CONCEPTOS DE FRACTALES APLICADOS AL ANALISIS DE FRAGMENTACION EN VOLADURA DE ROCAS
INSTITUTO DE INVESTIGACION EN MINERIA Y GEOCIENCIAS DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE TRUJILLO - PERU
Romel VILLANUEVA L. I Jornada Regional de Minería Cajamarca 2012
1.-‐ CONCEPTOS FRACTALES
2.-‐ EL PROBLEMA DE LA VOLADURA DE ROCAS
3.-‐ MODELO FRACTAL DE FRAGMENTACION
4.-‐ PRUEBAS DE VERIFICACION EN CAMPO
5.-‐ EJEMPLO DE CALCULO DE LA DIMENSION FRACTAL EN FRAGMENTACION
1.-‐ CONCEPTOS DE FRACTALES
Triangulo de Sierpinski.
CONSTRUYENDO FRACTALES
George Cantor 1845 -‐ 1918
Conjunto de Cantor
Curva de Koch Niels Fabian Helge von Koch (1870-‐1924)
Curva de Koch
Isla de Koch o “Copo de Nieve”
AUTOSIMILITUD!
Fenómeno donde algo se define en términos de si mismo. La parte con]ene al todo
RECURSIVIDAD!
DIMENSION!
N=L/r=(L/r)1
N=L2/r2=(L/r)2
N=L3/r3=(L/r)3
N=(L/r)D
DS= Log (N) / Log (L/r)
Donde: N, numero de partes autosemejantes L, espacio total ocupado r, espacio ocupado por un segmento
Conjunto de Cantor
D=Log(2)/Log(1/(1/3))=0.63093
L=1 N= 2 r=1/3
Curva de Koch
D=Log(4)/Log(1/(1/3))
=1.26186
Triángulo de Sierpinski
D=Log(3)/Log(1/(1/2))=1.5849
La Dimensión de Hausdorff-Besicovitch Felix Hausdorff (1868-1942)
ü Permite la determinación de la dimensión de un
objeto.
ü Puede ser de tipo no entero.
ü Es la definición de dimensión más general.
DEFINICION ACTUAL DE DIMENSION!
ü El término fue concebido por Mandelbrot, a partir del adjetivo latino FRACTUS que significa fragmentado e irregular.
ü Mandelbrot mostró las ventajas de utilizar los “monstruos geométricos” para representar fenómenos naturales.
ü ... un Conjunto cuya dimensión de Hausdorff-Besicovitch es estrictamente mayor que su dimensión tradicional. (1982)
ü ... es una forma hecha de partes semejantes al todo de alguna manera. (1988)
ü La Dimensión Fractal es la Dimensión de Hausdorff-Besicovitch.
ü
DEFINICIONES DE DIMENSION!
Diferentes Tipos de Fractales
Fractales
Lineales
Autosimilitud Perfecta
Dimensión Fractal fácil de calcular con: S = LD
Se crean a partir de: -Un generador -Un algoritmo de repetición
Ejemplo: Triángulo de Cantor y Triágulo de Sierpinski
Complejos
Autosimilitud Estadística
Dimensión Fractal difícil de calcular. Se requiere software. Método: Box Couting
Se crean a partir de: -Un Z0 -Iteraciones en el Plano Complejo
Ejemplo: Conjunto de Mandelbrot, Conjunto de Julia
Caóticos
Poseen estructura Fractal. Autosimilitud Estadística
Se requieren métodos de medición más complejos que la Dimensión Fractal.
Se generan a partir de sistemas de Ecuaciones Diferenciales
Ejemplo: Atractor de Lorentz Modela el Clima Meteorológico
Son los objetos geométricos de la Teoría del Caos
¿CÓMO APLICO TODO
ESTO?
• SERIES DE TIEMPO • INTERPOLACIÓN FRACTAL • SIMULACIÓN DE SUPERFICIES • ASTRONOMÍA • FRAGMENTACIÓN • SISMICIDAD • EN MEDIOS POROSOS • PROCESOS DE AGREGACIÓN • CUENCAS HIDROGRÁFICAS • TURBULENCIA • OTRAS ...
YA LO ESTAMOS APLICANDO EN …
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APICACIONES EN INTERPOLACION
SIMULACION DE SUPERFICIES DE TERRENO
Estudio de patrones de fracturamiento de los materiales en todas las escalas: • Microfisuras en el concreto. • Fracturas en materiales a tensión. • Fisuramiento del pavimento. • Grandes fracturas geológicas.
Elaboración de modelos de fragmentación.
FRAGMENTACION
Modelo de fragmentación fractal de un macizo rocoso
EN MEDIOS POROSOS
• Análisis y Simulación de procesos de percolación, invasión-‐percolación y digitación viscosa.
• La dimensión fractal es un parámetro que caracteriza estos fenómenos.
• Aplicable en estudios de flujo de agua subterranea, explotación de petróleo y contaminación de acuíferos.
CUENCAS HIDROGRÁFICAS
• Simular geométricamente diferentes patrones de drenaje. Cuencas de Peano.
• Relaciones entre los sistemas de ordenamiento de corrientes tradicionales (de Horton y de Strahler) y la dimensión fractal de las redes de drenaje.
TURBULENCIA
Los torbellinos grandes ]enen torbellinitos Que se nutren de su velocidad,
Y los torbellinos ]enen torbellinos menores Y así en adelante hasta la viscosidad.
OTROS
• Compresión Fractal de Imágenes. • Análisis de Tráfico Vehicular. • Estudio de Líneas Costeras. • Patología de Estructuras. • Análisis de Olas Marí]mas. • Aparición de Sismos. • MULTIFRACTALES. • . . .
3.-‐ MODELO FRACTAL DE FRAGMENTACION
La idea ! Paso mucho ]empo mapeando el macizo rocoso pero siempre
quedaran variables sin considerar, porque el MR es un
sistema dinámico muy complejo.
PRINCIPALES ANTECEDENTES
Si la distribución de fragmentos satisface el modelo Weibull, entonces el proceso de fragmentación podría tener un aspecto fractal.
1. Turcope, 1986
El aspecto fractal de la fragmentación antes y después de la voladura, es independiente del tipo de roca, del explosivo y de la geometría del disparo. A TODA ESACALA SE ENCUANTRA SIMLITUD FRACTAL.
2. Crum, 1990
Semejanza del fracturamiento en dis]ntos, materiales y a diferente escala con el mismo explosivo, Pentolita.
La fragmentación natural del MR in situ afecta directamente a la fragmentación por voladura.
3. Ghosh, 1990
DIMENSION FRACTAL Y DISTRIBUCION DE SCHUMMAN
“La dimensión fractal puede ser estimada a partir de la distribución de tamaños”.
Si N(ξ > L), el numero de fragmentos con tamaño caracterís]co ξ > L (algún valor especifico), varia de acuerdo a: (Turcope, 1986),
Luego D es la dimensión fractal de la distribución de tamaños de los fragmentos.
Donde: L : Tamaño de referencia o restricción de tamaño para el optimo. ξ : Tamaño de cualquier fragmento de la pila. N: Numero de fragmentos cuyo tamaño es mayor al requerido. D: Dimensión fractal
LA DISTRIBUCION SCHUMANN
En este estudio se usa la distribución de Schumann dada por Da Gama (1983) (Ghosh et al., 1990).
Donde: r: Tamaño de referencia K: Máximo tamaño de fragmento α: Constante y: Porcentaje acumulativo menor que r
α es un parámetro de uniformidad y se calcula con todos los datos de distribución de tamaños.
LA DIMENSION FRACTAL
Así se relaciona la dimensión fractal y la constante α de la distribución Schumann. (Ghosh et al., 1990).
El macizo rocoso y la pila de escombros son objetos fractales, entonces se debe calcular su dimensión fractal.
DIMENSION FRACTAL DEL MR IN SITU: D in-‐situ
DIMENSION FRACTAL DE LA PILA: D frag
PRUEBAS EN CAMPO Cantera de Caliza “Atocongo” -‐ Cementos Lima
A 1.5 horas, en automóvil desde el centro de la ciudad de Lima, se ubica la cantera “Atocongo”, de donde se explota caliza para la fabricación de Cemento.
DIMENSION FRACTAL DEL MACIZO ROCOSO DE CALIZA ANTES DE LA VOLADURA
La dimensión fractal promedio fue Din situ = 2.60
Es decir: Antes de la voladura en el banco había 50 000 m2.60 de roca caliza.
DIMENSION FRATAL DE LA PILA DE ESCOMBROS
Dimensión fractal promedio Dfrag = 2.79
Es decir: En la tolva de este Camion van 90 m2.79 de roca caliza fragmentada.
RESUMEN DE PRUEBAS EN ATOCONGO
Aunque para entonces no se contaba con suficiente información del macizo rocoso, si se tenia toda la información del explosivo y factores de potencia.
2
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
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2.9
3
0.100 0.120 0.140 0.160 0.180 0.200 0.220 0.240 0.260 0.280
DIMEN
SION FRA
CTAL
FACTOR DE POTENCIA (Kg/TM)
Dis
Dfrag
Polinómica (Dis)
Polinómica (Dfrag)
DIMENSION FRACTAL EN RELACION AL FACTOR DE POTENCIA
Puesto que los valores altos de FP corresponden a MR con baja volabilidad, se deduce que: “En MR con baja volabilidad la dimensión fractal es cercana a 3 antes y después de la voladura”
OTROS RESULTADOS POR OTROS INVESTIGADORES
Bagde, 2001 ha podido relacionar las propiedades del macizo rocoso con la dimensión fractal.
ü En un macizo rocoso de poca volabilidad, se espera una alta dimensión fractal y después de la voladura esta no debería crecer mucho.
ü En un MR con alta volabilidad la voladura incrementa significa]vamente su dimensión fractal.
EJEMPLO – SOLO DEMOSTRATIVO -‐ DE OBTENCION DE LA DIMENSION FRACTAL DEL MACIZO ROCOS IN-‐SITU
Paso 1: Fotograya con escala.
Paso 2: Delineado de los bloques in-‐situ.
Paso 3: Procesamiento digital en el sozware ImajeJ.
Paso 4: Obtención de resultados.
Paso 5: Construcción de la curva de distribución de fragmentos.
Valor de la pendiente: α = 1.6
Por lo tanto, según Ghosh 1990:
D = 3 – 1.6 D = 1.4
Paso 6: Obtención de los parámetros del modelo Schumann. Paso 7: Calculo de la dimensión fractal.
CONCLUSIONES
1. El modelo fractal de fragmentación, basando en los patrones de forma, simplifica la caracterización de un macizo rocoso.
2. El fracturamiento por voladura es un proceso fractal porque cumple con todas las propiedades y por ende la fragmentación por voladura seria mejor estudiada en términos de la teoría fractal.
3. Se puede clasificar la resistencia de un macizo rocoso mediante su dimensión fractal y correlacionarlo con indicadores estándares como el RMR.
4. Una dimensión fraccionaria seria mas conveniente en casos de factor de llenado del espacio u otras simplificaciones.
“La verdad se encuentra siempre en la simplicidad, nunca en la confusión”
Isaac Newton
MUCHAS GRACIAS POR SU ATENCION
Romel Villanueva L.
Instituto de Investigación en Minería y Geociencias de la Universidad Nacional de Trujillo