Colegio Universitario Boston Trigonometría
262
Trigonometría
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263
90
Trigonometría
Ángulos.
Ángulos en posición estándar o posición normal.
Son aquellos ángulo cuyo lado inicial esta sobre el semi-eje x positivo.
Podemos tener ángulos en posición estándar que sean:
Positivos: el lado terminal gira en sentido contrario a las manecillas del reloj.
Lado inicial
Lado terminal
180 0
360
90
270
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264
270
180 - 360
0
90
0
Negativos: el lado terminal gira en igual sentido que las manecillas del reloj.
Práctica
1. Considere los siguientes gráficos.
I- II- III-
¿Cuáles de ellas corresponden a un ángulo en posición estándar?
A. Solo III
B. Solo II
C. Solo II y III
D. Solo I y II
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265
2. Considere los siguientes ángulos en posición estándar.
I- II- III-
De ellos son NEGATIVOS
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo I y III
D. Solo III
3. Si el lado terminal de un ángulo en posición normal se ubica en el segundo
cuadrante, entonces la medida de ese ángulo es:
A. B. C. D.
4. Un ángulo cuya medida en radianes es 36
13se ubica en el cuadrante
A. I
B. II
C. III
D. IV
5. La medida de un ángulo ubicado en el segundo cuadrante corresponde a
A.
B.
C.
D.
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266
6. ¿En cual cuadrante se ubica el lado terminal de un ángulo de medida -115º?
A. I
B. II
C. III
D. IV
7. ¿En cual cuadrante se ubica el lado terminal de un ángulo de medida 575º?
A. I
B. II
C. III
D. IV
8. El lado terminal de un ángulo en posición estándar se ubica en el segundo
cuadrante. Una posible medida de ese ángulo es
A. -315º
B. -195º
C. -105º
D. -85º
9. Analice las siguientes proposiciones
I. El lado Terminal de un ángulo cuya medida es 12
11se ubica en
el tercer cuadrante.
II. El lado Terminal de un ángulo cuya medida es 12
11 se
ubica en el segundo cuadrante.
De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?
A. Solo I
B. Solo II
C. Ambas
D. Ninguna
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267
10. Considere la siguiente figura. Un posible valor del ángulo destacado es
A. -120º
B. -275º
C. 130º
D. 210º
11. De las figuras, ¿cuál corresponde a un ángulo en posición normal?
12. La medida en radianes de un ángulo en posición estándar cuyo lado terminal se
ubica en el tercer cuadrante es
A. 120
B. 12
5
C. 12
11
D. 12
13
a)
c)
b)
d)
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268
13. Si el par ordenado (-5,3) pertenece al lado terminal de un ángulo en posición
estándar, ese lado se ubica en el cuadrante
A. I
B. II
C. III
D. IV
14. Si el lado terminal de un ángulo estándar contiene el punto (-3,-2), entonces el
lado terminal pertenece al cuadrante
A. I
B. II
C. III
D. IV
15. Si el par ordenado pertenece al lado final de un angulo en posición
estándar, ese lado se ubica en el cuadrante:
A. I
B. II
C. III
D. IV
Ángulos Cuadrantales.
Un ángulo en posición estándar es cuadrantal si su lado terminal queda ubicado
sobre alguno de los semi-ejes coordenados. Por lo que cumple que:
o bien en radianes con un número entero.
Para determinar si un ángulo es cuadrantal realizaremos los siguientes pasos:
1. Si el ángulo esta dado en grados dividiremos este por 90º, si el resultado es
un número entero tenemos un ángulo cuadrantal.
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269
2. Si el ángulo esta dado en radianes dividiremos este por , si el resultado es
un número entero tenemos un ángulo cuadrantal.
Práctica 16. ¿Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal?
A. B. C. D.
17. La medida de un ángulo cuadrantal corresponde a:
A.
B.
C.
D.
18. ¿Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal?
A. 405º
B. 510º
C. -490º
D. -540º
270 360 180
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270
19. ¿Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal?
A. 45º
B. 135º
C. 270º
D. 300º
20. Analice las siguientes representaciones de ángulos.
I- II- III-
¿Cuáles de ellas representan ángulos en posición estándar y cuadrantales?
A. Todas
B. Solo I
C. Solo II
D. Ninguna
21. La medida, en radianes, de un ángulo cuadrantal corresponde a
A.
B.
C.
D.
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271
22. ¿Cuál medida, en radianes, corresponde a un ángulo cuadrantal?
A.
B.
C.
D.
23. ¿Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal?
A. 45º
B. 135º
C. 270º
D. 300º
24. ¿Cuál medida corresponde a un ángulo cuadrantal?
A. 405º
B. 510º
C. -490º
D. -540º
Ángulos Coterminales.
Dos ángulos en posición estándar son coterminales si tienen el mismo lado terminal.
Para determinar ángulos coterminales podemos aplicar la relación:
con un número entero.
Son dos ángulos en posición estándar, que tienen el mismo lado terminal.
250
110
135
225
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272
Práctica
25. Si radianes, la medida de un ángulo en coterminal a corresponde a:
A.
B. °
C. °
D. °
26. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de es:
A.
B.
C.
D.
27. Si m =12º, entonces un ángulo coterminal con corresponde a:
A.
B.
C.
D.
28. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de -65 es:
A. 65º
B. 295º
C. -155º
D. -245º
29. Las medidas de un par de ángulos coterminales son:
A. 30º y -30º
B. 330º y 390º
C. 330º y -390º
D. -330º y -390º
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273
30. ¿En cual sistema de coordenadas, se representan ángulos coterminales?
31. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 135º es
A. -405º
B. -135º
C. 855º
D. 45º
32. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de -165 es:
A. -525º
B. 165º
C. -15º
D. 15º
33. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de radianes es
A.
B.
C.
D.
A. B.
C. D.
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274
34. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de º es:
A. 115º
B. 130º
C. 245º
D. 345º
35. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de corresponde a:
A.
B.
C.
D.
36. Un ángulo coterminal con un ángulo de medida -370º corresponde a:
A. 10º
B. 80º
C. -10º
D. -80º
37. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 65º es:
A. º
B. 425º
C. 605º
D. º
Ángulo de Referencia.
Un ángulo de referencia de un ángulo en posición estándar no cuadrantal, es aquel
ángulo cuyo lado inicial es el lado terminal del ángulo dado y su lado inicial está en
el semieje x positivo o negativo. El ángulo de referencia siempre es agudo y
positivo.
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275
II CCUUAADDRRAANNTTEE IIII CCUUAADDRRAANNTTEE
IIIIII CCUUAADDRRAANNTTEE
IIVV CCUUAADDRRAANNTTEE
Práctica
38. El ángulo de referencia de un ángulo cuya medida es corresponde a
A. B. 2 C. D.
39. De acuerdo con los datos de la figura, la medida del ángulo corresponde a:
A. -75º
B. -105º
C. -165º
D. -195º
y
x
360º
y
x
180º
y
x
180º
y
x
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276
40. La medida del ángulo de referencia de un ángulo que mide 640° corresponde a:
A.
B.
C.
D.
41. Un ángulo negativo de medida en posición estándar y con el lado terminal en e
tercer cuadrante determina un ángulo de referencia de 70º, ¿cuál es el valor en
radianes de ?
A.
B.
C.
D.
42. El ángulo de referencia de un ángulo de medida 300º corresponde a
A. 30º
B. 60º
C. -30º
D. -60º
43. El ángulo de referencia de un ángulo cuya medida es -280º corresponde a
A. 10º
B. 80º
C. -10º
D. -80º
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277
1
-1 1
-1
1
-1 1
-1
44. La medida de un ángulo de referencia de un ángulo de es
A. º
B. º
C. 30º
D. 60º
45. Un ángulo de medida en posición normal y con el lado Terminal en el segundo
cuadrante determina un ángulo de referencia de 30º entonces un valor de es
A. 330º
B. 300º
C. 150º
D. 120º
46. En la figura, es un ángulo en posición normal y determina un ángulo de
referencia de 60º, entonces la medida de corresponde a
A. -150º
B. -120º
C. 120º
D. 150º
47. En la figura, es un ángulo en posición normal y determina un ángulo de
referencia de 30º, entonces la medida de corresponde a
A. -150º
B. -120º
C. 120º
D. 150º
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278
48. El ángulo de referencia de un ángulo cuya medida es 290º corresponde a
A. -70º
B. -20º
C. 70º
D. 20º
49. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de es:
A. -327º
B. -323º
C. 327º
D. 303º
Medidas de ángulos en radianes y en grados.
Para pasar de grados a radianes.
Para pasar de radianes a grados.
Práctica
50. Un ángulo mide . ¿Cuál es su medida en radianes?
A.
B.
C. 300
D. -
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279
51. La medida en grados, de un ángulo cuya medida en radianes es , es
A. 15.71
B. 1800
C. 900
D. 450
52. Un ángulo mide 330º. ¿Cuál es su medida en radianes?
A. 6
11
B. 11
6
C. 30
D. 150
53. Un ángulo mide 2º. ¿Cuál es su medida en radianes?
A.
B.
C.
D.
54. La medida en grados, de un ángulo de 3
4, es
A. -60º
B. -120º
C. -240º
D. -480º
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280
55. Analice las siguientes proposiciones
I- -160 equivale en radianes a 9
4
II- 150 equivale en radianes 6
5
De ellas, ¿Cuáles son verdaderas?
A. Ninguna
B. Ambas
C. Solo II
D. Solo I
56. Un ángulo mide 9
radianes. ¿Cuál es su medida en grados?
A. 10º
B. 20º
C. 80º
D. 100º
57. La medida de un ángulo en radianes es 6
17 ¿Cuál es la medida en grados?
A. 510º
B. 255º
C. 162º
D. 63º
58. La medida de un ángulo en radianes es 3. ¿Cuál es la medida en grados?
A.
B.
C.
D.
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281
59. La medida de un ángulo en radianes es 4
15 ¿Cuál es la medida en grados de ese
ángulo?
A. 48º
B. 96º
C. 675º
D. 1350º
60. La medida de un ángulo coterminal con un ángulo de 3
2es:
A.
B.
C.
D.
61. La medida en grados de un ángulo de medida 6
11 es
A. -150º
B. -210º
C. -330º
D. -240º
62. La medida en radianes de un ángulo que mide 144º es
A.
B.
C.
D.
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282
63. La medida en grados de un ángulo que mide 3
4 radianes es:
A. 0º
B. 450
C. 0º
D.
64. La medida de un ángulo en radianes es 6
17 ¿Cuál es la medida en grados?
A. 510º
B. 255º
C. -162º
D. 63º
65. La medida en grados de un ángulo que mide 9 radianes es:
A) 9
B) 20
C)
1620
D)
3240
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283
Razones trigonométricas de .
SENO:: la denotamos como , y es la razón entre el cateto opuesto y la
hipotenusa de un triángulo rectángulo.
COSENO: la denotamos como cos , y es la razón entre el cateto adyacente y la
hipotenusa de un triángulo rectángulo.
TANGENTE:: la denotamos como tan , y es la razón entre el cateto opuesto y el
cateto adyacente de un triángulo rectángulo.
HIPOTENUSA CATETO
OPUESTO
CATETO ADYACENTE
A C
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284
COSECANTE:: la denotamos como csc , y es la razón entre el la hipotenusa y cateto
opuesto de un triángulo rectángulo.
SECANTE:: la denotamos como sec , y es la razón entre la hipotenusa y el cateto
adyacente de un triángulo rectángulo.
COTANGENTE:: la denotamos como tan , y es la razón entre el cateto adyacente y el
cateto opuesto de un triángulo rectángulo.
Para recordar las razones trigonométricas se puede usar las razones trigonométricas
se puede usar la frase
SOHCAHTOA
Si trabajamos con la frase de izquierda a derecha obtendremos las razones básicas, y
si lo hacemos de derecha a izquierda obtendremos las razones inversas.
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285
El círculo trigonométrico
El círculo
trigonométrico nos
sirve para encontrar el
valor de las funciones
trigonométricas de
cualquier ángulo
especial.
Vemos que es un
círculo cuyo radio es
uno. De ahí tenemos las
siguientes relaciones.
ysen
xcos
Además debemos saber
que se establece la
siguiente relación
cos
sentan
SIGNO DE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Dependiendo del cuadrante podemos determinar el signo
de las razones trigonométricas.
SON POSITIVAS
I cuadrante II cuadrante III
cuadrante
IV
cuadrante
Todas las
razones
seno Tangente coseno
cosecante cotangente secante
x
),(, sencosyx
1
1 -1
-1
Todos Sentimos
Tantas Cosas
y
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286
Práctica
66. Si entonces el lado final del angulo se ubica en
siguiente cuadrante:
A. I
B. II
C. III
D. IV
67. Si y entonces el lado Terminal de se localiza en el
A. I cuadrante
B. II cuadrante
C. III cuadrante
D. IV cuadrante
68. Si es positivo y es positivo, entonces el ángulo se encuentra en el:
A. IV cuadrante
B. III cuadrante
C. II cuadrante
D. I cuadrante
69. Si es negativo y es positivo, entonces el ángulo se encuentra en
el:
A. III cuadrante
B. IV cuadrante
C. II cuadrante
D. I cuadrante
70. la función tangente es negativa en los cuadrantes:
A) I y II
B) I y III
C) II y III
D) II y IV
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287
71. Para un ángulo en el II cuadrante se cumple que:
A. es positivo y es negativo
B. es negativo y es positivo
C. es positivo y es negativo
D. es positivo y es negativo
72. Para un ángulo en el II cuadrante se cumple que:
A. >0 y >0
B. <0 y >0
C. <0 y <0
D. <0 y >0
73. Según los datos de la figura, el valor de corresponde a
A.
B.
C.
D.
74. De acuerdo con los datos de la figura, se cumpla con certeza que
A.
B. b
a
C. b
a
D. a
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288
75. De acuerdo con los datos de la figura el valor de es
A.
B.
C.
D.
76. De acuerdo con los datos de la figura, si las coordenadas de P son
6
2,
6
2,
entonces el valor de es
A.
B.
C.
D.
77. En la figura, es la medida de un ángulo en posición normal, el cual determina
un ángulo de referencia de 60º, entonces el valor de sec corresponde a:
A)
B)
C)
D)
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289
78. En la figura, es la medida de un ángulo en posición normal, el cual determina
un ángulo de referencia de 30º, entonces el valor de csc corresponde a:
A.
B.
C.
D.
79. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de cos es
A. -2
B.
C.
D.
80. De acuerdo con los datos de la figura, el valor de cot es
A.
B.
C.
D.
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290
81. En la figura, es un ángulo exposición normal y determina un ángulo de
referencia de 60º, entonces cos corresponde a
A.
B.
C.
D.
82. De acuerdo con los datos de la figura, si el ángulo cuya medida es determina
un ángulo de referencia de 60º entonces el valor de es
A.
B.
C.
D.
83. De acuerdo con los datos de la figura, en el círculo trigonométrico, la medida de
OC equivale a
A) B) C) D)
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291
84. De acuerdo con los datos de la figura, en el círculo trigonométrico, la medida de
BC equivale a
A. B. C. D.
85. El lado final de un ángulo de medida colocado en posición estándar, interseca
a la circunferencia trigonométrica en , entonces el valor de es:
A.
B.
C.
D.
86. El lado final de un ángulo de medida colocado en posición estándar, interseca
a la circunferencia trigonométrica en , entonces el valor de es:
A.
B.
C.
D.
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292
-1
-1
1
1
x
y
87. En la figura es un angulo en posición normal y determina un ángulo de
referencia de 20°, entonces el valor de es de:
A. 180°
B. 200°
C. 210°
D. 250°
88. Si está en el III cuadrante y =x
1 , entonces es igual a
A. 1
1
2
x
B. 1
12
2
x
x
C. 12 x
D. 1
1
2 x
89. Si se sabe que está en el segundo cuadrante y tan =x entonces cos = es igual
a
A. 21 x
x
B. x
1
C. 21
1
x
x
D. 21
1
x
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293
90. La expresión cot (-248º) es equivalente a
A. t 22º
B. º
C. 2º
D. º
91. El valor de 3
8 corresponde a
A.
B.
C.
D. -
92. El valor de º es equivalente a
A. B. C. D.
93. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta?
A. B. C. D.