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COME APPARE IL CAOS DETERMINISTICO
• Serie temporale
• Spettro di potenza
• Quadro delle traiettorie
• Sezione di Poincaré
• Auto-somiglianza
• Sensibilità alle condizioni iniziali
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SERIE TEMPORALE E’ la registrazione dei valori assunti da una (o più) variabili al passare del tempo. Ad esempio, in un sistema a tempo continuo
))(()())(()(
txgtytxftx
==&
In generale, l’uscita è una funzione delle variabili di stato (spesso coincide con una delle variabili di stato). In regime caotico, )(ty ha un comportamento non periodico e apparentemente casuale.
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Esempio (a tempo continuo): “barriera di potenziale” con sollecitazione periodica (Moon and Holmes, 1979)
))(1
212
21
tsinUhxx(Fm
x
xx
+−=
=
&
&
)1()()( 2xxdx
xdPxF −=−≈
La variabile misurata è la posizione: )()( 1 txty = .
)(xP
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Esempio (a tempo discreto): la “mappa logistica”: (May, 1976)
( ))(1)()1( txtxrtx −=+ Per 9.3=r l’andamento di )(tx è non periodico.
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SPETTRO DI POTENZA
Il segnale )(ty può essere scritto, utilizzando la trasformata di Fourier )()()( ωφωω ieYY = ,
nella forma
∫∞+
+=0
))(cos()(1)( ωωφωωπ
dtYty
cioè come la somma di un’infinità (non numerabile, in generale) di sinusoidi: la sinusoide di frequenza ω ha ampiezza proporzionale a )(ωY .
La funzione )(ωY si dice spettro di ampiezza. La funzione 2)()( ωω YP = si dice spettro
di potenza.
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Se )(ty è periodico, con periodo ϖπ /2=T , utilizzando la serie di Fourier kikk eYY φ= , si
può scrivere )(ty nella forma
( )∑+∞
=++= 1 cos2)0()( k kk tkYYty φϖ
Lo spettro è “ad impulsi” (= non nullo solo per ω multiplo di ϖ ).
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Un segnale caotico è caratterizzato da uno spettro “a banda larga”. Esempio: esperimento di Taylor-Couette:
)(ty è la velocità del fluido misurata in un punto prefissato. regime periodico quasi-periodico caotico
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Esempio: sistema di Duffing (1918):
tqxhxxx
xx
sin23112
21
+−−−=
=
βα&
&
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Esempio: sistema di Lorenz (1963)
xybzzxzyrxyyxx
+−=−−=σ+σ−=
&
&
&
serie temporale )(tx spettro di potenza
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QUADRO DELLE TRAIETTORIE In regime caotico, le traiettorie
• rimangono limitate
• non ripassano mai da uno stato già visitato (= non periodicità) ma transitano arbitrariamente vicino ad esso
• sono caratterizzate da geometrie complesse
Esempio: sistema di Lorenz (simulazione)
xybzzxzyrxyyxx
+−=−−=σ+σ−=
&
&
&
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Esempio: sistema di Rössler (1976) (simulazione)
zcxbzayxy
zyx
)( −+=+=−−=
&
&
&
Esempio: traiettoria “ricostruita” da una serie temporale ottenuta sperimentalmente (concentrazione di un componente in una reazione chimica)
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Esempio: sistema (“mappa”) di Henon (1976) (a tempo discreto).
)()1()(1)()1( 2
tbxtytaxtytx
=+−+=+
Nel piano di stato ),( yx , la traiettoria è la successione di punti ( ))(),( tytx , K,1,0=t .
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SEZIONE DI POINCARE’ Per il sistema a tempo continuo )(xfx =& di ordine n , la sezione di Poincaré è una superficie
)1( −n -dimensionale P, la quale è trasversale (in un punto z ) ad un ciclo limite γ . La traiettoria che parte da ∈)0(z P riattraverserà P nei punti K),2(),1( zz . Quindi )(xfx =& definisce (vicino a γ ) un sistema a tempo discreto (mappa di Poincaré)
))(()1( tzPtz =+
dove 1−∈ nRz , )(zPz = .
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La mappa di Poincaré può essere definita anche per un sistema a tempo continuo ))(,()( txtftx =& periodico rispetto a t (con periodo 0>T ):
),(),( xTtfxtf += , per ogni xt,
E’ sufficiente considerare la mappa di periodo T (o “mappa stroboscopica”):
))(()1( kzPkz =+ dove )()( kTxkz = ,
K,2,1,0=k . Sulla sezione di Poincaré, si visualizza quindi la traiettoria del sistema a tempo discreto
))(()1( kzPkz =+
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In regime caotico, la sezione di Poincaré evidenzia un insieme limitato caratterizzato da geometria complessa. Esempio: barriera di potenziale con sollecitazione periodica. Esempio: laser: sezione di Poincaré ricavata mediante esperimenti.
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AUTO-SOMIGLIANZA In regime caotico, la traiettoria possiede geometria “auto-somigliante”: la sua struttura geometrica si riproduce a scala arbitrariamente piccola. Esempio: “zoom” nella traiettoria della mappa di Henon. La struttura “a 6 bande” si ripete all’infinito.
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SENSIBILITÀ ALLE CONDIZIONI INIZIALI In regime caotico, stati iniziali arbitrariamente vicini danno luogo a traiettorie che, in tempo finito, risultano tra loro distanti.
Evoluzione di un piccolo insieme contenente 104 stati iniziali. Dopo un po’ di tempo, le traiettorie sono praticamente incorrelate (parametri: 10=σ , 3/8=b , 28=r ).