Apostilas OBJETIVA – Concursos Públicos - Brasil
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Concurso Público 2018
Conteúdo I – Frações – frações equivalentes, simplificação de frações, comparação de frações, números fracionários, operações
com frações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). II – Conjuntos Numéricos – números naturais, números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais. III – Números Decimais – operações com números decimais (adição, subtração, multiplicação e divisão), potência com base decimal, raiz quadrada de um número decimal, dízima periódica. IV – Múltiplos e Divisores – máximo divisor comum (M.D.C), mínimo múltiplo comum (M.M.C). V – Sistema Métrico Decimal – medida de comprimento, medida de superfície, medida de capacidade e medida de massa. VI – Medidas de Tempo – relação entre hora, minuto e segundo. VIII – Equações de 1º Grau – com uma variável e com duas variáveis. IX – Inequações de 1º Grau – resolução e discussão de inequação com uma variável. X – Equações do 2° Grau – resolução e discussão da equação, relação entre os coeficientes e as raízes. XI – Funções – análise de gráficos, construção de gráficos, domínio, contradomínio, imagem, classificação de funções (injetiva, sobrejetiva e bijetiva) e estudo da função afim e quadrática. XII – Radiciação e Potenciação – propriedades da potência e propriedades da radiciação. XIII – Expressões Numéricas – elementos das expressões numéricas (parênteses, colchetes e chaves) e aplicação das regras dos sinais. XIV – Razões e Proporções – grandezas proporcionais diretas e inversas. XV– Algarismos Romanos – sistemas de numeração e suas regras. XVI – Regra de Três – simples e composta. XVII – Porcentagem. XVIII – Ângulos – ideais de ângulos, medidas de ângulos, subdivisão do grau, operações com medidas de ângulos, ângulos complementares, ângulos suplementares, ângulos adjacentes e ângulos formados por duas retas paralelas e uma transversal (alternos internos, alternos externos, colaterais internos, colaterais externos e correspondentes). XIX – Polígonos – ângulos, diagonal, soma das medidas dos ângulos internos e soma das medidas dos ângulos externos. XX – Geometria Plana – cálculo do perímetro e da área das principais figuras planas (retângulo, quadrado, paralelogramo, triângulo, trapézio, losango, círculo e suas partes). XXI – Geometria Espacial – cálculo da área e do volume dos seguintes sólidos: paralelepípedo e cilindros. XXII – Círculo e Circunferência – ângulo na circunferência, comprimento da circunferência e área do círculo. XXIII – Trigonometria no Triângulo Retângulo – razões trigonométricas (seno, cosseno e tangente), cálculo do seno, cosseno e tangente de 30º, 45º e 60º e Teorema de Pitágoras.
Coletâneas de Exercícios pertinentes
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Números Racionais - (Q) Frações - frações equivalentes, simplificação de frações, comparação de frações, números fracionários, operações com frações (adição, subtração, multiplicação, divisão e potenciação). O termo fração significa “pedaço” do inteiro dividido em partes iguais. Observe o exemplo: A figura abaixo representa um inteiro
Dividindo-a em 3 partes iguais, cada uma dessas partes (pedaço) representará a fração (1/3 do inteiro).
Observe os desenhos abaixo:
Observe que o número debaixo mostra em quantas partes o inteiro foi dividido. E o número de cima quantas partes foram consideradas (pintadas). Cada número que compõe a fração recebe um nome especial.
Atenção: I) Todo número natural é um racional.
II) Todo número inteiro relativo é racional.
Frações - Número fracionário ou fração é o número que representa uma ou mais partes da unidade que foi dividida em partes iguais.
Exemplos: 2) 1 hora = 60 minutos 3) ¼ hora = 15 minutos
4) hora = 30 minutos 42
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5) hora = 45 minutos ⇒ Representação
Uma fração é representada por meio de dois números inteiros, obedecendo uma certa ordem, sendo o segundo diferente de zero, chamados respectivamente de numerador e denominador, e que constituem os termos da fração.
O denominador indica em quantas partes foi dividida a unidade, e o numerador, quantas partes foram tomadas. As frações podem ser decimais e ordinárias.
Leitura: Para ler uma fração você deve ler primeiro o numerador e depois o denominador. Observe:
Ex.: lê-se três quintos.
Se o denominador for 2, lê-se meio (s) Ex.: três meios
Se o denominador for 3, lê-se terço (s) Ex.: dois terços
Se o denominador for 4, lê-se quarto (s) Ex.: um quarto Se o denominador for 5, lê-se quinto (s) e assim por diante até o número 10 (décimo). A partir do número 11 fala-se o número acrescido da palavra “avos”.
Exemplos: = quatro onze avos b) = sete treze avos Fração é divisão: O traço de fração ou barra ( ― ) também significa “divisão” pois:
Frações Decimais - Quando o denominador é representado por uma potência de 10, ou seja, 10, 100, 1000, etc. Exemplo:
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Frações Ordinárias - São todas as outras frações:
Tipos de Frações a) Frações Próprias: O numerador é menor que o denominador. Nesse caso a fração é menor que a unidade. Exemplo:
b) Frações Impróprias: O numerador se apresenta maior que o denominador. Nesse caso a fração é maior que a unidade. Exemplo:
c) Frações Aparentes: São frações impróprias que tem o numerador divisível pelo denominador e que são chamadas de frações aparentes. Porque são iguais aos números internos que se obtém dividindo o numerador pelo denominador. Exemplo:
d) Frações Irredutíveis: São frações reduzidas à sua forma mais simples, isto é, não podem mais ser simplificadas, pois seus dois termos são números primos entre si, e por esta razão não têm mais nenhum divisor comum. Exemplo:
Redução de frações ao mesmo denominador Há casos de frações cujos denominadores (n.º debaixo) são diferentes e precisam ser reduzidos (transformados) a um mesmo denominador. Para isso é necessário que você: 1- Calcule o m.m.c. dos denominadores (você viu no início deste módulo); 2- O resultado do m.m.c. será o novo denominador; 3- Divida o novo denominador pelo denominador de cada fração; 4- Multiplique esse resultado pelos respectivos numeradores. Observe o exemplo abaixo: Exemplo:
Reduza ao mesmo denominador as frações:
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Modo prático Divide o novo denominador pelo nº debaixo e multiplica o resultado pelo nº de cima. O resultado final será o novo numerador. Copie e resolva em seu caderno: Reduza ao mesmo denominador (nº debaixo) as frações:
Comparar duas frações significa estabelecer uma relação de igualdade (igual) ou de desigualdade entre esses números. Para identificar a desigualdade você vai usar os símbolos: < (menor) ou > (maior) 1º caso: os números fracionários têm o mesmo denominador: Observe os desenhos e compare: o pedaço “a” é maior (>) do que o pedaço “b”
Quando duas frações têm o mesmo denominador, a maior é aquela que tem o maior numerador (nº de cima). 2º caso: os números fracionários têm denominadores diferentes: Para comparar é necessário que o inteiro esteja dividido na mesma quantidade de pedaços por isso, você deve reduzir ao mesmo denominador.
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Propriedade das Frações 1) Se multiplicarmos ou dividirmos o numerador de uma fração por um certo número diferente de zero, o valor de
fração fica multiplicado ou dividido por esse número. Exemplo:
Seja a fração . Se multiplicarmos o numerador por 2, obteremos a fração , que é duas vezes maior que
, pois se em tomamos 6 das 10 divisões da unidade, em tomamos apenas três. Ilustração:
Observando a ilustração, verificamos que é duas vezes menor que . 2) Se multiplicarmos ou dividirmos o denominador de uma fração por um número diferente de zero, o valor da
fração fica dividido ou multiplicado por esse número. Exemplo:
Seja a fração . Multiplicando o denominador por 2, obtemos a fração , que é duas vezes menor que , pois
em dividimos a unidade em 5 partes iguais e das cinco tomamos duas, enquanto que em , a mesma unidade foi dividida em 10 partes iguais e tomadas apenas duas em dez. Ilustrações:
103
106
103
106
103
103
106
52
102
52
52
102
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Comparando-se as ilustrações, podemos verificar que é duas vezes maior que . 3) Multiplicando-se ambos os termos de uma fração por um número diferente de zero, o valor da fração não se
altera. Exemplo:
Ilustrações:
Números Mistos - Número misto é aquele formado por um número inteiro e uma fração. Para transformarmos um número misto em uma fração, basta multiplicar o denominador da fração imprópria pelo número inteiro e somamos o resultado obtido com o numerador.
52
102
52 ⇒
22⋅⋅
52 ⇒
104
Logo:
52 =
104
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Exemplo:
Comparação de Frações - Podemos comparar duas ou mais frações para sabermos qual é a maior e qual a menor. Para isto, devemos conhecer os critérios de comparação:
1) Quando várias frações têm o mesmo denominador, a maior é a que tem maior numerador. Exemplo:
2) Quando várias frações têm o mesmo numerador, a maior é a que tem menor denominador. Exemplo:
3) Quando as frações têm numeradores e denominadores diferentes a comparação é feita reduzindo-as ao mesmo
denominador ou ao mesmo numerador. Exemplo:
Exercício Resolvido 1) Coloque as seguintes frações em ordem crescente, empregando o sinal <.
Resolução: Vamos reduzir as frações ao mesmo denominador, e para tanto o MMC (2, 3, 5, 10) = 30:
746 =
7442 + =
746
104 >
103 >
101
54 >
74 >
104
52 <
21 <
74 ⇒
7028 <
7035 <
7040
54 ,
107 ,
52 ,
21 ,
36
54 ,
107 ,
52 ,
21 ,
36 ⇒
30,
30,
30,
30,
30⇒
⇒ 3024 ,
3021 ,
3012 ,
3015 ,
3060
Logo:
3012 <
3015 <
3021 <
3024 <
3060 ⇒
52 <
21 <
107 <
54 <
36
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Frações Equivalentes - São frações que representam a mesma parte do inteiro, ou seja, são frações de mesmo valor.
Na figura acima temos: logo são frações equivalentes.
Simplificação de Frações - Significa obter uma outra fração equivalente na qual o numerador e o denominador são números primos entre si. Para simplificar uma fração basta dividir o numerador e o denominador pelo mesmo número. Observe que há várias maneiras de se fazer a simplificação. Você pode utilizar o número que achar mais adequado desde que use sempre o mesmo número para dividir o denominador e o numerador e que o resultado seja sempre exato, não sobre resto nas divisões. 1o. Modo:
2o. Modo:
está na sua forma irredutível. 3o. Modo: Um outro processo para simplificar frações é achar o M.D.C. (máximo divisor comum) entre o M.D.C (48,36) = 12
Exercício Resolvido
21 =
63 =
42
43
33
129
129
44
4836
4836
⇒÷÷
⇒⇒÷÷
⇒
43
1212
4836
÷÷ ⇒
43
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1) Obter 3 frações equivalentes a . Resolução:
Basta tomar os termos da fração multiplicá-lo por um mesmo número diferente de zero:
Adição de Frações - Temos dois casos a considerar: Caso 1: Denominadores Iguais - "Somam-se os numeradores e conserva-se o denominador comum". Assim:
Exemplo: Uma pizza foi dividida em 3 pedaços iguais. João comeu dois pedaços. Quanto sobrou?
Logo, sobrou 1/3 da pizza. Conclusão: Quando as frações têm o mesmo denominador devemos somar ou subtrair apenas os números de cima, ou seja, os numeradores e manter o mesmo denominador. Caso 2: Denominadores Diferentes - "Reduzem-se as frações ao mesmo denominador comum e aplica-
se a regra anterior ". Exemplo:
Podemos simplificar a resposta, deixando a fração na sua forma irredutível:
Nota: Em caso da adição de frações envolver números mistos, transformamos os números mistos em frações impróprias. Subtração de Frações - Para a subtração, irão valer as mesmas regras da adição
53
53
33
53××
=159
77
53××
=3521
1212
53××
=6036
511 +
59 +
52 =
52911 ++ =
522
54 +
107 +
52 +
21 +
36 ⇒
3024 +
3021 +
3012 +
3015 +
3060 ⇒
⇒ 30
6015122124 ++++ =30
132
66
30132
÷÷ =
522
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3) Dos da área destinada ao plantio o agricultor vai deixar para plantar mandioca. Quanto irá sobrar para as outras plantações?
Resposta: da área sobrará para as outras plantações.
4) Dos da área destinada ao plantio o agricultor vai reservar para o pasto de animais. Qual a fração que representa a área destinada a outras plantações?
Resposta: Deixará (simplificando por 2) a resposta será: para outras plantações. Para você fazer as adições e subtrações de frações negativas e positivas observe as regras dos sinais I) Mesmo denominador. II)
Denominadores diferentes (não esqueça do M.M.C. para reduzir ao mesmo denominador):
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Multiplicação de Frações - Ao efetuar o produto entre duas ou mais frações, não importando se os numeradores e denominadores são iguais ou diferentes, vamos sempre: Multiplicar os numeradores entre si, assim como os denominadores. Regra Prática: - Multiplique os numeradores (nºs de cima); - Multiplique os denominadores (nºs debaixo); - Observe os sinais das frações para usar a regra. Sinais iguais resulta positivo. Sinais diferentes resulta negativo. Exemplos:
Nota: Neste segundo exemplo as simplificações poderiam ter sido feitas durante o produto, observe:
, simplificamos o 4 com o 10 no primeiro membro.
1) Um fazendeiro tem 5 fazendas. Dessas, são produtivas. Qual é a fração que representa toda a terra produtiva? DICA IMPORTANTE! Quando aparece no problema a palavra “de”, “dessa”, a operação usada é a multiplicação e a resposta representa a fração em relação ao inteiro.
53 ×
76 =
7563
×× =
3518
54 ×
107 ×
52 =
5105274×××× =
25056 =
22
25056
÷÷ =
12528
54 ×
107 ×
52 =
52 ×
57 ×
52 =
12528
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2) Um fazendeiro vai plantar da área da fazenda. Já plantou dessa área com soja. Qual a fração que representa a área de plantação de soja em relação a área da fazenda?
Resposta: A fração que representa a parte plantada com soja em relação à fazenda inteira é (ou simplificando
por 6) apenas . Divisão de Frações - Na divisão de duas frações, vamos sempre: Conservar a primeira fração e multiplicar pelo inverso da segunda. Regra Prática: - Copie a primeira fração; - Mude o sinal de divisão ( : ) para o de multiplicação (•); - Copie a segunda fração invertendo os lugares do numerador com o denominador; - Multiplique os numeradores; - Multiplique os denominadores; - Observe os sinais das frações aplicando a regra de sinais que é a mesma da multiplicação. Exemplo:
A metade ( ) da área de uma fazenda vai ser dividida em 6 partes iguais. Qual a fração que representa cada parte?
Observe que: 1- A divisão foi transformada em multiplicação. 2- A segunda fração foi invertida.
R: Cada parte é representada por .
53 ÷
76 =
53 ×
67 =
51 ×
27 =
2571
×× =
107
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Potenciação e Radiciação de Números Fracionários Potenciação Na potenciação, quando elevamos um número fracionário a um determinado expoente, estamos elevando o numerador e o denominador a esse expoente. Exemplo:
Radiciação Na radiciação, quando aplicamos a raiz a um número fracionário, estamos aplicando essa raiz ao numerador e ao denominador. Exemplo:
Expressões Aritméticas Fracionárias - O cálculo de expressões aritméticas fracionárias, que são conjuntos de frações ligadas por sinais de operações é feito na segunda ordem: 1º) As multiplicações e divisões 2º) As adições e subtrações, respeitadas as ordens dos parênteses, colchetes e chaves. Exemplo: Vamos resolver a seguinte expressão:
Exercícios Resolvidos
1) Um grande depósito foi esvaziado a um terço da sua capacidade e mais tarde, do que sobrou foram retirados três quartos. Sabe-se que o reservatório ainda ficou com vinte mil litros de água. Qual é a capacidade total deste reservatório? Primeiramente o reservatório foi deixado com 1/3 da sua capacidade e depois reduziu-se este volume em 3/4 do que havia restado, podemos então montar a seguinte sentença matemática:
÷⋅+÷÷
+−65
21
34
711
311
522
41
29 =
=
÷+×÷
+−
65
64
117
311
5210
41
29 =
=
×+÷
×−56
64
37
512
41
29 =
+÷
−54
37
53
29 =
=
+÷
−15
123510
645 = 1547
1039
÷ = 4715
1039
× =
=473
239
× = 473
239
× = 94
117
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Que pode ser resumida a:
Se multiplicarmos a capacidade total do reservatório por 1/12, iremos obter os 20000 litros que restam nele, obviamente realizando a operação inversa, se dividirmos os 20000 por 1/12 iremos obter a capacidade total do depósito:
Portanto: A capacidade total deste reservatório é de 240 mil litros.
2) Se eu conseguir reduzir do valor de um produto, um quinto deste preço à vista e pagar R$ 128,00 por quatro das nove parcelas. Qual é o preço total do produto sem este desconto?
Se de 1 que representa a fração total do preço do produto, subtrairmos do mesmo ficaremos apenas com
As quatro das nove parcelas, equivalem a dos :
Ou seja, os R$ 128,00 equivalem a do preço total sem o desconto. Fazendo a operação inversa, se dividirmos esta quantia por esta fração, iremos obter o preço total do produto sem o desconto:
Temos então que: O preço total do produto sem este desconto é de R$ 360,00. 3) Cinco oitavos de três sétimos do valor de uma multa de trânsito que Zeca pé de chumbo recebeu, é igual a R$ 75,00. Qual é o valor da multa de trânsito referente à infração que Zeca pé de chumbo cometeu? Este problema é bastante simples, basta refazermos as contas em ordem inversa. Primeiro dividimos R$ 75,00 por
e depois dividimos por :
Logo: O valor da multa de trânsito referente à infração é de R$ 280,00.
4) Um assentador de pisos consegue assentar todos os pisos de um salão em 24 horas. Um outro assentador consegue fazer o mesmo trabalho em 21 horas. Trabalhando juntos, conseguem realizar tal trabalho em quantas horas?