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1. Laplace’s Equation of ContinuityChapter 7
Geotechnical Engineering
흐름의 연속성, Darcy의 법칙을 이용
2차원 평면 흐름의 지배방정식
정상류상태를 나타냄
흙은 등방성(Isotropic) 균질성(Homogeneous) 흙은 포화되어 있고 모관현상은 무시
흙 입자는 비압축성이며 물이 흐르는동안 흙의 압축, 팽창은 없음
Chapter 7
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1.1 Continuity Equation
in x zq =v dy dz+v dx dy 유입량
x zout x z
v vq =(v + dx) dy dz+(v + dz) dx dyx z
유출량
정상상태의 물의 흐름: 2차원 흐름
수평방향과 수직방향으로 흐르는 유량
Chapter 7
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1.2 Continuity Equation
연속방정식(Continuity Equation)
in outΔq=q -q =0
in out
x zx z x z
Δq = q -qv v = v dy dz+v dx dy- v + dx dy dz- v + dz dx dyx z
x zv v= - + dx dy dz = 0x z
x zv v+ = 0
x z
x x x x
hv =k i =kx
z z z z
hv =k i =kz
2 2
x z2 2
h h k +k =0x z
If isotropic & homogeneous, then 2 2
2 2
h h + = 0 x z
or Laplace equation
Chapter 7
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1.3 Use of Continuity Equation for Solution of Flow Problem
해석적 방법으로 흐름문제를 해결하기 위한 연속방정식의 이용
두 개 층의 흙에서 일차원 흐름
두 토층의 수두차이, h1
흐름은 z 방향으로만 진행
또는,
여기에서, A1과 A2는 상수
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1.4 Use of Continuity Equation for Solution of Flow Problem
경계조건-1 일 때,
경계조건-2 일 때,
조건에 의하여,
따라서,
상부층을 통과하는 흐름
Chapter 7
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1.5 Use of Continuity Equation for Solution of Flow Problem
경계조건-1 일 때,
경계조건-2 일 때,
조건에 의하여,
따라서,
하부층을 통과하는 흐름
1.5 Use of Continuity Equation for Solution of Flow Problem
상부층을 통과하는 물 = 하부층을 통과하는 물의 양
따라서,
변수 h2를 제거하면,
상부층에서,
하부층에서,
Chapter 7
Geotechnical Engineering
Chapter 7
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2 유선망(Flow Net)
등방성 흙에서 연속방정식
서로 직교하는 두 개의 곡선
유선(flow line) 등수두선(equipotential line) 투수층 흐름
Chapter 7
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2.1 Flow Net Conditions
1. 등수두선과 유선은 서로 직교한다.
2. 유선망에서의 각 요소는 거의 정방형이다.
유로
flow channel Nf
수두낙차
potential drop Nd
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2.2 Potential & Stream Functions
포텐셜 함수 와 흐름 함수
2 2
2 2
φ φ+ = 0 x z
x zv v+ = 0x z
φ=k h(속도)포텐셜
x zφ φv = , v =x z
φ(x, z) ψ(x, z)
x zψ ψv = , v = -
xz
φ(x, z) ψ(x, z)포텐셜 함수 흐름 함수
φ ψ φ ψ, -x xz z
2 2
2 2
ψ ψ+ = 0 x z
Chapter 7
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2.3 Potential & Stream Functions
z
x
v dz = v dx
z x-v dx + v dz = 0
ψ ψdψ = dx + dz = 0x z
← 유선함수 에 대한 관계식 대입ψ
ψ=const.←
곡선 가 지정되면 이 곡선의 기울기는 유속의 합성벡터의 기울기와 일치
유선함수에 의한 2차곡선 → 유선(flow line) → 물분자의 이동궤적
ψ(x, z)
Chapter 7
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2.4 Potential & Stream Functions
포텐셜함수 의 물리적 의미 → 따른 전미분φ(x, z)
φ φdφ = dx + dz = 0x z
2 2 2
1 1 1
ψ ψ ψ
z x 1 2ψ ψ ψ
ψ ψΔq= -v dx+v dz = dx+ dz = dψ = ψ -ψx z
→ 두 유선 의 사이를 흐르는 유량은 항상 일정1 2ψ , ψ
φ=const.
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2.5 Potential & Stream Functions
φ φdφ = dx + dz = 0x z
x z= v dx+v dz = 0
x
z
vdz = - dx v
φ=const.←
포텐셜 함수에 의한 2차곡선 → 등포텐셜선(equipotential line) 동일한 포텐셜의 연결선
유선의 기울기와 역부호를 가진 역수 → 기울기가 서로 반대 곡선이 서로 직교
2개의 곡선(유선과 등포텐셜선)을 평면좌표 (x, z) 상에 나타냄
→ 유선망(flow net)
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2.6 Flow Net
유선망(Flow net) 서로 직교하는 여러 개의 유선과 등포텐셜선으로 이루어짐
투수성 지반(흙)에서 물의 흐름 문제를 해석
침투수량, 간극수압, 동수경사(수두낙차) 등 결정
등수두선과 유선은 서로 직교
Chapter 7
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2.7 Flow Net
유선망에서의 경계조건 AB는 이 선을 따라 전수두가 동일 → 등수두선
CD는 이 선을 따라 전수두가 동일 → 등수두선
널말뚝을 따라 상류면에서 하류면으로 흐르는 BCD → 유선
불투수층의 경계면 FG → 유선
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2.8 Flow Net
유선망의 작도
경계조건을 만족하도록 원활한 곡선이 되도록 작성
유선망에서 이루어지는 요소는 정사각형(curve linear square) Trial and Error
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2.9 Flow Net
유선망을 이용한 침투량 유로(Flow Channel) → 두개의 유선 사이의 통로
유로는 정방형 요소를 형성
2 31 21 2
1 2
d
h -hh -hΔq=k i A=k l =k l =l l
ΔH =k Δh=kN
1 2Δq=Δq =Δq =
f
d
N q=k ΔH N
유선망을 이용한 동수경사
d
2 2
ΔH/NΔhi= =l l
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3. Example (Flow Net) Ex) 아래의 그림은 투수층에서 널말뚝 주위의 흐름에 대한 유선망
kx=kz=510-3cm/sec 일 때 다음의 사항을 결정하라a. a, b, c, d점에 피에조미터를 세우면 지표면위로 올라온 물의 높이는?b. 단위 폭당 유로 Ⅱ를 흐르는 침투량?c. 단위 폭당 투수층 전체를 흐르는 전침투량?
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3. Example (Flow Net) Ex) 아래의 그림은 투수층에서 널말뚝 주위의 흐름에 대한 유선망
kx = kz = 510-3 cm/sec 일 때 다음의 사항을 결정하라a. a, b, c, d점에 피에조미터를 세우면 지표면위로 올라온 물의 높이는?b. 단위 폭당 유로 Ⅱ를 흐르는 침투량?c. 단위 폭당 투수층 전체를 흐르는 전침투량?
a. a점 : 4.5-0.5=4mb점 : 4.5-2Χ0.5=3.5m
c점 : 4.5-5Χ0.5=2m
d점 : 4.5-5Χ0.5=2m
b.
c.f dN =3, N 6
ΔH=3mΔh=3/6=0.5m
-3 -1 3
d
ΔH 300Δq=k =5 10 =2.5 10 cm /sec/cmN 6
-3f
d
-1 3
N 3q=k ΔH =5 10 300N 6
=7.5 10 cm /sec/cm
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4. Anisotropy and Nonhomogeneity of Permeability
투수계수의 비등방성 및 비균질성 흙은 퇴적되어 자연적으로 형성 → 대략 평행한 층을 이룸
수직방향과 수평방향의 투수계수가 다름
수평방향의 투수계수가 연직방향보다 일반적으로 더 큼
한 위치에서 방향에 따라 투수계수가 다름 → 비등방 (Anisotropy) 두 위치에서의 투수계수가 다름 → 비균질 (Nonhomogeneity)
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4.1 Flow Nets in Anisotropic Soil
비등방성 흙에서의 유선망 자연적으로 퇴적된 토층 → 수직방향보다 수평방향의 투수성이 큼
점성토 지반일수록 이러한 경향이 우세
2 2
x z2 2
h hk +k =0x z x zif k k , then ← This is not laplace equation
2 2
2 2
h h+ =0x' z
2 2
22z
x
h h+ =0zk x
k
z xx = k /k x ←
x`는 x방향의 새로운 좌표
Chapter 7
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4.2 Flow Nets in Anisotropic Soil
비등방성 흙에서의 유선망 작도
z 방향은 그대로 x 방향은 관계를 이용하여 치수를축소(또는 확대)하여 스케치
유선망 작도, 유선과 등수두선으로 이루어지는 요소는 정사각형
유선망을 이용하여 Nd, Nf 를 구하여 침투유량 결정
z xx = k /k x
fx z
d
Nq= k k ΔHN
e x zk = k k 등가투수계수
(Equivalent Coefficient of Permeability)
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4.3 Flow Nets in Anisotropic Soil
e x zk = k k
T e eΔhΔq =K b=K Δhl
N x xx x
z z
Δh ΔhΔq =k b=kk klk k
T NΔq =Δq
case (a)에서의 유량
case (b)에서의 유량
→
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4.4 Flow Nets in Nonhomogeneous Soil
1 1 1 2 2 2q=k i A =k i A
비균질한 흙에서의 유선망 자연적으로 형성된 토층 → 성층구조, 비균질
1 1 2 2 1 2 1i =Δh/l , i =Δh/l , A =A =l 1
1 1 2 11 2
Δh Δhk l = k ll l
2 2
1 1
l k = l k
← Flow net : square → rectangular
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4.5 Flow Nets in Nonhomogeneous Soil
층의 경계가 경사진 비균질한 흙에서의 유선망
토층의 경계면 AB의 법선과 α각으로 유입하는 경우
법선과 β각으로 유출
1
2
k tanα =k tanβ
1 1 2 2Δh Δhq=k b =k bCA BD
1 2
CA BD=tanα, =tanβb b
1 2k k=tanα tanβ
Chapter 7
Geotechnical Engineering
4.6 Flow Net in Nonhomogeneous Soil
비균질한 흙에서의 유선망 작도 예
매질 1의 투수계수가 매질 2의 투수계수보다 2배 큰 경우
1
2
k tanα=2=k tanβ
2 2
1 1
k l1k 2 l
tan 2 tan
1 2l =2 l
Chapter 7
Geotechnical Engineering
수학적 해법에 의한 침투량
Harr (1962)
S : 널말뚝의 근입깊이
T : 투수층의 두께
q/kH vs. S/T 그래프
4.7 Mathematical Solution for Seepage
Chapter 7
Geotechnical Engineering
수학적 해법에 의한 댐아래의 침투량 산정
Harr (1962)
S : 널말뚝의 근입깊이
T : 투수층의 두께
x : 댐 중앙에서널말뚝까지의 길이
B : 댐 단면의 폭
q/kH vs. x/b 그래프
4.8 Mathematical Solution for Seepage
Chapter 7
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수리구조물의 양압력
압력수두 + 위치수두= 전수두
압력수두 단위중량= 간극수압
S : 널말뚝의 근입깊이
T : 투수층의 두께
x : 댐 중앙에서
5. Uplift Pressure under hydraulic structures
Chapter 7
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5.1 Example (Uplift Pressure)
유선망을 이용한 양압력(Uplift pressure) 댐 등의 수리구조물 저면에서 연직상향으로 작용하는 수압 → 양압력
p p ww
ph = ; p=h γγ
f dN =2, N 7
ΔH=7-0=7m
d
ΔHΔh= =7/7=1mN
a점 - 전수두 : 7-1=6m, 위치수두 : -2m
압력수두 : 6-(-2)=8m
수압 : 8mΧ9.81kN/m3=78.48kN/m2
.
수압분포 면적을 구하면 단위폭당 양압력 →
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6. Flow nets in Seepage through an earth Dam
흙 댐을 침투하는 유선망
흙 댐을 물이 통과할 경우 유선망의 경계조건 불분명
가장 위에 있는 유선의 경로를 추정하기 어려움
가장 위에 있는 유선이 정해지면 이 경로에서의 응력은 항상대기압과 같으므로 손실수두는 위치수두 뿐임
이러한 특성의 유선 → 침윤선 (phreatic line)
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Geotechnical Engineering
침윤선을 결정하는 방법 Casagrande & Kozeny AE=0.3(AG) 되도록 E점 설정
포물선의 정리에 따라 CY=YQ=S, CL=LM의 관계적용 → x=X, z=H → 포물선의 특성으로 부터 CD=1/2·S → D점 결정
D점과 E점을 통하는 포물선 작도
A점에서 포물선과 만나도록 AJ 작도
6.1 Determination of Phreatic Line
Y Q
2 2x +z =x+S2 2S= X +H -X
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6.2 Flow through an Earth Dam
Dupuit (1863)불투수 기반 상에 축조된 균질한 흙 댐
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Geotechnical Engineering
6.3 Chart for Solution of Flow on Earth Dam
Gilboy’s Solution (1934) > 30° 일 때, 커지는 오차(Dupuit, 1863)를 제한
Based on Casagrande method (1932)
1. d/H 결정
2. 에 대한 m 결정
3. L = m H/sin4. k L (sin2) 결정
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침윤선이 댐 하류경사면과 교차하는 경우의 유선망 제체 하류면 접합점(F점)을 초점으로 하는 포물선 작도
포물선은 하류경사면을 벗어남 → 하류경사면을 따르는 포물선으로 수정
Gilboy(1933) 수정도표 제안
a가 정해지면 FJ=a가 되도록 J점 결정
J점에서 기본 포물선과 원활하게 연결
6.4 Another Chart for Solution
a=m H cosecβ
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Geotechnical Engineering
배수형태 및 비균질 댐체에 따른 침윤선
작은 입자 흙 큰 입자 흙
세립분이 조립토로 흐름
조립토의 간극이 메워짐
두 흙의 경계에 필터(보호필터)
U.S. Navy (1971)
필터 설계조건 제시
6.5 Filter Design