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Conexidade e Conectividade
Prof. M.Sc. Fábio Francisco da Costa Fontes
Março - 2009
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Conexidade
A noção de conexidade está relacionada à possibilidade da passagem de um vértice a outro em um grafo através das ligações existentes.
Um grafo qualquer (orientado ou não) é não-conexo, ou desconexo, se existir ao menos um par de vértices não unidos por uma cadeia.
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Conexidade
Portanto, um Grafo G = (V, E) é conexo se para todo par de vértices existe pelo menos uma cadeia entre eles.
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Conexidade
G1 G2 G3 G4 G5
Os grafos G1, G2 e G3 não admitem a passagem de um vértice dado a qualquer outro vértice.
Os grafos G4 e G5 ela é sempre possível, G4 sendo minimal em relação a essa propriedade (como se pode observar, ao se tentar suprimir qualquer aresta).
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Conexidade G1 G2 G3 G4 G5
Esta propriedade só existe em G5, embora desde G3 os vértices estejam unidos. Além disso, pode-se observar que, tanto em G4 como em G5, nenhum par de vértices é mutuamente não atingível: ao menos uma das duas direções é viável. Isto já não ocorre em G3, pois os dois vértices da direita são mutuamente inatingiveis.
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Conectividade
Dois vértices u e v em um dígrafo são mutuamente alcançáveis (atingíveis) se existe um caminho de u para v e outro de v para u
v
y
w x
u
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Conexidade
Grafo simplesmente conexo (s-conexo) - Todo par de vértices é ligado por ao menos uma cadeia. A definição é a mesma do caso não orientado
Grafo semi-fortemente conexo (sf-conexo) - Para todo par de vértices u, v, ou existe um caminho de u até v ou existe um caminho de v até u.
Grafo fortemente conexo (f-conexo) - Para todo par de vértices u, v existe um caminho de u até v e existe um caminho de v até u.
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Conexidade
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Conectividade
Um dígrafo fortemente conectado
v
y
w x
u
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Conexidade
Obs.: todo grafo f-conexo é também sf-conexo e s-conexo e que todo grafo sf-conexo é também s-conexo
Um dígrafo é conexo se seu grafo base (não direcionado) é conexo
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Conexidade
Sub-grafos conexos de um grafo não conexo recebem o nome de componentes conexos
O grafo abaixo tem 3 componentes conexos
v x
w y
u
z
q
r
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Exercício
Suponha que o grafo abaixo representa as ruas do centro da cidade. Torne todas as ruas em sentido único, de tal forma que todo ponto seja alcançável a partir de qualquer outro ponto
ab
c
dg e
f
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Conectividade
A conectividade de vértices k(G) de um grafo G =(V,E) é o menor número de vértices cuja remoção desconecta G ou o reduz a um único vértice.
A conectividade de arestas k’(G) de um grafo G = (V, E) é o menor número de arestas cuja remoção resulta em um grafo não conexo
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Árvores
Uma árvore é um grafo conectado que não tem ciclos
Árvore Não é árvore Não é árvore
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Aplicações de Grafos
Diretórios do Sistema Operacional: os diretórios e subdiretórios que contém os arquivos do usuário são normalmente representados pelo sistema operacional como vértices em uma árvore com raiz
Drive C
Softs Docs Utils
Draw Write Comm Geral Aulas
Word
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Aplicações de Grafos
Redes minimamente conectadas: suponha que uma rede deve ser criada a partir de n computadores. A figura abaixo mostra uma rede com um número mínimo de arestas.
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Aplicações de Grafos
Problema do caminho mais curto: considere que cada aresta contém o tempo necessário para atravessá-la, ache o menor tempo para ir se s para t
s
t
3 8
2
3
97 4 2
9
63
81
4
25
5
7
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Aplicações de Grafos
Problema do caixeiro viajante: suponha que um vendedor deve visitar várias cidades no próximo mês. Ache a seqüência de visitas (ciclo hamiltoniano) de forma a minimizar o custo da viagem.
711 9
10 965
10
6
7
7
95
6
7