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Corrigé d’un exercice sur la matrice derotation dans le plan
Denis Bitouzé
IUT Génie Thermique et Énergie de Dunkerque
7 mai 2020
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Plan
Énoncé de l’exercice
Où l’on découvre en quoi la matrice de rotation est unematrice de rotation
Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n foisune rotation d’angle α revient à lui faire subir une rotationd’angle nα
![Page 3: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/3.jpg)
Plan
Énoncé de l’exercice
Où l’on découvre en quoi la matrice de rotation est unematrice de rotation
Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n foisune rotation d’angle α revient à lui faire subir une rotationd’angle nα
![Page 4: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/4.jpg)
Énoncé de l’exercice
Soit α un réel et Rα la matrice rotation définie par :
Rα =
(cosα −sinαsinα cosα
)
1. Calculer R2α et R3
α .
2. En déduire une formule pour Rnα (n ∈N∗) à démontrer par
récurrence.
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Énoncé de l’exercice
Soit α un réel et Rα la matrice rotation définie par :
Rα =
(cosα −sinαsinα cosα
)
1. Calculer R2α et R3
α .
2. En déduire une formule pour Rnα (n ∈N∗) à démontrer par
récurrence.
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Plan
Énoncé de l’exercice
Où l’on découvre en quoi la matrice de rotation est unematrice de rotation
Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n foisune rotation d’angle α revient à lui faire subir une rotationd’angle nα
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Matrice de rotation
#»v ′ =# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O
a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
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Matrice de rotation
#»v ′ =# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)
#»v ′ =# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
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Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)
=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
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Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)
=OM ′(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
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Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)
=OM ′(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
![Page 12: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/12.jpg)
Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)
=OM ′(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
![Page 13: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/13.jpg)
Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)
=OM ′(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
![Page 14: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/14.jpg)
Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)
=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
![Page 15: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/15.jpg)
Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
![Page 16: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/16.jpg)
Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
![Page 17: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/17.jpg)
Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)
=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
![Page 18: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/18.jpg)
Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
![Page 19: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/19.jpg)
Matrice de rotation#»v ′ =
# »
OM ′ vecteur obtenu par rotation de centre O et d’angle α du vecteur# »OM
x
y
O a
b M
#»v
a ′
b ′ M ′
α
#»v ′
γ
β
#»v =# »OM =
(ab
)#»v ′ =
# »
OM ′ =(a′b ′
)=
(OM ′ cosγOM ′ sinγ
)=OM ′
(cosγsinγ
)=OM ′
(cos(α+ β)sin(α+ β)
)=OM ′
(cosα cosβ − sinα sinβsinα cosβ+cosα sinβ
)=OM ′
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=OM
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosβsinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(OM cosβOM sinβ
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)(ab
)=
(cosα −sinαsinα cosα
)#»v
= Rα#»v
![Page 20: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/20.jpg)
Plan
Énoncé de l’exercice
Où l’on découvre en quoi la matrice de rotation est unematrice de rotation
Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n foisune rotation d’angle α revient à lui faire subir une rotationd’angle nα
![Page 21: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/21.jpg)
Calcul de R2α
R2α = RαRα
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α − sin2α −2cosα sinα
2cosα sinα cos2α − sin2α
)=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)= R2α
![Page 22: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/22.jpg)
Calcul de R2α
R2α = RαRα
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosα −sinαsinα cosα
)
=
(cos2α − sin2α −2cosα sinα
2cosα sinα cos2α − sin2α
)=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)= R2α
![Page 23: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/23.jpg)
Calcul de R2α
R2α = RαRα
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α − sin2α −2cosα sinα
2cosα sinα cos2α − sin2α
)
=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)= R2α
![Page 24: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/24.jpg)
Calcul de R2α
R2α = RαRα
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α − sin2α −2cosα sinα
2cosα sinα cos2α − sin2α
)=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)
= R2α
![Page 25: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/25.jpg)
Calcul de R2α
R2α = RαRα
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α − sin2α −2cosα sinα
2cosα sinα cos2α − sin2α
)=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)= R2α
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Calcul de R2α (remarque)
Faire subir à un vecteur #»v 2 fois une rotation d’angle α revientà Rα (Rα
#»v ).
Or :
Rα (Rα#»v ) = (RαRα)
#»v (associativité du produit matriciel)
= R2α
#»v
= R2α#»v (d’après le calcul précédent)
Autrement dit, faire subir à un vecteur 2 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 2α.
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Calcul de R2α (remarque)
Faire subir à un vecteur #»v 2 fois une rotation d’angle α revientà Rα (Rα
#»v ). Or :
Rα (Rα#»v ) = (RαRα)
#»v (associativité du produit matriciel)
= R2α
#»v
= R2α#»v (d’après le calcul précédent)
Autrement dit, faire subir à un vecteur 2 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 2α.
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Calcul de R2α (remarque)
Faire subir à un vecteur #»v 2 fois une rotation d’angle α revientà Rα (Rα
#»v ). Or :
Rα (Rα#»v ) = (RαRα)
#»v (associativité du produit matriciel)
= R2α
#»v
= R2α#»v (d’après le calcul précédent)
Autrement dit, faire subir à un vecteur 2 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 2α.
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Calcul de R2α (remarque)
Faire subir à un vecteur #»v 2 fois une rotation d’angle α revientà Rα (Rα
#»v ). Or :
Rα (Rα#»v ) = (RαRα)
#»v (associativité du produit matriciel)
= R2α
#»v
= R2α#»v (d’après le calcul précédent)
Autrement dit, faire subir à un vecteur 2 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 2α.
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Calcul de R2α (remarque)
Faire subir à un vecteur #»v 2 fois une rotation d’angle α revientà Rα (Rα
#»v ). Or :
Rα (Rα#»v ) = (RαRα)
#»v (associativité du produit matriciel)
= R2α
#»v
= R2α#»v (d’après le calcul précédent)
Autrement dit, faire subir à un vecteur 2 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 2α.
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Calcul de R3α
R3α = R2
αRα
= R2αRα d’après le transparent précédent
=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α cosα − sin2α sinα −cos2α sinα − cosα sin2αsin2α cosα+cos2α sinα −sin2α sinα+cos2α cosα
)=
(cos3α −sin3αsin3α cos3α
)= R3α
Donc, de même, faire subir à un vecteur 3 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 3α.
![Page 32: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/32.jpg)
Calcul de R3α
R3α = R2
αRα= R2αRα d’après le transparent précédent
=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α cosα − sin2α sinα −cos2α sinα − cosα sin2αsin2α cosα+cos2α sinα −sin2α sinα+cos2α cosα
)=
(cos3α −sin3αsin3α cos3α
)= R3α
Donc, de même, faire subir à un vecteur 3 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 3α.
![Page 33: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/33.jpg)
Calcul de R3α
R3α = R2
αRα= R2αRα d’après le transparent précédent
=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)(cosα −sinαsinα cosα
)
=
(cos2α cosα − sin2α sinα −cos2α sinα − cosα sin2αsin2α cosα+cos2α sinα −sin2α sinα+cos2α cosα
)=
(cos3α −sin3αsin3α cos3α
)= R3α
Donc, de même, faire subir à un vecteur 3 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 3α.
![Page 34: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/34.jpg)
Calcul de R3α
R3α = R2
αRα= R2αRα d’après le transparent précédent
=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α cosα − sin2α sinα −cos2α sinα − cosα sin2αsin2α cosα+cos2α sinα −sin2α sinα+cos2α cosα
)
=
(cos3α −sin3αsin3α cos3α
)= R3α
Donc, de même, faire subir à un vecteur 3 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 3α.
![Page 35: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/35.jpg)
Calcul de R3α
R3α = R2
αRα= R2αRα d’après le transparent précédent
=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α cosα − sin2α sinα −cos2α sinα − cosα sin2αsin2α cosα+cos2α sinα −sin2α sinα+cos2α cosα
)=
(cos3α −sin3αsin3α cos3α
)
= R3α
Donc, de même, faire subir à un vecteur 3 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 3α.
![Page 36: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/36.jpg)
Calcul de R3α
R3α = R2
αRα= R2αRα d’après le transparent précédent
=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α cosα − sin2α sinα −cos2α sinα − cosα sin2αsin2α cosα+cos2α sinα −sin2α sinα+cos2α cosα
)=
(cos3α −sin3αsin3α cos3α
)= R3α
Donc, de même, faire subir à un vecteur 3 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 3α.
![Page 37: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/37.jpg)
Calcul de R3α
R3α = R2
αRα= R2αRα d’après le transparent précédent
=
(cos2α −sin2αsin2α cos2α
)(cosα −sinαsinα cosα
)=
(cos2α cosα − sin2α sinα −cos2α sinα − cosα sin2αsin2α cosα+cos2α sinα −sin2α sinα+cos2α cosα
)=
(cos3α −sin3αsin3α cos3α
)= R3α
Donc, de même, faire subir à un vecteur 3 fois une rotationd’angle α revient à lui faire subir une rotation d’angle 3α.
![Page 38: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/38.jpg)
Conjecture
I On conjecture que, pour tout n > 1, on a Rnα = Rnα .
I Prouvons-le par récurrence.
![Page 39: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/39.jpg)
Conjecture
I On conjecture que, pour tout n > 1, on a Rnα = Rnα .
I Prouvons-le par récurrence.
![Page 40: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/40.jpg)
RécurrencePremière étape : initialisation
La relation Rnα = Rnα est bien vraie au rang n = 1. En effet :
R1α = Rα par définition de la puissance d’une matrice
= R1α
![Page 41: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/41.jpg)
RécurrencePremière étape : initialisation
La relation Rnα = Rnα est bien vraie au rang n = 1.
En effet :
R1α = Rα par définition de la puissance d’une matrice
= R1α
![Page 42: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/42.jpg)
RécurrencePremière étape : initialisation
La relation Rnα = Rnα est bien vraie au rang n = 1. En effet :
R1α = Rα par définition de la puissance d’une matrice
= R1α
![Page 43: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/43.jpg)
RécurrencePremière étape : initialisation
La relation Rnα = Rnα est bien vraie au rang n = 1. En effet :
R1α = Rα par définition de la puissance d’une matrice
= R1α
![Page 44: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/44.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (programme)
1. On suppose la relation vraie au rang n :
Rnα = Rnα (hypothèse de récurrence)
2. On prouve que, alors, la relation est vraie au rang n +1 :
Rn+1α = R(n+1)α
![Page 45: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/45.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (programme)
1. On suppose la relation vraie au rang n :
Rnα = Rnα (hypothèse de récurrence)
2. On prouve que, alors, la relation est vraie au rang n +1
:
Rn+1α = R(n+1)α
![Page 46: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/46.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (programme)
1. On suppose la relation vraie au rang n :
Rnα = Rnα (hypothèse de récurrence)
2. On prouve que, alors, la relation est vraie au rang n +1
:
Rn+1α = R(n+1)α
![Page 47: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/47.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (programme)
1. On suppose la relation vraie au rang n :
Rnα = Rnα (hypothèse de récurrence)
2. On prouve que, alors, la relation est vraie au rang n +1 :
Rn+1α = R(n+1)α
![Page 48: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/48.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (preuve que la relation est vraie au rang n +1)
On a :
Rn+1α = RαR
nα
= RαRnα par hypothèse de récurrence
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosnα −sinnαsinnα cosnα
)=
(cosα cosnα − sinα sinnα −cosα sinnα − sinα cosnαsinα cosnα+cosα sinnα −sinα sinnα+cosα cosnα
)=
(cos(n +1)α −sin(n +1)αsin(n +1)α cos(n +1)α
)= R(n+1)α
La relation est bien vraie au rang n +1.
![Page 49: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/49.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (preuve que la relation est vraie au rang n +1)
On a :
Rn+1α = RαR
nα
= RαRnα par hypothèse de récurrence
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosnα −sinnαsinnα cosnα
)=
(cosα cosnα − sinα sinnα −cosα sinnα − sinα cosnαsinα cosnα+cosα sinnα −sinα sinnα+cosα cosnα
)=
(cos(n +1)α −sin(n +1)αsin(n +1)α cos(n +1)α
)= R(n+1)α
La relation est bien vraie au rang n +1.
![Page 50: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/50.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (preuve que la relation est vraie au rang n +1)
On a :
Rn+1α = RαR
nα
= RαRnα par hypothèse de récurrence
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosnα −sinnαsinnα cosnα
)=
(cosα cosnα − sinα sinnα −cosα sinnα − sinα cosnαsinα cosnα+cosα sinnα −sinα sinnα+cosα cosnα
)=
(cos(n +1)α −sin(n +1)αsin(n +1)α cos(n +1)α
)= R(n+1)α
La relation est bien vraie au rang n +1.
![Page 51: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/51.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (preuve que la relation est vraie au rang n +1)
On a :
Rn+1α = RαR
nα
= RαRnα par hypothèse de récurrence
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosnα −sinnαsinnα cosnα
)
=
(cosα cosnα − sinα sinnα −cosα sinnα − sinα cosnαsinα cosnα+cosα sinnα −sinα sinnα+cosα cosnα
)=
(cos(n +1)α −sin(n +1)αsin(n +1)α cos(n +1)α
)= R(n+1)α
La relation est bien vraie au rang n +1.
![Page 52: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/52.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (preuve que la relation est vraie au rang n +1)
On a :
Rn+1α = RαR
nα
= RαRnα par hypothèse de récurrence
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosnα −sinnαsinnα cosnα
)=
(cosα cosnα − sinα sinnα −cosα sinnα − sinα cosnαsinα cosnα+cosα sinnα −sinα sinnα+cosα cosnα
)
=
(cos(n +1)α −sin(n +1)αsin(n +1)α cos(n +1)α
)= R(n+1)α
La relation est bien vraie au rang n +1.
![Page 53: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/53.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (preuve que la relation est vraie au rang n +1)
On a :
Rn+1α = RαR
nα
= RαRnα par hypothèse de récurrence
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosnα −sinnαsinnα cosnα
)=
(cosα cosnα − sinα sinnα −cosα sinnα − sinα cosnαsinα cosnα+cosα sinnα −sinα sinnα+cosα cosnα
)=
(cos(n +1)α −sin(n +1)αsin(n +1)α cos(n +1)α
)
= R(n+1)α
La relation est bien vraie au rang n +1.
![Page 54: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/54.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (preuve que la relation est vraie au rang n +1)
On a :
Rn+1α = RαR
nα
= RαRnα par hypothèse de récurrence
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosnα −sinnαsinnα cosnα
)=
(cosα cosnα − sinα sinnα −cosα sinnα − sinα cosnαsinα cosnα+cosα sinnα −sinα sinnα+cosα cosnα
)=
(cos(n +1)α −sin(n +1)αsin(n +1)α cos(n +1)α
)= R(n+1)α
La relation est bien vraie au rang n +1.
![Page 55: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/55.jpg)
RécurrenceDeuxième étape : hérédité (preuve que la relation est vraie au rang n +1)
On a :
Rn+1α = RαR
nα
= RαRnα par hypothèse de récurrence
=
(cosα −sinαsinα cosα
)(cosnα −sinnαsinnα cosnα
)=
(cosα cosnα − sinα sinnα −cosα sinnα − sinα cosnαsinα cosnα+cosα sinnα −sinα sinnα+cosα cosnα
)=
(cos(n +1)α −sin(n +1)αsin(n +1)α cos(n +1)α
)= R(n+1)α
La relation est bien vraie au rang n +1.
![Page 56: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/56.jpg)
RécurrenceTroisième étape : conclusion
I On a prouvé par récurrence que, pour tout n > 1, Rnα = Rnα .
I Donc, faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle αrevient à lui faire subir une rotation d’angle nα.
![Page 57: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/57.jpg)
RécurrenceTroisième étape : conclusion
I On a prouvé par récurrence que, pour tout n > 1, Rnα = Rnα .
I Donc, faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle αrevient à lui faire subir une rotation d’angle nα.
![Page 58: Corrigé d'un exercice sur la matrice de rotation dans le plan · Où l’on découvre et prouve que faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle revient à lui faire subir](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022050114/5f4b7382b0da2b20634e0bcf/html5/thumbnails/58.jpg)
RécurrenceTroisième étape : conclusion
I On a prouvé par récurrence que, pour tout n > 1, Rnα = Rnα .
I Donc, faire subir à un vecteur n fois une rotation d’angle αrevient à lui faire subir une rotation d’angle nα.
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RécurrenceRemarque
On aurait même pu prouver
1
que, pour tout n > 0, Rnα = Rnα .
1. Preuve laissée en exercice.
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RécurrenceRemarque
On aurait même pu prouver 1 que, pour tout n > 0, Rnα = Rnα .
1. Preuve laissée en exercice.