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安徽省中小学教师教育网
2017-2018 年高中数学简报
(优秀教案选登)
第一期
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1
目录
高中数学学科教学设计目录
正态分布 2
双曲线及其标准方程 颍上二中 吴永剑 5
幂函数 宿州学院附属实验中学 罗风云 11
等比数列(第一课时)教案安徽省 滁州中学 王健 20
高二立体几何“二面角”教学设计 24
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2
高中数学学科教学设计
教学主题 2.4 正态分布
一、教材分析
正态分布是高中数学新增内容之一,是统计中的重要内容.一方面,它是在学生学习了总体分
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3
布后给出的自然界最常见的一种分布,它是学生进一步应用正态分布解决实际问题的理论依据,因
此它起着承上启下的桥梁作用;另一方面,正态分布具有许多良好的性质,许多分布都可以用正态
分布来近似描述.因此在理论研究中,正态分布占有很重要的地位.
二、学生分析
学生之前已学习了古典概型,几何概型和频率分布直方图.有一定的基础, 有一定的分析问题,
解决问题的能力.三、教学目标
知识与技能
掌握正态分布在实际生活中的意义和作用.结合正态曲线,加深对正态密度函数的理解.归纳
正态曲线的性质.
过程与方法
能用正态分布、正态曲线研究有关随机变量分布的规律,引导学生通过观察并探究规律,提高
分析问题,解决问题的能力;培养学生数形结合,函数与方程等数学思想方法.
情感、态度与价值观
通过教学中一系列的探究过程使学生体验发现的快乐,形成积极的情感,培养学生的进取意识和科
学精神.
四、教学环境
□简易多媒体教学环境
五、信息技术应用思路
因为本节课容量太大, 制作了 ppt 课件,提高课堂效率。增强学生的学习兴趣,在其中插入了视
屏动画和几何画板。,在引入环节使用视屏动画演示高尔顿板实验, 能激发学生的学习热情,能让
学生感受小球的分布规律,通过高尔顿板实验引入正态曲线,让学生比较容易接受。几何画板演示
参数对正态曲线的影响。固定一个参数,讨论另一个参数对图象的影响,通过几何画板动态演示,
让学生深刻体会到参数对图象的影响,并充分体会到数形结合的思想。
六、教学流程设计
教学环节 教学内容 师生互动 设计意图
视屏动画高尔顿板实验 教师:演示高尔顿板实验
学生:同学认真观看。
能激发学生的学习热情,能让
学生感受小球的分布规律,通
过高尔顿板实验引入正态曲
线,让学生比较容易接受。
引
出
课
题
正态曲线
正态曲线密度函数的解析
式
教师:给出小球分布的频
率分布直方图。
学生:分组讨论,共同回
忆有关频率分布直方图
的知识。
教师:总结学生回答的有
关频率分布直方图的知
识,并动态演示组距减
小,组数增多,频率分布
直方图的外形就越来越
趋向与一条光滑的曲线。
因为本节课的内容是建立在
频率分布直方图的知识的基
础上,所以让学生感受温故知
新。分组讨论,能激发学生去
探讨问题思考问题的潜能,并
培养合作交流的能力。动态演
示,能让学生体会到极限的思
想,最关键的是得到这节课要
学习的正态曲线,从而引出课
题。
建
构
概
念
探究:正态曲线对应区间的
概率
去掉高尔顿板底边的球槽,
并沿其底部建立一条水平
坐标轴,用 x 表示小球下落
时第一次与高尔顿板接触
时的坐标。
教师提出问题:
1. X 是不是随机变量?
2. X 在区间(a,b]上的概
率怎么来求?
学生:分组讨论.
通过设疑,引起学生对问题的
深入思考,通过巩固原有知
识,以确保新内容的引入,同
时加深了对定积分几何意义
的理解。
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4
正态分布的定义:
经验表明,一个随机变量如
果是众多的、互不相干的、
不分主次的偶然因素作用
结果之和,它就服从或近似
服从正态分布。
教师:总结定义,并强调
正态分布的写法,明确正
态分布中两个参数的意
义。
学生:记忆正态分布的概
念、写法、参数的意义
虽然概念较抽象,但通过上述
问题串的形式来处理,使学生
不会觉得太突然,更使学生在
已有知识的基础上,螺旋上
升、逐步提高,接受正态分布
的定义。
列
举
实
例
列举现实生活中的实例 教师:分析现实生活中的
服从正态分布的实例。
学生:结合自己对正态分
布的理解,分组讨论,并
寻找现实生活中服从正
态分布的例子。
教师引导学生分析某地区同
龄人群的身高服从正态分布。
再通过列举更多的实例来加
强学生对正态分布的理解。让
学生在讨论中,感受现实生活
中存在这大量的例子,让学生
体会数学来源与生活。
探
究
特
点
探究:正态分布的特点 教师:提示学生根据图
象,解析式和概率的性质
来探究正态曲线的特点。
学生:分组讨论,认真观
察图象,解析式并结合概
率的性质来探究正态曲
线的特点。讨论完之后并
让学生上台讲述小组的
讨论结果。
教师:及时的给予评价和
鼓励,更能激发其他同学
的参与热情。
让学生的思维在相互讨论中
碰撞、在相互学习中完善,最
后达成统一,总结出正态曲线
的前 4条性质,培养学生发现
问题,解决问题的能力,充分
体现合作力量的强大,并让学
生从中感受到成功的喜悦。
让学生上台展示,不仅可以激
励学生用心的去观察,而且可
以培养学生较好的心理素质
和语言表达能力。
探究:正态分布的特点
参数对正态曲线的影响
教师:演示几何画板
学生:观察,并总结参数
对正态曲线的影响
教师展示六个特点:
解析式中含有两个参数,学生
较难独立分析参数对曲线的
影响,
固定一个参数,讨论另一个参
数对图象的影响,通过几何画
板动态演示,
让学生深刻体会到参数对图
象的影响,并充分体会到数形
结合的思想。
练习题 教师:给出习题
学生:独立完
通过该题的设置,深化学生对
正态分布密度曲线的特点的
理解。
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5
回
归
生
活
3 原则: 教师:给出三个区间上的
概率,并讲解 3 原则在
工业生产中的应用。
学生:认真听老师讲解,
并感受 3 原则在工业生
产中的应用。
3 原则主要应用工业生产,
让学生体会到数学来源于生
活又服务于生活的学科魅力。
学
以
致
用
例题: 教师:给出题目,师生共
同完成此题,教师并向学
生展示完整的解题步骤。
通过一个贴近生活的实例,利
用数学知识来解决,使学生感
到数学就在身边,培养学生应
用所学知识解决实际问题的
能力,激发学习热情。在解决
问题中,让学生体会到,转化
化归,数形结合的数学思想。
课
堂
小
结
归纳总结本节课所学知识:
一、正态曲线
二、正态分布的定义
三、正态曲线的六个特点
四、3 原则
本节课涉及到的数学思想:
极限思想、数形结合思想、
转化化归的的思想。
教师:引导学习小组讨
论、总结本节课的内容
学生:组内展开讨论,共
同总结。并大声朗读
正态分布形似钟,
概率计算积分型。
均值变化左右动,
高矮胖瘦方差控。
胖大瘦小有规律,
面积始终都是一。
用口诀的形式总结本节课的
内容,加深学生对知识的记忆
和理解。
作业布置 课后习题 学生课后完成 巩固加深学生所学;
七、教学特色
通过本节课的教学设计,要让同学们学会自主学习,自己去发现探索知识, 小组讨论并在交流
讨论中进一步深化学习,使抽象的数学知识具体化,提高了课堂效率.ppt 课件能增加课堂容量,弥补
课上得时间的不足.形象直观的展示正态曲线的变化,有助于学生理解掌握本节课的重点和难点,在
教学设计中也创设情境为学生个性化学习创造了学习的空间,促进了学生自主学习相互交流的学习
环境。对学生解决问题能力的培养,课堂上应用的多媒体起了一定积极的作用。
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6
教
学
课
题
3.1 双曲线及其标准方程
颍上二中 吴永剑
一、教材分析
本章研究的是圆锥曲线,是必修阶段“平面解析几何初步”学习的继续。学
生通过必修阶段“平面解析几何初步”学习,体验了建立简单方程解决几何问题
的过程,对解析几何的思想方法有了初步的理解。但是在必修阶段“平面解析几
何初步”的学习中,研究的几何图形是学生熟悉的直线和圆,而对于椭圆、抛物
线、双曲线缺乏了解,因此在本章的学习中学生采用代数的方法研究这些陌生的
图形,更进一步突出了解析几何的思想方法。
二、学生分析
学生已经学习了椭圆、抛物线相关知识,掌握了采用代数的方法研究这些陌
生图形的建系、列方程、化简整理得出曲线方程的方法,这为学习双曲线打下良
好基础,有利于学生自主探究双曲线方程,培养学生解析几何思想。
三、教学目标
1.知识与技能
了解双曲线的定义和标准方程。
2.过程与方法
在推导双曲线标准方程的研究过程中,进一步掌握解析几何的基本思想。
3.情感、态度与价值观
了解双曲线的实际背景,感受双曲线在刻画现实世界和解决实际问题中的作
用,进一步感受数形结合的基本思想在解析几何中的应用。
重点:双曲线的定义及其标准方程.
难点:双曲线标准方程的推导.
四、教学环境
交互式多媒体教学环境,网络多媒体环境教学环境
五、信息技术应用思路
主要有以下三点
1、双曲线的画法,借助信息技术采用动画演示,首先让学生动手画,然后
演示让学生建立直观图像印象,突出定义,突出双曲线特征;
2、在焦点在 y轴上标准方程的探究中,让学生先自主探究,然后借助信息
技术展示结果,然学生看看他人的探究成果,看看正确结果。通过展示,发现学
生探究中的问题,及时给与指导和帮助,提高学生类比学习能力等。
3、在课时小结时,利用信息技术展示椭圆和双曲线相同点和不同点,通过
对于发现二者联系与区别,巩固解析几何思想与方法。
六、教学流程设计
教学
环节教师活动 学生活动
信息技术支持
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7
情景
导入
展示
目标:
复习提问,平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数 2a 时,形成的轨
迹?
双曲线的概念
把椭圆定义中的“距离的和”改为“距离的差”,那么点的轨迹会怎样?它的
方程是怎样的呢?(展示双曲线型实
物图片)
学生口答:
(1)平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹是椭
圆.
(2)到两定点 F1、F2的距离
的和等于常数(等于|F1F2|)的点的轨迹是线段.(3)常数 2a |F1F2|时,无轨
迹.学生思考、看图讨论、归
纳。
课件展示结果,
让每个学生回顾
一次。
利用网络链接展
示生活中双曲线
图形实物图,激
发学生求知欲。
合作
探究
精讲
点拨:
观察如图 2-23,定点 1F , 2F
是两个按钉,MN 是一个细套管,两条
细绳分别拴在按钉上且穿过套管,点M
移动时, | 1MF | - | 2MF | 是常数,
这样就画出一条曲线;
由 | 2MF | - | 1MF | 是同一常数,
可以画出另一支.
双曲线的定义:平面内与两定点
1F , 2F 的距离的差的绝对值等于常
数(小于| 21FF |)的点的轨迹叫做双
曲线。
现在来研究双曲线的方程.我们可以
类似求椭圆的方程的方法来求双曲线
的方程.这时设问:求椭圆的方程的
一般步骤方法是什么?不要求学生回
答,主要引起学生思考,随即引导学
生给出双曲线的方程的推导.
学生动手画图
归纳描述图形得出双曲
线的定义
教师动画演示
幻灯片展示学生
画的图形。
利用几何画板,
教师演示双曲线
画法,让学生动
态感知双曲线的
图形特征
(1)建系设点
取过焦点 F1、F2的直线为 x轴,线段
F1F2的垂直平分线为 y轴(如图 2-24)
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8
标
准
方
程
的
推
导
建立直角坐标系.
设 M(x,y)为双曲线上任意一点,双
曲线的焦距是 2c(c>0),那么 F1、F2的坐标分别是(-c,0)、(c,0).又设点
M与 F1、F2的距离的差的绝对值等于
常数.
(2)点的集合
由定义可知,双曲线就是集合:
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF1|-|MF2|=±2a}.(3)代数方程
(4)化简方程
将这个方程移项,两边平方得:
两边再平方,整理得:
(以上推导完全可以仿照椭圆方程的
推导.)由双曲线定义,2c>2a 即 c>a,所
以2 2 0c a
设2 2 2c a b (b>0),代入上式得:
这就是双曲线的标准方程.
类比椭圆学习方法,教师
引导学生合作探究双曲
线标准方程
(组织学生合作探究)类比椭圆,同
学们想想如何求出焦点在 y轴上的双
曲线标准方程呢?
学生按照焦点在 x轴上的
双曲线标准方程的推导
方法,积极推导焦点在 y轴上的双曲线标准方程。
教师利用幻灯片及
时展示同学们的探
究成果,启发、引导
其他学生探究,让人
人有收获。
2 2 2 2 2 2 2 2(c a )x a y a (c a )
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9
两
种
标
准
方
程
的
比
较
引导学生归纳:
教师指出:
(1)双曲线标准方程中,a>0,b>0,但 a不一定大于 b;(2)如果 x2项的系数是正的,那么焦点
在 x轴上;如果 y2项的系数是正的,
那么焦点在 y 轴上.注意有别于椭圆
通过比较分母的大小来判定焦点在哪
一坐标轴上.
(3)双曲线标准方程中 a、b、c的关系
是 c2=a2+b2 ,不同于椭圆方程中
c2=a2-b2.
例
题
精
讲
当堂
检测
例 1 若一个动点 P(x,y)到两个
定点 A(-1,0)、A′(1,0)的距离差
的绝对值为定值 a,求点 P的轨迹方
程,并说明轨迹的形状.
解:∵|AA′|=2,∴(1)当 a=2 时,轨迹方程是 y
=0(x≥1 或 x≤-1),轨迹是两条射
线.
(2)当 a=0时,轨迹是线段 AA′的垂直平分线 x=0.(3)当 0< a< 2 时,轨迹方程是
41
4
2
2
2
2
ay
ax
=1,轨迹是双曲线.
点评:注意定值的取值范围不同,
所得轨迹方程不同.
例 2 一炮弹在某处爆炸,在 F1(-5000,0)处听到爆炸声的时间比在
F2(5000,0)处晚17300
秒,已知坐标轴
的单位长度为 1 米,声速为 340 米/秒,爆炸点应在什么样的曲线上?并求
爆炸点所在的曲线方程.
变式训练 1
方 程k
yk
x
510
22
=1 表示双曲线,则 k∈( )
解:∵方程k
yk
x
510
22
=1表示双曲线,
∴(10-k)(5-k)<0,∴5<k<10.
变式训练 2
F1、F2为双曲线4
2x
-y2=-1 的两个焦点,
点 P 在双曲线上,且∠
F1PF2=90°,则△F1PF2的面积是( )
PPT 展示变式训练
题目,让学生及时巩
固。
针对学生探究成果
和存在的问题,通过
幻灯片展示出来,让
大家互相学习,互相
启发。
通过 PPT 给出一种
或多种不同解决方
案。
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10
点评:在 F1 处听到爆炸声比 F2处晚
17300
秒,相当于爆炸点离 F1的距离比
F2远 6000 米,这是解应用题的第一关
——审题关;根据审题结合数学知识
知爆炸点所在的曲线是双曲线,这是
解应用题的第二关——文化关(用数
学文化反映实际问题).借助双曲线的
标准方程写出爆炸点的轨迹方程是解
决应用题的第三关——数学关(用数
学知识解决第二关提出的问题).
解:双曲线4
2x-y2=-1
的两个焦点是 F1(0,-
5 )、F2(0, 5 ),
∵∠F1PF2=90°,
∴|PF1| 2+|PF2| 2
=|F1F2|2.
即 | PF1 | 2 + |
PF2|2=20 ①
∵ | PF1 | - |
PF2|=±2,∴| PF1 | 2 - 2|
PF2 | · | PF1 | + |
PF2|2=4 ②
①-②得 2|PF1|·|
PF2|=16,∴21PFFS =
21|PF1|·|PF2|=4.
反思
总结
1.双曲线定义中需要注意的条
件: 2 2c a2.双曲线方程的特点(注意与椭
圆对比、区分): 2x 、 2y 的系数
符号相反,若 2x 的系数为正,则
焦点在 x轴上,反之则在 y轴上。
3.求双曲线方程关健是确定 2a 、
2b ,常见的方法是待定系数法或
直接由定义确定。
学生通过PPT上设置的不同问
题,在教师的引导下,回顾本
节知识和方法。
PPT 上设置不同问
题引导学生总结双
曲线的定义,符号表
示,标准方程,以及
与椭圆的联系和区
别。
布置
作业
教材课后习题 1、2、3
布置预习下一节课。
七、教学特色
1、本节课为了培养学生直观感知双曲线图形特征,利用网络资源搜集了几幅双
曲线实物图片,达到了预期设置情景效果,激发学生画双曲线兴趣。
2、利用动画演示媒介,动态演示双曲线画法,直观形象,避免文字的枯燥无味,
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11
调动了学生的注意力,给学生留下深刻印象。
3、变式训练的探究,通过幻灯片有选择地及时展示学生的研究成功,激发了学
生的积极性和表现欲,有利于启发、引导思维受阻学生,实现突破,收获成功,
促进互助学习。
高中数学学科教学设计
宿州学院附属实验中学 罗风云
教学主题 高中数学人教 A版教材必修 1课本§2.3 幂函数
一、教材分析
幂函数作为基本初等函数之一,之前学生已经系统的学习了函数的基本概
念、性质,研究了三个特殊函数:二次函数、指数函数和对数函数,对怎样研究
函数已经有了清晰的思路和方法.从教材的整体编排来看,环环紧扣,非常紧凑,
充分体现了知识的发生、发展过程,编者想通过幂函数的教学主要是使学生进一
步较系统的掌握幂函数的图象性质和研究函数的一般方法,为今后学习三角函数
等其他函数打下一个良好的基础.
教材将幂函数放在指数函数和对数函数的学习之后,原因有三:第一,幂函
数中有一特殊函数 ,学生在没有学习分数指数幂之前,不能从根本上理解
此式;第二,学生在初中已经学习了 三个简单的幂函数,在
第一章中也通过信息技术应用知晓了函数 ,对它们的图象和性质已经有了
一定的直观认知,现在明确提出幂函数的概念,有助于学生形成系统的知识结构;
第三,有了之前的铺垫,幂函数的学习过程可以类比二次函数、指数函数、对数
函数的研究方法,渗透分类讨论、数形结合的数学思想,达到培养学生归纳、概
括的能力的目的,使学生熟练的利用它们解决一些实际问题,体会从特殊到一般
的研究过程,进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性与单调性研究一个未
知函数的意识,以便能为研究一般函数图象与性质提供一个可操作性步骤,从这
个角度看,本节课的教学更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合评测,是
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对之前研究函数的一个升华.
二、学生分析
之前学生已经系统的学习了函数的基本概念、性质,研究了三个特殊函数:
二次函数、指数函数和对数函数,对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法.
三、教学目标
1.知识与技能目标
了 解 幂 函 数 的 概 念 , 会 画 五 个 简 单 的 幂 函 数
的图象,能根据图象概括出幂函数的一般性
质,同时能应用幂函数的图象和性质解决相关的简单问题;
2.过程与方法目标
引导学生从具体幂函数的图象与性质中归纳出共性,培养学生的识图能力和
抽象概括能力,培养学生数形结合的意识;通过对幂函数的学习,了解类比法在
研究问题中的作用,使学生进一步熟练掌握研究一般函数的思想方法;
3.情感、态度与价值观目标
通过师生、生生彼此之间的讨论、互动,引导学生主动参与作图、分析图象
的特征,培养学生合作、交流、探究的意志品质,并在研究函数变化的过程中体
会事物的量变、质变规律,感受数学的对称美、和谐美,同时信息技术的应用也
会激发学生的求知欲望.
重点:通过具体实例认识幂函数的概念,研究其性质,体会图象的变化规律.
难点:幂函数的图象与性质的简单应用
重、难点突破措施:
1.以情感人,以理醒人
创设情境中:问题开题,扣人心弦;层层探究中:分类探究,步步为营,丝
丝入扣.
2.数形结合
现代的多媒体技术直观、形象展示幂函数的指数与图象之间的关联,突破重
难点.
四、教学环境
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√简易多媒体教学环境 √交互式多媒体教学环境
□网络多媒体环境教学环境 □移动学习 □其他
五、信息技术应用思路(突出三个方面:使用哪些技术?在哪些教学环节如何使
用这些技术?使用这些技术的预期效果是?)200 字
围绕本节课的教学重点,教学过程中以“问题串” 的形式展开教学,逐步
引导学生观察、思考、归纳、总结。
首先,在教学过程中深入挖掘课本资源,通过从问题情境中抽象出具体函数
,引导学生总结出幂函数的概念,针对学生容
易将幂函数和指数函数混淆的情况,在得到幂函数的概念之后,组织学生对这两
类函数的解析式进行辨析。
其次,由于学生对抽象的幂函数及其图象缺乏感性的认识,因此对于幂函数
的图象与性质的探讨,采用从特殊到一般、再从一般到特殊的方法安排教学:先
重点研究常见的幂函数 的图象和性质,然后通
过观察图象总结幂函数的一些共性,之后使用几何画板软件动态演示幂函数的图
象(主要是在第一象限,其他象限内的情况,可结合奇偶性得到)随幂指数连续
变化的情况,让学生总结出幂函数随幂指数改变的变化规律,最后再通过例题应
用得出的研究成果,让学生预测将要出现什么样的图象,现场电脑检测成果的有
效性,让学生享受成功带来的乐趣。在这个过程中,让学生体验利用信息技术来
探索函数图象及性质的优势。
六、教学流程设计(自行修改)
1. 情境创设
问题 1:请写出下列函数的解析式:
①如果某人购买了每千克 1 元的蔬菜 千克,那么他需要付的钱数 (元)关于购买的
蔬菜量 (千克)的函数解析式为_____.
②如果正方形的边长为 ,那么正方形的面积 关于 的函数解析式为_____.
③如果正方体的边长为 ,那么正方体的体积 关于 的函数解析式为_____.
④如果正方形的面积为 ,那么正方形的边长 关于 的函数解析式为_____.
⑤如果某人 s 内骑车行进了 1 km,那么他骑车的速度 (km/s)关于 的函数解析式为
_____.
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14
生 1:函数的解析式分别是: (即 ) (即
).
问题 2:如果将上述函数解析式左侧的因变量改成 ,右侧自变量改成 ,请仔细观察得
到的函数解析式,它们具有什么共同特征? 是指数函数吗?
生 2:新得到的函数的解析式分别是:
其共同特征是:
1.幂的形式且系数为 1;2.幂的底数是自变量 ;3.幂的指数是常数.
它们都不是指数函数.
【设计意图】从特殊到一般,将实际问题转化为数学问题,同时,统一自变量与因变量
之后,让学生更能直观感知幂函数解析式的共同特征,达到锻炼学生的观察能力与概括能力
的目的.
2.概念引入
师:经过以上的分析,我们把形如 的函数叫做幂函数,其中 是自变量,
是常数.
问题3:你能说出幂函数 与指数函数 有什么区别吗?
生 3:很明显,这两个函数的自变量的位置与常数的位置是颠倒过来的.
【设计意图】针对学生容易将幂函数和指数函数混淆的情况,组织学生对两类函数的解
析式进行对比,从而达到强化记忆的目的.
随堂练习:若幂函数过点 ,求此幂函数的解析式.
生 4:设幂函数的解析式为 ,将 代入解析式得 ,解得
,因此所求幂函数的解析式为 .
【设计意图】通过此题,让学生进一步了解幂函数的概念,掌握待定系数法.
3.新知探究
问题 4:研究函数一般从哪些方面着手?类比之前研究指数函数、对数函数的方法你准备
怎样研究幂函数?
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生 5:研究函数一般从其定义域、值域、奇偶性与单调性等方面着手,考虑借助幂函数的
图象研究幂函数的性质.
【设计意图】引导学生类比之前研究指数函数与对数函数的思路,去研究幂函数的图象
与性质.
师:按照从特殊到一般的原则,我们首先研究五个具有代表意义的幂函数.请在同一平面
直角坐标系中作出下列函数 的图象. 在作图之前请大
家思考,如何画图更加准确快捷.
生 6:之前的学习中,已经知晓了 函数的图象.对于未知函
数 的图象采用描点法作图,容易看出该函数的定义域为[0,+∞),而后描点作图.(作
图略)
【设计意图】首先引导学生归纳未知函数的作图思路与具体操作方法,其次将五个幂函
数的图象放在同一个直角坐标系中,有利于对比总结出幂函数的一些共性.
问题 5:根据上述图象的特征,填写下面的表格(生 7 回答,教师板书)
定义域 R R R [0,+∞)
值域 R [0,+∞) R [0,+∞)
奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数
单调性 R上增(-∞,0)减
R上增 [0,+∞)增(-∞,0)减
(0,+∞)增 (0,+∞)减
【设计意图】由形到数,发现 5 个具体幂
函数的性质,为探寻幂函数的共性做好铺垫.
师:从以上可以看出,幂函数随着幂指数
的取值不同,它们的图象和性质存在着较大的
差异,下面就请同学们通过观察上述函数的图
象来探寻幂函数的一些共性,我们来看以下 5
个问题:
问题 6:幂函数图象过定点及象限的情况.
生 8:观察图 1可知:
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幂函数过定点 ,不一定过 ;
幂函数图象过第一象限,不过第四象限.
师:你能利用幂函数的解析式 解释其中的原因吗?
生 9: ,因此幂函数过定点 ; ,因此.幂
函数图象过第一象限.
问题 7:幂函数在区间 上的单调性如何?
生 10:观察图 2 可知:
时,幂函数 在 上是增函数;
时,幂函数 在 上是减函数.
师:你能通过解析式说明以上结论为何成立吗?
生 11: ,根据复合函数的单调性,由 和 的递增性可以得到
上述结论.
师: 呢?另外,通过幂函数在区间 上的单调性,你能判断幂函数在区间
上的单调性吗?
生 12: 时,幂函数变为 ,此时无单调性. 判断幂函数在区间
上的单调性借助函数的奇偶性判断即可.
问题 8: 时,幂函数 在 上的图象的高低与指数的变化有何关系?
生 13:观察图 3 可知:
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当 时, ;
当 时, .
(与指数函数的单调性不谋而合)
问题 9:幂函数 , 与 的图象有何不同?
生 14:观察图 3 可知:当 时,幂函数 的图象向下凸出;当 时,幂
函数 的图象向上凸出. (教师借助几何画板动态检验,如图 4)
问题 10:减函数在 的图象特征又如何呢?
生 15:观察图 5 可知:
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时,幂函数 在第一象限的图象向上与 轴无限接近,向右与 轴无限接近.
【设计意图】设计问题串,利用学生的自主探究完成幂函数图象与性质的梳理,一方面
提高学生对教学的参与度,另一方面引导学生学会如何透过图象研究函数性质的方法.
4.例题精析
例 1.已知幂函数 ,请画出该函数的草图.
(学生自行解决,之后教师利用 DrawTools 软件进行作图,验证草图的正确与否)
【设计意图】首先利用此题强化了幂函数的概念,其次使学生明白为了得到函数草图就必
须要去研究函数的一般性质:定义域、值域、单调性、奇偶性,让学生体验得到函数图象的
过程,体现学生的主体地位,让学生享受成功带来的乐趣的同时,也为高考中一种常见题型
(以未知函数解析式找寻图象的选择题)提供了解决思路.
例 2.比较下列各组数大小:
拓展延伸:
(2010 高考安徽卷文科第 7题)比较 的大小.
(学生自行解决,教师引导学生总结思路和方法)
【设计意图】引导学生利用之前学过的构造函数法比较大小,此法究其本质而言是利用函
数的单调性判断大小,通过例 2 使学生在构造函数时要注意考虑定义域,通过拓展延伸使学
生关注两点:一是幂指数相同时构造成幂函数,底数相同时构造成指数函数;二是对指数函数
与幂函数的单调性进行辨析.
七、教学特色
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布鲁纳说过:探索是数学的生命线,没有探索就没有数学的发展.目前以自主、合作、
探究为主的教学方式已成为课堂教学中一道亮丽的“景致”,学生开展自主探究是以问题为
载体,唤醒学生自主探究,在探究活动中充分发挥学生的自主性和能动性,让学生经历感悟、
体验、反思和矫正的过程,从而实现学生自主学习能力的提高.本节课笔者采用学生自主探
究式的教学方法,重视思维发生的过程,注重提高学生的数学思维能力,注重发展学生的创
新意识,注重信息技术与数学课程的有效整合,充分体现数学的应用价值、思维价值. 教学
过程中笔者以“问题串” 的形式展开教学,逐步引导学生观察、思考、归纳、总结.为了设
计好本节课,笔者作了如下的思考:
一个成功的新课导入能为课堂教学创设良好的开端,可以明确学生的思维方向和学习目
标,可以拉近学生与学习材料之间的距离,降低理解学习材料的难度,同时能集中学生的注
意力,激发强烈的学习兴趣和探究欲望. 对于新课的导入,教师需要创设合适的问题情境,
最为重要的是切中主题,应该坚持启发性、目的性、关联性和简短性等原则,要凸显“数学
味”.为此,笔者深入挖掘课本资源,设计了一个问题串,通过从问题情境中抽象出具体函
数,将得到的五个函数解析式左侧的因变量改成 ,右侧自变量改成 ,使函数的解析式
变成统一格式,使学生通过观察迅速概括出幂函数解析式的共同特征,这样做有效地降低了
学习难度,“唤醒”了学生的“食欲”.
在新知探究的过程中,笔者仍然通过“问题串”的形式组织教学.对于课堂提问,笔者
认为不宜过多放在学生的“已知区”与“未知区”,也就是说问题不能过易或过难.经验丰富
的教师经常润物细无声,课堂提问的起点虽然不高,但是通过一系列问题串的引导,却总能
激发学生学习的热情.这些教师比较善于在学生的“最近发展区” 与“已知区”两者的结合
处(即在知识的“增长点”上)设计问题,这样处理对利用学生的已有知识对新知识进行同
化非常有利,有助于学生形成、巩固和完善新的认知结构,促使学生的认知能力与思维能力
迅速提高,从而实现将学生认知结构中的“未知区”转化为“已知区”的目的.[1]本节课之
前学生已经系统的学习了函数的基本概念、性质,研究了三个特殊函数:二次函数、指数函
数和对数函数,对怎样研究函数已经有了清晰的思路和方法,因此,本节课笔者考虑放手让
学生自己进行合作探究学习.在本节课新知探究的过程中,笔者引导学生首先总结研究函数
的思路和方法,考虑到学生对抽象的幂函数及其图象缺乏感性的认识,于是,笔者采用从特
殊到一般、再从一般到特殊的方式安排教学,根据学习目标所涉及的相关知识都设计了问题
串.通过这样的问题串,与学生已有的知识结构相衔接,学生对未知的情况就有了极大的兴
趣,同时学生对归纳幂函数的图象特征与性质有了明确的目标与方向,在一步一步的“自我
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唤醒”中,完成了对幂函数图象与性质的建构.
高考试题“源于教材,高于教材”,很多试题是对课本的基础知识与例习题进行“深加
工”后的成果,因此,笔者认为课堂教学要用教材教,而不仅仅是教教材,在具体的实践中
绝不能照搬教材,得根据学情创新教学内容,精心设置例习题,强调知识间的综合应用能力,
“唤醒”学生利用所学知识急于解决问题的欲望.在设计例题时,笔者考虑到学生已经对幂
函数的图象与性质有了一个初步的了解,笔者并没有安排教材中的例题,而是另辟蹊径,安
排例 1 让学生根据所学知识绘制未知函数 的草图,之后利用信息技术软件进行
现场作图,检测结果正确与否,让学生体会到学习数学是有用的、有价值的,同时针对学生
容易将幂函数和指数函数混淆的情况,安排例 2利用构造函数法比较大小,组织学生对这两
类函数的解析式与单调性进行辨析,找出新旧知识的衔接点,从另一个层面进行复习巩
固.
等比数列(第一课时)教案
安徽省滁州中学 王健
一、教材分析
1.等比数列是全日制普通高中课本第三章数列的第四节内容,本章的主要内容是数
列的有关概念,等差数列、等比数列的概念与有关公式,这两部分内容互相联系,数列的
有关概念是研究等差数列、等比数列的基础,等差数列、等比数列的学习,又可以加深对
数列有关概念的理解。
2.本节教学重点是等比数列的概念及等比数列的通项公式,难点是通项 an≠0及 q
≠0的解决方法。本节在讲授等比数列的概念及等比数列的通项公式时,可对比等差数列
来讲解,关键是讲清等比数列“等比”的特点,同时需要培养学生理论与实践相结合的能
力,用不完全归纳法发现并解决问题的能力。
二、教学目的
1.掌握等比数列的定义和通项公式,会用通项公式求有关元素:an、n、q、a1等并
能解决某些实际问题。
2.培养学生用不完全归纳法发现并解决问题的能力(即归纳、猜想)理论与实践相
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结合的能力。
三、教学过程设计
教学过程 设计说明
创设
问题
情景
实例引入:
⑴细胞分裂
⑵一尺之棰,日取其半,万世
不竭
(3)银行支付利息的方式
师:上述例题各包涵一个数学
问题。
从实例出发,设
置问题,有利于激发
学生的好奇心,从而
调动学生的积极性。
思考
探索
辨析
研究
让学生充分的自主思考,进而
把握概念的实质,大多数学生会得
出正确结论:
⑴包涵一个数列:
学生 1:1,2,4,8……
⑵也包涵一个数列:
学生 2: 1 1 11 , ,2 4 8
, ……
学生 3:
教师要引导学
生在实际问题中发
现新问题,启发学生
从问题出发,紧扣有
关知识得出结论。
创设
问题
情景
师:以上三个数列有何特点? 从学生熟悉的
现实出发设置问题,
符合学生认知规律。
自主
探索
与研
学生积极思考,老师不时穿插
引导,从而很快得出结论:
学生 4:从第 2项起,每一项与
教学中引导学生学
会归纳概括是十分
必要的,因为归纳概
10000 1.0198 ,
210000 1.0198 , 310000 1.0198 ,
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究 它的前一项的比是常数。
师:以上三个数列都符合学生 4
所说的规律,它们都是等比数列,
那么如何给等比数列下定义呢?
生:一般的,如果一个数列从
第 2 项起,每一项与它的前一项的
比是常数,这个数列就叫等比数列。
常数 q叫做等比数列的公比。
括本身就是一种创
造能力。
创设
问题
情景
师:数列⑴,⑵和(3)的公比
分别是什麽?
生:数列⑴的公比是 2,数列⑵
的公比是12,数列(3)
师:公比 q 是任意常数,能否
为零呢?
再次设置问题,
让学生充分发挥自
己的思维去讨论。
自主
探索
与研
究
学生积极思考和解答
生 1:不能,若 q = 0,则 a2 = a1q
= 0,这样 3
2
aa
就没有意义,∴q ≠ 0
生 2:等比数列的任意一项都不
能是零。
教师给予适当
的点拨或引导。
创设
问题
情景
师:已知等比数列的 a1和 q,
能否表示通项呢?
再次提出问题
辨析
与研
究
教师启发引导,板书如下:
∵a2 =a1 q
a3 =a2 q=(a1q)q =a1q2
a4 =a3 q=(a1q2)=a1q3
………
∴an = a1q n-1
教师与学生在
研讨中想清道理,形
成归纳。
1.0198,
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师:由不完全归纳法得到 an =
a1q n-1
说明:举例讲解当 q>0时,各
项同号,当 q<0时各项正负相间。
例题
讲解
例 1. 在等比数列 na 中,
例 2.一个等比数列的第 3项与
第 4项分别是 12与 18,求它的第 1
项与第 2项。
例题由学生自
己解决,让学生体验
定义的实质,限于篇
幅原因,解题过程
略,但教师需关注学
生解题与数学语言
表达能力的培养。
练习 课后练习 通过练习,加深
理解
反思
与评
价
1.等比数列的定义
2.等比数列通项公式
3.等比数列的设法及应用
通过总结,再认
识,再提高。
作业 习题 3.4 第 1,2,7,9题 巩固本节知识
四、课堂教学设计说明
1.本节课的整体设计是按照一般研究数列的规律设计的.由实例引入定义,根据定义导
出通项公式,通过例题加以理解.
2.本节为了提高效率,吸引学生,采用了现代化教学手段,利用投影仪或电脑,讲课
时一定要注意体现过程教学.例题的解答也要让学生去分析,发现解法.这样有利于学生在
观察、发现、解决问题的过程中,建立起学好数列、学好数学的信心.
4 7(1) 27, 3, ;a q a 求
2 4 1(2) 18, 8,a a a q 若 求 与
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24
——高二立体几何“二面角”教学设计
【教材分析】
课题:二面角 课型:新授课
教材:1、教育部新编《全日制普通高级中学数学教学大纲》;
2、《全日制普通高级中学教科书(试验本)数学》第二册(下 A)。我将这一单元的学习目标定位于:引导学生掌握运用已有的知识进行交流,并能将实际问题抽象为数学问
题,建立数学模型,从而形成比较完全的数学知识。
【教学目标】
1.知识目标
(1)使学生初步了解二面角及二面角的平面角概念;
(2)使学生能求二面角的平面角大小。
2.能力目标
(1)培养学生的空间想象能力;
(2)培养学生提出问题能力、自主学习能力、协作学习能力和自我评价能力;
(3)提高对信息的处理能力,锻炼学生的实践能力。
3.发展目标
(1)激发学生学习积极性;
(2)培养思维的变通性和严密性,培养学生的探索精神和创新个性。
【教学重点、难点】
1.重点:二面角的概念及其平面角的探索
2.难点:求作二面角的平面角
【教学模式】
基于网络环境下的高中数学自主探究式教学模式:创设情境--提出问题--自主探索--网上协作--网上测试--课堂小结。
【教学媒体】
1、 高中数学虚拟实验室(配有思科交换机、浪潮服务器、长城客户机、千兆主干 100M到桌面等的校园
网);数学辅助教学软件——“几何画板——21世纪动态几何”Windows3.5版本。[来源:学§科§网]
2、 附纸模具图。
【教学过程】[来源:学科网][来源:Zxxk.Com]
1、第一环节——“创设情境”的设计
⑴学生进入教室之前放一段轻音乐,营造一个轻松的学习氛围。
⑵待学生进入教室后,将轻音乐切换成一个带有二面角的旋转的立方体环境中,从而将学生的思想引入正
题。
2、第二环节——“提出问题”的教学设计
教师利用投影仪将立方体图形切换成展示平台中的三视图。
学生很自然地会提出下述问题:
问题 1:这是什么图形?
问题 2:平面 AD被直线 FG分成几个部分?它们是否为平面?为什么?
问题 3:它们分别是什么?怎样由上图获得?
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3、第三环节——“自主探索”的教学设计
让学生沿着提出问题的思路去寻找、去探索,得出各问题的结论,教师适时引入半平面与二面角的概念。
(1)、教师可展示课件,初始界面如图:
教师双击“观动画演示”按钮,并问学生:你们现在看到了什么现象(这时屏暮上的二面角的大小在连续
变化)?
问题:怎样度量二面角的大小呢?我们过去只学过如何度量两条相交直线所成的角,度量直线与平面所成
的角要归结为两条相交直线所成的角,那么,如何度量二面角的大小呢?
(1)、由学生独立思考,利用上述课件进行自主探索,得到从二面角的棱上一点出发的且在二面角的面上
的两射线的动态图形,单击鼠标左键,动画停止。学生看到在二面角固定的情况下,从二面角棱上一点出
发的在二面角两个面上的两条直线所成的角是不确定的。那么,怎样来度量二面角的大小呢?
教师可拿一本张开的硬皮书,让学生从不同角度去观察,进一步启发学生。
(2)、选中“清屏”按钮,可清掉以上两条射线。待学生思考后,双击“平面角”按钮,屏幕显示二面角
的平面角。如下图:
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教师启发学生,并组织学生讨论,由学生给出二面角的平面角的定义。
经过教师的适时引导与学生的自主探索,学生自己得出结论:二面角的平面角是指在二面角的棱上
任意一点分别在二面角的两个面内引棱的垂线,它们所成的角即为二面角的平面角。二面角的大小是用二
面角的平面角来度量的。
4、第四环节——“网上协作”的教学设计
通过网络,教师展示课件 2,初始界面如图 10:一条山路 PG和山脚 AB成 45度角。已知山坡和水平面成 60度角,问沿山路前进 100米实际升高了多少
米?
(1)、双击“动画”按钮,显示M点沿 PG以及MN变化的情况。教师结合屏幕提问:此题已知和所求分
别是什么?此题关键是什么?
(2)、在解题回顾中,教师可用鼠标选中 B点,调整二面角的大小(微调),也可用鼠标选中 G点调整 PG
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的位置,提出如下问题:
已知二面角的大小,山路与水平面的角,和山路与山脚所成的角(∠GPQ)中的两个,如何求第三
个?
由学生在个人自主探索的 基础上开展 小组讨论、协商,教师帮助学生共同完成以上问题,并加以整理,
然后教师启发性地回答解决学生的问题。这样一来,可以进一步完善 和深化对主题——“二面角的概念
及其平面角的求法”的意义建构,并通过不同观点的交锋,补充、修正、加深每个学生对当前问题的理解。
5、第五环节——“网上测试”的教学设计
通过网络,教师将教师机中预先准备的问题切换于学生机,并由学生根据具体自身的实际情况做答。
5.1、达标级试题:
(1)已知,P是二面角α-l-β内的一点,PA⊥α,PB⊥β,求证:PA与 PB所成的角与二面角的平面角互补.(2)在正四面体 ABCD中,E为 AD中点,试找出:
(2-1)A到平面 BCD距离; (2-2)异面直线 AC、BD的距离;(2-3)AD与平面 BCD所成的角;(2-4)二面角 A-BC-D的平面角;(2-5)CE与平面 BCD所成的角;(2-6)二面角 E-BC-A的平面角。
5.2、提高级试题:
(3)在二面角的一个面内有一直线与另一个面成 30°角,这直线与棱成 45°角,则二面角为_______.(4)正方体 ABCD-A'B'C'D'的棱长为 a,点 A'到平面 AD'B'的距离是___________;平面 AD'B'与平面 ABCD所成的二面角大小为_________;平面 AB'D'与平面 BDC'的距离是___________.5.3、提高级试题:
(5)如图,求二面角 C'-DB-C 的平面角 ;求二面角 A-DD'-B的平面角。
5.4、欣赏级试题:
设计思想:为了使低分数段的学生有成功感,高分段的学生有激励作用,将考试题分为四个层次; 第一层
次为达标级,按教学大纲的要求设计; 第二层次为提高级,在达标级基础上增加了分析层面的学习和变式
练习;第三层次为优胜级,增加了新旧知识联系的综合层次的学习与练习; 第四层次为欣赏级,提供了与二
面角有关的高考试题和数学竞赛试题分析与解答。 通过网络,教师将教师机中预先准备的问题切换于学
生机,并由学生做答。
“网上测试和评估”以学生的自我评价(它具有自我诊断功能、自我反馈功能、自我激励功能)为主,它
是对数学学习效果评价最主要、也是最重要的评价方式。同时辅之以学习小组评价方式(依据一定的评价
标准,在教师指导下,对个人的学习作出分析、判断,并促使学生进行调节。)或教师进行评价方式(教
师依据一定评价标准,对学生学习作出分析、判断,并进行调节。)。
6、第六环节——“课堂小结”的教学设计
(1)、先由学生进行小结,再由教师进行归纳,本节课主要内容如下:
①半平面。②平面。③二面角。④二面角表示法。
⑤直二面角。⑥二面角的平面角及计算。
(2)、教师通过网络展示课件 3,初始界面如图:
如图,ABCD 是正方形,E是 AD的中点,若将三角形 BAE和三角形 CDE分别沿 BE ,CE 折起,使 AE与
DE重合,A,D重合后的点设为 P,求面 PBC 与面 BCE 所成的二面角的大小。[来源:学。科。网]
(3)、由学生结合试题(6)、试题(7)与本课件,独立进行归纳,总结解决折叠问题的方法和规律,并
利用《几何画板》制作有关折叠问题的课件,写出有关折叠问题的小论文。(“小论文”课后完成)
(4)、课后作业:P45 ,习题:9.6 2,3,4(5)、新课结束。
设计思想:培养学生的数学创新精神和实践能力是数学素质教育的核心内容,我们认为“课堂小结”是实现
这一目标的有效途径。
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“课堂小结”可采取多种方式,或由学生做或教师做或师生共同做,或由学生写成小论文的形式来完成。
§1.5.2 正弦函数的性质
阜阳五中 王长胜
使用说明:1.课前认真阅读并思考课本 P28-30 页内容,然后根据自身能力完成学案所设计的问题,并
在不明白的问题前用红笔做出标记.
2.限时完成,规范书写,课上小组合作探讨,答疑解惑.并对每个问题做出点评,反思.
学习目标:
1.能根据正弦函数的图像观察得出正弦函数的定义域、值域、最大(小)值、周期性、单调性、奇偶性、
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对称性
等基本性质.
2.会应用正弦函数的性质来研究讨论函数 )0(sin abxay 的性质,特别是其最值问题.
3.在探究正弦函数基本性质和图像的过程中,体会数形结合的思想方法的应用,进一步培养发现问题、提
出问题、
解决问题的能力,并养成良好的数学学习的习惯.
重点难点
学习重点:正弦函数的主要性质(包括定义域、值域或最值、周期性、单调性、奇偶性);深入研究函数性质
的思想方法.
学习难点:正弦函数图像的对称性,以及含有 xsin 的函数的性质.
一、问题导学
1.回忆并画出正弦函数的简图 ,你是如何作出正弦函数的图像?
2.回想一下,一般来说,我们是从哪些方面去研究一个函数的性质?
3.仔细观察正弦函数的图像,你能观察出正弦函数的哪些性质?
正弦函数的性质:
1.定义域: .
2.值域: .
① 当且仅当 x 时,函数取得最大值 .
② 当且仅当 x 时,函数取得最小值 .
3.周期性:正弦函数是周期函数,最小正周期是 .
4.单调性:正弦函数在每一个区间 上是增加的,其值从 增加到 .
在每一个区间 上是减少的,其值从 减小到 .
想一想:正弦函数在整个定义域内是增函数吗?为什么?
5.奇偶性:
正弦函数图像关于 对称,因此正弦函数 )(,sin Rxxy 为 函数.
议一议:1.正弦函数 )(,sin Rxxy 的图像有对称轴吗?有对称中心吗?为什么?
2.你能利用正弦 函数图像总结得出诱导 公式 Zkk ,sin)2sin( sin)sin(, ,
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sin)sin( 和 sin)sin( 吗?
二、导学自测
1.观察正弦曲线,写出满足 0sin x 的区间.
2.函数 siny x , )6,
65(
x 的值域是 .
3.函数 3siny x ,当 ,x 时,在区间 上是增加的,在区间 上是减少的;
当
x =_______时, y取最大值_____;当 x =_______时, y取最小值_____.
三、合作探究
1.利用五点法画出函数 1sin xy 的简图,并根据图像讨论它的性质.
想一想:函数 1sin xy 与正弦函数有何异同?
变式训练:已知函数 bxay sin 的最大值是 1,最小值是 3 ,试确定该函数的单调区间.
2.利用函数的单调性,比较下列各组数的大小:
(1)59sin
与623sin
; (2) )43sin(sin
与 )35sin(sin
.
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小结:比较两数大小的常见方法有哪些?
3.请画出函数 |sin|sin xxy 的图像,你从图中发现此函数具有哪些性质?
四、课堂小结
1.本节中你学到了哪些知识内容? 2.你还有哪些不明白的内容?
五、巩固测评
1.求函数 lg(2sin 1)y x 的定义域.
2.求函数sin 2sin 1xyx
的值域.
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3.求方程 lg sinx x 实根的个数.
4.函数 )(xfy 的定义域为 R,周期为 2,且当 11 x 时, || xy ,请你画出该函数的图像并探
讨其性质.
六、课后反思与数学笔记