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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Clculo I (Derivada propriedades e regras)
Antnio Calixto de Souza Filho
Escola de Artes, Cincias e HumanidadesUniversidade de So Paulo
27 de maio de 2013
A. C Souza Filho Clculo para LCN
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
1 Clculo de derivadasPropriedades da derivada
2 Aplicao de derivadasIntervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
3 regras de derivaoPropriedades da derivadaA regra da cadeia
4 Derivada da Funo Exponencial
A. C Souza Filho Clculo para LCN
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
subject
1 Clculo de derivadasPropriedades da derivada
2 Aplicao de derivadasIntervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
3 regras de derivaoPropriedades da derivadaA regra da cadeia
4 Derivada da Funo Exponencial
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Vejamos que a derivada de qxp ser obtida da mesma forma
que xn, quando n N.Vimos ser suficiente a fatorao(x x0)n = (x x0)(xn1 + + xnmxm10 + + x
n10 ) e
a derivada a imagem dexn1 + + xnmxm10 + + x
n10 em x0.
Para este clculo, basta observar que cada somando daforma xnm0 x
m10 = x
n10 e h n somandos.
Usaremos este resultado duas vezes, para(( qx)q1 + + ( q
x)qm( qx0)m1 + + ( q
x0)q1)e para( qx)p1 + + ( q
x)pm( q
)x0m1 + + ( q
)x0p1),
como descrito a seguir.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Vejamos que a derivada de qxp ser obtida da mesma forma
que xn, quando n N.Vimos ser suficiente a fatorao(x x0)n = (x x0)(xn1 + + xnmxm10 + + x
n10 ) e
a derivada a imagem dexn1 + + xnmxm10 + + x
n10 em x0.
Para este clculo, basta observar que cada somando daforma xnm0 x
m10 = x
n10 e h n somandos.
Usaremos este resultado duas vezes, para(( qx)q1 + + ( q
x)qm( qx0)m1 + + ( q
x0)q1)e para( qx)p1 + + ( q
x)pm( q
)x0m1 + + ( q
)x0p1),
como descrito a seguir.
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Vejamos que a derivada de qxp ser obtida da mesma forma
que xn, quando n N.Vimos ser suficiente a fatorao(x x0)n = (x x0)(xn1 + + xnmxm10 + + x
n10 ) e
a derivada a imagem dexn1 + + xnmxm10 + + x
n10 em x0.
Para este clculo, basta observar que cada somando daforma xnm0 x
m10 = x
n10 e h n somandos.
Usaremos este resultado duas vezes, para(( qx)q1 + + ( q
x)qm( qx0)m1 + + ( q
x0)q1)e para( qx)p1 + + ( q
x)pm( q
)x0m1 + + ( q
)x0p1),
como descrito a seguir.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Vejamos que a derivada de qxp ser obtida da mesma forma
que xn, quando n N.Vimos ser suficiente a fatorao(x x0)n = (x x0)(xn1 + + xnmxm10 + + x
n10 ) e
a derivada a imagem dexn1 + + xnmxm10 + + x
n10 em x0.
Para este clculo, basta observar que cada somando daforma xnm0 x
m10 = x
n10 e h n somandos.
Usaremos este resultado duas vezes, para(( qx)q1 + + ( q
x)qm( qx0)m1 + + ( q
x0)q1)e para( qx)p1 + + ( q
x)pm( q
)x0m1 + + ( q
)x0p1),
como descrito a seguir.
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Para fixar, inicialmente vamos calcular (x) pelo limite
limxx0
xx0xx0 , usando a igualdade a seguir:
x x0 = (x)2 (x0)2 = (
x x0)(
x +x0).
Assim, (x) em x0 ser limxx0
xx0
(
xx0)(
x+x0)que a
imagem de 1(
x+x0)em x0, isto , 12x0 .
Portanto (x) = 12x , ou (
x) = (x 12 ) = 12x
121 = 12x
12 .
A derivada ( 4x3) pelo limite limxx0
4x3 4
x30xx0 , se calculada
de modo semelhante, necessita de duas passagens, como aseguir.
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Para fixar, inicialmente vamos calcular (x) pelo limite
limxx0
xx0xx0 , usando a igualdade a seguir:
x x0 = (x)2 (x0)2 = (
x x0)(
x +x0).
Assim, (x) em x0 ser limxx0
xx0
(
xx0)(
x+x0)que a
imagem de 1(
x+x0)em x0, isto , 12x0 .
Portanto (x) = 12x , ou (
x) = (x 12 ) = 12x
121 = 12x
12 .
A derivada ( 4x3) pelo limite limxx0
4x3 4
x30xx0 , se calculada
de modo semelhante, necessita de duas passagens, como aseguir.
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Para fixar, inicialmente vamos calcular (x) pelo limite
limxx0
xx0xx0 , usando a igualdade a seguir:
x x0 = (x)2 (x0)2 = (
x x0)(
x +x0).
Assim, (x) em x0 ser limxx0
xx0
(
xx0)(
x+x0)que a
imagem de 1(
x+x0)em x0, isto , 12x0 .
Portanto (x) = 12x , ou (
x) = (x 12 ) = 12x
121 = 12x
12 .
A derivada ( 4x3) pelo limite limxx0
4x3 4
x30xx0 , se calculada
de modo semelhante, necessita de duas passagens, como aseguir.
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Para fixar, inicialmente vamos calcular (x) pelo limite
limxx0
xx0xx0 , usando a igualdade a seguir:
x x0 = (x)2 (x0)2 = (
x x0)(
x +x0).
Assim, (x) em x0 ser limxx0
xx0
(
xx0)(
x+x0)que a
imagem de 1(
x+x0)em x0, isto , 12x0 .
Portanto (x) = 12x , ou (
x) = (x 12 ) = 12x
121 = 12x
12 .
A derivada ( 4x3) pelo limite limxx0
4x3 4
x30xx0 , se calculada
de modo semelhante, necessita de duas passagens, como aseguir.
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AssuntoClculo de derivadas
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Temos limxx04x3 4
x30xx0 . Usamos a igualdade a seguir:
x x0 = ( 4x)4 ( 4x0)4 =
( 4x 4x0) (( 4
x)3 + ( 4
x)2 4x0 + 4
x( 4x0)2 + ( 4
x0)3).Assim, serlimxx0
(4x3)4( 4
x30 )
4
( 4
x 4x0)(( 4
x)3+( 4
x)2 4x0+ 4
x( 4x0)2+( 4x0)3)
A indeterminao permanece e temos que fatorar o termo(
4x3) ( 4x30 ) = ( 4
x)3 ( 4x0)3 e substituir no limite
( 4x)3( 4x0)3 = ( 4
x 4x0)(( 4
x)2+( 4
x) 4x0+( 4
x0)2).limxx0
( 4
x 4x0)(( 4
x)2+( 4
x) 4x0+( 4x0)2)
( 4
x 4x0)(( 4
x)3+( 4
x)2 4x0+ 4
x( 4x0)2+( 4x0)3
)
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Temos limxx04x3 4
x30xx0 . Usamos a igualdade a seguir:
x x0 = ( 4x)4 ( 4x0)4 =
( 4x 4x0) (( 4
x)3 + ( 4
x)2 4x0 + 4
x( 4x0)2 + ( 4
x0)3).Assim, serlimxx0
(4x3)4( 4
x30 )
4
( 4
x 4x0)(( 4
x)3+( 4
x)2 4x0+ 4
x( 4x0)2+( 4x0)3)
A indeterminao permanece e temos que fatorar o termo(
4x3) ( 4x30 ) = ( 4
x)3 ( 4x0)3 e substituir no limite
( 4x)3( 4x0)3 = ( 4
x 4x0)(( 4
x)2+( 4
x) 4x0+( 4
x0)2).limxx0
( 4
x 4x0)(( 4
x)2+( 4
x) 4x0+( 4x0)2)
( 4
x 4x0)(( 4
x)3+( 4
x)2 4x0+ 4
x( 4x0)2+( 4x0)3
)
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
O limite acima ser a imagem de x0 em( 4
x)2+ 4
x 4x0+( 4x0)2
( 4
x)3+( 4
x)2 4x0+ 4
x( 4x0)2+( 4x0)3
=
=3( 4x0)24( 4x0)3 =
34x
24
34
0 =34x 140
A derivada de 4x3 em x0 ser 34x
140 ou 34 4x0 .
Observe que vale, neste caso a frmula (xn) = nxn1, de fato(
4x3) = (x 34 ) = 34x341 = 34x
140
Assim, prova-se que (xn) = nxn1 quando n Q de modoanlogo ao acima.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
O limite acima ser a imagem de x0 em( 4
x)2+ 4
x 4x0+( 4x0)2
( 4
x)3+( 4
x)2 4x0+ 4
x( 4x0)2+( 4x0)3
=
=3( 4x0)24( 4x0)3 =
34x
24
34
0 =34x 140
A derivada de 4x3 em x0 ser 34x
140 ou 34 4x0 .
Observe que vale, neste caso a frmula (xn) = nxn1, de fato(
4x3) = (x 34 ) = 34x341 = 34x
140
Assim, prova-se que (xn) = nxn1 quando n Q de modoanlogo ao acima.
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
O limite acima ser a imagem de x0 em( 4
x)2+ 4
x 4x0+( 4x0)2
( 4
x)3+( 4
x)2 4x0+ 4
x( 4x0)2+( 4x0)3
=
=3( 4x0)24( 4x0)3 =
34x
24
34
0 =34x 140
A derivada de 4x3 em x0 ser 34x
140 ou 34 4x0 .
Observe que vale, neste caso a frmula (xn) = nxn1, de fato(
4x3) = (x 34 ) = 34x341 = 34x
140
Assim, prova-se que (xn) = nxn1 quando n Q de modoanlogo ao acima.
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
O limite acima ser a imagem de x0 em( 4
x)2+ 4
x 4x0+( 4x0)2
( 4
x)3+( 4
x)2 4x0+ 4
x( 4x0)2+( 4x0)3
=
=3( 4x0)24( 4x0)3 =
34x
24
34
0 =34x 140
A derivada de 4x3 em x0 ser 34x
140 ou 34 4x0 .
Observe que vale, neste caso a frmula (xn) = nxn1, de fato(
4x3) = (x 34 ) = 34x341 = 34x
140
Assim, prova-se que (xn) = nxn1 quando n Q de modoanlogo ao acima.
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Esboo do clculo de xpq : na definio de limites, teremos o
quociente de duas expresses como no caso anterior. Apsremover a indeterminao, no numerador teremos p q
xp10 e no
denominador q qxp10 , assim
pq x
p1q
q1q
0 =pq x
p1q+1q
0 =pq x
pq1
0 o limite procurado e pq x
pq1 a funo derivada de x
pq .
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
TeoremaSeja n R, se f (x) = xn, ento f (x) = nxn1
Por exemplo (x
2) =2x
21
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
PropriedadeSejam u e v funes derivveis em todo seu domnio, isto , soconhecidas as funes u e v .
(Multiplicao por constante K ) (K u) = K u, isto , aderivada de 5x3 (5x3) = 5(x3) = 5 3x31 = 15x2
(regra da soma) (u+ v) = u+ v , isto , (3x4 10 5x2) ser
(3x4) + (10x 52 ) = 12x3 + (10 25x251) = 12x3 45x3
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Propriedades da derivada
PropriedadeSejam u e v funes derivveis em todo seu domnio, isto , soconhecidas as funes u e v .
(Multiplicao por constante K ) (K u) = K u, isto , aderivada de 5x3 (5x3) = 5(x3) = 5 3x31 = 15x2
(regra da soma) (u+ v) = u+ v , isto , (3x4 10 5x2) ser
(3x4) + (10x 52 ) = 12x3 + (10 25x251) = 12x3 45x3
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Vimos ento que (xn) = nxn1;Se f (x) = anxn + an1xn1 + + a2x2 + a1x + x0, entof (x) = n anxn1 + (n 1) an1xn2 + + 2 a2x + a1,que a derivada de um polinmio.Isto , se f (x) = 3x4 5x2 + 2x 1, entof (x) = 12x3 10x + 2
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Vimos ento que (xn) = nxn1;Se f (x) = anxn + an1xn1 + + a2x2 + a1x + x0, entof (x) = n anxn1 + (n 1) an1xn2 + + 2 a2x + a1,que a derivada de um polinmio.Isto , se f (x) = 3x4 5x2 + 2x 1, entof (x) = 12x3 10x + 2
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivada
Vimos ento que (xn) = nxn1;Se f (x) = anxn + an1xn1 + + a2x2 + a1x + x0, entof (x) = n anxn1 + (n 1) an1xn2 + + 2 a2x + a1,que a derivada de um polinmio.Isto , se f (x) = 3x4 5x2 + 2x 1, entof (x) = 12x3 10x + 2
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
subject
1 Clculo de derivadasPropriedades da derivada
2 Aplicao de derivadasIntervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
3 regras de derivaoPropriedades da derivadaA regra da cadeia
4 Derivada da Funo Exponencial
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Vimos que h determinados limites que surgem naturalmente. Umdestes casos o clculo da taxa instantnea de variao.
Definio
Seja f uma funo. O limite limxx0f (x)f (x0)
xx0 , quando existe definido como a derivada da funo f (x) no ponto x0. Tal limiteser denotado por f (x0), isto
f (x0) = limxx0f (x) f (x0)
x x0.
Assim, f (x0) a derivada de f no ponto x0 e dizemos que f derivvel em x0
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Lembremos que o processo acima equivale a calcular a taxainstantnea de variao no ponto x0. Assim, a derivada tambmo coeficiente angular da reta tangente a uma curva.
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Aplicao terica: estudo do crescimento ou decrescimentolocal de funes contnuas.Aplicao prtica: aproximao local de funes contnuaspela equao da reta tangente.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Aplicao terica: estudo do crescimento ou decrescimentolocal de funes contnuas.Aplicao prtica: aproximao local de funes contnuaspela equao da reta tangente.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Seja a funo f (x) = x2 2x + 3. Vimos que para esta funo, acoordenada xv = 1 do vrtice determina que:na regio x < 1 a funo decrescente, enquanto que:na regio 1 < x , f crescente.Veremos que o mesmo ocorre para funes contnuas, ou seja,podemos calcular regies em que f crescente ou decrescente.Para isso, inicialmente vamos estudar o que ocorre com relao aocrescimento de uma funo prximo de um valor fixado x0.
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Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Seja f (x) = 2x3 3x + 4, prximo a um ponto x0 = 2 possvelafirmar que esta funo seja crescente ou decrescente? Primeiro,devemos entender o termo prximo a 2. Este significa um intervalodo tipo [2 , 2+ ], ou seja valores que estejam dentro de umintervalo centrado em 2, podendo este intervalo ser aberto oufechado.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Usando o conceito de derivada como coeficiente angular da retatangente r , isto , r(x) = f (x0)x + b, lembrando que esta reta crescente quando seu coeficiente angular positivo, ento se f (x0)for positivo a reta tangente ao grfico de f em x0 ser crescente.Ora, mas a reta tangente, para valores prximos de x0 tambmmuito prxima funo f , assim a funo tem comportamentosemelhante reta r , ou seja:
f CRESCENTE LOCALMENTE EM x0, se f (x0) > 0, ef DECRESCENTE LOCALMENTE EM x0, se f (x0) < 0.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
ExemploVoltamos ao exemplo f (x) = 2x3 3x + 4, f (x) = 6x 3, logof (2) = 9 > 0, ento f crecente prximo a x0 = 2. Se ocorrer def representar a massa de bactrias, em uma certa cultura emfuno do tempo, f (2) d uma estimativa da velocidade decrescimento da quantidade (expressa pela massa) de bactrias,alm disso, prximo a x0 = 2, esta velocidade ser crescente.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
ExemploSe f (x) = 4x3 6x2 + 20 prximo a x0 = 1 ocorre que f tem umcomportamento diferente esquerda ou a direita de 1. Isso ocorreporque f (x) = 12x2 12x e deste modo f (1) = 0, ora isso podeter a mesma propriedade do vrtice da parbola, cuja parte esquerda do xv tem crescimento oposta ao da direita. Veremos queser necessrio estudar outro conceito para definir ocomportamento nestes casos particulares.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
ExemploSeja m(t) = 8
t + 12t + 5 a funo que representa o crescimento
em miligramas de uma certa cultura em funo do tempo t emdias. Sanbendo-se que esta funo est definida no intervalo[ 124 , 2]. Determine o instante em t0 que o crescimento destacultura nulo, bem como a quantidade da cultura neste instante.Avalie 18h aps este instante a velocidade e explique se est iraumentar ou diminuir prximo a este instante.Soluo: vimos que m(t) = 4t
12t2 a velocidade de
crescimento. Assim 4t 1
2t2 = 0 o instante de crescimento nulo.Resolvemos a equao 8t2
t
2t2
t = 0, ento 8t2 =t e 64t4 = t,
sendo t 6= 0, t3 = 164 e t =14 de dia ou 6h. Assim no instante 6h a
velocidade da cultura ser nula. A quantidade desta cultura nesteinstante 8
14 +
112+ 5 = 4+ 2+ 5 = 11 miligramas.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
continuao do exemplo
Assim 18h aps o instante 6h de velocidade nula ser 24h ou 1dia. No instante t = 1 a derivada m(t) = 4t
12t2 ser
m(1) = 41 1
2(12) = 4 0, 5 isto 2, 5 miligramas por dia. Comom(1) > 0 indica que prximo a 1 dia o crescimento da culturadeve ser crescente.
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Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Vimos que para uma funao f , f (x0) o coeficiente angular dareta tangente r ao grfico de f em x0. Nestes casos, sempre soconhecidos o coeficiente angular da reta e um ponto da reta, que o ponto de tangncia. Por exemplo:
ExemploSeja f (x) = 2x3 7x2 5x + 3, a reta tangente ao grfico de fem x0 = 2 tem coeficiente angular f (2) e passa pelo ponto(2, f (2)). Podemos calcular estes valores:f (x) = 6x2 14x 5, logo f (2) = 24+ 28 5 = 1 ocoeficiente angular e (2, 1) um ponto da reta, poisf (2) = 16 28+ 10+ 3 = 1. Podemos determinar a equao dareta r(x) = x + b, sendo r(2) = 1 (0 ponto de coordenadas(2, 1)), calculamos r(2) = (1) (2) + b = 1 e obtemosb = 1. Logo r(x) = x 1
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Seja f uma funo derivvel em x0. A equao da reta tangente r:
r(x) = f (x0)x f (x0)x0 + f (x0)
Podemos ver isso do seguinte modo, r(x) = ax + b, sendof (x0) = a e (x0, f (x0)) um ponto da reta, temos a equaor(x0) = f (x0) x0 + b, e determinamos b = r(x0) f (x0) x0,mas r(x0) = f (x0), pois ((x0, f (x0)) um ponto da reta), assimb = f (x0) f (x0) x0. Substituindo na equao, obtemosr(x) = f (x0)x f (x0) x0 + f (x0).
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Exemplo (Clculo da reta tangente a uma curva)Seja f (x) =
x. Qual a equao da reta tangente curva no
ponto x0 = 4? Inicialmente calculamos f (4). Vimos, utilizando aspropriedades de derivada que f (x) = 12x , logo f
(4) = 0, 25.Assim, obtemos a taxa instantnea de variao em x0 = 4, querepresenta o coeficiente angular da reta r . Assim,r(x) = 0.25x + b. Como conhecemos um ponto de r (O PONTOONDE r TANGENCIA O GRFICO DE f ), temosr(4) = f (4) =
4 = 2 = 0.25 4+ b, logo b = 1 e
r(x) = 0.25x + 1 a equao da reta tangente.
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Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Suponha que queremos calcular um valor aproximado de37 que
seja um nmero racional. Para tanto, podemos utilizar o conceitode reta tangente como aproximao local. Neste caso,consideramos f (x) =
x e x0 = 36, o nmero mais prximo de 36
que um quadrado. Assim, a equao da reta tangente serr(x) = f (36)x + b, calculamos f (36) = 1236 =
112 e o ponto de
tangncia (36, 6). Assim 6 = 112 36+ b, logo b = 3 er(x) = 112 x + 3, ora como aproximao, r(37) =
37, da,
37 = 3712 + 3 =7312
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Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Podemos agora considerar x0 = 732
122 , um racional prximo de37 e
repetir o processo acima. f (x0) = 12146 , o ponto de tangncia (73
2
122 ,7312) e b =
7312
12146
732122 =
7312
7324 =
7324 . A equao da reta
ser r(x) = 12146x +7324 e37 = r(37) = 106571752 , esta ltima
aproximao tem preciso de 107, ou seja, a reta r umaaproximao, local, de f em 37.
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Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Calcule um valor racional aproximado de 101200.
soluo: Inicialmente devemos obter uma soluo inteira, que umracional conhecido, prxima a 10
1200. Ou seja procuramos x0
prximo a 1200, tal que 10x0 = n, sendo n um nmero inteiro.Assim x0 = n10 e procuramos uma potncia de 10 prxima a 1200.Uma boa aproximao x0 = 1024 = 210. Consideramosf (x) = 10
x e a soluo aproximada pela reta tangente de f em
x0 = 1024. Calculamos f (x) = 110x1101 = 110x
910 assim
f (x0) = f (1024) = 1101024910 = 110( 10
x)9 =
11029 , assim
f (1024) = 15120 e o ponto de tangncia (1024, 2). Pelo quevimos r(x) = x5120 + b, r(1024) = f (1024) = 2 ento2 = r(1024) = 10245120 + b e b = 2
15 =
95 . Determinamos
r(x) = x5120 +95 e
101200 = r(1200) = 12005120 +95 =
1564 +
95 =
75+576645 =
651320 ,
chegamos a aproximao 101200 = 651320 .
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Aplicao de derivadasregras de derivao
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Intervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
Resumo da aplicao de derivadas
As aplicaes de derivadas so extensas nas mais diversasreas.Podemos nos perguntar, para que calcular a reta tangente uma curva?Observando, geometricamente a curva do exemplo anterior ea reta tangente no ponto x0 = 2, vemos que, para valoresprximos de x0, os dois grficos ficam prximos, mas o queisso significa?A reta tangente uma boa aproximao local da funo f .Podemos, assim, calcular
3, 8, aproximando pela reta
tangente f (x) =x com x0 = 2. Assim
r(3.8) = 0.25 3.8+ 1 = 1.95 =3, 8, enquanto que
3, 8 = 1.9493589 (com o uso de calculadora).A. C Souza Filho Clculo para LCN
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Resumo da aplicao de derivadas
As aplicaes de derivadas so extensas nas mais diversasreas.Podemos nos perguntar, para que calcular a reta tangente uma curva?Observando, geometricamente a curva do exemplo anterior ea reta tangente no ponto x0 = 2, vemos que, para valoresprximos de x0, os dois grficos ficam prximos, mas o queisso significa?A reta tangente uma boa aproximao local da funo f .Podemos, assim, calcular
3, 8, aproximando pela reta
tangente f (x) =x com x0 = 2. Assim
r(3.8) = 0.25 3.8+ 1 = 1.95 =3, 8, enquanto que
3, 8 = 1.9493589 (com o uso de calculadora).A. C Souza Filho Clculo para LCN
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Resumo da aplicao de derivadas
As aplicaes de derivadas so extensas nas mais diversasreas.Podemos nos perguntar, para que calcular a reta tangente uma curva?Observando, geometricamente a curva do exemplo anterior ea reta tangente no ponto x0 = 2, vemos que, para valoresprximos de x0, os dois grficos ficam prximos, mas o queisso significa?A reta tangente uma boa aproximao local da funo f .Podemos, assim, calcular
3, 8, aproximando pela reta
tangente f (x) =x com x0 = 2. Assim
r(3.8) = 0.25 3.8+ 1 = 1.95 =3, 8, enquanto que
3, 8 = 1.9493589 (com o uso de calculadora).A. C Souza Filho Clculo para LCN
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Resumo da aplicao de derivadas
As aplicaes de derivadas so extensas nas mais diversasreas.Podemos nos perguntar, para que calcular a reta tangente uma curva?Observando, geometricamente a curva do exemplo anterior ea reta tangente no ponto x0 = 2, vemos que, para valoresprximos de x0, os dois grficos ficam prximos, mas o queisso significa?A reta tangente uma boa aproximao local da funo f .Podemos, assim, calcular
3, 8, aproximando pela reta
tangente f (x) =x com x0 = 2. Assim
r(3.8) = 0.25 3.8+ 1 = 1.95 =3, 8, enquanto que
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Resumo da aplicao de derivadas
As aplicaes de derivadas so extensas nas mais diversasreas.Podemos nos perguntar, para que calcular a reta tangente uma curva?Observando, geometricamente a curva do exemplo anterior ea reta tangente no ponto x0 = 2, vemos que, para valoresprximos de x0, os dois grficos ficam prximos, mas o queisso significa?A reta tangente uma boa aproximao local da funo f .Podemos, assim, calcular
3, 8, aproximando pela reta
tangente f (x) =x com x0 = 2. Assim
r(3.8) = 0.25 3.8+ 1 = 1.95 =3, 8, enquanto que
3, 8 = 1.9493589 (com o uso de calculadora).A. C Souza Filho Clculo para LCN
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
subject
1 Clculo de derivadasPropriedades da derivada
2 Aplicao de derivadasIntervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
3 regras de derivaoPropriedades da derivadaA regra da cadeia
4 Derivada da Funo Exponencial
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
A seguir veremos mais regras que permitem clculo de derivadas oproduto de funes ou mesmo para funes que so composio deoutras funes.
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
PropriedadeSejam u e v funes derivveis em todo seu domnio, isto , soconhecidas as funes u e v .
(regra do produto) (u v) = u v + u v
(regra da diviso)Para todo x0, tal que, v(x0) 6= 0,(uv ) = u
vuv v2
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
PropriedadeSejam u e v funes derivveis em todo seu domnio, isto , soconhecidas as funes u e v .
(regra do produto) (u v) = u v + u v
(regra da diviso)Para todo x0, tal que, v(x0) 6= 0,(uv ) = u
vuv v2
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Exemplos
Se f (x) = (3x3 + 1) (x + 1), entof (x) = (9x2) (x + 1) + (3x3 + 1) (1) =9x3 + 9x2 3x3 1 = 12x3 + 9x2 1Veja que se estamos interessando em calcular f (1) podemosusar a expresso f (x) = (9x2)(x + 1) + (3x3 + 1)(1) queresulta em 9 2+ (2 (1)) = 20Se f (x) = x2+x+1x3+2x1 , ento f
obtida observando que f = uv ,u(x) = x2 + x + 1, v(x) = x3 + 2x 1, cujas derivadas sou(x) = 2x + 1 e v (x) = 3x2 + 2, assimf (x) = (2x+1)(x
3+2x1)(x2+x+1)(3x2+2)(x3+2x1)2
f (x) = x42x3x22x3x6+4x42x3+4x24x+1
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Exemplos
Se f (x) = (3x3 + 1) (x + 1), entof (x) = (9x2) (x + 1) + (3x3 + 1) (1) =9x3 + 9x2 3x3 1 = 12x3 + 9x2 1Veja que se estamos interessando em calcular f (1) podemosusar a expresso f (x) = (9x2)(x + 1) + (3x3 + 1)(1) queresulta em 9 2+ (2 (1)) = 20Se f (x) = x2+x+1x3+2x1 , ento f
obtida observando que f = uv ,u(x) = x2 + x + 1, v(x) = x3 + 2x 1, cujas derivadas sou(x) = 2x + 1 e v (x) = 3x2 + 2, assimf (x) = (2x+1)(x
3+2x1)(x2+x+1)(3x2+2)(x3+2x1)2
f (x) = x42x3x22x3x6+4x42x3+4x24x+1
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Exemplos
Se f (x) = (3x3 + 1) (x + 1), entof (x) = (9x2) (x + 1) + (3x3 + 1) (1) =9x3 + 9x2 3x3 1 = 12x3 + 9x2 1Veja que se estamos interessando em calcular f (1) podemosusar a expresso f (x) = (9x2)(x + 1) + (3x3 + 1)(1) queresulta em 9 2+ (2 (1)) = 20Se f (x) = x2+x+1x3+2x1 , ento f
obtida observando que f = uv ,u(x) = x2 + x + 1, v(x) = x3 + 2x 1, cujas derivadas sou(x) = 2x + 1 e v (x) = 3x2 + 2, assimf (x) = (2x+1)(x
3+2x1)(x2+x+1)(3x2+2)(x3+2x1)2
f (x) = x42x3x22x3x6+4x42x3+4x24x+1
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
No exemplo acima, podemos determinar os polinmios usando apropriedade distributiva do produto e obter:f (x) = x42x3x22x3x6+4x42x3+4x24x+1 . Mas nem sempre estamosinteressados em simplificar as operaes. Por exemplo, para afuno f (x) = x2+x+1x3+2x1 podemos querer saber se prximo ax0 = 2, f uma funo crescente ou decrescente. Assim,estamos interessados em calcular f (2) e isso pode ser feito naforma f (x) = (2x+1)(x
3+2x1)(x2+x+1)(3x2+2)(x3+2x1)2 , calculamos cada
um dos fatores da expresso, por exemplo 2x + 1 ser2 (2) + 1 = 3. Procedendo deste modo obtemosf (x) = 3(13)(314)
(13)2 =3169 , assim f
(2) um nmeronegativo e a funo decrescente prximo a x = 2.
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Utilizando a regra do produto acima, podemos mostrar de outromodo o resultado que vimos de (xn), quando n um nmeronatural. A seguir temos uma prova por induo deste fato.
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
ExemploSe f (x) = xn, podemos calcular f (x) = n xn1 por induofinita. De fato, se n = 1, f (x) = x, vimos que f (x) = 1(lembremderivada o coeficiente angular da reta tangente), se f (x) = x2,f (x) = 2x. Supomos por hiptese que se f (x) = xk1f (x) = (k 1)xk2. Usando a hiptese de induo podemoscalcular a derivada de xk , isto , (xk). Para isso consideramos asfunes u(x) = x e v(x) = xk1, cujas derivadas so conhecidas:u(x) = 1 e v (x) = (k 1)xk2 (por hiptese de induo). Ora,f (x) = xk = x xk1 = u(x) v(x). Podemos aplicar a regra doproduto: f = u v + u v , assimf (x) = u(x) v(x) + u(x) v (x) = 1 xk1 + x (k 1)xk2 =xk1 (1+ k 1) = k xk1, que exatamente a expresso dadapela frmula (xn) = n xn1 com n = k, ou seja, a induo valepara o sucessor de k 1.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Suponha que desejamos saber se quando a derivada da funof (x) = (x 1)8(x 2)6(x + 3) se anula? Ou mesmo qual aderivada da funo u(x) = (x2 3x + 2)6? A seguir, veremos que possvel calcular derivadas desta natureza, pelo fato de seru(x) = (x2 3x + 2)6 a composio das funes f (x) = x6 eg(x) = x2 3x + 2)6, isto , f (g(x)) = (x2 3x + 2)6 = u(x)
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Sejam f , g funes derivveis. Se f g est definida, ento(f g)(x0) = (f (g(x0))) =
a derivada da funo composta, denominada regra dacadeia.A regra da cadeia tem aplicaes no clculo de derivadas defunes que so expressas, de modo mais natural, pelacomposio de funes. Por exemplo, a funoSe u(x) = (x2 3x + 2)6 e queremos u(x), incialmenteidentificamos as composies f (x) = x6 e g(x) = x2 3x + 2,cujas derivadas so f (x) = 6x5 e g (x) = 2x 3Vemos que u(x) a composio das funes, isto ,f (g(x)) = (x2 3x + 2)6 = u(x)Assim u(x) = f (g(x)) g (x), a composiof (g(x)) = 6(g(x))5 = 6(x2 3x + 2)5, portantou(x) = 6(x2 3x + 2)5(2x 3)
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Aplicao de derivadasregras de derivao
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Sejam f , g funes derivveis. Se f g est definida, ento(f g)(x0) = (f (g(x0))) =
a derivada da funo composta, denominada regra dacadeia.A regra da cadeia tem aplicaes no clculo de derivadas defunes que so expressas, de modo mais natural, pelacomposio de funes. Por exemplo, a funoSe u(x) = (x2 3x + 2)6 e queremos u(x), incialmenteidentificamos as composies f (x) = x6 e g(x) = x2 3x + 2,cujas derivadas so f (x) = 6x5 e g (x) = 2x 3Vemos que u(x) a composio das funes, isto ,f (g(x)) = (x2 3x + 2)6 = u(x)Assim u(x) = f (g(x)) g (x), a composiof (g(x)) = 6(g(x))5 = 6(x2 3x + 2)5, portantou(x) = 6(x2 3x + 2)5(2x 3)
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Sejam f , g funes derivveis. Se f g est definida, ento(f g)(x0) = (f (g(x0))) =
a derivada da funo composta, denominada regra dacadeia.A regra da cadeia tem aplicaes no clculo de derivadas defunes que so expressas, de modo mais natural, pelacomposio de funes. Por exemplo, a funoSe u(x) = (x2 3x + 2)6 e queremos u(x), incialmenteidentificamos as composies f (x) = x6 e g(x) = x2 3x + 2,cujas derivadas so f (x) = 6x5 e g (x) = 2x 3Vemos que u(x) a composio das funes, isto ,f (g(x)) = (x2 3x + 2)6 = u(x)Assim u(x) = f (g(x)) g (x), a composiof (g(x)) = 6(g(x))5 = 6(x2 3x + 2)5, portantou(x) = 6(x2 3x + 2)5(2x 3)
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Sejam f , g funes derivveis. Se f g est definida, ento(f g)(x0) = (f (g(x0))) =
a derivada da funo composta, denominada regra dacadeia.A regra da cadeia tem aplicaes no clculo de derivadas defunes que so expressas, de modo mais natural, pelacomposio de funes. Por exemplo, a funoSe u(x) = (x2 3x + 2)6 e queremos u(x), incialmenteidentificamos as composies f (x) = x6 e g(x) = x2 3x + 2,cujas derivadas so f (x) = 6x5 e g (x) = 2x 3Vemos que u(x) a composio das funes, isto ,f (g(x)) = (x2 3x + 2)6 = u(x)Assim u(x) = f (g(x)) g (x), a composiof (g(x)) = 6(g(x))5 = 6(x2 3x + 2)5, portantou(x) = 6(x2 3x + 2)5(2x 3)
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Sejam f , g funes derivveis. Se f g est definida, ento(f g)(x0) = (f (g(x0))) =
a derivada da funo composta, denominada regra dacadeia.A regra da cadeia tem aplicaes no clculo de derivadas defunes que so expressas, de modo mais natural, pelacomposio de funes. Por exemplo, a funoSe u(x) = (x2 3x + 2)6 e queremos u(x), incialmenteidentificamos as composies f (x) = x6 e g(x) = x2 3x + 2,cujas derivadas so f (x) = 6x5 e g (x) = 2x 3Vemos que u(x) a composio das funes, isto ,f (g(x)) = (x2 3x + 2)6 = u(x)Assim u(x) = f (g(x)) g (x), a composiof (g(x)) = 6(g(x))5 = 6(x2 3x + 2)5, portantou(x) = 6(x2 3x + 2)5(2x 3)
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Podemos calcular os valores de x para os quais a derivada def (x) = (x 1)8(x 2)6(x + 3) se anula.Inicialmente calculamos ((x 1)8(x 2)6(x + 3)) que oproduto das funes u(x) = (x 1)8 e v(x) = (x 2)6(x +3).Pelo que vimos acima, pela regra da cadeia:((x 1)8) = 8(x 1)7 e ((x 2)6) = 6(x 2)5.Pela regra do produto f = uv + uv , falta apenas calcularv (x) = 6(x 2)5(x + 3) + (x 2)6, podemos simplificarv (x) = (x 2)5(6(x + 3) + x 2) = (x 2)5(7x + 16)Da,f (x) = 8(x 1)7 (x 2)6(x +3)+(x 1)8(x 2)5(7x +16).E podemos resolver a equao f (x) = 0. Mas para omomento, apenas calculamos f .
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Podemos calcular os valores de x para os quais a derivada def (x) = (x 1)8(x 2)6(x + 3) se anula.Inicialmente calculamos ((x 1)8(x 2)6(x + 3)) que oproduto das funes u(x) = (x 1)8 e v(x) = (x 2)6(x +3).Pelo que vimos acima, pela regra da cadeia:((x 1)8) = 8(x 1)7 e ((x 2)6) = 6(x 2)5.Pela regra do produto f = uv + uv , falta apenas calcularv (x) = 6(x 2)5(x + 3) + (x 2)6, podemos simplificarv (x) = (x 2)5(6(x + 3) + x 2) = (x 2)5(7x + 16)Da,f (x) = 8(x 1)7 (x 2)6(x +3)+(x 1)8(x 2)5(7x +16).E podemos resolver a equao f (x) = 0. Mas para omomento, apenas calculamos f .
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Podemos calcular os valores de x para os quais a derivada def (x) = (x 1)8(x 2)6(x + 3) se anula.Inicialmente calculamos ((x 1)8(x 2)6(x + 3)) que oproduto das funes u(x) = (x 1)8 e v(x) = (x 2)6(x +3).Pelo que vimos acima, pela regra da cadeia:((x 1)8) = 8(x 1)7 e ((x 2)6) = 6(x 2)5.Pela regra do produto f = uv + uv , falta apenas calcularv (x) = 6(x 2)5(x + 3) + (x 2)6, podemos simplificarv (x) = (x 2)5(6(x + 3) + x 2) = (x 2)5(7x + 16)Da,f (x) = 8(x 1)7 (x 2)6(x +3)+(x 1)8(x 2)5(7x +16).E podemos resolver a equao f (x) = 0. Mas para omomento, apenas calculamos f .
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Podemos calcular os valores de x para os quais a derivada def (x) = (x 1)8(x 2)6(x + 3) se anula.Inicialmente calculamos ((x 1)8(x 2)6(x + 3)) que oproduto das funes u(x) = (x 1)8 e v(x) = (x 2)6(x +3).Pelo que vimos acima, pela regra da cadeia:((x 1)8) = 8(x 1)7 e ((x 2)6) = 6(x 2)5.Pela regra do produto f = uv + uv , falta apenas calcularv (x) = 6(x 2)5(x + 3) + (x 2)6, podemos simplificarv (x) = (x 2)5(6(x + 3) + x 2) = (x 2)5(7x + 16)Da,f (x) = 8(x 1)7 (x 2)6(x +3)+(x 1)8(x 2)5(7x +16).E podemos resolver a equao f (x) = 0. Mas para omomento, apenas calculamos f .
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Podemos calcular os valores de x para os quais a derivada def (x) = (x 1)8(x 2)6(x + 3) se anula.Inicialmente calculamos ((x 1)8(x 2)6(x + 3)) que oproduto das funes u(x) = (x 1)8 e v(x) = (x 2)6(x +3).Pelo que vimos acima, pela regra da cadeia:((x 1)8) = 8(x 1)7 e ((x 2)6) = 6(x 2)5.Pela regra do produto f = uv + uv , falta apenas calcularv (x) = 6(x 2)5(x + 3) + (x 2)6, podemos simplificarv (x) = (x 2)5(6(x + 3) + x 2) = (x 2)5(7x + 16)Da,f (x) = 8(x 1)7 (x 2)6(x +3)+(x 1)8(x 2)5(7x +16).E podemos resolver a equao f (x) = 0. Mas para omomento, apenas calculamos f .
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
A funo u(x) =x2 + 1 a composio da funo f (x) =
x
com a funo g(x) = x2 + 1. Desse modo, u(x) = f (g(x)) e(x2 + 1) = u(x) = (f (g(x)) = f (g(x)) g (x), de modo que
calculamos f (x) = 12x e g(x) = 2x , e as composies
determinam f (x) = 12x2+1 2x que simplificando resultaf (x) = xx2+1
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Aplicao da Regra da Cadeia
Uma das aplicaes da regra da cadeia o clculo da derivadade funes inversas (f 1), a partir da funo f e sua derivadaf .Tal aplicao tambm est relacionada com o conceito defuno implcita, que veremos mais frente.Seja f uma funo invertvel cuja inversa f 1. Entof 1(f (x)) = f (f 1(x)) = x .Por um lado, deve ser evidente que (f (f 1(x))) = (x) = 1,pois (x) = 1 (o coeficiente angular da reta tangente).
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Aplicao de derivadasregras de derivao
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Aplicao da Regra da Cadeia
Uma das aplicaes da regra da cadeia o clculo da derivadade funes inversas (f 1), a partir da funo f e sua derivadaf .Tal aplicao tambm est relacionada com o conceito defuno implcita, que veremos mais frente.Seja f uma funo invertvel cuja inversa f 1. Entof 1(f (x)) = f (f 1(x)) = x .Por um lado, deve ser evidente que (f (f 1(x))) = (x) = 1,pois (x) = 1 (o coeficiente angular da reta tangente).
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Aplicao da Regra da Cadeia
Uma das aplicaes da regra da cadeia o clculo da derivadade funes inversas (f 1), a partir da funo f e sua derivadaf .Tal aplicao tambm est relacionada com o conceito defuno implcita, que veremos mais frente.Seja f uma funo invertvel cuja inversa f 1. Entof 1(f (x)) = f (f 1(x)) = x .Por um lado, deve ser evidente que (f (f 1(x))) = (x) = 1,pois (x) = 1 (o coeficiente angular da reta tangente).
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Aplicao da Regra da Cadeia
Uma das aplicaes da regra da cadeia o clculo da derivadade funes inversas (f 1), a partir da funo f e sua derivadaf .Tal aplicao tambm est relacionada com o conceito defuno implcita, que veremos mais frente.Seja f uma funo invertvel cuja inversa f 1. Entof 1(f (x)) = f (f 1(x)) = x .Por um lado, deve ser evidente que (f (f 1(x))) = (x) = 1,pois (x) = 1 (o coeficiente angular da reta tangente).
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Aplicao da Regra da Cadeia
Vimos que a derivada da funo xpq , q 6= 0 e p, q Z pode ser
calculada diretamente pela definio. A seguir, mostramos comocalcular esta derivada pela regra da cadeia.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Por outro lado, (f (f 1(x))) a derivada de uma funocomposta, onde u = f e v = f 1. Aplicando a regra dacadeia (f (f 1(x))) = (u(v(x))) = u(v(x)) v (x) =f (f 1(x)) (f 1(x)), mas esta derivada 1, entof (f 1(x)) (f 1(x)) = 1, logo, obtemos:
(f 1(x)) = 1f (f 1(x)) .
Ou seja, (f 1(x0)) a imagem da derivada da funo inversaem x0 o inverso da imagem da derivada da funo f emf 1(x0).
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Por outro lado, (f (f 1(x))) a derivada de uma funocomposta, onde u = f e v = f 1. Aplicando a regra dacadeia (f (f 1(x))) = (u(v(x))) = u(v(x)) v (x) =f (f 1(x)) (f 1(x)), mas esta derivada 1, entof (f 1(x)) (f 1(x)) = 1, logo, obtemos:
(f 1(x)) = 1f (f 1(x)) .
Ou seja, (f 1(x0)) a imagem da derivada da funo inversaem x0 o inverso da imagem da derivada da funo f emf 1(x0).
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
ExemploSabemos que f 1(x) =
x a inversa da funo f (x) = x2.
Podemos calcular (x) = 1f (f 1(x)) .
Ora f (x) = 2x, assim f (f 1(x)) = f (x) = 2
x. Invertendo,
obtemos(x) = 12
x .
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
ExerccioCalcule a derivada da funo 3
x, sabendo-se que sua inversa a
funo x3.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Vamos calcular (xn), quando n = pq Q.
Escrevendo f (x) = xpq = qxp, podemos calcular esta
derivada em dois passos.Primeiro, calculamos a derivada da funo x
1q , isto , a
funo qx , acima nos fizemos este clculos para q = 3.
Em seguida, utilizamos a regra da cadeia para a funof (x) = x
pq = qxp, sendo u(x) = q
x e v(x) = xp, cuja
derivada v (x) = p xp1 e a derivada de u calculamos aseguir.
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Vamos calcular (xn), quando n = pq Q.
Escrevendo f (x) = xpq = qxp, podemos calcular esta
derivada em dois passos.Primeiro, calculamos a derivada da funo x
1q , isto , a
funo qx , acima nos fizemos este clculos para q = 3.
Em seguida, utilizamos a regra da cadeia para a funof (x) = x
pq = qxp, sendo u(x) = q
x e v(x) = xp, cuja
derivada v (x) = p xp1 e a derivada de u calculamos aseguir.
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Vamos calcular (xn), quando n = pq Q.
Escrevendo f (x) = xpq = qxp, podemos calcular esta
derivada em dois passos.Primeiro, calculamos a derivada da funo x
1q , isto , a
funo qx , acima nos fizemos este clculos para q = 3.
Em seguida, utilizamos a regra da cadeia para a funof (x) = x
pq = qxp, sendo u(x) = q
x e v(x) = xp, cuja
derivada v (x) = p xp1 e a derivada de u calculamos aseguir.
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Vamos calcular (xn), quando n = pq Q.
Escrevendo f (x) = xpq = qxp, podemos calcular esta
derivada em dois passos.Primeiro, calculamos a derivada da funo x
1q , isto , a
funo qx , acima nos fizemos este clculos para q = 3.
Em seguida, utilizamos a regra da cadeia para a funof (x) = x
pq = qxp, sendo u(x) = q
x e v(x) = xp, cuja
derivada v (x) = p xp1 e a derivada de u calculamos aseguir.
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Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Clculo de ( q
x)
A funo qx a inversa da funo xq.
Assim f (x) = xq e f 1(x) = qx . Claramente
f (x) = q xq1.Calculamos f (f 1(x)) = f ( q
x) = q ( q
x)q1 = q q
xq1
Assim ( qx) = 1
q q
xq1
Observe que 1q q
xq1= 1q x
1q1, ou seja (xn) = n xn1,
vlida quando n = 1q
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Clculo de ( q
x)
A funo qx a inversa da funo xq.
Assim f (x) = xq e f 1(x) = qx . Claramente
f (x) = q xq1.Calculamos f (f 1(x)) = f ( q
x) = q ( q
x)q1 = q q
xq1
Assim ( qx) = 1
q q
xq1
Observe que 1q q
xq1= 1q x
1q1, ou seja (xn) = n xn1,
vlida quando n = 1q
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Clculo de ( q
x)
A funo qx a inversa da funo xq.
Assim f (x) = xq e f 1(x) = qx . Claramente
f (x) = q xq1.Calculamos f (f 1(x)) = f ( q
x) = q ( q
x)q1 = q q
xq1
Assim ( qx) = 1
q q
xq1
Observe que 1q q
xq1= 1q x
1q1, ou seja (xn) = n xn1,
vlida quando n = 1q
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Clculo de ( q
x)
A funo qx a inversa da funo xq.
Assim f (x) = xq e f 1(x) = qx . Claramente
f (x) = q xq1.Calculamos f (f 1(x)) = f ( q
x) = q ( q
x)q1 = q q
xq1
Assim ( qx) = 1
q q
xq1
Observe que 1q q
xq1= 1q x
1q1, ou seja (xn) = n xn1,
vlida quando n = 1q
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Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Clculo de ( q
x)
A funo qx a inversa da funo xq.
Assim f (x) = xq e f 1(x) = qx . Claramente
f (x) = q xq1.Calculamos f (f 1(x)) = f ( q
x) = q ( q
x)q1 = q q
xq1
Assim ( qx) = 1
q q
xq1
Observe que 1q q
xq1= 1q x
1q1, ou seja (xn) = n xn1,
vlida quando n = 1q
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Podemos agora calcular (xpq ), a partir de u(v(x)), com
u(x) = xp, v(x) = qx , u(x) = p xp1 e v (x) = 1
q q
xq1
(xpq ) = (u(v(x)) = u(v(x))v (x), falta apenas calcular
u(v(x)) = u( qx) = p( q
x)p1 = p q
xp1.
Como vimos, a derivada ser p qxp1 1
q q
xq1o quociente
entre p qxp1 e q q
xq1, que resulta em pq x
pq1.
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AssuntoClculo de derivadas
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Podemos agora calcular (xpq ), a partir de u(v(x)), com
u(x) = xp, v(x) = qx , u(x) = p xp1 e v (x) = 1
q q
xq1
(xpq ) = (u(v(x)) = u(v(x))v (x), falta apenas calcular
u(v(x)) = u( qx) = p( q
x)p1 = p q
xp1.
Como vimos, a derivada ser p qxp1 1
q q
xq1o quociente
entre p qxp1 e q q
xq1, que resulta em pq x
pq1.
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Derivada da Funo Exponencial
Propriedades da derivadaA regra da cadeia
Podemos agora calcular (xpq ), a partir de u(v(x)), com
u(x) = xp, v(x) = qx , u(x) = p xp1 e v (x) = 1
q q
xq1
(xpq ) = (u(v(x)) = u(v(x))v (x), falta apenas calcular
u(v(x)) = u( qx) = p( q
x)p1 = p q
xp1.
Como vimos, a derivada ser p qxp1 1
q q
xq1o quociente
entre p qxp1 e q q
xq1, que resulta em pq x
pq1.
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
subject
1 Clculo de derivadasPropriedades da derivada
2 Aplicao de derivadasIntervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
3 regras de derivaoPropriedades da derivadaA regra da cadeia
4 Derivada da Funo Exponencial
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AssuntoClculo de derivadas
Aplicao de derivadasregras de derivao
Derivada da Funo Exponencial
Assunto para a prxima aula
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AssuntoClculo de derivadasPropriedades da derivada
Aplicao de derivadasIntervalos de crescimento ou decrescimentoEquao da reta tangenteAproximaes com a derivada
regras de derivaoPropriedades da derivadaA regra da cadeia
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