UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITECNICA
“ANTONIO JOSÉ DE SUCRE”
VICERRECTORADO BARQUISIMETO
DEPARTAMENTO DE INGENIERÍA QUÍMICA
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Prof: Ing. (MSc).
Juan Enrique Rodríguez C.
Octubre, 2013
1
Índice
Linealización de sistemas no lineales
Transformada de Laplace
Solución de ecuaciones diferenciales por la transformada de Laplace
2
3
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Linealización de sistemas no lineales
Linealización de sistemas no lineales
Con el fin de encontrar el comportamiento dinámico de un proceso químico, tenemos que integrar
las ecuaciones de estado que se utilizan para modelar el proceso, pero la mayoría de los sistemas
de procesamiento que estaremos interesados, se modelan por ecuaciones diferenciales no lineales,
y es bien sabido que no hay teoría matemática general para la solución analítica de este tipo de
ecuaciones.
Sólo para ecuaciones diferenciales lineales que son de forma cerrada, hay solución analítica
disponibles. Cuando nos enfrentamos con el análisis dinámico de los sistemas no lineales, hay
varias cosas que podemos hacer, como por ejemplo:
1. Simular el sistema no lineal en un equipo analógico o digital y calcular su solución
numéricamente, o
2. Transformar el sistema no lineal en uno lineal a través de una transformación apropiada de sus
variables, o
3. Desarrollar un modelo lineal que se aproxima al comportamiento dinámico de un sistema no
lineal en la cercanía del funcionamiento especificado ciertas condiciones.
4
Linealización de sistemas no lineales
Linealización de Sistemas con una variable
Linealización: es el proceso por el cual los sistemas no lineales son aproximados a los lineales.
Es ampliamente utilizado en el estudio de la dinámica del proceso y el diseño de sistemas de
control para las siguientes razones:
1. Podemos tener las soluciones analíticas para sistemas lineales de forma cerrada. Así podemos
tener una imagen general y completa de un proceso y su comportamiento independiente de los
valores particulares de los parámetros y las variables de entrada. Esto no es posible para los
sistemas no lineales, y simulación por computador ya que nos proporciona sólo el
comportamiento de los sistemas a valores especificados de entradas y sus parámetros.
2. Todos los avances significativos hacia el diseño efectivo sistemas de control se han limitado a
procesos lineales.
Considere la siguiente ecuación diferencial de un
proceso modelado dado:
o
xo
o xx*dx
dfxfxf
quedaría nos
Taylor, de serie la deexpansión la Utilizando
dt
dxxf
5
Linealización de sistemas no lineales
6
Linealización de Sistemas con una variable
Variable de desviación: se define como la diferencia entre el valor de la
variable o señal y su valor en el punto de operación.
0xtxtx'
Donde:
x’(t): es la variable de desviación
x(t): es la variable absoluta correspondiente
x0: es el valor de x en el punto de operación (valor base)
Entonces, podemos escribir
(t)x'*dx
dfxfxf xx*
dx
dfxfxf
xo
oo
xo
o
Linealización de sistemas no lineales
7
Ejemplo: Linealizar la ecuación de Arrhenius para la dependencia de las tasas de reacción
química de la temperatura. Donde: ko, E y R son constantes.
*TR
E
o e*kTk
Aplicando la ecuación de linealización, se tiene
T'*
T*R
E*e*k'k
T'*T*R
E*e*ke*k-e*k
TT*T*R
E*e*ke*kTk
queda nos do,Sustituyen
T*R
E*e*ke*k
dT
dk
Ahora
TT*e*kdT
dke*kTk
2
0
*TR
E
o
2
0
*TR
E
o
*TR
E
o*TR
E
o
02
0
*TR
E
o
*TR
E
o
2
0
*TR
E
o
*TR
E
o
0
*TR
E
o
*TR
E
o
0
00
00
00
00
o
xo
o xx*dx
dfxfxf
Donde:
T’=( T – T0 )
k’=( K(T)- K(T0) )
Linealización de sistemas no lineales
8
Para mostrar que las únicas variables en la ecuación lineal son k y T, consideremos el siguiente
problema numérico:
ko = 8x109 s-1
E = 22000 cal/mol
T0 = 373 K (100ºC)
R = 1,987 cal/mol.K
T'*8,175.10(T)k'
T'*8,175.1010.0273,1e*k
373KT*.Ks8,175.10s1,0273.10Tk
queda nos do,Sustituyen
.Ks8,175.10373K*cal/mol.K 1,987
cal/mol 22000*e*01.8e*k
dT
dk
Ahora
10.0273,1e*10.8T'k
5
513*TR
E
o
11513
115
2
373*cal/mol.K 1,987
cal/mol 22000
9*TsR
E
o
13373K*cal/mol.K 1,987
cal/mol 22000
9
s
s
Linealización de sistemas no lineales
9
Linealización de Sistemas con dos o más variables
Consideremos las siguientes funciones
2122
2111 x,xf
dt
dx , x,xf
dt
dx
2,02
x2,0x1,0;2
21,01
x2,0x1,0;1
22,01,02
2
2,02
x2,0x1,0;2
11,01
x2,0x1,0;1
12,01,01
1
xx*x
fxx*
x
f x;xf
dt
dx
xx*x
fxx*
x
f x;xf
dt
dx
quedaría nos Taylor, de serie la deexpansión la Utilizando
Estas dos últimas ecuaciones son las ecuaciones diferenciales lineales y constituyen la
linealización, o el modelo aproximado del sistema no lineal inicial descrito.
Definición de las variables de desviación por:
2,022
1,011
xtxt'x
xtxt'x
Linealización de sistemas no lineales
10
Ejemplo: Las ecuaciones del modelo para un CSTR se dan en las ecuaciones siguientes.
Supongamos que el volumen V permanece constante. Por lo tanto linealice las ecuaciones, sólo si
es necesario linealizarla.
cA*TR
E
or
ii
A*TR
E
oAAiiA
TT*V*Cp*ρ
At*UC*e*k*
Cp*ρ
ΔHT)(T*
V
F
dt
dT
y
C*e*kCC*V
F
dt
dC
Este modelo es no lineal debido a la presencia del término e-E/RT *CA, mientras los otros términos
son lineales. Por lo tanto se linealizará los términos no lineales en torno a un cierto punto
(CA,0;T0).
A,0A
*TR
E
0A,0
*TR
E
2
0
A,0
*TR
E
A,0A
C ;T
A
A*TR
E
0
C ;T
A*TR
E
A,0
*TR
E
A*TR
E
CC*e*C*e**
C*e
CC*C
C*e
TT*T
C*e
C*eC*e
000
A,00A,00
0
TTTR
E
Linealización de sistemas no lineales
11
Sustituyendo la aproximación anterior en las ecuaciones iniciales, tenemos el siguiente modelo
linealizado para un CSTR no isotérmico:
cA,0A
*TR
E
0A,0
*TR
E
2
0
A,0
*TR
E
or
ii
A,0A
*TR
E
0A,0
*TR
E
2
0
A,0
*TR
E
oAAiiA
TT*V*Cp*ρ
At*UCC*e*C*e*
*C*e*k*
Cp*ρ
ΔHT)(T*
V
F
dt
dT
y
CC*e*C*e**
C*e*kCC*V
F
dt
dC
000
000
TTTR
E
TTTR
E
Supongamos que T0 y CA,0 son las condiciones en estado estacionario para el CSTR y las
condiciones de entrada son CAi,0 ; Ti,0 y Tc,0
c,00A,0
*TR
E
or
0i,0i
A,0
*TR
E
oA,0Ai,0i
TT*V*Cp*ρ
At*UC*e*k*
Cp*ρ
ΔH)T(T*
V
F0
y
C*e*kCC*V
F0
0
0
Linealización de sistemas no lineales
12
c,0c0A,0A
*TR
E
0A,0
*TR
E
2
0
or
0i,0ii
A,0A
*TR
E
o0A,0
*TR
E
2
0
o0,Ai,0AiiA
TTT*V*Cp*ρ
At*UCC*e*C*e*
**k*
Cp*ρ
ΔH)T(T*
V
F
dt
dT
y
CC*e**C*e**
*kCC*V
F
dt
dC
00
00
TTTTR
ETT
kTTTR
ECC AA
Reemplazando, queda de la forma:
Definiendo las siguientes variables de desviación:
C,0CCi,0ii0Ai,0AiAiA,0AA TT'T ; TT'T ; TTT' ; CC'C ; CC'C
'
C
'
A
*TR
E
A,0
*TR
E
2
0
or'
ii
'
A
*TR
E
oA,0
*TR
E
2
0
o'
A
'
Aii
'
A
TT'*V*Cp*ρ
At*UC*eT'*C*e*
T*R
E*k*
Cp*ρ
ΔH)T'(T*
V
F
dt
dT'
y
C*e*kT'*C*e*T*R
E*kCC*
V
F
dt
dC
00
00
Finalmente, las ecuaciones en términos de las variables de desviación:
13
CONTROL DE PROCESOS QUÍMICOS
Transformada de Laplace
Transformada de Laplace
14
El uso de transformadas de Laplace ofrece una manera muy sencilla y un método elegante de
resolución de ecuaciones diferenciales lineales o ya linealizado en la modelización matemática de
procesos químicos.
La transformada de Laplace también permiten:
• Simple desarrollo de los modelos de entrada-salida, que son muy útiles para fines de control.
• Análisis cualitativo sencillo de cómo reaccionan los procesos químicos a diversas influencias
externas.
Definición de la transformada de Laplace
Considere la función f(t). La transformada de Laplace f(s) de la función f (t) se define como:
0
stdte*tfsFtfl
En el análisis de los sistemas de control se aplican señales a la entrada del sistema (por ejemplo,
perturbaciones, cambios en el punto de control, etc) para estudiar su respuesta. A pesar de que en
la práctica, generalmente, es difícil o incluso imposible lograr algunos tipos de señales. En la
ejecución de la transformada de Laplace se utilizan mayoritariamente las siguientes funciones:
a) Una función de escalón unitario
b) Un pulso
c) Una función de impulso unitario
d) Una onda senoidal
Transformada de Laplace
15
a) Una función de escalón unitario: Este es un cambio súbito de magnitud unitaria en un
tiempo igual a cero; dicha función se representa algebraicamente mediante la expresión:
0 t1
0 t0tu
s
110
s
1e*
s
1dtedte*tutu
0
st
0
st
0
st
l
Cuya transformada de Laplace es:
b) Un pulso: Se representa algebraicamente mediante la expresión:
Tt0 H
t0, t0tf
T
sTsTT
0
stT
0
st
0
st e1*s
H1e*
s
He*
s
Hdte*Hdte*tftf
l
Cuya transformada de Laplace es:
Transformada de Laplace
16
c) Una función de impulso unitario: Este es un pulso ideal de amplitud infinita y duración
cero, cuya área es la unidad; dicha función se representa algebraicamente mediante la expresión:
tflimtδ0T
1t l
Cuya transformada de Laplace da como resultado:
d) Una función senoidal: Se representa en forma de exponencial mediante la expresión:
2i
eewtsen
iwtiwt
220
st
ws
wdte*wtsenwtsen
l
Cuya transformada de Laplace da como resultado:
Transformada de Laplace
17
Propiedades de la transformada de Laplace
Linealidad: Esta propiedad, establece que la transformada de Laplace es lineal, es decir
sF*ktf*ktf*k ll
Puesto que es lineal, la propiedad distributiva también es válida:
sGsF tgtf tgtf lll
F(t) F(s) = l[f(s)]
δ(t) 1
u(t) 1/s
t 1/s2
tn n!/sn+1
e-at 1/(s+a)
t*e-at 1/(s+a)2
tn*e-at n!/(s+a)n+1
sen(wt) w/(s2+w2)
cos(wt) s/(s2+w2)
e-at*sen(wt) w/[(s2+a2)+w2]
e-at*cos(wt) (s+a)/[(s2+a2)+w2]
Tabla de algunas funciones comunes en la transformada de Laplace:
Transformada de Laplace
18
Teorema de la diferenciación real: Establece la relación de la transformada de Laplace de
una función con la de su derivada. Su expresión matemática es:
0fsF*s
dt
tdf
l
En general:
0
dt
fd0
dt
fd*s...0
dt
df*s0f*ssF*s
dt
tfd1n
1n
2n
2n12-n1-nn
n
n
l
Teorema de la integración real: Establece la relación de la transformada de Laplace de una
función con la de su integral. Su expresión matemática es:
sF1
tft
0 sdtl
Funciones trasladadas
Considere la función f(t) que se muestra en la figura (a)
Transformada de Laplace
19
Si esta función es retrasada por to, segundo, tomamos la función que se muestra en la Figura (b),
Y si se avanza por to, segundo, entonces tenemos la curva de la Figura (c)
Teorema de la traslación real: La función trasladada es la función original con retardo en el
tiempo. El teorema se expresa mediante la siguiente fórmula:
sF*ettf 0st
0
l
Transformada de Laplace
20
Teorema del valor final: Este teorema permite el cálculo del valor final o de estado estacionario
de una función a partir de su transformada. También es útil para verificar la validez de la
transformada que se obtiene. sF*slimtflim
0st
Teorema del valor inicial: Este teorema permite el cálculo del valor inicial o de estado
estacionario de una función a partir de su transformada. También es útil para verificar la validez
de la transformada que se obtiene.
sF*slimtflims0t
Ejemplo 1: Obtenga la transformada de Laplace de la siguiente función:
τ
t
etutc
Aplicando la propiedad de linealidad
τ: es una constante
1τss
1
1τs
τ
s
1
1/τs
1
s
1eltuletusC τ
t
τ
t
l
21
Transformada de Laplace
Ejemplo 2: El balance de energía para un calentador de un tanque agitado descrito previamente
es: Asumiendo que Fi = F, es decir, que el nivel de líquido se mantiene sin cambios:
stt
iit
stt
iit
T*Cp*ρ*V
A*UT*
V
FT*
Cp*ρ*V
A*U
V
Fi
dt
dT
V entre terminoslos todosdividimos si
T*Cp*ρ
A*UT*FT*
Cp*ρ
A*UFi
dt
dTV
Se puede expresar en términos de variables de desviación, de la forma:
)(compruebe T'*Cp*ρ*V
A*U'T*
V
FT'*
Cp*ρ*V
A*U
V
Fi
dt
dT'st
ti
it
Donde:
T’=T - T0 ; T’i=Ti – Ti,0 ; T’st=Tst – Tst,0
entonces
Cp*ρ*V
A*Uc ;
V
Fb ;
Cp*ρ*V
A*U
V
Fia :Sea tit
22
sti T'*c'T*bT'*adt
dT'
Transformada de Laplace
Aplicando la transformada de Laplace a cada término, se tiene:
sT'*csT'*bsT'*a0T'-(s)T'*s
realción diferencia la de teoremaelPor
T'*c'T*bT'*adt
dT'
sti
sti
llll
Supongamos que el calentador está inicialmente en el estado de equilibrio [es decir, T’(0) = T’st
=0 ºF]. En t = 0, la temperatura de la corriente de entrada incrementa por un paso de 10 ºF de su
valor en estado estable y se mantiene en este nuevo nivel. Así T’i(t)=10 ºF para t>0. La temp. del
líquido en el tanque comenzará a aumentar y queremos saber cómo cambia con el tiempo.
as
1
s
1*
a
b*10
as
1*
s
10*bsT'
siT'*bas*sT'
sT'*bsT'*a(s)T'*s
sT'*csT'*bsT'*a0T'-(s)T'*s
i
sti
0 0
escalón
Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace
23
Solución de ecuaciones diferenciales mediante el uso de la transformada de Laplace
Considere la siguiente ecuación diferencial de segundo orden, que se define como:
tbxtya
dt
tdya
dt
tyda 012
2
2
Los coeficientes a0, a1, a2 y b son constantes.
x(t): se conoce como función de forzamiento o variable de entrada.
y(t): se conoce como función de salida o variable dependiente.
t: se conoce como variable independiente.
Paso 1: Transformar la ecuación diferencial en una ecuación algebraica con la variable s.
sX*btbx
sY*atya
0ysY*s*adt
tdya
0dt
dy0y*ssY*s*a
dt
tyda
Donde
tbxtyadt
tdya
dt
tyda
00
11
2
22
2
2
012
2
2
l
l
l
l
ll
24
Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace
sbX0dt
dya0yasasYasasa 21201
2
2
Paso 2: Sustituyendo cada término y asociándolos a cada variable en función se S.
Paso 3: Se emplea la ecuación algebraica que se resuelve para la variable de salida Y(s) en
términos de la variable de entrada y de las condiciones iniciales:
01
2
2
212
asasa
0dt
dya0yasasbX
sY
Paso 4: Inversión de la ecuación resultante para obtener la variable de salida en función del
tiempo y(t):
01
2
2
21211-
asasa
0dt
dya0yasasbX
sYty ll
En el paso de inversión se establece la relación entre la transformada de Laplace, Y(s) y su
inversa, y(t). El paso final de la inversión es expresarla la ecuación en fracciones parciales. Ahora
en forma general, para una ecuación diferencial lineal ordinaria de orden n, tenemos:
25
Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace
txb...
dt
txdb
dt
txdbtya...
dt
tyda
dt
tyda 0
1m
1m
1m
m
m
m01n
1n
1nn
n
n
En condiciones iniciales cero:
00dt
xd0;...;0
dt
dx 0;0x
00dt
yd0;...;0
dt
dy 0;0y
1n
1n
1n
1n
Sustituyendo cada condición inicial, nos queda que:
sXsP
sQsY ; sX
a...sasa
b...sbsbsY
0
1n
1n
n
n
0
1m
1m
m
m
En el caso de condiciones iniciales iguales a cero, es el más común en el diseño de sistemas de
control, ya que las señales se definen generalmente como desviaciones respecto a un estado
inicial estacionario.
Si las variables X(s) y Y(s) de la ecuación anterior son las respectivas transformadas de las
señales de entrada y salida de un proceso, instrumento o sistema de control, el término entre
corchete representa por definición, la FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA del proceso.
26
Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace
Ejemplo: A partir de la función de transferencia del ejemplo anterior, invierta la transformada de
Laplace, y déjelo expresado en función de la variable natural (t).
at1 e1*a
b*10tT'sT'
Por tabla
as
1
s
1*
a
b*10sT'
l
Cuando Y (s) se da como el cociente de dos polinomios, su expansión en una serie de fracciones
se rige por la forma y las raíces del polinomio del denominador, P(s). En general, lo haremos
distinguir dos casos:
1. Polinomio P(s) tiene n distinta (todas diferente) raíces, reales o complejos, o
2. Polinomio P(s) tiene raíces múltiples.
Raíces reales distintas del polinomio P(s):
Encuentre la transformada inversa de Laplace de cada fracción parcial. La función x(t) está dada
por:
2s -1;s 1;s
raices las y tieneorden tercer de es sP polinomio del raices Las
sP
sQ
2s2ss
6sssX
321
23
2
27
Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace
2ttt
1111
2
2
1
2
1
2
321
321
2
e*3
4e*
3
2e*3tX
Por tabla
2s
34
1s
32
1s
3sX
Laplace de inversa mada transforAplicando
2s
34
1s
32
1s
3sX
tantoloPor
3
4
1s*1s
6ss ;
3
2
6
4
2s*1s
6ss ; 3
2
6
2s*1s
6ss
C doDeterminan C doDeterminan C doDeterminan
2s
C
1s
C
1s
C
2s*1s*1s
6sssX
llll
sss
Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace
Raíces múltiples del polinomio P(s):
La expansión en fracciones parciales y el cálculo de los coeficientes cambian cuando el
polinomio P(s) tiene múltiples raíces iguales.
2ttt
1
2
111
2
22
3
21s1s1
2
21s
2
11
2
21
1
32
2
1
2
ee*tetX
Por tabla
2s
1
1s
1
1s
1sX
Laplace de inversa mada transforAplicando
2s
1
1s
1
1s
1sX
tantoloPor
12s*2s*1s
1lim
C doDeterminan
12
1lim
2s
1
ds
dlim1s*
2s*1s
1
ds
dlim
C doDeterminan
; 12
1lim1s*
2s*1s
1lim
C doDeterminan
2s
C
1s
C
1s
C
2s*1s
1sX
llll
s
s
s
s
ss
s
28
29
Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace
Ejemplo 1: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de
Laplace, y luego reinvierta el Laplaceano para obtener en función de la variable natural (t).
2
t
111
2
10
21
21
e*20tu*5
21s
1*20
s
5tysY
inversa mada transforla Ahora,
21s
20
s
5
21s
2*105
12s
10
s
5
12s*s
5sY
Entonces
105
512s
5
C doDeterminan C doDeterminan
-1/2s 0,sson polinomio del raices las como C, escoeficient los Buscando
12s
C
s
C
12s*s
5sY
s
512s*
s
5sYsY*s*2
s
1*5sYsY*s2
Laplace de ada transformla aplicando ,tu*5tydt
tdy2
lll
s
s
sY
ss
30
Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace
Ejemplo 2: Resuelva las siguientes ecuaciones diferenciales por medio de la transformada de
Laplace, y luego reinvierta el Laplaceano para obtener en función de la variable natural (t).
Entonces
9
1
s
1lim
s
1
ds
dlim3s*
3s*
1
ds
dlim
C doDeterminan
3
11lim3s*
3s*
1lim
C doDeterminan
9
1*
3s*
1lim
C doDeterminan
-3s 0,sson polinomio del raices las como C, escoeficient los Buscando
3s
C
3s
C
s
C
3s*s
1
96ss*s
1sY
s
196ss*sY
s
1sY*9sY*s*6sY*s
Laplace de ada transformla aplicando ,tuty*9dt
tdy*6
dt
tyd
23s3s
2
23
3
3
2
23
2
20
1
3
2
21
22
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31
Solución de ecuaciones mediante el uso de la Transformada de Laplace
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inversa mada transforla Ahora,
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