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INTRODUCCIN
A menudo se emplean especificaciones de diseo para describir qu debe hacer elsistema y cmo hacerlo. Estas especificaciones son nicas para cada aplicacinindividual y con frecuencia incluyen especificaciones como estabilidad relativa,
error de estado estacionario, respuesta transitoria y caractersticas de respuestaen frecuencia. En algunas aplicaciones puede haber especificaciones adicionalessobre sensibilidad a variaciones de parmetros !por e"emplo, robuste# o recha#o aperturbaciones$.
El diseo de sistemas de control lineales se puede reali#ar ya sea en el dominiodel tiempo o en el dominio de %a frecuencia. &or e"emplo, %a precisin !error$ enestado estable a menudo se especifica con respecto a una entrada escaln, unaentrada rampa o una entrada parbola, y el diseo para cumplir ciertos requisitoses ms conveniente reali#arlo en el dominio del tiempo. 'tras especificacionescomo el sobreimpulso m(imo, tiempo de subida o tiempo de estabili#acin, estndefinidas para una entrada escaln unitario, y por tanto se emplean para diseo enel dominio del tiempo. )e sabe que %a estabilidad relativa tambin se mide entrminos del margen de ganancia, margen de fase. Estas son especificacionestpicas del dominio de %a frecuencia y deben emplearse "unto con herramientascomo %a tra#a de *ode, %a tra#a polar, %a de *lac+ o ichols.
-istricamente, el diseo de sistemas de control lineales fue desarrollado con unagran cantidad de herramientas grficas tales como %as tra#as de *ode. yquist,*lac+, y la carta de ichols, que se reali#an en el dominio de %a frecuencia. aventa"a de estas herramientas es que se pueden bosque"ar mediante mtodosapro(imados sin reali#ar el dibu"o detallado. En consecuencia, el diseador puedereali#ar diseos empleando especificaciones en el dominio de %a frecuencia talescorno margen de ganancia, margen de fase. os sistemas de orden superior nopresentan mayor problema.
El desarrollo y %a disponibilidad de soft/are computacional amigable y poderosoha cambiado rpidamente %a prctica del diseo de sistemas de control, que hastahace poco habla estado dictado por el desarrollo histrico. 0on herramientas desoft/are modernas, el diseador puede correr, en unos cuantos minutos, un grannmero de diseos empleando especificaciones en el dominio del tiempo. Estodisminuye considerablemente %a venta"a histrica del diseo en el dominio de %afrecuencia, el cual est basado en %a conveniencia de reali#ar el diseo grfico enforma manual. Adems, generalmente es difical. E(cepto para el diseadore(perimentado, seleccionar un con"unto coherente de especificaciones en eldominio de %a frecuencia que correspondan a requisitos de comportamiento en eldominio del tiempo.
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1. Actividad Terica: La primera actividad est compuesta de una seriede eercicios !ue de"ern ser desarro##ados de $orma ana#%tica porcada uno de #os estudiantes de# &rupo co#a"orativo. 'ara e# desarro##ode #a primera actividad se propone e# si&uiente es!uema de contro#:
(ercicio 1: )upon&a !ue #a $uncin de trans$erencia de #a p#anta es:
*a+ Ca#cu#e #a constante de error de posicin ,p- e# error en estadoestacionario ante una entrada esca#n unitario e# tiempo deesta"#ecimiento para #a $uncin de trans$erencia de #a p#antadiscreti/ada sin contro#ador en #a/o cerrado.
El primer paso es discreti#ar a 1!s$2
G (z )=(1z1){Gp(s)s }
G (z )= (1z1 ) { 10
( s+1 ) (s+2 )s
}=(1z1 ) { 10s(s+1)( s+2)})e recurre a fracciones parciales para hallar la transformada 32
G (z )= (1z1 )
{
5
s 10
(s+1
)
+ 5
(s+2
)}=(1z1 )( z
z1 10
z
ze10 t
+ 5z
ze5 t
)
4eniendo en cuenta que 4s56.7 seg2
G (z )=z (22.429910.8731z )10.8807
(z0.606531)(ez1)
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4eniendo la funcin de transferencia, se procede a retroalimentar2
Gw(z )=
z(22.429910.8731z )10.8807(z0.606531)(ez1)
1+z (22.429910.8731z )10.8807
(z0.606531)(ez1)
Gw(z )=Z(1.33333Z2.75051 )+1.3342
Z(Z2.4257 )+1.25989
Kp=limz 1{
Z(1.33333Z2.75051 )+1.3342Z(Z2.4257 )+1.25989 }=0.500452
El error en estado estacionario es2ep=
1
1+kp=
1
1+0.500452=0.6665
&ara hallar los parametros de la planta, se toma la funcion de transferencia y seiguala con la ecuacin general de segundo orden para hallar sus parmetros2
Gp(s )= 10
(s+1 ) ( s+2 )=
10
s2+3s+2
= n
2
s2+2 n+n
2
Gp(s )= n
2
s2+2 n+n
2=
51.412
s2+2 (1,06 ) (1,41 ) s+1,412
1raficando la planta en la#o abierto y en la#o cerrado con una entrada escalonunitario2
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&or lo cual podemos concluir que2
n=1,41
=1,06
&or lo cual para el establecimiento del 89
ts= 3
n=2.0
&ara el establecimiento del :9
ts= 4
n=2.67
*"+ Dise0e un contro#ador 'I di&ita# para !ue e# sistema en #a/o cerradoten&a un so"reimpu#so mimo de 234 un tiempo deesta"#ecimiento menor de 2 se&undos. )upon&a !ue e# tiempo de
muestreo es Ts 5 3.1 se&undos.
4omando la funcin de transferencia pulso que ya se obtuvo2
Gw(z )=Z(1.33333Z2.75051 )+1.3342
Z(Z2.4257 )+1.25989
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)e puede utili#ar el mtodo de cancelacin de polos y ceros, para lo cual elcontrolador &% toma la forma2
Asumimos el error en estado estable dess=0.6665
e por lo cual2
ess=1
kv
kv= 1ess=1.5
kv=1
T limz 1
(z1 )D (z )G w(z )
1.5=1
T limz 1
(z1)
[ ki T+2kc ] [z+ki T2kcki T+2kc]z (1.33333Z2.75051 )+1.33422(z1)(z1.6732)(z0.753377)
4omando el lmite con 45 6.7 s2
1.5= 1
0.1(4.01803+0.853586ki)
ki=4.88296
)i se asume que el cero del controlador cancela el polo #5 7.;
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0.4882962kc0.488296+2kc
=1.6732
kc=0.969484
0on los valores obtenidos se puede reempla#ar en la formula inicial2
D (z )=
[0.4882961.938968 ] [z+0.488296+1.9389680.4882961.938968
]
2(z1)
D(z)=0.725336(z1.6732)
z1
(ercicio 2: )upon&a !ue #a $uncin de trans$erencia de #a p#anta es:
*a+ Ca#cu#e #a constante de error de ve#ocidad ,v- e# error en estadoestacionario ante una entrada esca#n unitario para #a $uncin detrans$erencia de #a p#anta discreti/ada sin contro#ador en #a/o cerrado6
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e# mar&en de $ase para #a $uncin de trans$erencia de #a p#antadiscreti/ada sin contro#ador en #a/o a"ierto.
kv=1
T limz 1
(z1)HG (z)
HG (z )=(1z1 ){ 1
s (s+1)s }=(1z1 )Z{ 1s2+ 1s+11s}
HG (z )=(1z1 )( 0.2z(z1 )2+ z
ze0.2
z
z1 )=0.0187308(z+0.935525)(z1)(z0.818731)
kv=1T limz 1
(z1)(0.0187308(z+0.935525)(z1)(z0.818731) )
kv=1
T limz1
(z1)( 0.0187308(z+0.935525)(z1)(z0.818731) )=0.04
&ara hallar el error en estado estacionario ante una entrada escaln debemoshallar primero la funcin de transferencia en la#o cerrado y el error de posicin >p
kp=limz1 (
0.0187308(z+0.935525)(z1)(z0.818731)
1+0.0187308(z+0.935525)(z1)(z0.818731))=1
ep= 1
1+kp=0.5
*"+ Dise0e un compensador en ade#anto di&ita# para !ue e# sistema en#a/o cerrado ten&a un mar&en de $ase de 738 #a constante de error deve#ocidad sea ,v 5 2. )upon&a !ue e# tiempo de muestreo es Ts 5 3.2se&undos.
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?iscreti#amos la funcin de transferencia de la planta2
G (z )=(1z1)Z{ ks2(s+1)}
0.01873+0.01752z1
G (z )=(1z1)kz1 (1z1 )
2(10.81871z1)
G (z )=k(0.01873z+0.01752)(z1)(z0.81871)
?ebemos pasar la funcin de trasferencia pulso a la funcin de transferencia 1!/$
mediante la transformacin bilineal, por lo cual2
z=1+0.5Tw10.5Tw
=1+0.1w10.1w
G (w )=k0.01873
1+0.1w10.1w
+0.01752
(1+0.1w10.1w
1)(1+0.1w10.1w
0.81871)
G ( w )=k0.000332653w
20.096332w+0.996585w
2+0.996805 w
4eniendo en cuenta que kv=2 asumimos una funcin de transferencia para el
controlador digital GD(w )=1+w1w
&or lo que quedara2
kv=limw 0
( 1+w1w )(k0.000332653w20.096332w+0.996585
w2+0.996805 w )=2
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k= 2
0.999779=2
Ahora podemos verificar la respuesta en frecuencia en matlab reempla#ando +2
[email protected];;8=6; 6.7B:;;C 7.BB=7
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=0.361
Encontramos el punto donde no est compensada su magnitud y se reempla#a/5"v en la funcin de transferencia 1!/$2
20 log 10.361
=4.425
vertG(jv )=21+(
v
300 )2
1+( v
10 )2
v 1+v2
a frecuencia ficticia es igual a 7.RAICA)
7. >. 'gata. )istemas de control en tiempo discreto, &rentice -all, 7BB