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DERIVADAAula 04 – Matemática I – Agronomia
Prof. Danilene Donin Berticelli
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“ No instante que o cavalo atravessou a reta de chegada, ele estava correndo a 42 mph”.
Como pode ser provada tal afirmação?
Uma fotografia tirada naquele instante mostrará o cavalo parado – não ajudará em nada.
Existe certo paradoxo em tentar estudar o movimento do cavalo em um instante de tempo específico, pois, ao focar em um único instante de tempo, interrompemos o movimento!
É supreendentemente difícil definir com precisão o que é a velocidade de um objeto em algum instante de tempo.
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• Problemas de movimento foram de central importância para os filósofos no século cinco a.C. A abordagem moderna, que se tornou famosa através do cálculo de Newton, consiste em deixar de procurar um conceito simples para o valor da velocidade em um dado instante e, em vez disso, olhar o valor da velocidade durante pequenos intervalos de tempo contendo o instante em questão.
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A Derivada
• O cálculo é a matemática das variações e o instrumento principal para estudar as taxas de variações é um método conhecido como derivação.
• As taxas de variações são aplicadas em diversos ramos da Ciência.
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Taxa de Variação nas Ciências Naturais e Sociais
Aplicações
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Na Física• Usamos o conceito de derivada para estudar a velocidade
instantânea de uma partícula a partir do seu deslocamento. Ou ainda para encontrar a aceleração instantânea a partir da variação da velocidade.
• A taxa instantânea da variação da velocidade com relação ao tempo é a aceleração.
• A taxa instantânea da variação do espaço com relação ao tempo é a velocidade.
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Na Química
• Os químicos têm interesse em calcular a taxa de reação instantânea de uma reação química.
• A taxa de reação instantânea é calculada pelo quociente entre a concentração de um reagente em função do tempo, quando o intervalo de tempo tende para zero.
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Na Biologia
• Os biólogos buscam calcular a taxa de crescimento instantâneo de indivíduos de uma população animal ou de plantas.
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Na Economia
• Costuma-se calcular o custo marginal (taxa de variação instantânea de variação do custo em relação ao número de itens produzidos).
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Outras Ciências
• Geólogo pode estar interessado em saber a taxa na qual uma massa de rocha fundida resfria pela condução de calor para o meio rochoso que a envolve.
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Engenheiro
• Saber a taxa segundo a qual a água escoa para dentro ou para fora de um reservatório.
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Agrônomo
• Calcular a produção de uma cultura por hectare com a adição de nitrogênio.
• Calcular a produção de matéria seca em função da quantidade de luz absorvida em diferentes densidades de plantas.
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Geógrafo urbano
• Tem interesse na taxa de variação da densidade da população numa cidade à medida que a distância do centro aumenta.
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Meteorologista
• Busca calcular a taxa de variação da pressão atmosférica em relação à altura.
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Psicologia
• Interessados na teoria de aprendizagem estudam a chamada curva de aprendizado, que é o gráfico de desempenho de alguém aprendendo alguma coisa como função do tempo de treinamento.
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Sociologia• O cálculo diferencial é usado na
análise da divulgação do boato (ou invocações, ou modismo, ou padrões).
• Denota-se p(t) a proporção de uma população que fica sabendo de um boato no tempo t, e a derivada dessa função representa a taxa de divulgação do boato.
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Um experimento mental
• Observemos o valor da velocidade de um pequeno objeto (uma laranja) lançada no ar verticalmente para cima no instante t = 1 s. A laranja deixa a mão do lançador com uma velocidade alta, vai se tornando cada vez mais lenta até atingir sua altura máxima, depois aumenta o valor de sua velocidade à medida que desce e, por fim, “Spletch!”.
Velo
cida
de
posi
tiva
Velocidade
negativa
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• Suponha que queríamos determinar o valor da velocidade em t = 1 segundo, por exemplo. A tabela a seguir apresenta a altura y, da laranja acima do nível do solo como uma função do tempo. Durante o primeiro segundo, a laranja percorreu 90 – 6 = 84 pés, e durante o segundo seguinte ela percorreu apenas 142 – 90 = 52 pés então, a laranja deslocou-se mais rapidamente no primeiro intervalo, , do que no segundo .t(s) 0 1 2 3 4 5 6
y (pés) 6 90 142 162 150 106 30
Tabela – Altura da laranja acima do solo
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Velocidade x Velocidade Escalar• Suponhamos que um objeto se mova ao longo de uma reta.
• Convencionamos um sentido como sendo o sentido positivo e dizemos que a velocidade é positiva se estiver nesse mesmo sentido e negativa se estiver no sentido contrário.
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• No caso da laranja, para cima é positivo e para baio é negativo. • Velocidade escalar a magnitude da velocidade é sempre maior
ou igual a zero.
Se s(t) for a posição de um objeto em algum instante t, então a velocidade média do objeto no intervalo é
Velocidade média = Em palavras, a velocidade média de um objeto em um
intervalo de tempo é o quociente entre a variação líquida na posição durante o intervalo e a variação no tempo.
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Exemplo
1) Calcule a velocidade média da laranja no intervalo . Qual o significado do sinal da sua resposta?
Durante este intervalo, a laranja move-se por (106-150) = - 44 pés. Então, a velocidade média é – 44 pés/s. O sinal negativo significa que a
altura está decrescendo e, portanto, a laranja está se movendo para baixo.
1 pé = 0,3048 m
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Velocidade média
• A velocidade média é um conceito útil porque nos dá uma ideia aproximada do comportamento da laranja.
• Mas a velocidade média em um intervalo de tempo não resolve o problema de medir a velocidade da laranja exatamente no instante t = 1 segundo. Para chegar mais perto de uma resposta para essa pergunta, precisamos ver mais detalhadamente o que acontece perto de t = 1.
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A Derivada
• Derivação método utilizado para estudar taxas de variação.
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• Tem-se a produção de milho por hectare como função da quantidade de nitrogênio cujos resultados são apresentados na tabela a seguir:
x 0 10 20 30 40 50 60 70 80
f(x)
1451
1651,8
1816,6
1945,4
2038,2 2095,4 2115,8
2100,6
2049,4
Com base nesses dados, qual será a produção quando forem adicionados 22 kg/ha?
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
500
1000
1500
2000
2500
Valores Y
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Derivada
• Para estimar a produção, avalia-se o que está acontecendo entre 20 e 30, encontrando a equação da reta que passa pelos pontos (20, 1816,6) e (30, 1945,4).
• Devemos calcular o coeficiente angular, ou taxa de variação:
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• Este valor 12,88 representa a inclinação da reta unindo os pontos (20; 1816,6) e (30; 1945,4).
• Logo a equação da reta , para qualquer a partir de x = 20, será:
• Com essa função podemos calcular o f(22).
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 900
500
1000
1500
2000
2500
3000
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• Podemos ter uma taxa de variação diferente de acordo com o valor x 0 5 10 15 20 25 30 35 40
f(x)
1451
1555,9
1651,8
1738,7
1816,6
1885,5
1945,4
1996,3
2038,2
Podemos calcular uma nova taxa de variação entre 20 e 25 para encontrar o f(22).
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• Se forem efetuadas novas medições de produção com intervalos de dosagem menores, isto é, tomando valores menores que , mais precisa será a estimativa para x = 22.
• Efetuando-se essas operações sucessivamente, tem-se um processo de limite, expresso como
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lim∆ 𝑥→0
𝑓 (20+∆ 𝑥 )− 𝑓 (20)∆ 𝑥
Este limite nada mais é que a derivada da função em x = 20 ou o valor da inclinação da reta tangente em x = 20, já que os pontos (20; 1816,6) e (20+; f(20+ ) estarão muito
próximos pelo limite.
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Derivada - Definição• A expressão:
é chamada de quociente da diferença da função f(x).• Tanto a taxa de variação quanto a inclinação podem ser determinados
calculando o limite quando h tende a 0 de quociente diferença apropriado.
• Para unificar o estudo destas e outras aplicações que envolvem o limite de um quociente diferença, usamos a terminologia e notação a seguir.
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Derivada de uma Função
• A derivada da função f(x) em relação a x é a função f’(x) dada por:
• E o processo de calcular a derivada é chamado de derivação.
• Dizemos que uma função é derivável no ponto c se f’(c) existe, ou seja, se o limite do quociente diferença que define f’(x) existe no ponto x = c.
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Exemplo
• Determine a derivada da função .
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Taxa de Variação instantânea como uma Derivada• A taxa de variação de f(x) em relação a x no ponto x = c é dada por f’(c).
• A expressão analítica para os dados citados no problema inicial é uma função quadrática:
• Podemos calcular a taxa de crescimento para x = 22 através da derivada da função: f’(22).
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Significado do sinal da Derivada f’(x)
Se a função f é derivável em x
= c,
f é crescente em x = c
f’(x) > 0
f é decrescente em x = c
f’(x) < 0
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Exemplo
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 40
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
f(x) = 4,9x²
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Notação de Derivada• A derivada f’(x) da função y = f(x) muitas vezes é
escrita na forma dê y sobre dê x) ou (dê f sobre dê x).• Nesta notação, o valor da derivada no ponto x = c [f’(c)]
é escrito na forma: ou
• Assim, por exemplo, se y = x², temos:
E o valor da derivada no ponto x = -3 é dado por:
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Inclinação como uma derivada
• A inclinação da reta tangente à curva y = f(x) no ponto [c,f(c)] é dada por
• Usamos:
ou
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Exemplo
• Calcule a derivada de f(x) = x³ e use-a para determinar a inclinação da reta tangente à curva y = x³ no ponto x = -1.
• Qual a equação da reta tangente neste ponto?
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4
-20
-15
-10
-5
0
5
10
15
20f(x)=x³
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Exercícios:
1) Calcule a derivada da função e determine a inclinação da reta tangente à curva da função no ponto x = 2.
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
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Descansando a mente• Retire três palitos e obtenha apenas três
quadrados.
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Técnicas de Derivação
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Regra da ConstantePara qualquer constante c,
Em outras palavras, a derivada de qualquer constante é nula.
𝑓 (𝑥 )=𝑐→ 𝑓 ′ (𝑥 )=0Esta regra é comprovada pela regra da potência.
𝑓 (𝑥 )=15→ 𝑓 ′ (𝑥 )=0
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Regra da PotênciaPara qualquer número real n,
Para calcular a derivada de xn, reduzimos de 1 o valor do expoente e multiplicamos o resultado pelo valor original do expoente.
𝑓 (𝑥 )=𝑥𝑛→ 𝑓 ′ (𝑥 )=𝑛 .𝑥𝑛−1
𝑓 (𝑥 )=2𝑥3 ; 𝑓 (𝑥 )= 1𝑥2; 𝑓 (𝑥 )=𝑥7
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Regra da multiplicação por uma constanteSe c é uma constante e f(x) é uma função derivável, também é uma função derivável e
A derivada de um múltiplo é o múltiplo da derivada.
𝑔 (𝑥 )=𝑐𝑓 (𝑥 )→𝑔 ′ (𝑥 )=𝑐𝑓 ′(𝑥 )
𝑓 (𝑥 )=3 𝑥4 ; 𝑓 (𝑥 )= 7√𝑥
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Regra da somaSe f(x) e g(x) são duas funções deriváveis, a soma também é uma função derivável e ou seja:
A derivada de uma soma é a soma das derivadas das parcelas.
Se f’(x) e g’(x) existem, então:
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Calcule a derivada das funções:
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Problemas
• Estima-se que daqui a x meses a população de um município será .
a) Qual será a taxa de variação da população com o tempo após 15 meses?
b) Qual será a variação da população durante o 16º mês?
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• O produto interno bruto (PIB) de certo país é dado por bilhões de dólares, onde t é o número de anos após 1995.
a) Qual foi a taxa de variação do PIB em 2005?b) Qual foi a taxa de variação percentual do PIB em 2005?
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• Um corpo se move em linha reta de tal forma que sua posição no instante t é dada por .
a) Determine a velocidade do corpo e discuta seu moimento entre os instantes t = 0 e t = 4.
b) Determine a distância percorrida pelo corpo entre os instantes t = 0 e t = 4.
c) Determine a aceleração do corpo e os intervalos de tempo nos quais está acelerando e desacelerando entre os instantes t = 0 e t = 4.