Conceitos de Probabilidade
Tema
2
258
AULA VII
Conceitos de Probabilidade
259
Probabilidade
Apresentaremos aqui os conceitosbásicos da teoria da probabilidade quejulgamos necessários para que vocêcompreenda as técnicas de estimação devalores, tópico que será abordado emoutra aula.
260
Probabilidade
Definição - As probabilidades são medidasestatísticas que medem o grau de incerteza daocorrência de um de determinado fenômeno.
Exemplos: ao jogarmos uma moeda para o ar, nãosabemos se cairá cara ou coroa. O que se pode fazeré calcular a probabilidade de sair cara ou coroa. Damesma forma, ao se lançar um produto novo nomercado, não se tem certeza do grau de suaaceitabilidade. Pode-se, entretanto, baseado empesquisas, calcular a probabilidade do produto seraceito.
261
Probabilidade
Alguns conceitos
Fenômeno aleatório - Na teoria das probabilidades,qualquer acontecimento cujo resultado é incertodenomina-se fenômeno aleatório, ou seja, dependedo acaso.
262
Probabilidade
Espaço amostral - Trata-se do conjunto de todos osresultados possíveis de um fenômeno aleatório.Pode ser representado pela letra S. Por exemplo: nolançamento de um dado, o espaço amostral éformado pelos números 1, 2, 3, 4, 5, e 6, assimcaracterizado:
S = (1, 2, 3, 4, 5, 6)
263
Probabilidade
No lançamento de uma moeda, o espaço amostral éS = (cara, coroa).
Ao se fazer uma pesquisa de mercado, a quantidadede pessoas ouvidas para opinar sobre a aceitaçãode um novo produto seria o espaço amostral.
264
Probabilidade
Eventos - Um conjunto qualquer de resultados deum fenômeno aleatório.
Por exemplo, no lançamento de um dado, um eventopoderia ser a saída de um número par. Se o espaçoamostral é representado por S, o evento pode serrepresentado por A.
Então: espaço amostral S = (1, 2, 3, 4, 5, 6).
Evento = sair um número par = A = (2, 4, 6).
265
Probabilidade
Evento Certo: evento que possui os mesmos elementos do espaço amostral, (E= S )
E: a soma dos resultados dos dois dados é menor ou igual a 12E = S ; n(E)=36
Evento Impossível: evento igual ao conjunto vazio (E = ∅. )
E : o número do primeiro dado é igual a seteE = ∅ ; n(E)=0
Evento Simples: evento que possui um único elemento
E : a soma dos resultados nos dois dados é igual a 12.E =(6,6) ; n(E)=1
266
Cálculo de Probabilidades
Chamamos de probabilidade de um evento A:
P(A) =
n(A) = ocorrência de certo número de resultadosfavoráveis;
N(S) = número total de resultados que podemocorrer em um determinado experimento.
267
Cálculo de Probabilidades
Exemplo: a partir do lançamento de um dado,calcula-se a probabilidade de sair um número par. Ototal de possibilidades é formado pelos seis números(1, 2, 3, 4, 5, 6) e os resultados que são favoráveissão os números pares (2, 4, 6). Então, aprobabilidade de sair um número par é:
P(A) =
=
= 0,5 = 50%
268
Cálculo de Probabilidades
E se o evento for a saída do número quatro, aprobabilidade é de:
P(A) =
= 0,166666... ≅ 16,7%
Pois só existe um evento favorável dentro de seispossibilidades.
269
Probabilidade
Nessa definição de probabilidade, está implícito oenfoque clássico, ou seja, há a pressuposição deque todos os resultados são igualmente possíveis.
270
Probabilidade
No exemplo do lançamento de um novo produto, oenfoque é diferente, pois nesse caso o cálculo deprobabilidade está baseado no conceito defrequência relativa, ou seja, se das cem pessoasouvidas, trinta disseram aceitar o novo produto, aprobabilidade de aceitação é de 30 sobre 100 – (30 /100) = 30%.
271
Probabilidade
Outro exemplo baseado em frequência relativa:
Em uma pequena loja de calçados, dos cem paresvendidos no último mês, quinze foram compradospor consumidores que calçavam números superioresa 43.
Quanto se espera vender de sapatos de tamanhosuperior a 43 no próximo mês, ou seja, qual é aprobabilidade de vendas de pares de sapatos detamanho superior a 43 no próximo mês?
272
Probabilidade
A solução é baseada no conceito de frequênciarelativa.
Se de cem pares vendidos, quinze eram de númerossuperiores a 43, 15% do total era dessa numeração.No próximo mês, há a probabilidade de que, dototal a ser vendido, 15% sejam de calçados comnumeração superior a 43.
273
Exercícios
274
Eventos Complementares
Sabemos que um evento pode ocorrer ounão. Sendo p a probabilidade de que ele ocorra(sucesso) e q a probabilidade de que ele não ocorra (insucesso), para um mesmo evento existe semprea relação:
p + q = 1 → q = 1 - p
Assim, se a probabilidade de se realizar um evento é
p =
, a probabilidade de que ele não ocorra é: q = 1
– p → 1 -
=
275
Eventos Complementares
O evento complementar de A é formado peloselementos de S que não pertencem a A (escreve-seĀ).
Exemplo: Se S = (1, 2, 3, 4, 5, 6 e A = 1, 3, 5então Ā = 2, 4, 6.
A A
Ā = x ∈ S|x ∉ A
276
Eventos Complementares
Só para exemplificar, ao se lançar um dado, aprobabilidade de sair qualquer número é 100% e ade sair o número sete é zero.
A probabilidade de não ocorrência de um evento,P(A’), é 1,00 menos a probabilidade de suaocorrência.
1,00 – P(A) = P(A’), que é o evento complementar
277
Eventos Independentes
Dizemos que dois eventos são independentesquando a realização ou a não realização de um doseventos não afeta a probabilidade da realização dooutro e vice-versa.
Por exemplo, quando lançamos dois dados, oresultado obtido em um deles independe doresultado obtido no outro.
278
Eventos Independentes
Se dois eventos são independentes, aprobabilidade de que eles se realizemsimultaneamente é igual ao produto dasprobabilidades de realização dos dois eventos.
P(A) = P(A1 ) . P(A2 )
279
Eventos Independentes
Exemplo: lançamento de dois dados. Aprobabilidade de obtermos um no primeiro dado é:
P(A1) =
. A probabilidade de obtermos cinco no
segundo dado é: P (A2 ) =
.
P(A) = P(A1) . P(A2) =
x
=
280
Eventos mutuamente exclusivos
Dois ou mais eventos são mutuamente exclusivosquando a realização de um exclui a realização dosoutros. Assim, no lançamento de uma moeda, oevento “tirar cara” e o evento “tirar coroa” sãomutuamente exclusivos, já que, ao realizar umdeles, o outro não se realiza.
281
Eventos mutuamente exclusivos
Se dois eventos são mutuamente exclusivos, aprobabilidade de que um ou outro se realize é iguala soma das probabilidades de que cada um deles serealize:
P(A) = P(A1) + P(A2)
282
Eventos mutuamente exclusivos
Exemplo – No lançamento de um dado, aprobabilidade de se tirar o três ou o cinco é:
P(A) = P(A1 ) . P(A2 ) =
+
=
=
= 0,3333... ≅ 33,3%
pois, como vimos, os dois eventos são mutuamenteexclusivos.
283
Exercícios
284
Evento União
Evento União: Ocorrer o evento A ou o evento B. Aprobabilidade de ocorrer um evento A ou umevento B (ou ambos) numa prova é igual à somadas probabilidades dos eventos ocorreremseparadamente, menos a probabilidades deocorrerem simultaneamente.
)()()(
)()()()()(
BPAPBAPentãoBAse
BAPBPAPBouAPBAP
+=∪=∩
∩−+==∪
φA ∪ B = x ∈ S | x ∈ A ou x ∈ B
285
Evento União
Exemplos:
1) Qual a probabilidade de sair 5 ou 6 quando se joga um dado.
%33,333
1
6
2
6
1
6
1)(
6
1)(
6
1)(6;5
===+=∪⇒=∩
==
=
=
BAPBA
BPAPsairBsairA
φ
286
Evento União
2. Qual a probabilidade de sair um número par ouum número menor que 3 quando se joga um dado.
%67,663
2
6
4
6
123
6
1
3
1
2
1)(
6
1)(1)(2
3
1
6
2)(2)(2,13
2
1
6
3)(3)(6,4,2
===−+=−+=∪
=∩⇒=∩=∩
==⇒==
=
==⇒==
=
BAP
BAPBAnBA
BPBnquemenornúmeroB
APAnparnúmeroA
287
Evento Intersecção
Evento Intersecção: Ocorrer o evento A e o eventoB. A probabilidade de dois eventos A e B ocorreremsimultaneamente numa prova é igual àprobabilidade de um, multiplicada pelaprobabilidade condicional do outro em relação aoprimeiro.
)/()()()/()()( BAPBPBAPouABPAPBAP •=∩•=∩
A ∩ B = x ∈ Ω | x ∈ A e x ∈ B
288
Evento Intersecção
Quando os eventos A e B forem independentes“Quando a ocorrência de um não influencia aocorrência do outro”, então:
)()()( BPAPBAP •=∩
289
AULA VI
Probabilidade Condicional
290
Probabilidade Condicional
Exemplo 1:
Ao jogarmos um dado não viciado e observarmos a facede cima, consideremos o evento B = o resultado é ímpar.Temos que P(B)=3/6=0,5. Essa é a probabilidade antes que aexperiência se realize.
Suponhamos agora que, realizada a experiência,alguém nos informe que o resultado não foi o número 6, isto é,que A=o resultado é diferente de 6 ocorreu.
Observemos agora que passamos a ter apenas 5 casospossíveis, dos quais 3 são favoráveis à ocorrência de B.Passamos a ter uma probabilidade de B na certeza de A,
P(B|A)=3/5=0,6.
291
Probabilidade Condicional
Exemplo 2:
A tabela abaixo dá a distribuição dos alunos de umaturma, por sexo e por disciplina que está cursando.
Disciplina Homens(H) Mulheres(F) Total
Cálculo I (C) 15 4 19
Estatística (E) 16 15 31
Física (F) 6 0 6
Outros (O) 4 2 6
Total 41 21 62
Escolhe-se, ao acaso, um aluno. Defina os eventos:H: o aluno selecionado é do sexo masculinoC: o aluno selecionado é do cálculo.
292
Probabilidade Condicional
Exemplo 2:
Note que P(H) = 41/62, P(C)=19/62, mas, dentre os
alunos do cálculo, temos que a probabilidade de ele ser
do sexo masculino é:
15/19. Isto é,
P(H|C)=15/19
293
Probabilidade Condicional
Dados dois eventos A e B, com P(A) ≠ 0, a probabilidade
condicional de B, na certeza de A é o número
Definição
( ) ( )( )
0. B)|P(A decretamos 0, P(B) Se
.|
==
∩=AP
BAPABP
É muito comum o uso dessa fórmula para o cálculo de
P(A∩B). Pois, P(A∩B)=P(A).P(B|A)
294
Probabilidade Condicional
Exemplo 3:
Numa caixa, contendo 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas,
retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas
dessa urna. Determine a probabilidade de ambas serem
vermelhas.
Solução : Sejam A = a primeira bola é vermelha e B = a
segunda bola é vermelha, temos:
( ) ( ) ( )15
2
9
3
10
4| =⋅=⋅=∩ ABPAPBAP
295
Probabilidade Condicional
Exemplo 4:
Numa caixa, contendo 4 bolas vermelhas e 6 bolas brancas,
retiram-se, sucessivamente e sem reposição, duas bolas
dessas, urna. Determine a probabilidade da primeira bola ser
vermelha, sabendo que a segunda bola é vermelha.
Solução : Sejam A = a primeira bola é vermelha e B = a
segunda bola é vermelha, temos:
( ) ( )( ) .|BP
BAPBAP
∩=
296
Probabilidade Condicional
Exemplo 4: (continuação)
Sabemos que P(A∩B) = 2/15 (exemplo anterior) e que
P(C) = a primeira bola é branca. Então, basta calcular P(B).
Logo, ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )
( ) ( )
5
2
9
4
10
6
15
2
CBPCP15
2
BCPBAP
BCBAPBP
=⋅+=⇒
⋅+=⇒
∩+∩=⇒
∩∪∩=
|
Então, ( ) ( )( ) .|
3
1
5
2
15
2
BP
BAPBAP =÷=∩=
297
Probabilidade Condicional
Exemplo 4: (continuação) Outra abordagem que podemos dar a problemas com váriosestágios é o uso das árvores de probabilidade.
A
B
A
B
A
B
10
4
10
6
9
3
9
6
9
4
9
5
298
Probabilidade Condicional
Exemplo 4: (continuação)
P(A∩B) = 4/10 . 3/9 = 2/15
P(B) = 4/10 . 3/9 + 6/10 . 4/9 = 2/5
Então,
( ) ( )( ) .|
3
1
5
2
15
2
BP
BAPBAP =÷=∩=
299
Probabilidade Condicional
Exemplo 5:
Escolhe-se uma entre três moedas. Duas dessas
moedas são não viciadas e a outra tem duas
caras. A moeda selecionada é lançada e é obtida
uma cara. Qual é a probabilidade de ter sido
selecionada a moeda de duas caras?
300
Probabilidade Condicional
Exemplo 5: (continuação)
V
V
)(Ccara3
1
3
2
1
2
1
2
1
)(Ccara
)(Ccoroa
301
Probabilidade Condicional
Exemplo 5: (continuação)
( ) ( )( )
( )
( )
( )2
1
3
2
3
1|
,3
2
2
1
3
21
3
13
11
3
1
|
=÷=
=⋅+⋅=
=⋅=∩
∩=
CVP
Então
CP
CVP
CP
CVPCVP
302
Exercícios
303
AULA VIII
Probabilidade Total
304
Probabilidade Total
Considere-se um espaço amostra S e A1, A2, ..., Anuma partição deste espaço amostral. Seja B umevento de S. Então B, pode ser escrito como
B = (B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An)
É claro que, alguns destes conjuntos B ∩ Aj, poderão servazios, mas isto não representa nenhum problema nadecomposição de B. O importante é que todos os conjuntosB ∩ A1, B ∩ A2, ..., B ∩ An são dois a dois mutuamenteexcludentes. E por isto, pode se aplicar a propriedade daadição de eventos mutuamente excludentes e escrever.
305
Probabilidade Total
P(B) = P[(B ∩ A1) ∪ (B ∩ A2) ∪ ... ∪ (B ∩ An)] =P(B ∩ A1) + P(B ∩ A2) + ... + P(B ∩ An)
Mas cada um dos termos P(B ∩ Aj) pode ser escrito naforma: P(B ∩ Aj) = P(Aj).P(B/Aj), pela definição deprobabilidade condicionada, obtém-se então odenominado teorema da probabilidade total:
P(B) = P(A1).P(B/A1) + P(A2).P(B/A2) + ... +P(An).P(B/An)
306
Probabilidade Total
Uma determinada peça é manufaturada por 3 fábricas:A, B e C. Sabe-se que A produz o dobro de peças queB e que B e C produzem o mesmo número de peças.Sabe-se ainda que 2% das peças produzidas por A epor B são defeituosas, enquanto que 4% dasproduzidas por C são defeituosas. Todas as peçasproduzidas são misturadas e colocadas em umdepósito. Se do depósito for retirada uma peça aoacaso, qual a probabilidade de que ela sejadefeituosa?
Exemplo 6:
307
Probabilidade Total
Solução:
Considerem-se os seguintes eventos:D = A peça é defeituosa , A = A peça provém da fábrica A,B = A peça provém da máquina B e C = A peça provém damáquina C .Tem-se então que: P(A) = 50%, P(B) = P(C) = 25%, uma vezque só existem as 3 fábricas e que A produz o dobro de B eesta por sua vez produz a mesma quantidade que C. Sabe-setambém que P(D/A) = P(D/B) = 2% e que P(D/C) = 4%.
Pelo teorema da probabilidade total pode-se escrever que:P(D) = P(A).P(D/A) + P(B).P(D/B) + P(C).P(D/C) = 0,5.0,02 + 0,25.0,02+ 0,25.0,04 = 2,50%, pois A, B e C formam uma partição do espaçoamostra S.
308
Teorema de Bayes
Em teoria da probabilidade, o Teorema de Bayesmostra a relação entre uma probabilidade condicionale a sua inversa; por exemplo, a probabilidade de umahipótese dada pela observação de uma evidência e aprobabilidade da evidência dada pela hipótese. Esseteorema representa uma das primeiras tentativas demodelar, de forma matemática, a inferênciaestatística, feita por Thomas Bayes.
309
Teorema de Bayes
O teorema de Bayes é um corolário (consequênciaimediata de um teorema) do teorema da probabilidadetotal. E com ele é capaz o cálculo da seguinteprobabilidade:
( ) ( ) ( )( )BP
APABPBAP
⋅= ||
Onde,- P(A) e P(B) são as probabilidades a priori de A e B.- P(B|A) e P(A|B) são as probabilidades posteriores de B
condicional a A e de A condicional a B, respectivamente.
310
Teorema de Bayes
Exemplo 7:
Em um saco existem 4 dados, dos quais 2 sãonormais, um deles apresenta números paresem 75% das jogadas, e o último tem somentenúmeros pares. Escolhendo aleatoriamenteum dos dados e jogando-o 2 vezes obtém-se2 números pares. Qual é a chance de ter sidoescolhido um dado normal?”
311
Teorema de Bayes
Exemplo 7: (continuação)
311311311
P(A) é a probabilidade de se escolher 1 dado normal e éigual a ½, pois existem 2 dados normais em 4 possíveis.P(B|A) é a probabilidade de saírem 2 números pares,considerando que foi escolhido 1 dado normal. Osresultados dos dados – condicionalmente ao dado quefoi retirado – são independentes. Assim, podemosaplicar a regra do produto, o que nos dá, então:
Teorema de Bayes
Exemplo 7: (continuação)
312312312
P(B) é a probabilidade de saírem 2 números pares,independentemente de qual dado tenha sidoescolhido. Pela Probabilidade Total, sendo E =“escolher o dado com 75% de chance de sair númeropar” e F = “escolher o dado somente com númerospares”:
Teorema de Bayes
Exemplo 7: (continuação)
Substituindo na expressão do Teorema de Bayes, temos:
314
Exercícios
315
Exercícios
01. Joga-se um dado não viciado duas vezes. Determinea probabilidade condicional de obter 3 na primeira jogadasabendo que a soma dos resultados foi 7.
02. Alberto diz que pode prever o futuro das colheitas.A comunidade em que ele vive, interessadíssimanesses poderes, se mobilizou para verificar o fato. Foiaveriguado que ele acerta 80% das vezes em que dizque os tomates não vão germinar e 90% das vezesem que diz que os tomates vão germinar.Os tomates não germinam em 10% das colheitas. SeAlberto anunciar a perda da colheita, qual é aprobabilidade real de que eles não germinem?
316
03. Uma pesquisa realizada entre 1000 consumidores,registrou que 650 deles trabalham com cartões decrédito da bandeira MasterCard, que 550 trabalhamcom cartões de crédito da bandeira VISA e que 200trabalham com cartões de crédito de ambas asbandeiras. Qual a probabilidade de, ao escolhermos,desse grupo, uma pessoa que utiliza a bandeira VISA,ser também um dos consumidores que utilizamcartões de crédito da bandeira MasterCard?
Exercícios
317
Exercícios
04. Um restaurante popular apresenta apenas dois tipos derefeições: salada completa ou um prato à base de carne.Considere que 20% dos fregueses do sexo masculino preferema salada, 30% das mulheres escolhem carne, 75% dosfregueses são homens. Para um freguês sorteado ao acasodesse restaurante, obtenha a probabilidade de:
Consideram-se os seguintes eventos:
H: freguês é homem A: freguês prefere saladaM: freguês é mulher B: freguês prefere carne.
a) preferir salada;
b) preferir carne dado que é um homem;
c) ser uma mulher, sabendo-se que prefere salada
318
Exercícios
05. Determinado veículo pode ter problemas mecânicos ouelétricos. Se ele tiver problemas mecânicos, não para, mas setiver problema elétrico tem de parar imediatamente. A chance deesse veículo ter problemas mecânicos é de 0,2. Já a chance domesmo veículo ter problemas elétricos é de 0,15 se não houveproblema mecânico precedente, e de 0,25 se houve problemamecânico precedente. Agora, calcule:a) Qual é a probabilidade de o veículo parar em determinadodia?b) Se o veículo parou em certo dia, qual a chance de que tenhahavido defeito mecânico?c) Qual é a probabilidade de que tenha havido defeito mecânicoem determinado dia se o veículo não parou nesse dia?
319
AULA IX
Distribuição Binomial
320
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Fatorial
Seja n ∈ IN , o fatorial de n é definido e representado por: n! = n ⋅( n −1 ) ( n − 2 )⋅...⋅3⋅ 2⋅1.
Além disso, define-se:
0! = 1
1! = 1
321
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Ex.1:
2! = 2 .1 = 2
3! = 3.2.1 = 6
4! = 4.3.2.1 = 24
5! = 5.4.3.2.1 = 120
6! = 6.5.4.3.2.1 = 720
322
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Ex.2:
1) Simplifique as expressões:
a)!
!=.. !
!= 7.6 = 42
b) !!
!=!. .!
!= 3.2.1.6.5 = 180
323
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Número Binomial
Definimos como um número binomial o número:
Leitura “binomial de n sobre p”, em que n é o numeradore p o denominador, em que n ∈ N, p ∈ N e n ≥ p.
324
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Consequência da Definição:
325
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
326
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Para construir o modelo binomial vamos introduzir umasequência de ensaios de Bernoulli. Tal sequência é definidapor meio das seguintes condições:- Em cada ensaio considera-se somente a ocorrência ou não-ocorrência de um certo evento que será denominadosucesso (S) e cuja não-ocorrência será denominada falha (F).- Os ensaios são independentes.- A probabilidade de sucesso, que denotaremos por p é amesma para cada ensaio. A probabilidade de falha serádenotada por 1-p.
327
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Para um experimento que consiste na realização de n
ensaios independentes de Bernoulli, o espaço amostralpode ser considerado como o conjunto de n-uplas, em quecada posição há um sucesso (S) ou uma falha (F).A probabilidade de um ponto amostral com x sucessos nosprimeiros ensaios e falhas nos n – x ensaios seguintes é
px(1 – p)n - x
328
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Note que esta é a probabilidade de qualquer ponto com x
sucessos e n – x falhas. O número de pontos do espaçoamostral que satisfaz essa condição é igual ao número demaneiras com que podemos escolher x ensaios para aocorrência de sucesso dentre o total de n ensaios, pois nos n– x restantes deverão ocorrer falhas. Este número é igual aonúmero de combinações de elementos tomados a , ou seja,
329
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Definição: Seja o número de sucessos obtidos na realizaçãode ensaios de Bernoulli independentes. Diremos que temdistribuição binomial com parâmetros e , em que é aprobabilidade de sucesso em cada ensaio, se sua função deprobabilidade for dada por
330
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Exemplo 1: Suponha que numa linha de produção aprobabilidade de se obter uma peça defeituosa (sucesso) é p
= 0,1.
Toma-se uma amostra de 10 peças para sereminspecionadas. Qual a probabilidade de se obter:
1. Uma peça defeituosa?2. Nenhuma peça defeituosa?3. Duas peças defeituosas?4. No mínimo duas peças defeituosas?5. No máximo duas peças defeituosas?
331
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Solução:
332
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Exemplo 2: Suponha que um aluno pretende fazer um testede múltipla escolha com 10 questões e cinco alternativaspor questão respondendo cada uma das questões de formaaleatória. Qual é probabilidade dele acertar no máximo 3questões?
333
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Solução: Como cada questão apresenta cinco alternativas eo aluno pretende respondê-las ao acaso temos que aprobabilidade de sucesso em cada questão, ou seja,probabilidade dele escolher a alternativa correta é de 1/5.Desta forma, podemos definir as seguintes variáveisaleatórias com distribuição de Bernoulli
334
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Temos que, para todo i, a probabilidade de sucesso é p = 0,2
(já que temos 5 alternativas disponíveis). Desta forma, P(Xi =1) = 0,2. Se definirmos X como sendo a variável aleatóriaque assume o número total de acertos na prova, temos umadistribuição binomial com parâmetros n = 10 e p = 0,2.Como queremos saber a probabilidade do aluno acertar nomáximo 3 questões, queremos encontrar o valor de P(X ≤ 3).Assim
335
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Logo, a probabilidade de que o aluno acerte no máximo 3questões é de aproximadamente 0,879.
336
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Exemplo 3: Uma moeda não viciada é lançada várias vezes.Qual a probabilidade de que obtermos 5 caras antes deobtermos 3 coroas?
Solução: Vamos considerar como sucesso a obtenção decara em cada lançamento da moeda. Desta formaqueremos obter 5 sucessos antes de obtermos 3 fracassos.Mas isto só é possível se jogarmos a moeda pelo menos 5vezes e no máximo 7 vezes, pois em menos de 5 jogadasnão é possível obtermos 5 caras e em 8 jogadas ou mais, játemos que ter obtido as 5 caras, pois caso contrário vamoster obtido 3 coroas, ou mais o que não é o intuito.
337
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
Considere as variáveis aleatórias definidas como sendo onúmero de sucessos obtidos em i lançamentos da moedacom i = 5, 6, 7. Sendo assim precisamos calcular P(X = 5)para cada.
Portanto a probabilidade de obtermos 5 caras antes de 3coroas é:
338
Variáveis aleatórias discretas: A distribuição Binomial
339
Exercícios
340
AULA X
Distribuição Normal
341
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Exemplo: Observamos o peso, em kg, de 1500 pessoasadultas selecionadas ao acaso em uma população.
O histograma por densidade é o seguinte:
342
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
A análise do histograma indica que:
- a distribuição dos valores é aproximadamentesimétrica em torno de 70kg;
- a maioria dos valores (88%) encontra-se no intervalo(55;85);
- existe uma pequena proporção de valores abaixo de48kg (1,2%) e acima de 92kg (1%).
343
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Vamos definir a variável aleatória
X: peso, em kg, de uma pessoa adulta escolhida ao acaso da população.
Como se distribuem os valores da variável aleatória X, isto é, qual a distribuição de probabilidades de X ?
A curva contínua da figura denomina-se curva Normal.
344
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
A distribuição normal é uma das mais importantes distribuiçõescontínuas de probabilidade pois:
• Muitos fenômenos aleatórios comportam-se de forma próxima aessa distribuição. Exemplos:
1.altura;2.pressão sanguínea;3.peso.
• Pode ser utilizada para calcular, de forma aproximada,probabilidades para outras distribuições como, por exemplo, para adistribuição binomial.
345
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Nem todos os fenômenos se ajustam à distribuição Normal.
Exemplo:
Y: Duração, em horas, de uma lâmpada de certa marca.A experiência sugere que esta distribuição deve ser assimétrica-grande proporção de valores entre 0 e 500 horas e pequena proporçãode valores acima de1500 horas.
346
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Uma variável aleatória contínua tem uma distribuiçãonormal se sua distribuição é:
simétrica apresenta (num gráfico) forma de um sino
347
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Quando uma distribuição é contínua, o gráfico dedistribuição é uma linha contínua.
Não se visualiza as barras de um histograma, masfrequências de ocorrências de cada valor de x emintervalos infinitesimais.
Forma uma Curva de Densidade de Probabilidade(função pdf – Probability Density Function).
348
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Note que a distribuição normal é especificada por
dois parâmetros: μ (mi) representa a média
populacional, e σ (sigma) representa o desvio-
padrão populacional
349
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Cada par de parâmetros (μ, σ) define uma distribuiçãonormal distinta! A figura mostra as curvas de densidade para alturas de
mulheres e homens adultos nos EUA
350
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
A distribuição normal padronizada tem média e desviopadrão iguais a:
A distribuição normal padronizada facilita os cálculos de
probabilidade, evitando o uso da fórmula e projetando
qualquer análise mediante utilização de ESCORES (Z)
351
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Se x é uma observação de uma distribuição que tem médiaμ e desvio-padrão σ, o valor padronizado de x é
Note que o valor padronizado representa o número dedesvios-padrão pelo qual um valor x dista da média (para
mais ou para menos)
352
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Ou seja, como a distribuição normal padronizadaé aquela que tem média 0 e desvio-padrão 1, ouseja N(0, 1).
Se uma variável aleatória x tem distribuiçãonormal qualquer N(μ, σ), então a variávelpadronizada
tem distribuição normal
353
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
354
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Exemplo: Seja Z~ N (0; 1), calcular
a) P(Z 0,32)
P(Z 0,32) = 0,6255 = 62,55%.
355
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Encontrando o valor na Tabela N(0;1):
356
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
b) P(0 < Z 1,71)
P(0 < Z 1,71) = P(Z 1,71) – P(Z < 0) = 0,9564 - 0,5 = 0,4564.
Obs.: P(Z < 0) = P(Z > 0) = 0,5.
357
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
c) P(1,32 < Z 1,79)
P(1,32 < Z 1,79) = P(Z 1,79) –P(Z < 1,32) =
0,9633 -0,9066 = 0,0567.
358
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
d) P(Z 1,5)
P(Z 1,5) = 1 – P(Z < 1,5)
= 1 – 0,9332 = 0,0668.
359
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
e) P(Z –1,3)
P(Z –1,3) = P(Z 1,3) = 1 – P(Z 1,3) = 1 – 0,9032 = 0,0968.
Obs.: Pela simetria, P(Z –1,3) = P(Z 1,3).
360
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
f) P(-1,5 Z 1,5)
P(–1,5 Z 1,5) = P(Z 1,5) – P(Z –1,5) = P(Z 1,5) – P(Z 1,5) = P(Z 1,5) – [1 – P(Z 1,5)]= 2 x P(Z 1,5) – 1 = 2 x 0,9332 – 1 = 0,8664.
361
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
g) P(–1,32 < Z < 0)
P(–1,32 < Z < 0) = P(0 < Z < 1,32)= P(Z 1,32) – P(Z 0) = 0,9066 – 0,5 = 0,4066.
362
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
h) P( -2,3 < Z -1,49)
P( -2,3 < Z -1,49) = P(1,49 Z < 2,3)= 0,9893 -0,9319 = 0,0574.
363
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
i) P(-1 Z 2)
P(–1 Z 2) = P(Z 2) –P(Z –1) = = A(2) –P(Z1)= A(2) – [1 –P(Z 1)] = A(2) – (1 –A(1))= 0,9772 – (1 –0,8413) = 0,9772 – 0,1587 = 0,8185.
364
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
A v.a. Z ~ N(0;1) denomina-se normal padrão ou reduzida.
Portanto,
Dada a v.a. Z ~N(0; 1) podemos obter a v.a. X ~ N(μ; σ2) através datransformação inversa
365
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Exemplo: Seja X ~ N(10 ; 64) (μ = 10, σ2 = 64 e σ = 8 ) Calcular: (a) P(6 X 12)
= 0,5987- (1- 0,6915 ) = 0,5987- 0,3085 = 0,2902
366
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
(b) P(X 8 ou X > 14)
= 1 - 0,5987 + 1 - 0,6915
= 0,7098
367
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Exemplo: O tempo gasto no exame vestibular de umauniversidade tem distribuição normal, com média 120min e desvio padrão 15 min.
a) Sorteando um aluno ao acaso, qual é aprobabilidade que ele termine o exame antes de 100minutos?
X: tempo gasto no exame vestibular => X ~ N(120; 152)
368
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
= 1 - 0,9082 = 0,0918
369
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
b) Qual deve ser o tempo de prova de modo a permitir que 95% dosvestibulandos terminem no prazo estipulado?
z = ? tal que = 0,95.
Pela tabela z = 1,64.
370
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
Dos exemplos anteriores, podemos expressar as probabilidadescalculadas com a notação seguinte:
371
Variáveis aleatórias contínuas: A distribuição Normal
372
Exercícios