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Combinación de Programas Lógicos y Redes Bayesianas
y su Aplicación a Música
Eduardo MoralesEnrique Sucar
Roberto Morales
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Contenido• Introducción• Redes Bayesianas• Redes Bayesianas + nodos “lógicos”• Mecanismo de razonaminto• Ejemplo musical (1)• Redes Bayesianas dinámicas• Ejemplo musical (2)• Conclusiones y trabajo futuro
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Introducción
Las dos áreas más utilizadas para representarconocimiento en una máquina son:
• Lógica: permite representar objetos, sus propiedades, y relaciones con otros objetos
• Probabilidad: permite representar y manejar información con incertidumbre
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Propuesta
Este trabajo de investigación plantea comocombinar:
• Cláusulas de Horn: aprovechando su capacidad expresiva
con
• Redes Bayesianas: aprovechando su manejo eficiente de información con incertidumbre
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Redes Bayesianas
• RB son una herramienta poderosa para tratar incertidumbre
• Utilizan una representación gráfica de dependencias entre variables aleatorias– Nodos: variables proposicionales
– Arcos: dependencias probabilísticas
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Redes Bayesianas (2)
• RB representan relaciones de independencia condicional. Por ejemplo, E es independiente de {A,C,D} dado {B}
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Redes Bayesianas (3)
• Mecanismo de Razonamiento: propaga evidencia (variables conocidas) a través de la red hasta obtener probabilidades posteriores (de variables desconocidas)
• Expresividad: RB están limitadas a un formalismo proposicional
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Representación Musical
Una representación en música debe de
incluir:
• Relaciones entre notas, voces, métricas, ...
• Preferencias entre notas, métricas, reglas, ...
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Representación Musical (2)
Una representación natural es:• Lógica de primer orden para
representar relaciones entre objetos musicales
• Distribuciones de probabilidad para expresar preferencias entre objetos musicales
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Propuesta:
Utilizar redes Bayesianas para expresar
preferencias musicales y extenderlas con
lógica de predicados para expresar
relaciones
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Propuesta (2):
Z puede ser:• Binario (T ó F): relación(X,Y)• Multivaluado: relación(X,Y,Z)
: Nodo lógico : Nodo con variable aleatoria
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Razonamiento
• La distribución de probabilidad de “z” depende de los valores de “x” y “y”, y de que la relación “R” se satisfaga o no para esos valores
x y
dydxxPyPyxRzP )()(),()(
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Razonamiento (2)
Considerando variables discretas:
Para obtener P(z) tenemos queevaluar la relación para todos losposibles valores no instanciados de “x” y “y”
x y
yPxPyxRzP )()(),()(
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Ejemplo (2)Supongamos: x y
>
6.0)( 4.0)(
:1 Si
6.0)2( 3.0)3(
4.0)0( 7.0)1(
),(
falsezPtruezP
x
yPxP
yPxP
yxyxrelz
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Ejemplo (3)
42.0)( 58.0)(
:asdesconocidson y Si
7.0)( 3.0)(
:2 Si
0.0)( 0.1)(
:0 ó 3 Si
falsezPtruezP
yx
falsezPtruezP
y
falsezPtruezP
yx
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Razonamiento (3)
Alternativamente, podemos: (i) calcular “fuera de línea” la relación para
todos los posibles valores de las variables involucradas
z=true x=1 x=3
y=0 1 1
y=2 1 0
z=false x=1 x=3
y=0 0 0
y=2 0 1
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Razonamiento (4)
(ii) Construir un nodo determinístico
(iii) incluirlo directamente en una RB
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Razonamiento (5)
• La estrategia “en línea”:– Evalua solo las filas y columnas de las
variables desconocidas– Puede ser útil cuando el tamaño de la
tabla de probabilidad condicional es “muy grande”
– Se puede utilizar con variables continuas usando técnicas de muestreo sobre distribuciones de probabilidad
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Razonamiento (6)
• La estrategia “fuera de línea”:– Está limitada a variables discretas con
tablas de probabilidades condicionales “pequeñas”
– Se calcula solo una vez y puede utilizarse con cualquier herramienta de RB
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Aplicación a Música
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Aplicación a Música (2)
Para aplicar la representación propuesta
a análisis de contrapunto, necesitamos:
1. Distribuciones de probabilidad (expresando preferencias) sobre:
• Notas de cantus firmus
• Reglas de contrapunto
• Métricas
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Aplicación a Música (2)
2. Relaciones entre notas (considerando
métricas) expresando las reglas de
contrapunto
3. Distribuciones de probabilidad sobre
las notas de contrapunto
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Algunas Relaciones Musicales
• Consonancia perfecta: quinta, octava, unisono, docena_mayor.
• Consonancia imperfecta: tercera, sexta y decima (mayor y menor)
• Disonancia: el resto.
• Movimientos de pares de notas: contrario, oblicuo y paralelo.
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Ejemplo de Mov. Contrario
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Reglas de Contrapunto
• Primera: de consonancia perfecta a perfecta en movimiento contrario u oblicuo
• Segunda: de consonancia perfecta a imperfecta en cualquier dirección
• Tercera: de consonancia imperfecta a perfecta en movimiento contrario u oblicuo
• Cuarta: de consonancia imperfecta a imperfecta en cualquier dirección
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Posible Pedazo de Nodo Lógico
regla(Int1, Int2, Mov1, Mov2, uno) :-
cons_dis(Int1,cons_perf),
cons_dis(Int2,cons_perf),
movimiento(Mov1,Mov2,Tipo),
member(Tipo,[contrario,oblicuo]).
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Aplicación a Música (3)
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Aplicación a Música (5)
Esta representación nos permite:• Sugerir las notas de contrapunto y/o de
cantus firmus más probables• Analizar qué regla de contrapunto se usa en
ciertas notas• Sugerir notas y reglas de contrapunto
siguiendo las distribuciones de probabilidad a priori
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Representación Temporal
• En música es importante representar relaciones temporales
• En redes Bayesianas dinámicas, los valores de ciertas variables en un tiempo pueden afectar los valores de otras variables en tiempos futuros
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Representación Temporal (2)
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Ejemplo Musical Din.
En nuestro ejemplo musical necesitamos
ligar nodes de tiempos anteriores y
repetir la misma estructura N-2 veces,
donde N es el número de notas en el
cantus firmus
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Ejemplo Musical Din. (2)
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Ejemplo Musical Din. (3)
A partir de:
• do, mi (cf)
• sol (cp)
• r1, r2 y r4
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Capacidades de la Representación
• La red se puede usar para análisis musical, p.ejem., estimar las reglas de contrapunto más probables
• Conociendo las notas de contrapunto, estimar los valores más probables del cantus firmus y de las reglas utilizadas
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Capacidadesa de la Representación (2)
• La red puede usarse para generar música siguiendo las distribuciones de probabilidad y las relaciones expresadas en ella
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Conclusiones
• La combinación de redes Bayesianas con lógica es un poderoso formalismo para representar conocimiento y razonar con él
• La representación puede servir para análisis y composición musical y en principio para otros dominios
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Trabajo Futuro
• Probar la propuesta con un ejemplo musical “grande” y en otros dominios
• Extender la representación a variables continuas con técnicas de muestreo
• Aprender la red a partir de datos musicales y conocimiento del dominio