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Profesor : Pablo Valdés
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Derivada
De�nitionDiremos que f 0 (p) es la derivada de f (x) en el punto p si el siguientelimite existe:
f 0 (p) = limx�!p
f (x)� f (p)x � p .
Notación: Otras formas de anotar la derivada de f (x) en el punto p, son:dfdx(p) ;
dfdx
/x = p
OBS: f 0 (x) puede ser calculada de otra forma tomando h = x � p setienen:
f 0 (x) = limh!0
f (h+ p)� f (p)h
Example
Veri�car que la función f (x) = 3x + 5, es derivable en el punto p = 7.
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Intermpretación geométrica de la derivada
Geométricamente hablando la derivada de una función, f (x) ,es lapendiente de la recta tangente en un punto, a.Esto es, segun lo que se muestra en la �gura:
L1 : tendría como pendiente f 0 (a) . Quedando: y � f (a) = f 0 (a) (x � a)L2 : tendría como pendiente f 0 (b) . Quedando: y � f (b) = f 0 (b) (x � b)
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Derivad de funciones elementales
1.- Si f (x) = K , donde K es una constante, entonces f 0 (x) = 0.2.- Si f (x) = xn , entonces f 0 (x) = nxn�1.
3.- Si f (x) =px , entonces f 0 (x) =
12px.
4.- Si f (x) = ex , entonces f 0 (x) = ex .
5.- Si f (x) = ln (x) , entonces f 0 (x) =1x
6.- Si f (x) = sin (x) , entonces f 0 (x) = cos (x)7.- Si f (x) = cos (x) , entonces f 0 (x) = � sin (x)
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Algebra de derivadas
Si f y g son dos funciones derivables en un punto a, entonces αf , f + g ,
f � g son derivables en a y si g (a) 6= 0, entonces fges derivable en a.
Además:1.� (αf )0 (a) = αf 0 (a)2.� (f + g)0 (a) = f 0 (a) + f 0 (a)3.� (f � g)0 (a) = f 0 (a) � g (a) + f (a) � g 0 (a)4.�
�fg
�(a) =
f 0 (a) � g (a)� f (a) � g 0 (a)g2 (a)
, g (a) 6= 0.
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Examples
Determinar f 0 (x) si:1.� f (x) = 7x4 �! f 0 (x) = 28x3
2.� f (x) = �9ex �! f 0 (x) = �9ex
3.� f (x) = 8px �! f 0 (x) =
4px
4.� f (x) = x � ex �! f 0 (x) = ex + x � ex
5.� f (x) =ln (x)x
�! f 0 (x) =1� ln (x)
x2
Examples
Dada la curva de ecuación y = f (x) = x2 � 6x + 8. Hallar la rectatangente a la curva en el punto x = 1.Solución: entonces: f 0 (x) = 2x � 6 �! f 0 (1) = �4.luego teniendo en cuenta que f (1) = 3, la ecuación de la recta tangenteestá dada por:y � f (1) = �4 (x � 1) �! y = �4x + 7
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Regla de la cadena
Sean f (x) y g (x) dos funciones, se de�nde la derivada de la funcióncompuesta:(g (f (x)))0 = g 0 (f (x)) � f 0 (x)
Example
Sean g (x) = ln (x) y f (x) = x3 +px , entonces:
g 0 (x) =1x; f 0 (x) = 3x2 +
12px.
como (g (f (x)))0 = g 0 (f (x)) � f 0 (x) , se tiene que:(g (f (x)))0 =
1x3 +
px��3x2 +
12px
�.
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Example
Calcular f 0 (x) si:1.- f (x) = ex
2 �! f 0 (x) = ex2 � 2x = 2xex 2
2.- f (x) = ln�2x + x3
��! f 0 (x) =
12x + x3
��2+ 3x2
�=2+ 3x2
2x + x3
3.- f (x) =�x2 � 1
�3 �! f 0 (x) = 3�x2 � 1
�2 � 2x = 6x �x2 � 1�2
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Derivadas de orden superior
Example
Determinar f 00 (x), donde:
1.- f (x) = xex �! f 0 (x) = ex + xex �! f 00 (x) = ex + ex + xex =2ex + xex
2.-f (x) = (2x � 1)3 �! f 0 (x) = 6 (2x � 1)2 �! f 00 (x) = 24 (2x � 1)
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Derivada implicita
De�nitionuna ecuación de la forma F(x , y) = 0 de�ne implicitamente a y comofunción de x ssi existe un intervalo I tal que F (x , f (x)) = 0, 8x 2 I .¿Cual es la derivada de una función implicita?
Example
Supongamos que y2 � x � 1 = 0 de�ne implicitamente a una funcióny = f (x) . Determinar y 0.
Ejercicio: Determinar y 0 en:
xy4 + x2y + 3x3 � y + 2 = 0
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Razon de cambio
De�nitionSea f (t) una función derivable con respecto al tiempo t.La tasa o razónde cambio con respecto al tiempo t = a está dada por la derivada de lafuncion f en el tiempo indicado, es decir, f 0 (a) .
Ejemplo: La temperatura T (medida en grados celsiu) de una solución enal tiempo t (en minutos) está dada por:
T (t) = 10+ 4t +3
t + 1, para 1 � t � 10.
Calcule la razon de cambio de T (t) con respecto al tiempo t en t = 2 yt = 9.
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Se ha estudiado la regla de la cadena para obtener, impicitamente,dydtde
una función y = f 0 (t) . Así, por ejemplo,ddt(yn) = nyn�1
dydt.
Otra aplicación importante de lo anterior es el cálculo de razones decambio de dos o mas variables que cambian con el tiempo.
ExampleCuando un plato circular de metal, se calienta en un horno su radioaumenta a razón de 0, 01 cm/min. ¿Cual es la razón de cambio del areacuando el radio mide 50 cm.?Resp: π cm2/min
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ExampleEl lado l de un rectangulo isminuye a razón de 2 cm/seg ., mientras que elancho w aumenta a razon de 2 cm/seg . Cuando l = 12 cm. y w = 5 cm,hallar la razon de cambio del area del rectangulo.Resp: 14 cm2/seg
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Examplesuponga que se tiene un recipiente cónico con agua, como el que semuestra en la �gura. Cuando el agua sale del recipiente, el volumen V, elradio r y la altura h del nivel del agua son, las tres, funciones quedependen del tiempo t.
Estas tres variables están relacionadas entre sí, por la ecuación del
volumen del cono; a saber: V =π
3r2h
Por otra parte, derivando implícitamente ambos lados de V =π
3r2h
respecto del tiempo t, se obtiene la siguiente ecuación de razonesrelacionadas:dVdt=
π
3
�2rhdrdt+ r2
dhdt
�
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Se puede observar que la razón de cambio del volumen, está ligada a lasrazones de cambio de la altura y del radio, en donde:dVdt
es la razón o rapidez a la cual varía el volumen con respecto al tiempo
drdtes la razón o rapidez a la cual varía el radio con respecto al tiempo
dhdtes la razón o rapidez a la cual varía la altura con respecto al tiempo
Así, por ejemplo,dVdt= 10 m/seg signi�ca que el volumen está
aumentando 10m3 cada segundo; mientras que,dVdt= �10 m/seg
signi�ca que el volumen está disminuyendo a 10 m3 cada segundo.
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Ejercicio:Un recipiente cónico (con el vértice hacia abajo) tiene 3 metros de anchoarriba y 3, 5 metros de hondo. Si el agua �uye hacia el recipiente a razónde 3 metros cúbicos por minuto, encuentre la razón de cambio de la alturadel agua cuandotal altura es de 2 metros.
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Máximos y mínimos
De�nitionSí f es una función derivable en p y f 0 (p) = 0, entonces puede ocurrirque:a) f (p) sea un máximob) f (p) sea un mínimoVer el dibujo.
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TheoremSea f una función derivable en un intervalo abierto que contiene a p talque f 0 (p) = 0, es decir, p es un punto critico.a) Si, f 00 (p) < 0, entonces f tiene un máximo en x = p.b) Si, f 00 (p) > 0, entonces f tiene un mínimo en x = p.
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Example
Si el costo de producción de "q" artículos es C (q) = 2q2 + 30q + 25, y elprecio de venta de cada artículo es p = 50� q, determinar:a) La producción para que la Utilidad sea máxima.b) El valor de la Utilidad máxima.
Solución:
a) La utilidad está dada por: U (x) = (50� q) q � 2q2 + 30q + 25 =�3q2 + 80q + 25.Para determinar la máxima utilidad tenemos que encontrar el o los puntoscriticos de U, esto es encontrar los q tales que U 0 (q) = 0.
U 0 (q) = �6q + 80 = 0, luego q = 403= 13. 333
U 00 (q) = �6 �! U 00�403
�= �6, por lo tanto es un máximo.
La producción para que la utilidad sea máxima debe ser de 13, 3 artículos.
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b) La utilidad máxima se tiene en
U�403
�= �3
�403
�2+ 80
�403
�+ 25 = 558. 33
)La utilidad máxima es de 558. 33 u.m.
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