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2
Introducción
Un puerto esta formado por dos terminales
Conectar una fuente ó señal de entrada. La corriente que entra por un terminal
Sale por el otro terminal.
Red de un puerto
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Redes de dos puertos
Una red de dos puertos tiene dos pares de terminales
Un puerto de entrada (fuente) y Un puerto de salida (carga).
Puede conectarse con otra red para formar una red más compleja.
1 3 2 4;i i i i
4
Redes de dos puertos
Una red de dos puertos no tiene conexión entre el circuito externo del lado derecho y el del lado izquierdo excepto a través del cuadripolo. Puede considerarse que es el único medio de transmisión entre ambas partes.
5
Se definen como variables de redes de dos puertos: el voltaje de entrada V1, la corriente de entrada I1, el voltaje de salida V2, y la corriente de salida I2. De estas cuatro variables, se seleccionan dos como variables independientes y dos como variables dependientes.
Red lineal – No hay fuentes independientes
Redes de dos puertos
6
Ecuaciones y parámetros de RDP
Las ecuaciones de una red lineal de dos puertos expresan a las dos variables dependientes como una combinación lineal de las dos variables independientes.
Se utilizan para modelar el comportamiento de la red vista desde sus terminales.
Los cuatro coeficientes de las mencionadas combinaciones lineales se denominan parámetros de la red.
Existen diversos conjuntos de parámetros, de acuerdo a cuáles variables se eligen como independientes.
1 11 1 12 2
2 21 1 22 2
V P I P I
V P I P I
7
Parámetros de admitancia [Y] Supongamos que las variables
independientes son los voltajes, en tal caso, las ecuaciones del circuito son las siguientes:
En forma matricial, se tiene:
Con base en las ecuaciones del circuito, los parámetros de admitancia de cortocircuito se definen de la siguiente manera:
2221212
2121111
VyVyI
VyVyI
2
1
2221
1211
2
1
V
V
yy
yy
I
I
8
Parámetros de admitancia [Y]
y11 y y21 se determinan con el puerto de salida en corto circuito, y excitando el puerto de entrada. Por ello se denominan admitancia de entrada con la salida en corto circuito y admitancia de transferencia con la salida en corto circuito, respectivamente.
y22 y y12 se determinan con el puerto de entrada en corto circuito, y excitando el puerto de salida. Por ello se denominan admitancia de salida con la entrada en corto circuito y admitancia de transferencia con la entrada en corto circuito, respectivamente.
0000 12
2221
2
1122
1
2212
1
111 V
V
IyV
V
IyV
V
IyV
V
Iy
10
Ejemplo
Determine los parámetros de impedancia de circuito abierto para el circuito.
Ls
VVVCs
RLs
VVVVCsI
RLs
VVI x
xx
xx
)();(; 21
221
1
RLsRLCsCsL
VRLCsCsLLsVVx
2
)(232
2232
1
11
Ejemplo
2
1
232
2
232
2
232
2
232
2
2
1
2
2
2
22
1
V
V
RLsRLCsCsL
RCsLCs
RLsRLCsCsL
LCsRLsRLCsCsL
LCs
RLsRLCsCsL
LCs
I
I
RLsRLCsCsL
LCsyy
2232
2
2112
12
Admitancia de entrada y Ganancia de voltaje
A partir de los parámetros de admitancia de cortocircuito se pueden determinar las funciones circuitales de interés cuando a la entrada se coloca una fuente ideal de voltaje y a la salida se conecta una carga resistiva
R
sVIsVVVyVyIVyVyI o
i
)();(;; 2122212122121111
13
Admitancia de entrada y Ganancia de voltaje
R
sVIsVVVyVyIVyVyI o
i
)();(;; 2122212122121111
Ry
y
sV
sVsG
i
o
1)(
)()(
22
21
Ry
yyysYin 1
)(
22
211211
14
Ejemplo
Los parámetros de admitancia de cortocircuito de un circuito vienen dados por:
Determine la ganancia de voltaje del circuito cuando se le conecta una carga: 0,9 Ω
Dibuje el diagrama de polos y ceros Encuentre la respuesta al escalón unitario y
represente gráficamente.
3432
34
3432
23432
2
3432
)1(2
23
2
23
2
23
2
23
2
2221
1211
sss
ss
sss
ssss
s
sss
s
yy
yy
15
Ejemplo
La ganancia de voltaje del circuito es:
La función tiene un cero doble en el origen y tres polos, dados por:
30676620
18
3432
34
9
103432
2
)(23
2
23
2
23
2
sss
s
sss
sssss
s
sG
57.065.057.065.02 321 jpjpp
17
Ejemplo
Para hallar la respuesta al escalón unitario escribimos la ganancia de voltaje en forma factorizada, así:
La transformada inversa de Laplace de la salida es:
ssss
s
ssGsVo )152620)(2(
181)()(
2
2
)()57.0sen(5633
198)57.0cos(
43
36
43
36)( 65.02 tutteetv tt
o
18
Ejemplo
0.2
0.2
vo t( )
100 t0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0.2
0.1
0
0.1
0.2Re s p u e s t a a l e s c a l o n
)()57.0sen(5633
198)57.0cos(
43
36
43
36)( 65.02 tutteetv tt
o
19
Parámetros de impedancia [Z] Supongamos que las variables independientes son
las corrientes, en tal caso, las ecuaciones del circuito son las siguientes:
En forma matricial, se tiene:
Con base en las ecuaciones del circuito, los parámetros de impedancia de circuito abierto se definen de la siguiente manera:
2221212
2121111
IzIzV
IzIzV
2
1
2221
1211
2
1
I
I
zz
zz
V
V
20
Parámetros de impedancia [Z]
z11 y z21 se determinan dejando el puerto de salida en circuito abierto, y excitando el puerto de entrada. Por ello se denominan impedancia de entrada con la salida en circuito abierto e impedancia de transferencia con la salida en circuito abierto, respectivamente.
z22 y z12 se determinan dejando el puerto de entrada en circuito abierto, y excitando el puerto de salida. Por ello se denominan impedancia de salida con la entrada en circuito abierto e impedancia de transferencia con la entrada en circuito abierto, respectivamente.
0000 12
2221
2
1122
1
2212
1
111 I
I
VzI
I
VzI
I
VzI
I
Vz
22
Ejemplo
Determine los parámetros de impedancia de circuito abierto para el circuito.
)(1
)()(
1222
2111
IILsICs
V
IILsIRLsV
CsLsLs
LsRLs
zz
zz1
2
2221
1211
2112 zz
23
Se tiene una red de dos puerto con una impedancia de carga a la salida
Se dijo que los parámetros de impedancia se describen como:
Impedancia de entrada y Ganancia de voltaje
2221212
2121111
IzIzV
IzIzV
24
Ganancia de voltaje
Teniendo en cuenta la carga, se tiene entonces :
Para determinar la función de transferencia, eliminamos I1 de las ecuaciónes anteriores
Despejamos2
12 1
111
L
VZ Vz
IZ
12 2 1
111
L
L
Z V Z VI
Z Z
L
L
Z
VzIzV
Z
VzIzV
2221212
2121111
25
Ganancia de voltaje
Y reemplazamos
Y se llega a que la función de transferencia es:
12 2 1 22 21 22
11
L
L L
Z V Z V VV Z Z
Z Z Z
2 21
1 11( )L
L
V Z Z
V Z Z Z
11 22 21 12( )Z Z Z Z Z
26
Impedancia de entrada
Para la impedancia de entrada, eliminamos V2
L
L
Z
VzIzV
Z
VzIzV
2221212
2121111
222 21 11
L
ZV Z I
Z
21 1
222
L
L
Z I ZV
Z Z
27
Impedancia de entrada
Reemplazando
21 1
221 11 1 12
( )LL
L
Z Z IZ Z
V Z I ZZ
12 21
1 1 11 122L
Z ZV I Z I
Z Z
1 11 11 22 12 21
1 22
L
L
V Z Z Z Z Z Z
I Z Z
28
Relación entre [Z] y [Y]
A partir de los parámetros de admitancia de cortocircuito se pueden obtener los parámetros de impedancia de circuito abierto y viceversa, así:
Multiplicando por la inversa, se tiene que:
2
1
2221
1211
2
1
V
V
yy
yy
I
I
2
1
1
2221
1211
2
1
I
I
yy
yy
V
V
29
En consecuencia, la matriz de los parámetros de impedancia de circuito abierto es la inversa de la matriz de parámetros de admitancia de cortocircuito.
1
2221
1211
2221
1211
yy
yy
zz
zz 1
2221
1211
2221
1211
zz
zz
yy
yy
Relación entre [Z] y [Y]
30
Ejemplo
Hallar [Z] a partir de [Y]1
2221
1211 12
CsLsLs
LsRLs
yy
yy
RLsRLCsCsL
RCsLCs
RLsRLCsCsL
LCsRLsRLCsCsL
LCs
RLsRLCsCsL
LCs
yy
yy
2
2
2
22
1
232
2
232
2
232
2
232
2
2221
1211
21122211
11
21122211
21
21122211
12
21122211
221
2221
1211
2221
1211
yyyy
y
yyyy
yyyyy
y
yyyy
y
yy
yy
zz
zz
31
Parámetros híbridos [H]
Las variables independientes son la corriente de entrada y el voltaje de salida. Así las cosas, las ecuaciones del circuito son:
2221212
2121111
VhIhI
VhIhV
2
1
2221
1211
2
1
V
I
hh
hh
I
V
0000 12
2221
2
1122
1
2212
1
111 I
V
IhI
V
VhV
I
IhV
I
Vh
32
Parámetros híbridos [H]
h11 y h21 se determinan con el puerto de salida en corto circuito, y excitando el puerto de entrada. Se denominan impedancia de entrada con la salida en corto circuito y ganancia de corriente con la salida en corto circuito, respectivamente.
h22 y h12 se determinan con el puerto de entrada en circuito abierto, y excitando el puerto de salida. Se denominan admitancia de salida con la entrada en circuito abierto y ganancia inversa de voltaje con la entrada en circuito abierto, respectivamente.
0000 12
2221
2
1122
1
2212
1
111 I
V
IhI
V
VhV
I
IhV
I
Vh
33
Parámetros híbridos [G]
Las variables independientes son la corriente de entrada y el voltaje de salida. Así las cosas, las ecuaciones del circuito son:
2221212
2121111
IgVgV
IgVgI
2
1
2221
1211
2
1
I
V
gg
gg
V
I
0000 12
2221
2
1122
1
2212
1
111 V
I
VgV
I
IgI
V
VgI
V
Ig
34
Parámetros de transmisión [T]
Las variables independientes son la corriente y el voltaje de salida. Así las cosas, las ecuaciones del circuito son:
221
221
IDVCI
IBVAV
2
2
1
1
I
V
DC
BA
I
V
0000 22
12
2
12
2
12
2
1
VI
IDV
I
VBI
V
ICI
V
VA
35
Interconexión de RDP
Conexión en serie
1 1 1
2 2 2
a b
a b
I I I
I I I
1 1 1
2 2 2
a b
a b
V V V
V V V
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
a bZ Z Z
V Z I
36
Interconexión de RDP
Conexión en paralelo
1 1 1
2 2 2
a b
a b
I I I
I I I
1 1 1
2 2 2
a b
a b
V V V
V V V
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ][ ]
a bY Y Y
I Y V
39
Ejemplo
Para el circuito del ejemplo anterior; determine el voltaje de salida cuando la excitación es la señal escalón unitario y represente gráficamente.
Solución La función de transferencia era:
Para la excitación con el escalón unitario:
Voltaje de salida será:
Dominio del tiempo:
102
10
)(
)(2
sssV
sV
i
o
ssVi
1)(
)102(
10)(
2
ssssVo
)()3sen(3
1)3cos(1)( tutetetv tt
o
40
Ejemplo
La función de transferencia en forma factorizada es la siguiente: f=ilaplace((s+1/2)/((s+0.3091)*(s+1.65)*(s^2+1.291*s+1.9609)))
La respuesta al escalón unitario:
)9609.1s2910.1s)(6500.1s)(3091.0s(
s)s(G
22
1
2427.1j6455.02427.1j6455.03091.06500.1
sssss
ssG
)9609.12910.1)(6500.1)(3091.0()(
22
1
tseneteeetve ttt 243.1349.0243.1cos018.0204.0278.05.0)( 645.0645.065.1309.0