f(x)]n-1.f,(x)
Raíz cuadrada: y=√x → y,=1
2.√x y=√f(x) → y,=
1
2√f(x).f
,(x)
Inversa: y=1
x→ y,=
-1
x2 y=
1
f(x)→ y,=
-f,(x)
[f(x)]2
Exponenciales: y=ex → y,=exy=ef(x)→y,=ef(x).f,(x) y=ax → y,=ax.log(a)
𝑦=af(x) → y,=af(x).f,(x).log(a)
Logaritmos: 𝑦=lnx → y,= 1
x
𝑦= ln[f(x)] → y, =f,(x)
f(x)
y= loga
x →y, =1
x.lna(a)
10
y= loga
f(x) → y,=f,(x)
f(x).ln(a)
1.3 Derivadas de las funciones trigonométricas
La dereivacion de funciones trigonométricas es el ciclo numérico de encontrar la velocidad
a la que cambia una capacidad matemática en cuanto a la variable autónoma; en otras
palabras. "Los subordinados más ampliamente reconocidos de la capacidad geométrica son
las capacidades de infracción (x), cos (x) y tan (x)” (Carrasco, 2013, p.14).
Registre que el auxiliar se representa como df
dx= lim
h→0
f(x+h)-f(x)
h Sea la función
trigonométrica f(x) = sen(x), su subordinado viene dado por:
d
dxsen(x)= lim
h→0
sen(x+h)-sen(x)
h
Los caracteres trigonométricos particulares que:
sen(x+h) = sen(x). cos(h) +cos (x) sen(h)
Por lo tanto:
d
dxsen(x)= lim
h→0
sen(x). cos(h) +cos(x)sen(h)
h
Se factoriza y se separa d
dxsen(x)=sen(x) lim
h→0[
cos(h)-1
h] +cos(x) lim
h→0[
sen(h)
h]
Así que:
d
dxsen(x) = sen(x)[0]+ cos(x) [1]
d
dxsen(x) = cos(x)
d
dxsen(u) = cos(u)
du
dx
d
dxcos(u) = -sen(u)
du
dx
En conclusión tenemos:
11
d
dxsen(u) = cos(u)
du
dx
d
dxcos(u) = -sen(u)
du
dx
d
dxtan(u) = sec2(u)
du
dx
d
dxctg(u) = -CSC
2(u)
du
dx
d
dxsec (u) = sec (u)tan(u)
du
dx
d
dxCSC(u) =-CSC(u)ctg(u)
du
dx
Ejemplos:
d
dx(cos3x) = - sen(3x)
d
dx(3x)=-3sen3x
d
dx(
sen(x)
1-cos(x)) =
(1- cos(x))ddx
(sen(x))-(sen(x))ddx
(1- cos(x) )
(1-cos(x))2
(1- cos(x))(cos(x))-(sen(x))(sen(x))
(1-cos(x))2
cos(x) -cos2(x)-sen2(x)
(1-cos(x))2
=( cos(x) -1)
(1-cos(x))2
1
cos(x)-1
d
dx(tan.sen2x)=-sec2(senx2)cosx2.2x
d
dx(ctg.cos√x)=-CSC
2(cos√x)(-sen√x) (
1
2x1/2)
1.4 Derivadas de orden superior
Al ser un límite diferenciable, para entonces se dice que es el principio subordinado de f;
puede suceder que este nuevo límite sea en este sentido, para esta circunstancia, la copia de
12
seguridad de la subsidiaria principal f "se conoce como el segundo subordinado del trabajo
crudo F. “En consecuencia, la subsidiaria del segundo subordinado f ‴se conoce como la
tercera subsidiaria de f, etc., hasta el enésimo subordinado” (Ruiz, 2018, p. 28).
Como regla, en el caso de que n ∈ Ν, en ese punto f (n) significa que el enésimo se
obtuvo de la capacidad f. f (n) se determina deduciendo f, progresivamente, "n" veces se
denota:
f,(x), f
,,(x), f,,,(x), f
4(x),…………,fn(x)
Dx y; Dx2y;Dx
3y;Dx4y;…………….Dx
ny
dy
dx;
d2y
dx2
;d
3y
dx3
;d
4y
dx4
;………..;d
ny
dxn
y,, y,,,y,,,, y4,…….yn
Actividades resueltas, en las actividades que lo acompañan, ubique la primera y
segunda subsidiaria de las capacidades.
𝑓(x) = x6-5x2+3x
Solución:
f(x)=x6-5x2+3x→f,(x)= 6x5-10x+3
f,,(x)=30x4-10
1.5 Máximos y mínimos
Definición adivina que S, el territorio de f, contiene el punto
c, Pronunciamos que:
f (c) es la estimación más extrema de f en S, si para todo x en S
f (c) es la estimación base de f en S, si para todo x en S.
f (c) es el ajuste escandaloso de f en S, en caso de que valga la pena extremo o una
13
base de estima; (iv) la capacidad que necesitamos para aumentar o limitar es el
objetivo del trabajo.
¿F tiene un medidor más alto (o más bajo) en S? la respuesta adecuada depende, lo
más importante, del conjunto S. Piense en f (x) = 1 / x en S = (0,). No tiene el valor más
vergonzoso o menos significativo.
Por otra parte, un límite comparativo en S = [1, 3] tiene la mejor variedad de f (1) =
1 y la base de In S = (1, 3], f no tiene el valor más escandaloso y la base el valor es la base
que vale la pena es f(3)=1
3
1.5.1 Teorema A: Hipótesis de máxima y menor presencia.
En el caso de que sea sin parar en un período intermedio cerrado [a, b], en ese punto
f llega a un valor extremo y una base como incentivo en. “Este período intermedio, las
frases clave en la teoría; es esencial que f sea estable y que el conjunto S sea un intervalo
cerrado “(Leonard, 1993, p.9).
¿Dónde se introducen las cualidades escandalosas? normalmente, el límite objetivo
tendrá un I provisional como su área.
Figura 1.Teorema máximos y mínimos. Fuente: Sarmiento, 2000.
14
En el caso de que c sea donde f '(c) = 0, lo consideramos como un punto
estacionario el nombre agregado de la manera en que un punto estacionario en
el diagrama se establece a nivel, ya que la línea de digresión está nivelada,
estos tres tipos de enfoques (marginal, estacionario y particular) son los
enfoques clave en la hipótesis de altibajos, cualquier propósito de uno de estos
tres tipos, en el área de una capacidad f, se conoce como el propósito básico de
f (Leonard, 1993, p.78).
1.5.2 Teorema B: Teorema de los puntos críticos.
Otorgue a f la oportunidad de caracterizarse en un I intermedio que contiene el punto
c. “En el caso de que f (c) sea un valor escandaloso, en ese punto c debe ser un punto
básico; es decir, c es una parte de lo que va con” (Rogawski, 2018, p.78).
Una motivación mínima detrás de I
Una motivación estacionaria detrás de f; es decir, el lugar f '(c) = 0; o
Una motivación específica detrás de f; es decir, el lugar f '(c)
No existe.
¿Cuáles son las características escandalosas?
En el contexto de las teorías A y B, ahora podríamos desarrollar un procedimiento
excepcionalmente sencillo para elegir las características más escandalosas y menos
significativas de un trabajo estable f en un intermedio cerrado I.
Etapa 1: Fundamental crítico explícito de f en I.
Etapa 2: Evalúe f en cada una de estas metodologías fundamentales el lobby de la
ciudad pionero de estas características es el valor más sin precedentes; el más
pequeño es el valor base.
15
1.6 Monotonía y concavidad
De f la oportunidad de caracterizarse en un I intermedio (abierto, cerrado o no uno u otro).
Declaramos que:
x1< x2→f(x1)< f(x2), x1<x2→f(x1)>f(x2)
f llega a I si, para cada par de números x_1 y x_2 es I,
f es decreciente en I si, para cada par de números x_1 y x_2 en I,
f es cuidadosamente repetitivo en I, en el caso de que se expanda en I o disminuya en
I, el subordinado primario y la tristeza recuerden que la subsidiaria principal f '(x)
nos da la inclinación de la digresión de línea al diagrama de f en el punto x. En este
sentido, si fuera posible que f '(x) > 0, la línea de digresión asciende a un lado, que
debe expandirse.
Por lo tanto, si f '(x) <0, la línea de digresión se desploma a un lado, lo que compara
que f está disminuyendo, también podemos ver esto en cuanto al desarrollo a lo largo de
Figura 2. Concavidad. Fuente: Sarmiento, 2000.
16
Alinear. Anticipe que una cosa debería estar en la posición s (t) en el tiempo t y que
su velocidad está protegida de manera confiable, es decir, s '(t) = ds / dt> 0.
1.6.1 Monotonía y concavidad.
Ejemplo 1: 𝑓(x)=2x2-3
Solución: como la capacidad es polinómica, el espacio es todo genuino: X ∈ R el
subordinado es: f,(x)=0, entonces 4x = 0↔x = 0, buscamos los enfoques que abandonan al
subordinado, estudiamos si los enfoques básicos son indignantes. “La subsidiaria posterior
es f,(x)=4, la indicación del segundo subordinado en los focos que dejan a la subsidiaria
primaria es 𝑓 ,,(0) = 4 > 0, como es una parábola, la base, que se compara con el vértice,
es la menos plana” (Neuhauser, 2004, p.8).
En la monotonía estudiamos la indicación del subordinado principal en ]−∞, 0[ ∪
]0, +∞[ Elegimos cualquier motivación detrás de cada uno de los interinos es decreciente
porque: f,(-1)=-4<0 y creciente porque: f
,(1)=4>0.
La capacidad está disminuyendo en el interino principal y expandiéndose en el
segundo, el diagrama de la capacidad es:
Figura 3. Decreciente y creciente. Fuente: Simón, 2015.
17
Ejemplos 2: f(x)=(x-1)2(3x-2)
Solución: Como el límite es polinomial, la zona es absolutamente verdadera cierres:
Construimos el artículo para determinar el subordinado:
f(x) = (x2-2x+1)(3x-2)
f(x) = 3x3-2x2-6x2+4x+3x-2
f(x) = 3x3-8x2+7x-2
f,(x) = 9x2-16x+7
Buscamos los enfoques que contrarrestan la subsidiaria (enfoques básicos)
f,(x) = 0↔9x2-16x+7 = 0
𝑥=7
9 ; x=1
Estudiamos si las metodologías fundamentales son excepcionales, el subordinado
resultante es: f,,(x)=18x-16 estudiamos la señal del segundo derivada en los puntos que
anulan la primera derivada son:
Mínimo: f,, (
7
9) =18 (
7
9) -16=-2 < 0
Linés (1991) indica el:
Máximo: f,,(1)=18-16=2>0Los límites son límites (no directamente), ya que la
capacidad no es limitada (los puntos de ruptura de la capacidad son vastos).
Monotonía, a un lado de la base y a un lado del extremo, la capacidad está
disminuyendo (primer subordinado negativo). A un lado de la base y a un lado
del mayor, la capacidad se está expandiendo (primer subordinado positivo).
Podemos examinar el signo en el ínterin que separa las partes de los negocios
de la capacidad de confirmarlo (p.359).
18
Ejemplo 3: f(x)=1
4-x2
Solución: Dado que 4-x2=0↔x=±2 es un límite de nivel, el espacio es todas las
metodologías que no refutan el denominador.
Extremos: R-{-2, 2}, la derivada es: f,(x)=
2x
(4-x2)2 𝑏uscamos las metodologías que
salen del auxiliar: f,(x)=↔x=0 . 𝐸studiamos si los enfoques básicos son indignantes. El
subordinado posterior es:
f,,(x)=
2(3x2+4)
(4-x2)3
La indicación del segundo subordinado en los enfoques que abandonan la subsidiaria
principales son, f (0)=2.4
42 >0→Minimo.
Monotonía: La indicación del subordinado principal en los intermedios que
conforman el espacio junto a los creados al final: ]- ∞;-2 [∪]-2; 0⌈∪⌉0;2⌈∪⌉2;∞[
Figura 4. El diagrama de la capacidad. Fuente: Simón, 2015.
19
f(-3)=-23
(4-(-3)2)2<0→decreciente, f(-1)=
-2.1
(4-(-1)2)2<0
→decreciente f(1)=2.1
(4-12)2
>0→Creciente, f(3)=2.3
(4-32)2 >0→Creciente.
Figura 5. Monotonía y extremos relativos de una función. Fuente: Weir, 2006.
20
Capítulo II
Teorema re Rolle y teorema del valor medio
2.1 El teorema re Rolle
Sea f la posibilidad de ser una capacidad persistente en el ínterin cerrado [a, b],
justificación en el intervalo abierto] a, b [y con f (a) = f (b). En ese punto, prestando poca
atención al punto c del intervalo] a, b [que prescinde del subordinado de f, es decir, f '(c) =
0 “La filial de una capacidad se elimina en los límites del vecindario (mayor y menor). La
subsidiaria es la inclinación de la línea de digresión, 0 está en los cierres “(Weir, 2006, p.
243).
Figura 6. Interpretación geométrica. Fuente: Weir, 2006.
21
2.1.1 La hipótesis re Rolle.
Descubra b con el objetivo de que la capacidad g cumpla con. “Las especulaciones
de la hipótesis de Rolle en el ínterin [0, b] la consistencia y la defensa no son un problema,
ya que el punto de confinamiento es polinómico” (Weir, 2006, p. 253).
Calcule el número c de la hipótesis en: "g" ("x”)"=" "x" ^"2" "-4x+5"
Solución:
La otra condición es que g (0) = g (b). Como g (0) = 5, necesitamos buscar b> 0 con
a objetivo definitivo que g (b) = 5, comprenda la condición g (0) = g (b): g(b)=5
b2- 4b + 5 = 5→b
2- 4b = 0
b(b - 4) = 0→b = 0, b = 4
En este sentido, la b que estamos buscando es b = 4 y el ínterin que tenemos es [0.4].
Para obtener c, calcule el subordinado, equivalemos a 0 y comprendemos la condición:
g,(x)=2x-4
2x-4=0→2x=4→x=2
El punto c de la hipótesis es c = 2.
Figura 7. El punto del teorema. Fuente: Weir, 2006.
22
Ejemplo:
Compruebe si la capacidad de acompañamiento cumple con las teorías de la
hipótesis de Rolle en el ínterin [−1,1] [-1,1]: f(x)=x2, en el caso de que, de hecho,
descubra c del ínterin con el objetivo final de que f ′ (c) = 0.
Solución:
Como el límite es polinomial, es implacable en [−1,1] y viene en (−1,1). Del mismo
modo, se cumple f (−1) = f (1):
f(-1)=(-1)2=1
f(1)=12=1
La filial de la capacidad es: f,(x)=2x igualamos a 0 y resolvemos:
f,(x)=0
2x=0→x=0
En consecuencia, el punto principal en el ínterin donde se deja caer al subordinado es
x = 0. Este punto es el número c de la hipótesis.
Figura 8. El punto c del teorema. Fuente: Weir, 2006.
23
2.2 Hipótesis de estimación media para filiales
En lenguaje geométrico, la teoría del valor ordinario definitivamente no es difícil de
entender, definir, el diagrama de una capacidad constante tiene una línea de digresión, que
no es vertical, en cada punto. “Entre A y B, en ese punto hay en cualquier punto un punto
C en la tabla entre An y B donde la línea de desviación es paralela a la línea secante AB”
(Durán, 200, p.42).
Hipótesis A: Hipótesis de valor promedio para subordinados, en el caso de que sea
perseverante en un momento cerrado [a, b] y legítimo dentro (a, b), para entonces,
independientemente, hay un número c en (a, b) donde:
f(b) - f(a)
b-a = f
,,(c) o de manera equivalente, donde:
f(b)-f(a) = f,,(c)(b -a).
Teorema B: Si F '(x) = G' (x) para todo x en (a, b), en ese punto hay una C
consistente, tal que F(x)=G(x)+C para toda x en (a, b).
Figura 9. Estimación media para filiales. Fuente: Weir, 2006.
24
2.3 Teorema del valor medio
La f es oportunidad de ser incesante en el ínterin I y, lógico, en cada propósito interno de I.
“(i) Si f '(x)> 0 por cada x dentro de I, entonces f se extiende por I. (ii) Si f '(x) <0 para
cada x dentro de I, para entonces f está disminuyendo en I.
El límite de subordinación y concavidad a resultante puede crear para explorar el
desarrollo, debemos observar cómo pivota la línea de desviación en. “El punto en que nos
movemos de izquierda a derecha a lo largo del gráfico, debido a la línea de desviación,
entregue constantemente sentido anti horario, indicamos que el diagrama está hacia
adentro o esencialmente hundido” (Apóstol, 1990, p.231).
Si la digresión gira de manera similar a las manecillas del reloj, el gráfico está
curvado hacia abajo o arqueado, las dos limitaciones se calculan mejor en cuanto a
capacidades y sus filiales
2.3.1 Definición del valor medio
Otorgue una posibilidad de ser resultante en un período intermedio abierto I.
Declaramos que f, como su gráfico. “Está hacia adentro (hundido) en I; en caso de que f se
expanda en I: y afirmamos que f está hundido (curva) en I. en el caso de que f disminuya
en I” (Escardó, 1991, p. 335).
Figura 10. Teorema del valor medio. Fuente: Escardó, 1991.
25
f la oportunidad de ser dos veces sólido en el tramo abierto I.
Si f "(x)> 0 para todo x en I, entonces f está en (arriba) en I.
Si f "(x) <0 para todo x en I, entonces f está hacia abajo (doblando) en I y termina
cerca en intervalo abierto.
Maroto (2011) afirma que:
En este sentido, para el punto de confinamiento f con el espacio S = [a, b] cuya
tabla se referencia en la figura 1, f (an) es el valor mundial más escandaloso,
sea como fuere, ¿qué es f (c)? mayor que no sea el señor de la nación, pero de
todos modos es el líder de su propia ciudad, lo llamamos barrio de mayor
valor, o relativo de mayor valor, obviamente, un valor más extremo del mundo
es, naturalmente, un valor más cercano (p.34).
S la oportunidad de ser el área de f que contiene el punto c, proclamamos que: (I) f
(c) es una estimación de vecindad más grande de f, si hay un intermedio (a, b) que contiene
c, con el objetivo final de que, f (c) es la estimación más extrema de f en (a, b) S; f (c) es
una estimación mínima cercana de f, si hay un intermedio (a, b) que contiene c, hasta el
punto de que f (c) es la estimación base de f en (a, b) S; f (c) es una estimación
extraordinaria cercana de f, independientemente de si es un vecindario de valor más
extremo o de valor más cercano, confirmación (base) del subordinado principal f
consistente en un tramo abierto, (a, b) que contiene un punto principal para entonces f (c)
es la región con el mejor si se completa, si f '(x)> 0 para todo x en (a, c) yf' (x) <0 para
todo x en (c, b), en ese punto f (c) es un relativo en cualquier tasa cerca de f, si f (x) de f,
prueba (estándar) del auxiliar resultante, suponga que f ' y f ' existen en cada razón de
tiempo abierta (a, b) que contiene c y suponga que f '(c) = 0, Si f '' (c) < 0, f (c) es una
estimación de vecindad más grande de f. Si f '' (c)> 0, f (c) es una estimación de vecindad
base de f.
26
Capítulo III
Problemas de máximos y mínimos
3.1 Definición de máximos y mínimos
Necesita fabricar un alojamiento para una ventana rectangular de 3 m2. “El costo de
material que se utilizará es de $ 3 por el metro recto de los segmentos de nivel y $ 4 por las
áreas ventanas verticales” (Leonhard, 1993, p. 245).
Encuentra los bits de la ventana con el objetivo de que cuesta borde sea insignificante.
¿Cuánto vale esto?.
Figura 11.Verticales de la ventana. Fuente: Recuperado de
https://www.google.com/search?q=Verticales+de+la+ventana&rlz=1C1SQJL_esPE843P
E843&source=l
27
Problema 1:
Solución:
Al hacer un diagrama como lo indica la circunstancia de la actividad, tiene: A=3m2,
las preguntas asignadas para esta actividad son:
x: Representante de la longitud de la ventana;
y: ancho de ventana representativo.
Se da cuenta de que la región de un punto es equivalente a:
A = base x altura, en este sentido, la zona de esta ventana es:
A = x. y = 3… (1)
El borde de esta ventana es equivalente al agregado de la considerable cantidad de
lados de la ventana:
P = x+ x + y + y =2x+2y
El gasto en el borde de la ventana es equivalente a la motivación de cada medidor
inmediato:
"C = 6x + 8y… (2)". Esta condición contiene más de una variable, se debe descubrir
otra condición que relacione las partes para mostrar la condición de requisito para una
variable solitaria.
Para esto, la copia de seguridad debe ser expulsada de (1) y reemplazada en (2):
C(x)=6x+8 (3
x) = 6x+
24
x, cuál es la condición que necesita limitar.
Actualmente, no puede ser 0, ya que no se caracteriza en C (x), y además al menos 0
ya que da un territorio negativo.
En este sentido, el espacio de esta capacidad es que se sabe que tener este tipo de
intermedio abierto tiene un valor relativamente extraordinario, para continuar con la
mejora de la actividad, continúe como sigue:
28
Primero: Derive la capacidad, cuando se utiliza el estándar de una constante para una
capacidad en el término primario y el estándar del resto en el término posterior, resulta:
dC
dx=C
,(x)=6(1)+x(0)-24(1)
x2=6+
24
x2
Segundo: Encuentre los cimientos de la capacidad estableciendo C '(x) equivalente a
cero, tenemos: x = ± 2, de lo largo de estas líneas en estas raíces x1=2 y x2=-2: y el límite
debe presentar el valor relativo más bajo, en cualquier caso, ver que sea cualquier cosa
menos una parte del tiempo intermedio, en este sentido, solo hay un único punto
fundamental en x1=2.
Joseph (2007) según que:
Actualmente, este valor debe ser contrastado y ser miembro de la familia base,
para la situación en la que x1=2, C '(2) = 0 puede tener un pariente en 2, de
todos modos, como C (2) = 24 años, 24 < C(x) cuando x < 2 o x > 2, eso
cumple con la importancia de una estimación generalmente más baja, al final:
la carcasa de la ventana tiene un gasto base de $ 24 si, es decir, los
componentes de la ventana deben tener 1,5 m de ancho y 2 m de largo (p.151).
Problema 2: Constantemente, una planta de procesamiento produce cosas que
pueden vender un costo de $ 200 por cada unidad, en caso de que sea el gasto de la
generación del día a día al crear cosas, decida la cantidad de unidades que deben
entregarse día a día para que la planta de fabricación adquiera la mayor adición.
Figura 12. Definición de máximos y mínimo. Fuente: Leonhard, 1993.
29
Solución:
En este número, la información realizada es:
Costo de cada artículo = $ 200. Lo oscuro de esta actividad es x: Número de cosas
entregadas todos los días, además, la capacidad del costo de generación diario
es:𝐶(x)=3x2+20x+1200, el beneficio es 𝐺=I-C (1) equivalente al ingreso menos el costo
de creación, en otras palabras.
De donde, I equivale al costo de cada unidad incrementado por la cantidad de
unidades entregadas.
I=200x G=I-C=200x-(3x2+20x+1200)
𝐺(x)=200x-3x2-20x-1200
G(x)=180x-3x2-1200
Es la capacidad que necesita para potenciar que el área que son los cimientos de esta
capacidad, dado que G (x) está ansioso en este espacio, comprende que por la
asombrosa hipótesis de un valor significativo, esto tiene un valor absoluto;
En el momento en que aplica el estándar para calcular los extremos más
extravagantes de un punto más lejano, tiene el Paso 1:
Derive el límite G (x); en el momento en que se utiliza el estándar de una constante
para un límite con respecto al primer y segundo término y la norma consistente para
el tercer término, resulta.dG
dx=G
,(x)=180(1)-6x-0
Al coordinar G '(x) a cero y descubrir sus fundamentos, obtienes:
180 - 6x=0→-6x=-180
x =180
6→x=30
Consecuencia, el propósito estacionario de G (x) será x = 30, se ve que solo hay tres
enfoques básicos: [(30-5√20);(30+5√20)], al evaluar los enfoques básicos en G (x), tiene:
30
G(30-5√20)=180(30-5√20)-3(30-5√20)2-1200=0$
G(30)=180(30)-3(30)2-1200=1500$
𝐺(30+5√20)=180(30+5√20)-3(30+5√20)2-1200=0$
Lo que resulta que el líder del ayuntamiento de estas cualidades es 1500, al final: la
cantidad de cosas que la planta de procesamiento debe entregar día a día es para el
aumento más extremo de 1500 $.
3.2 Puntos extremos y puntos de inflexión
Estrategia general para definir enfoques extraordinarios y enfoques de expresión, en el
caso de que para un límite f se afirma:
Joseph (2007) según el:
f '(x0); f '' (x0); f '' '(x0) = 0; •••; f (n - 1) (x0) = 0; autosuficientemente, f n (x0)
≠ 0, para entonces, para la situación en la n es par; f tiene un relativo en x0,
que es progresivamente un miembro de la familia poco común si f n (x0) <0 o
menos si f n (x0) > 0, para la situación en la que n es impar, f tiene un punto de
articulación esencial en x0, dado un punto de ruptura f (p.97).
Figura 13. Punto de inflexión en x. Fuente: Gonzales, 2008.
31
En el caso de que f '' (x0) = 0 y f '' '(x0) ≠ 0, se dice que tiene un punto de
verbalización en x0. El corte cambia su concavidad en ese punto.
3.3 Gráfica de funciones usando los criterios sobre derivadas
Encuentre los puntos de confinamiento y/o la inflexión más allá del límite:
f (x) = x5 – 8
Numero 1
f,(x)=5x4;x=0→f
,(0)=0
Tenemos un punto básico en x = 0, ¿qué hay de ir más allá para saber si es un final
relativo o un punto de articulación?
f,,(x) = 20x3→f
,,(0) = 0
f,,,(x) = 60x2→f
,,,(0) = 0
f4(x) =120𝑥→f
4(0) = 0
f5(x)=120→f
5(0) = 120 ≠ 0
Razonamos que el límite tiene un punto de verbalización en x = 0.
Número 2
Encuentra
Los dispositivos de afectación del punto de ruptura: f (x) = sen x, f '(x) = cos x ⇒ f'
'(x) = - sin x ⇒ f' '' (x) = - cos x, el posible atractivo está cerca de los controles: f ''
(x) = 0 ⇒ - sen x = 0 x1 = 0 + 2 • π • k; x2 = π + 2 • π • k, garantizamos que la
tercera mano derecha en estas estrategias de pensamiento no es cero:
f '' '(x1) = - cos (0 + 2.π.k) = - 1 ≠ 0
f '' '(x2) = - cos (π + 2.π.k) = 1 ≠ 0 Solicitamos que el corte f (x) = sen x tenga
metodologías informativas en 0, π e impactos auxiliares de 2π de cosas.
32
De las capacidades que utilizan los criterios en subordinados, comenzamos por
recordar dos realidades fundamentales sobre la subsidiaria f ′ (x) de una capacidad f (x):
a. El valor f ′ (an) de f ′ (x) en x = an, es la inclinación de la digresión de línea al
diagrama de la capacidad f en el punto donde x = a.
b. f '(x) es un componente de x: la inclinación en un punto del diagrama se basa en la
facilidad x de ese punto, el diagrama de la capacidad inferida f ′ (x) nos da datos
interesantes sobre la primera capacidad f (x).
“El modelo adjunto nos dice la mejor manera de trazar el diagrama de f '(x) a partir
del aprendizaje de la tabla de f (x)” (Gonzales, 2008, p. 429).
Ejemplo:
Trazar la gráfica de la función y=x2
1-x.
Solución:
Dominio: R - {l), Intercepto con los coordenados:
Punto central de x: x2 = 0 x = 0. Para entonces, (0; 0)
Punto central Y: Si x = 0, y = 0 Entonces, (0; 0) asíntotas:
Figura 14. Puntos extremos y puntos de inflexión. Fuente: Gonzales, 2008.
33
Asíntotas verticales: limx→1
-
x2
1-x=+∞ y lim
x→1+
x2
1-x=-∞
Entonces x = 1 es una asíntota vertical.
Asíntotas no verticales: 𝑦 = m x + n
m= limx→∞
f(x)
x= lim
x→∞
x2
1-x
x= lim
x→∞
x2
x-x2=-1, en ese punto, si n existe, tiene una asíntota
inclinada.
n= limx→∞
(f(x)-mx)= limx→∞
(x2
1-x+x) = lim
x→∞
x2+x(1-x)
1-x= lim
x→∞
x
1-x=-1
Luego, y = -x -1 es una Asíntota angulada;
Límites y repetitividad: f,(x)=
(1-x)2x-x2(-1)
(1-x)2 =
x(2-x)
(1-x)2
Ceros del numerador y denominador:
x(2-x)=0→x=0 ó x=2
(1-x)2=0→x=1
Observe los cambios de signo de )(xf en la figura.
Figura 15. Los signos de f (x). Fuente: Gonzales, 2008.
34
Se expande repetitivamente en los intervalos (0; 1) y en (1; 2) es repetitivo
disminuyendo en (−∞; 0) y en (2;+∞), en ese punto, en x = 0 hay un mínimo cercano, y
en x = 2 un extremo.
f(0)=02
1-0=0 valores mínimo(2)=
22
1-2=-4 Valor máximo.
Enfoques de propias y concavidad:
f,,(x)=
(1-x)2(2-2x)-(2x-x2).2(1-x).(-1)
(1-x)4 =
2
(1-x)3 𝑓"(x)≠0, Para todo x Domf, luego no hay
puntos de inflexión.
(1-x)3=0→x=1
Como f,,(x)>0 para todo x <1, en ese punto f se hunde por (-∞; 1), como f
,,(x)>0
para todo x> 1, en ese punto f se hunde para (1; +∞). (Véanse los signos de f,,(x) en la
figura controla los resultados obtenidos en este examen de la conducción de la curva, en el
gráfico.
Figura16. Los puntos de inflexión. Fuente: Gonzales, 2008.
35
Ejemplo
Investigue la concavidad y descubra los propósitos de 𝑓(𝑥) = 6𝑥4 − 8𝑥3 + 1
Solución: f,,(x)=24(3x2-2x)luego f
,,(x)=0 en x=0, en x = 2
3 , que son momentos
definitorios concebibles.
Procedemos de una manera prácticamente idéntica a la disposición de una
irregularidad, como ya hemos visto, deberíamos poner las señales en un eje numérico para
observar el ajuste en la indicación del subordinado posterior.
2 2 4x
20
15
10
5
5
10
15
y
Figura 17. La curva, en el diagrama. Fuente: Gonzales, 2008.
Figura 18. Las señales en un eje numérico. Fuente: Gonzales, 2008.
36
En (-∞; 0) f, está curvada hacia arriba, como en ( 2
2 ; + ∞), pues en estos intervalos f”
es positiva. En (0; 2
3) f” es Hundido, es negativo, en ese punto, x = 0 y x = 2/3 son
ocasiones fundamentales, ya que hay una distinción en el signo de la segunda subsidiaria
en torno a estos enfoques. Tenga en cuenta que son momentos decisivos, en el caso de que
sea constante en esos enfoques y haya una diferencia en la indicación del segundo
subordinado a su alrededor, verifique este resultado en la figura.
3.4 Derivación implícita
Capacidades expresas y verificables, en los cursos de sustancias, una gran parte de los
límites con los que trabajamos se imparten de manera inequívoca, como en. “La condición
en la que la variable y se hace inequívocamente como un componente de x.
Independientemente, ciertas capacidades, en toda actualidad, son válidas en una
condición” (Canals et al. 2008, p.294).
dy
dx=-x-2=-
1
x2
El límite y = 1 / x las opciones están representadas por la condición:
Figura 19. Los puntos de inflexión. Fuente: Gonzales, 2008.
37
xy = 1, en el caso de que tengamos que encontrar el auxiliar para esta última
condición, lo hacemos iluminando para y, posteriormente, y = 1 / x = x - 1, obteniendo su
subsidiaria sin ningún problema:
García (2006) afirma que:
La técnica se completa siempre que podamos despejar y en la condición, el
problema es que en el caso de que esté más allá del ámbito de la imaginación
esperar despejar y esta técnica no tiene sentido, por ejemplo, ¿cómo descubrir
dy / dx para la condición x² - 2y³ + 4y = 2, donde es difícil excluirlo como una
restricción inequívoca de x?, La estrategia de la regla de la cadena para
capacidades entendidas, definitivamente, nos damos cuenta de que cuando se
infieren términos que solo contienen x, la inferencia será la típica, sea como
fuere, cuando necesitemos determinar un término donde será importante
aplicar la regla de la cadena (p.150).
Ejemplo: dy
dx(y3)=3y2 dy
dx. Aquí los factores no se coordinan: se utiliza la regla de
la cadena.
Ejemplo:
Hallar dy
dx, de la función implícita ax6+2x3y-y7x = 10, aplicando la notación
𝑑
𝑑𝑥, a
cada término y extrayendo las constantes;
𝑎d
dx(x6)+2
d
dx(x3y)-
d
dx(y7x)=
d
dx(10).
En el término esencial, los componentes coinciden, por regla general están
asentados; en el segundo término se aplica el subordinado de una parte (primer territorio
de separadores cuadrados), lo indistinguible en el tercer término.
6ax5+2 [d
dx(x3)y+x3 dy
dx] - [
d
dx(y7)+
d
dxxy7] =
d
dx(10). La regla de la cadena aplica el
término d
dx(x7), como se puede ver claramente en la ecuación 6ax5+2 [3x2y+x3 dy
dx] −
38
[7y6 dy
dxx+y7] =0, refiriéndose a mezclar y solicitando los términos, 6𝑎𝑥5 + 6𝑥2𝑦 + 2x3 dy
dx-
7xy6 dy
dx-y7=0, dejando algunos términos a un lado correcto 2x3 dy
dx-7xy6 dy
dx=y7-6ax5-6x2y,
extrayendo el factor común dy
dx, (2x3-7xy6)
dy
dx=y7-6ax5-6x2y, en el último despeje,
obtenemos la reacción necesaria: dy
dx=
y7-6ax5-6x
2y
(2x3-7xy6)
, dy / dx con derivadas parciales.
Una gran parte del trabajo pasado podría excluirse si se utilizara la ecuación adjunta:
dy
dx=-
df
dxdf
dy
3.5 Regla de L'Hospital
La regla de L'Hospital es el resultado de la hipótesis de valor normal de Cauchy que
ocurre solo debido a las indeterminaciones de tipo 0
00
∞
∞ , otorgue a f y la
posibilidad de ser dos capacidades persistentes caracterizadas en el ínterin [a, b],
resultante en (a, b) y ser c teniendo un lugar con (a, b) hasta tal punto que f (c) = g
(c) = 0 y g '(x) ≠ 0 si x ≠ c. “En el caso de que exista el punto de confinamiento L de
f '/ g' en c, en ese punto hay el máximo de f / g (en c) y es equivalente a L” (Rivera,
2014, p.49).
De esta manera:
limx→c
f(x)
g(x)= lim
x→c
f,(x)
g,(x)=L
Demostración
La afirmación que la acompaña puede tomarse como una "exposición" de la regla de
L'Hospital, a pesar del hecho de que, en realidad, un espectáculo completo requiere
contenciones de tipo Ɛ-δ cada vez más frágil, dado que g (c) = 0 y g '(x) ≠ 0 si x ≠ c,
tenemos que planificar si g (x) ≠ 0 si x ≠ c debido a la hipótesis de Rolle.
39
Dado que f (c) = g (c) = 0, aplicando la teoría del valor habitual de Cauchy, para
todo x en (a, b), con x único en relación ac, hay x en el alcance de los límites an y b, la
medida en la que el resto de (x) / g (x) se puede crear de la siguiente manera:
f(x)
g(x)=
f(x)-f(c)
g(x)-g(c)=
f,(tx)
g,(tx).
En el punto en que x se mueve hacia c, coordinando las cualidades de las uniformes
anteriores, tx también se mueve hacia c, entonces limx→c
f(x)
g(x)= lim
x→c
f,(x)
g,(x)=L.
Nota: el último avance en la medida de lo posible, aunque genuino, requiere una
defensa cada vez más completa.
Ejemplos
La regla de L'Hospital se aplica a los caprichos excedentes que eluden el incentivo
numérico al establecer el límite de los límites dados. El estándar dice que el numerador y
el denominador se resuelven explícitamente; en otras palabras, para ser los límites
principales f (x) / g (x), cuando se aplica el estándar se necesita: f '(x) / g' (x).
Aplicación sencilla:
limx→0
sin(x)
x=
0
0
l`Hóspital limx→0
sin(x)
x→ lim
x→0
cos(x)
x=
1
1
limx→0
ex-e-x-2x
x-sin(x)
l´Hóspital limx→0
ex-(-e-x)-2
1-cos(x)
l´Hóspital limx→0
ex-e-x
sin(x)
l´Hóspital limx→0
ex-(-e-x)
cos(x)=
e0+e0
cos(0)=
1+1
1=2
40
Aplicación consecutiva, si bien la capacidad es n veces persistente y resultante, el
estándar se puede resolver n veces:
limx→0
ex-e-x-2x
x-sin(x)
limx→0
ex-(-e-x)-2
1-cos(x)
limx→0
ex-e-x
sin(x)
limx→0
ex-(-e-x)
cos(x)=
e0+e0
cos(0)=
1+1
1=2
Ajustes logarítmicos
Dado el valor del estándar, es sensato cambiar diferentes tipos de indeterminaciones
para escribir 0/0 a través de cambios aritméticos:
Cocientes inconsistentes.
Las indeterminaciones de tipo ∞ / ∞ pueden cambiar debido a la doble inversión del
restos:
limx→∞
x4
x= lim
x→∞
1
x1
x4
En este sentido, tiende a indicarse muy bien que los acabados de tipo cierra / ∞,
también pueden resolverse mediante la utilización de la regla de L'Hospital directamente,
sin el uso de una doble empresa.
Indeterminaciones no restantes.
De vez en cuando algunos límites peligrosos que no se caracterizan como puntos de
corte pueden resolverse con este estándar, lo que provoca cambios pasados que conducen a
un resto del tipo 0
00
∞
∞
Tipo 0 ∙ ∞
41
Está relacionado con hacer un cambio como: 0.∞=01
∞
=0
0 ó 0.∞=
∞1
∞
=∞
∞
3.6 Diferenciales
Los pensamientos de los diferenciales y subordinados se han expresado enigmáticamente.
“Esto se debe a que hay muchos artículos determinados que se pueden desear, y cada uno
de ellos se obtiene con una separación programada particular, que se puede desear
esencialmente” (Rona, 2016, p. 105).
El subordinado del programa, tanto más precisamente, las fuentes de información y
los rendimientos del programa son vectores, el subsidiario es un entramado, en general
conocido como el Jacobiano, cada componente (I, j) del Jacobiano es el incompleto
subsidiario
∂yi
∂xj
Del rendimiento Yi respecto a la información Xj. En el momento en que se exhiben
las cualidades, el objeto inferido se convierte en un grupo. Esto impulsa a hacer partial
Jacobiano junto con el flujo principal del programa. Esto suele ser exorbitante en memoria
y tiempo. Esta carga se puede aliviar un poco si las representaciones de determinados
elementos están dispersas.
Figura 20. Las diferenciales. Fuente: Gonzales, 2008.
42
f(x + h) = f(x)+h t g θ + h
f(x+h) = f(x) + hf,(x) + h∅(x, h)
limh→0
h(∅(x,h)) = 0
f(x + h) = f(x) + h(f,(x))
Ejemplo:
E=√81.2√81.2
E=f(x)=√x√x=x34
f,(x)=
3
4x
-14
f(x+h)=f(x)+h(f,(x))
f(81+0,2)=8134+0,2(
3
481
-14)
f(81.2)=27,05
3.6.1 Enfoques.
El diferencial del punto de ruptura es prácticamente indistinguible de la suma
posible. f(x+h)-f(x)≈ h(f'(x))∆y = dy.
3.6.2 Error relativo.
En el punto en que una cantidad y0 = f (x0). “Yo lo se aproxima por la cantidad f (x0
+ h) con un error ∆y=f(x+h)-f(x). La pifia comparativa con el valor se caracteriza”
(Vivanco, 2005, p.71).
Tasa de error, está relacionado con mostrar en tasa el error introducido, que es:
d(f(x0))
f(x0).100%
43
Ejemplo:
La expansión de la oposición eléctrica de una asociación está cerca con el aumento
de su longitud y, por el contrario, corresponde al cuadrado de la proporción de su distancia
a través, espere que la obstrucción de un cable de longitud determinada se fije a partir de la
estimación de ancho con un error potencial del 2%. Localice el error de tasa concebible en
la oposición que vale la pena encontrar.
Solución:
R.D2
L=K→R=
KL
D2
R(D)=LK
D2=LKD-2
R(D)=KL(-2)D
-3,
R(D)=-2KLD
-3,
∆D=0,02D
R(D+x)=R(D)+R(D),
R(D+x)-R(D)=xR(D),
Piden: dR
R.100%=
0,02DKL(-2)D-3
KLD-2 =-4%
3.6.3 Motivación para cambiar.
Se conoce como la tasa de cambio normal o. “el ritmo normal de progreso de la
estimación de una capacidad y = t (x) respeto de una variable su X en el intervalo [x0; x0 +
h]” (Manes, 2014, p. 44).
cambio de ordenada
cambio de abcisas=
dy
dx , motivo de cambio instantáneo, se define:
limh→0
f(x0+h)-f(x0)
h=f
,(x0)= lim∆x→0
dy
dx
44
Figura 21. El radio I guardabosque. Fuente: Gonzales, 2008.
Ejemplo: Hay un círculo de metal con una abertura redonda concéntrica. Si el rango
del espacio cambia a un ritmo de 0.08 pulgadas / s con la velocidad, la zona del espacio
cambia cuando la placa de la rotonda se extiende si su envergadura se estima en 32.4
pulgadas y es perpetuamente a la derecha.
Ahora, en eso su radio estima un cuarto de su radio externa.
R=32.4 pulg
dr
dt= -0.08 pulg/s
A=πr2→dA
dt=
dA
dr.dr
dt=2πr
dr
dt
dA
dt=
2πr(-0,08)pul
s=-4,071pulg
2/s
3.7 Didáctica de las derivadas y la resolución de problemas
Repoblación forestal, para medir. “La medida de la madera creada por el compartimento
de almacenamiento de un árbol se acepta que tiene el estado de un cono truncado”
(Rodríguez, 1993, p.325).
Como se muestra en la figura.
45
Siendo: r la circunstancia de la base superior; R el alcance de la base de la base y h la
altura, recordando que el volumen V de un cono abreviado viene dado por la articulación:
V = 1 / 3.π.h. (R2 + R.r + r2) preguntamos:
¿Cuál es la velocidad de la variedad de volumen? V concluyentemente cuando: r =
60 cm, R = 90 cm yh = 15 m, si la mejora en r es de 10 cm / año, ¿el avance de R es de 15
cm / año y el de h es de 25 cm / año?
Arreglo:
El volumen del compartimento de acopio de conos al que ajustamos el grado de
madera que se puede quitar del árbol es: V = 1/3 .π.h. (R2 + R.r + r2) (1).
Tenemos que determinar, siendo h, R y r componentes del tiempo t, en ese punto
determinamos la relación (1) que se satisface ∀ t ≥ 0.
Adquirimos:
Sustituyendo los valores dados: h=4 m =400 cm, R=90 cm, r= 60 cm, en:
dV
dt=
π
3[dh
dt(R2+rR+r2)+h (2.R
dR
dt+r
dR
dt+R
dr
dt+2r
dr
dt)]
Resulta: dV
dt=
π
32,71≅2,83
m3
año
Contaminación, un punto moldeado como una cámara de rotonda recta se enmarca
cuando se derraman 100 m3 de petróleo en el océano.
Figura 22. Un punto moldeado espesor. Fuente: Gonzales, 2008.
46
Determine qué tan rápido aumenta el barrido de la mancha cuando ese rango es de
50 m si el grosor de la recurrencia de 10 cm / hora en el momento en que R = 50 m.
Solución:
Puede informar que la sustancia escogida es más pequeña que la hoja: haga clic en
Aceptar y pegaremos la tabla con un enfoque como el que teníamos en Word. Si no
tenemos que utilizar el borde de la tabla, podemos descargarlo utilizando las alternativas.
Al llevar una sola palabra a la información de Excel sin considerar lo que
hemos visto de antemano, podemos hacer que la información se asocie, es
decir, innumerables duplicados de información supere las expectativas en un
registro de palabras en caso de que si alguna mejora en la hoja supere los
deseos. , el cambio se percibirá en el archivo de Word (Rodríguez, 1993, p.83).
Para jugar este sistema:
Seleccionamos los datos a replicar de la hoja de excel;
Copie la información elegida presionando Ctrl + C o desde la pestaña Inicio y
llegando a la captura de copia;
Presionamos Ctrl + V o desde la pestaña de Inicio y contactamos la captura para
pegar;
Figura 23. El rango es de 50 m, si el espesor es h. Fuente: Gonzales, 2008.
47
Después de pegar la información en palabras, aparece un marcador de pegamento
donde podemos ver las otras opciones diferentes.
V = π.R2.h ∀t≥0 (1)
Inferimos los dos individuos de la correspondencia (1) con respecto a (t):
dV
dt=π (2R
dR
dt.h+R2
dh
dt)
Como V es estable, es decir, libre de t, nos damos cuenta de que, 𝑑𝑉
𝑑𝑡 =0, lo que nos
permite concluir (2) que:
2RdR
dt.h+R2
dh
dt=0
Despejando dR
dt obtenemos:
dR
dt=
-R
2h.
dh
dt
Como tenemos que la forma en que la altura de los confinamientos de manchas a un
ritmo de 10 cm / hora es:
dh
dt=-10-2m/hora, de la relación (1), h=
V
πR2 , h=
100
πR2 =
0,04
πm, como V = 100 m3, R =50
m, sustituimos las estimaciones en la condición (3), por fin tienes:
dR
dt=
50π
2(0,04).10-2=6,25π
m
hora.
La velocidad con la que la eliminación de manchas aumenta cuando ese rango
es de 50 m, en ese punto llega a alrededor de 20 m / hora el poder del agua, un
contenedor rotativo moldeado en forma de cono con un rango de base R y una
estatura H se está cargando con fluido a un costo constante Q = 0.5 m3 en cada
momento. A medida que se crea el fluido, aumenta el grado del fluido en el
recipiente (Rodríguez, 1993, p.89).
En caso de que R = 2 my H = 3 m:
¿Te imaginas que el nivel sube con velocidad constante?
48
Legitima tu reacción sin alteraciones expresas.
Solución:
a. La respuesta a la consulta es no.
¿Qué tal si intentamos legitimarlo, por lo que suponemos dos minutos distintos?
t1 y t2.
A qué niveles h1 y h2 se comparan individualmente, como se demuestra en la figura,
considere tiempos intermedios equivalentes "dt" en los dos minutos.
Los volúmenes que ingresan serán equivalentes, ya que son el costo de información
constante; además, aparecerán los volúmenes.
Los troncos cónicos disminuyen su altura "dh" a medida que aumenta y, por tanto, la
velocidad de la superficie controlada a medida que aumenta.
Figura 24. Niveles hl y h2, se comparan individualmente. Fuente: Gonzales, 2008.
49
Aplicación didáctica
SESIÓN DE APRENDIZAJE
I.- DATOS INFORMATIVOS
1.-1. INSTITUCIÓN EDUCATIVA: I.E.P. “Elías Aguirre”
1.2. ÁREA / CURSO: Ciencia y Tecnología / Física
1.3. NIVEL / CICLO / GRADO: Secundaria / VI / 5°
1.4. DURACIÓN: 2 horas pedagógicas
1.5. FECHA: 26/6/2019
1.6. PROFESOR: Bach. Wille K. Pezo Rojas
TÍTULO DE LA SESIÓN
SESIÓN 01 (2 horas pedagógicas)
Título: “Aplicación de la derivada en el Movimiento de Caída Libre”
II.-PROPÓSITO DE APRENDIZAJE
COMPETENCIAS
DELÁREA Y
COMPETENCIAS
TRANSVERSALES
CAPACIDADES DESEMPEÑOS
EVIDENCIA
S
INSTRUMEN-
TO DE
EVALUACIÓN
Investiga utilizando
técnicas lógicas para
ensamblar su
conocimiento.
Problematiza
situaciones
Haga preguntas y
teorías de
preguntas que
dependen de
información
lógica y
percepciones
pasadas.
Resolución de
preguntas
Rúbrica
Trate su adaptación de manera autónoma
Define metas de aprendizaje
Aseguramiento de objetivos de
aprendizaje
adecuados que
dependen de su
potencial,
información,
estilos de
Cumplimiento de las
actividades
encomendadas.
Lista de cotejo
50
aprendizaje,
aptitudes y
mentalidades para
lograr la tarea
directa o
compleja.
Crea en condiciones
virtuales, producido por las TIC.
Gestiona
información del entorno virtual.
Utilice los datos y
los avances de correspondencia
(ICT) de manera
confiable para
cooperar con los
datos, lidiar con
su
correspondencia y
aprendizaje.
Utilización de
activos TIC en la introducción
de pruebas.
Lista de cotejo
ENFOQUE
TRANVERSAL
VALORES ACTITUDES
OBSERVABLES
Mantiene la limpieza del
hogar y la sala
de estudio.
Lista de cotejo
Enfoque ambiental
Justicia y
solidaridad
Disponibilidad
para evaluar los
efectos y gastos ecológicos de las
actividades y
ejercicios
ordinarios, lo que
representa una
ventaja
sorprendente, al
igual que los
marcos, las bases
y los medios
compartidos de
los que dependen.
III. MOMENTOS DE LA SESIÓN DE APRENDIZAJE
MOMENTOS SECUENCIA DIDÁCTICA RECURSOS TIEMPO
INICIO
El instructor comienza la clase dando la
bienvenida e invitando a los suplentes al nuevo
día escolar. En ese momento, registre algunas
consultas en la pizarra para recuperar el
aprendizaje anterior:
¿Qué tan importante es la organización de
objetivos y metas en nuestro trabajo diario?
¿Qué objetivos te gustaría lograr en este día?
¿Qué estudia la ciencia de los materiales como
ciencia?
¿Cuáles son los desarrollos realizados por los
cuerpos?
¿Cuál es la unidad de proporción de velocidad
que conocemos?
Pizarra
Plumones
Mota
10 minutos
51
¿Qué recetas de desarrollo conoces?
A continuación, el instructor presentará, los
que se muestran en la unidad educativa, los
criterios de evaluación, los campos temáticos y
los elementos que se exhibirán. Del mismo
modo, presentamos los instrumentos de
evaluación que se utilizarán en la sesión de clase
y proponemos la circunstancia de la prueba que
la acompaña.
¿Cómo comprender el movimiento de caída
libre desde la percepción y la experimentación?
DESARROLLO
El educador solicita que los estudiantes
suplentes cumplan con nuestros objetivos y vivan
sólidos, necesitan crear pautas fundamentales de
concurrencia o trabajo en el territorio y exigir
interesarse por sus sentimientos para crear
diferentes modelos identificados con deferencia,
obligación y confiabilidad. Estas pautas se
compondrán y animarán con hojas de colores en
su diario y se observará su uso durante las clases
y fuera de él.
1.- Demostramos respeto a nuestro educador y
compañeros de clase constantemente.
2.- Mantengo la mía propia y estudio la
limpieza de la sala.
3.- Somos conscientes de la satisfacción de los
ejercicios de la región, para lograr nuestros
objetivos.
4.- Tengo la oportunidad de ir a clases a
tiempo.
El instructor tiene 2 círculos, uno de madera y
otro de metal y, junto con la exposición de los
suplentes, ve que se van soltando al mismo
tiempo de una estatura al suelo. A continuación,
construimos la parte teórica y los destinos de las
ocurrencias del Movimiento de Caída Libre.
La acción se completa para desarrollar la
percepción y la aptitud de experimentación y
proporciona un documento con preguntas
identificadas con el punto del Movimiento de
Plumones
Hojas de
colores
Ficha de
preguntas
70 minutos
52
caída libre, las respuestas esenciales con el
respaldo del instructor, primero por separado, en
ese punto a través de grupos de trabajo.
En ese punto, cada grupo mezcla sus
respuestas en su totalidad y el educador ingresa
cualquier pregunta o consulta, para la siguiente
clase de investigación en Internet y examina el
tema del Movimiento Compuesto.
CIERRE
Evaluación
El instructor plantea una progresión de consultas
para verificar el progreso del estudiante, por
ejemplo:
¿Con qué método debería aclararse el poder de la
gravedad?
¿Cuáles son las ecuaciones del movimiento de
caída libre?
¿Cómo podría reconocer los diversos desarrollos
de un cuerpo?
El educador completa la clase ayudándoles a
recordar algunos sistemas para problematizar las
circunstancias.
Fichas de
evaluación
10 minutos
IV. Recursos y materiales:
Pizarra, plumones, mota, plumones, hojas de colores y ficha de preguntas
_______________________
Bach. Wille K. Pezo Rojas
53
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 01: Rúbrica
NÚ
ME
RO
Apellidos y
nombres
COMPETENCIA: Indaga mediante métodos científicos para construir
sus conocimientos
CA
LIF
ICA
CIÓ
N
CAPACIDAD: Problematiza situaciones
DESEMPEÑO: Indaga a partir de preguntas y plantea hipótesis en base
a conocimientos científicos y observaciones previas.
EN INICIO
(0-10)
EN
PROCESO
(11-12)
LOGRO
ESPERADO
(13-16)
LOGRO
DESTACADO
(17-20)
La especulación
propuesta no
tiene una
premisa lógica y
reconoce los
factores.
Postula
teorías con
premisa
lógica, pero
no reconoce
factores.
Plantea teorías de
base en
percepciones
pasadas e
información
lógica, averigua
cómo distinguir
los factores de
manera laxa.
Trae
especulaciones
básicas en
percepciones
pasadas e
información
lógica, y
descubrieron
cómo construir
decisivamente
las conexiones
causales entre
los factores..
1
2
3
4
5
6
7
54
DOCENTE: Bach. Wille K. Pezo Rojas
INSTRUMENTO DE EVALUACIÓN 02: lista de cotejo N
ÚM
ER
O
Apellidos
y
nombres
DESEMPEÑOS TRANSVERSALES
CA
LIF
ICA
CIÓ
N
Desarrolla su
autogobierno
adaptándose para
siempre, buscando una
mejora constante de sus
ciclos y sus resultados.
Utilización capaz de
avances de datos y
correspondencia (TIC)
para interactuar con los
datos, supervisar la
correspondencia y el
aprendizaje.
Avanza en la salvaguarda
de las condiciones
sonoras, para la limpieza
de los espacios
instructivos que
comparten, así como la
limpieza y las buenas
propensiones dietéticas.
Siemp
re
A
Poca
s
vece
s
B
Nunca
C
Siempre
A
Poca
s
vece
s
B
Nunca
C
Siempre
A
Poca
s
vece
s
B
Nunca
C
1
2
3
4
5
6
7
DOCENTE: Bach. Wille K. Pezo Rojas
55
Ficha de actividades
Punto de corte: caracterizar los objetivos de aprendizaje, ejecución, aseguramiento de los
objetivos de aprendizaje que dependen de su capacidad latente, información, estilos de
aprendizaje, aptitudes y mentalidades para realizar el recado básico o complejo, curso: leer
y ver cada uno de los ingresados, localizar la respuesta correcta y ocupar en los espacios.
Se resuelve el desarrollo de caída libre, desde lo alto del edificio "Tres Marías",se
deja caer una pelota y llega al piso en 8 s.
¿Cuál es la altura del edificio “Tres Marías”?
¿Cuál es la velocidad final de la pelota con la cual toca el piso?
Si se deja caer una manzana desde lo alto de la torre “Elías Aguirre”, y se comprueba
que tarda 9 s en llegar al suelo, calcular:
¿Cuál es la altura de la torre “Elías Aguirre”?
¿Cuál es la velocidad final de la manzana con la cual toca el suelo?
¿Cuál es la altura de la que cae una bola de hierro que tarda 5 s en llegar al suelo?
Una piedra realiza una caída libre desde un globo aerostático que viaja a 210 m de
altura. ¿Cuánto tiempo demora en tocar el suelo?
Una pokebola realiza una caída libre partiendo desde el reposo. Hallar:
La altura que recorre en 7 s.
La velocidad que adquiere después de haber caído 80 m.
El tiempo que demora para tener una velocidad de 60 m/s.
Se deja caer un cuerpo esférico desde un helicóptero, y después de 12 s llega al suelo.
¿A qué altura se encuentra el helicóptero?
56
Síntesis
La comprensión del pensamiento de las derivadas presenta problemas para los estudiantes
de educación avanzada en los cambios analíticos primarios largos en la universidad u
organización, en esta circunstancia única, trabajo sustitutivo, revisión y relación de
deberes.
De la investigación realizada en el estudio de las Matemáticas, para reconocer la
producción de aprendizaje y los territorios donde es importante contribuir con datos. La
auditoría ha sido organizada y verificada en:
Lo que se contempla es la comprensión del auxiliar de un límite en cierto punto
arreglado por los marcos de representación, las cualidades del avance de la disposición de
la derivada.
Por fin, se percibe que importantes líneas de investigación acumulan nuestra
comprensión de lo poco que considera contribuir con importancia y utilizar la plausibilidad
de subordinarse en general y como lo demuestra el llamado donde podría ser incipiente.
Esta monografía ha intentado cubrir los problemas más importantes sobre derivadas,
destacando los factores más esenciales que, por fin, son los más utilizados.
57
Apreciación crítica y sugerencias
Como cuestión de hecho y percepción, se afirma que la información de los Derivados en
los estudiantes que terminan la escuela secundaria es casi cero, lo que implica un problema
cada vez más importante para su realización, al tomar el curso de análisis en el negocio de
la formación de vanguardia.
También podríamos destacar que algunos maestros no tienen la estrategia de
orientación, para hacer llegar todo su conocimiento.
Lo requerido para la educación de la ciencia cuando todo está dicho; lo que se llama
conversacionalmente "darse cuenta de cómo llegar al educando". Esto, adicional a la
mayoría de las personas, tenemos una comprensión numérica extremadamente
fundamental.
Este trabajo de monografía ha sido fascinante, ya que me ha dado más investigación
para el aprendizaje de la computación y particularmente en el tema de Derivados.
Mi recomendación es abordar la utilización de derivadas en organizaciones
instructivas de nivel auxiliar; para llegar a la educación avanzada con un poco de
aprendizaje de este tema.
Las derivadas tienen aplicaciones en aspectos financieros en cifras insignificantes
(pago, gastos o utilidad), en ciencia de materiales, en la velocidad con que ocurre un
cambio (velocidad rápida, velocidad ordinaria), cada vez más extraordinaria y menos en
matemáticas, y así sucesivamente.
58
Referencias
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59
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