Download - Comca agosto-2008
Transitividad Robusta de ConjuntosMaximales Invariantes
Dante Carrasco-Olivera, C.A. Morales, B. San Martın
DC-BS
Departamento de Matematicas
Universidad Catolica del Norte (UCN)-Antofagasta- Chile
CM
Instituto de Matematica
Universidad Federal de Rıo de Janeiro (UFRJ)-Rıo de Janeiro-Brasil
COMCA-2008-Universidad Arturo PratTransitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 1/34
Esbozo de la charla
Motivación
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 2/34
Esbozo de la charla
Motivación
Preliminares
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 2/34
Esbozo de la charla
Motivación
Preliminares
Enunciados del Teorema Principal
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 2/34
Esbozo de la charla
Motivación
Preliminares
Enunciados del Teorema Principal
Enunciados de resultados técnicos
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 2/34
Esbozo de la charla
Motivación
Preliminares
Enunciados del Teorema Principal
Enunciados de resultados técnicos
Esbozo de la prueba del Teorema Principal
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 2/34
Motivación
SeaM una3-variedad compacta conexa con bordeposiblemente no vacío∂M . Denotamos porX r(M, ∂M), r ≥ 1, el espacio deCr campo de vectoresenM tangente a∂M (si es no vacío) equipado con laCr
topogía. FijamosX ∈ X r(M, ∂M) y denotemos porXt, t ∈ R, el flujo generado porX in M .
Por unciclo singulardeX nos referimos a un conjuntoΓconsistiendo de una singularidadσ, una órbita periódicaO (ambas hiperbólicas) y dos órbitas regularesγ0 ⊂ W u(σ) ∩ W s(O) y γ1 ⊂ W u(O) ∩ W s(σ). En talcaso decimos que el ciclo singularΓ estáasociadoaσ.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 3/34
Estamos precisamente interesados en ciclos singularesasociados a singularidadesσ con autovalores realesλu, λs, λss satisfaciendo la relación de autovalores
λss < λs < 0 < λu. (1)
Existe también una variedad central-inestableW cu(σ)tangente enσ al autoespacio asociado a{λs, λu}.Decimos que el ciclo esgenéricosi W s(O) es transversalaW cu(σ) a lo largo deγ0 y W u(O) es transversal aW s(σ) a lo largo deγ1.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 4/34
Ciclo Singular
l
u
ss s
sl
l
Figura 1: Ciclo Singular.Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 5/34
Secciones transversales
lss s
sl
ul
Figura 2: Ciclo Singular.Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 6/34
1. Resultado que motiva el trabajo
Morales-Pacifico-Pujals (C. R. Acad. Sci. Paris Sér. IMath. 326 (1998), Ann. of Math. (2) 160 (2004))SeaM una 3-variedad compacta sin borde.Teorema 1.1 Supóngase queX ∈ X 1(M) tiene unconjuntoC1 robustamente transitivoΛ. Entonces parauno de los dos campos de vectoresX, −X, Λ es unconjunto hiperbólico-singular, un atractor y cualquierade sus singularidades son tipo-Lorenz.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 7/34
2. Objetivo de estudio
Teorema 2.1 SiX ∈ X 1(M, ∂M), exhibe un ciclogenérico asociado a una singularidadσ ∈ ∂M conautovalores reales satisfaciendo (1), entoncesX tambiénexhibe un conjuntoC1 robustamente transitivoconteniendo aσCorolario 2.2 Para toda3-variedad compacta conbordeM existeX ∈ X 1(M, ∂M), exhibiendo unconjuntoC1 robustamente transitivo el cual no essingular-hiperbólico paraX o−X.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 8/34
Preliminares
2.1. Definicion
SeaΣ = [0, 1] × [0, 1] el cuadrado unitario cerrado yU ⊂ R
2 un conjunto abierto conteniendo aΣ. Fijemosdos números realesa, b con0 < a < b < 1.Denote porp = (x, y) = (xp, yp) el sistema decoordenadas naturales enU . Pongamos
L0 = {y = 0}; La = {y = a};
Lb = {y = b}; L1 = {y = 1}.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 9/34
Unacurvac enU es la imagen de una apliciónC1
inyectivac : Dom(c) ⊂ R → U conDom(c) es unintervalo compacto. Una curvac eshorizontalsi elgráfico de una aplicaciónC1 h : [0, 1] → [0, 1], i.e.,c = {(x, h(x)) : x ∈ [0, 1]} ⊂ U .Definición 2.3 Una foliación continuaF sobreU esllamada horizontal si sus hojas son curvas horizontales ylas curvasLo, La, Lb, L1 son hojas deF .
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 10/34
Denotemos porH0,a = [0, 1] × [0, a] y Hb,1 = [0, 1] × [b, 1].Definición 2.4 (Aplicación triangular) Una aplicaciónR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U es llamada triangular si
contrae y deja invariante a una foliaciónF .
Además,
R(L0) ⊂ [0, 1),
R(La) ⊂ U\Σ,
R(Lb) ⊂ U\Σ y
R(L1) = {(x0, 0)} para algún0 < x0 < 1.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 11/34
Dadop ∈ U , vp ∈ TpU y un subespacio1−dimensionalVp ⊂ TpU , definimos∠(vp, Vp) el angulo entre el vectorvp y y el subespacioVp. Dadoγ > 0, denotamos porCγ(p, Vp) = Cγ(p) el γ-campo de conos
Cγ(p) = {vp ∈ TpU : ∠(vp, Vp) ≤ γ}.
Un γ-campo de conosCγ es:
invariantesi DR(Cγ(p)) ⊂ int(Cγ(R(p))) paratodop ∈ H0,a ∪ Hb,1.
transversala una foliación horizontalF siTpL ⊂ {v : v /∈ Cγ(p)} para todop ∈ L y ∀L ∈ F .
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 12/34
Definición 2.5 (Aplicación triangularquasi-hiperbólica).SeaR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U una aplicación triangularcon foliación horizontal asociadaF . DadosK0 > 0,K1 > 0, 1 < ν ≤ µ. Decimos queR es(K0, K1, ν, µ)-quasi hiperbólica si
(H1) Existeα = αR > 1 tal que
yR(p) ≤ K0 | yp − 1 |α, ∀p ∈ Hb,1.
(H2) R es unC1-difeomorfismo enH0,a ∪ (Hb,1 \ {y = 1}).
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 13/34
(H3) Existen0 < γ < 12 y un invarianteγ−campo de
conosCγ enU transversal aF tal queνµ1−α
α > 1,
‖ DR(p)v ‖≥ K1 | yp − 1 |α−1‖ v ‖,
∀p ∈ Hb,1,∀v ∈ Cγ(p).y
ν ‖ v ‖≤‖ DR(p)v ‖≤ µ ‖ v ‖,
∀p ∈ H0,a,∀v ∈ Cγ(p). Ver figura 4.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 14/34
Aplicación quasi-hiperbólica
Figura 3: Trasformación de retornoTransitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 15/34
Derivada Schwarziana para aplica-ciones unidimensional
Definición 2.6 Seah : Dom(f) ⊂ R → R unaC3
aplicación tal queDh(t) 6= 0 para todot ∈ Dom(h). Laderivada Schwarziana deh ent ∈ Dom(h) es
Sh(t) =D3h(t)
Dh(t)−
3
2
(D2h(t)
Df(t)
)2
.
Decimos queh tiene derivada Schwarziana negativa siSh(t) < 0 para todot ∈ Dom(h) tal queDh(t) 6= 0.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 16/34
Hipótesis (H)
A cualquier foliación horizontalF podemos asociar laaplicacion de holonomıa ΠF : U → R definida por
ΠF (p) = F (p) ∩ {0} × R.
Toda foliación horizontalF induce un sistema decoordenadas(x, y) enU como sigue: Definaϕ : U → R × R by
ϕ(x, y) = (x, ΠF (x, y)).
Entonces,(x, y) es definido por
(x, y) = ϕ(x, y) = (x, ΠF (x, y)). (2)Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 17/34
Para unaC1 foliaciónF , consideramos queΠF satisface
|∂ΠF
∂x(x, y) |<
1
2and |
∂ΠF
∂y(x, y) |>
3
4.
SeaR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U una aplicación.Para toda foliación horizontalF se define un sistema decoordenadas (2). Si adicionalmenteF esR-invariante,entonces podemos definirR = ϕ ◦ R ◦ ϕ−1. La identidad
R(x, y) = (F (x, y), f(y)) (3)
vale para algúnasC0 aplicaciónf : Dom(f) ⊂ R → R yF : dom(F ) ⊂ R
2 → R2.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 18/34
Definición 2.7 (Aplicacion Schawarzian Contractiva).Dados dos números realesr, s con0 < r < s < 1 y seah : [0, r] ∪ [s, 1] una aplicación. Decimos que ella esSchwarziana contractiva si:
(h1) h es unaC3 maplicación, creciente en[0, r] ydecreciente en[s, 1], h(0) = 0, h(1) = 0, existeβ > 1 tal queh(t) = β.t para todot ∈ [0, r] yDh(t) = 0 si y sólo sit = 1. Adicionalmente,h(r) > 1 y h(s) > 1.
(h2) h tiene derivada Schwarzian negativa sobre[s, 1).Ver figura 4.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 19/34
Aplicacion Schawarziana Contracti-va
h h
Figura 4: Aplicación de hojasTransitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 20/34
Definición 2.8 (Hipótesis (H)). SeaR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U una aplicación triangular confoliación horizontal asociadaF de claseC3. DecimosqueR satisface (H) si la aplicaciónf dada por (3) esSchwarziana contractiva.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 21/34
Notation. SeaA denota el conjunto de todas lasaplicacionesR : H0,a ∪ Hb,1 ⊂ Σ → U las cuales son(K0, K1, ν, µ) − quasi-hiperbólicas conK0 > 0, K1 > 0,1 < ν ≤ µ.Definición 2.9 (C1-topología enA ) En el espacioAconsideramos laC1-topología, la cual es definida por lamétrica
dC1(R, R) = max{
‖ R(p) − R(p) ‖, ‖ DR(p) − DR(p)
| αR − αR |: p ∈ H0,a ∪ Hb,1
}
.
Ahora enunciamos nuestro Teorema Principal.Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 22/34
Enunciado del Teorema Principal
Teorema 2.10ConsidereR0 una aplicación(K0, K1, ν, µ) − quasi-hyperbolic (i,e.,R0 ∈ A )satisfaciendo(H) conK0 > 0, K1 > 0 y 1 < ν ≤ µ.Entonces existe unaC1−vecindadU = U (R0) deR0
enA tal que para toda aplicaciónR ∈ U , el conjuntomaximal invariante,
⋂
n∈Z
Rn(Σ) (4)
estransitivo, i.e., existe unz en él tal que{Rn(z) : n ∈ N} es denso en el conjunto maximalinvariante.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 23/34
Resultados Técnicos
Teorema 2.11ConsidereR0 una aplicación(K0, K1, ν, µ) − quasi-hiperbólico (i,e.,R0 ∈ A )satisfaciendo(H) conK0 > 0, K1 > 0 y 1 < ν ≤ µ.Entonces existe unaC1-vecindadV = V (R0) deR0 enA tal que para todoR ∈ V , el conjunto contenido enΣ,
ΛR =∞⋂
i=0
R−i(Σ), no contiene curvas tangentes aCγ.
Corolario 2.12 ConsidereV la C1-vecindad dada porel Teorema 2.11. Entonces para todaR ∈ V y para toda
curvaζ tangente aCγ conζ ∩ (∞⋂
i=0
R−i(Σ)) 6= ∅ existe
n = n(R, ζ) tal queΠF (Rn(ζ)) ⊇ [0, 1].Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 24/34
Referente a flujos
3. Teoremas que se pretender hacer
Teorema 3.1 SiX ∈ X r(M, ∂M), r ≥ 3, exhibe unciclo genérico asociado a una singularidadσ ∈ ∂M conautovalores reales satisfaciendoλ2 < λ3 < 0 < λ1.,entoncesX también exhibe unCr,1 conjuntorobustamente transitivo conteniendo aσ.Teorema 3.2 SiX ∈ X r(M, ∂M), r ≥ 3, exhibe unciclo genérico asociado a una singularidadσ ∈ ∂M conautovalores reales satisfaciendoλ2 < λ3 < 0 < λ1.,entoncesX también exhibe unC1 conjunto robustamentetransitivo conteniendo aσ.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 25/34
Apendice
4. Esbozo de la prueba del Teorema2.11
Fije R0 como en el enunciado del toerema. ConsidereV4,δ4 andλ4 dados por la Proposición??. Considere laC1-vecindadV4 of R0 enA dado por el Corolario??.TakeV = V4 ∩ V5. Now fix R ∈ V .Fije la foliación invarianteF dada por la hipótesis.También denotamos porg la aplicación inducida porF .Descomponemos la prueba en algunos pasos.
(1) R no tiene pozos.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 26/34
Suppose thatΛR =∞⋂
i=0
R−i(Σ), has a curveζ tangent to
Cγ.
(2) For allm 6= n, [Rm(ζ)] ∩ [Rn(ζ)] has no interior.
(3) lengh(Rn(ζ)) → 0 cuandon → +∞
(4) ΠF (Rn(ζ)) acumula a1.
Por (3) podemos considerar0 < η < δ4 y un enteron0 ental sentido que∀n ≥ n0 lengh(Rn(ζ)) < δ4 − η. Así, siparan ≥ n0, Rn(ζ) ∩ [0, 1] × (1 − η, 1) 6= ∅ entoncesRn(ζ) ⊂ [0, 1] × (1 − δ4, 1).
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 27/34
Por (3), existe una sucesiónnk tal queRnk(ζ) ⊂ [0, 1] × (1 − δ4, 1). Aplicamos (??) de laProposición??después de una reparametrización de lacurvaζ tenemos que
lengh(Rnk(ζ)) ≥ λnk−n0
2 .lengh(Rn0(ζ)).
Comonk → ∞ tenemos que
lengh(Rnk(ζ)) → ∞
y esto es una contradicción con(3). ¥
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 28/34
5. Transividad Robusta
Una órbita deXt es el conjuntoO = OX(q) = {Xt(q) : t ∈ R} para algúnq ∈ M . Elconjunto omega-límite de un puntop es el conjuntoωX(p) = {x : M : x =lımn→∞ Xtn(p)para alguna sucesióntn → ∞}. Unasingularidad deXt es un puntoσ ∈ M tal queX(σ) = 0.Una órbita periódica deXt es una órbitaOX(p) tal queXT (p) = p para algún minimalT > 0. Una órbitacerrada deXt es bien una singularidad o una órbitaperiódica deXt.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 29/34
Definición 5.1 SeaXt un flujo sobreM . Un conjuntocompactoΛ ⊂ M es:
invariante siXt(Λ) = Λ, para todot ∈ R;
Transitivo siΛ = ωX(p) para algúnp ∈ Λ;
No trivial si Λ no es una órbita cerrada deXt;
Aislado si existe una vecindad compactaU (llamadobloque aislante) deΛ tal que
Λ =⋂
t∈R
Xt(U);
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 30/34
Atractivosi es aislado y tiene un bloque aislanteUtal que∀t ≥ 0, Xt(U) ⊂ U .
Atractorsi es un conjunto transitivo atractivo.
Denote porm(A) = ınf‖v‖6=0‖Av‖‖v‖ la norma mínima de un
operador linealADefinición 5.2 SeaΛ un conjunto compacto invariantedeXt. Una descomposición continua invarianteTΛM = EΛ ⊕ FΛ sobreΛ esdominadasi existenconstantes positivasK, λ tales que∀t > 0 y ∀x ∈ Λ,
‖ DXt(x)|Ex ‖
m(DXt(x)|Fx)≤ Ke−λt.
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 31/34
Definición 5.3 Un conjunto compacto invarianteΛ esparcialmente hiperbolico si exhibe una descomposicióndominadaTΛM = Es
Λ ⊕ EcΛ tal queEs
Λ es contractivo,i.e.,
‖ DXt(x)|Esx ‖≤ Ke−λt,
para todot > 0 y todox ∈ Λ.Definición 5.4 Un conjuntohiperbolico-singular Λ deXt es un conjunto parcialmente hiperbólico consingularidades hiperbólicas y el subfibrado centralEc
Λexpande volumen, i.e.,
| det(DXt(x)|EcΛ |≥ K−1eλt,
para todot > 0 y todox ∈ Λ. Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 32/34
Definición 5.5 Un conjunto aisladoΛ esCr
robustamente transitivo, si exhibe un bloque aislanteUtal que para todoY ∈ X r(M, ∂M) Cr cercano aX lacontinuación
ΛY =⋂
t∈R
Yt(U) (5)
deΛ es un conjunto transitivo no-trivial deY .
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 33/34
Definición 5.6 Un conjunto aisladoΛ esCr,k,1 ≤ k ≤ r, robustamente transitivo, si exhibe un bloqueeislanteU tal que para todoY ∈ X r(M, ∂M) Ck
cercano aX la continuación
ΛY =⋂
t∈R
Yt(U) (6)
deΛ es un conjunto transitivo no-trivial deY .
Transitividad Robusta de Conjuntos Maximales Invariantes– p. 34/34