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GeometríaGeometría20102010
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Clase Nº 12 Clase Nº 12 Circunferencia y Círculo IICircunferencia y Círculo II
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APRENDIZAJES ESPERADOS
• Resolver ejercicios que involucren teoremas de ángulos en la circunferencia.
• Aplicar proporcionalidad de trazos y segmentos en la circunferencia.
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1.Teoremas fundamentales - Ángulos
Contenidos
1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
1.2 Igualdad de ángulos inscritos
1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferencia
1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferencia
1.5 Teorema del ángulo exterior
1.6 Teorema del ángulo interior
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2.3 Teorema de las tangentes
2.4 Teorema de las cuerdas
2.5 Cuadrilátero circunscrito a una circunferencia
2. Teoremas fundamentales - Trazos
2.1 Teorema de las secantes
2.2 Teorema de la tangente y la secante
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1. Teoremas fundamentales (ángulos)
1.1 Ángulo del centro y ángulo inscrito
Ángulo del centro: Tiene el vértice en el centro de la circunferencia, y mide lo mismo que el arco que subtiende.
Ejemplo:Si el arco AB = 40º, entonces α = 40º
O: centro de la circunferencia
40°
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Ángulo inscrito: Tiene el vértice en la circunferencia, y mide la mitad del arco que subtiende.
Ejemplo:Si el arco AB = 50º, entonces α = 25º
50°
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Corolario: Si un ángulo inscrito y un ángulo del centro subtienden el mismo arco, entonces el ángulo del centro es el doble del ángulo inscrito.
2α
Además, se cumple que:
α = γ + δ
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Ejemplo:
En la figura, si arco AB mide 70°, entonces el ángulo del centro AOB también mide 70° y el ángulo inscrito ACB mide 35°.
70°
O: centro de la circunferencia
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1.2 Igualdad de ángulos inscritosSi dos o más ángulos inscritos subtienden el mismo arco, éstos son iguales.
α = β = γ
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1.3 Triángulo inscrito en una semicircunferenciaTodo triángulo inscrito en una semicircunferencia es rectángulo con hipotenusa igual al diámetro.
180°
O: centro de la circunferencia
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1.4 Cuadrilátero inscrito en una circunferenciaEn todo cuadrilátero inscrito en una circunferencia, los ángulos opuestos son suplementarios.
α + β = 180°
γ + δ = 180°
Ejemplo:
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1.5 Teorema del ángulo exteriorSi α es ángulo exterior de la circunferencia, entonces:
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1.6 Teorema del ángulo interiorSi α es ángulo interior de la circunferencia, entonces:
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2. Teoremas fundamentales (trazos)
2.1 Teorema de las secantesSean PA y PB dos secantes, entonces:
PA ∙ PD = PB ∙ PC
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Ejemplo:
12
20
6
x
12 ∙ PD = 20 ∙ 6
12 ∙ PD = 120
PD= 10
PA ∙ PD = PB ∙ PC
En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.
PA y PB secantes.
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2.2 Teorema de la tangente y secanteSean PA una tangente y PC una secante, entonces:
(PA)2 = PC ∙ PD
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2.3 Teorema de las tangentes
PA = PC
Sean PA y PC dos tangentes, entonces:
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2.4 Teorema de las cuerdasSean AB y CD dos cuerdas, entonces:
AP ∙ PB = CP ∙ PD
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2.5 Cuadrilátero circunscrito
a + c = b + d
5 + c = 7 + 8
c = 10
Ejemplo:
Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:
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Los contenidos revisados anteriormente los puedes encontrar en tu libro, desde la página 260 a la 267.
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