Download - Circuitos Elétricos 1 - Aula 11
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Estes teoremas fornecem informações
importantes para a análise de circuitos.
Eles permitem “esconder” informações
não relevantes para que se possa
concentrar no que é importante para a
análise em questão.
Teoremas de Thevenin e Norton
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http://angelfire.com/ab3/mjramp/index.html
Amplificador de áudio de baixa distorção
Do PreAmp (tensão ) Às caixas de som
Para se “casar” caixas de som e amplificadores é muito mais fácil se considerar este circuito equivalente.
Para se “casar” caixas de som e amplificadores é necessária a análise deste circuito.
+
-
RTH
VTH
Substituir o amplificador por um “equivalente” mais simples
Courtesy of M.J. Renardson
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LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART B
a
b_
Ov
i
Teorema do Equivalente de Thevenin
Thevenin de eEquivalent aResistênci
Thevenin de eEquivalent Fonte
TH
TH
R
v
LINEAR CIRCUIT
PART B
a
b_
Ov
i
THR
THv
PART A
Circuito Equivalente de Thevenin
para a PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE B
CIRCUITO LINEAR
PARTE B
PARTE A
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LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART B
a
b_
Ov
i
Teorema Equivalente de Norton
Norton de eEquivalent aResistênci
Norton de eEquivalent Fonte
N
N
R
i
LINEAR CIRCUIT
PART B
a
b_
Ov
i
NRNi
PART A
Circuito Equivalente de Norton
para a PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE B
CIRCUITO LINEAR
PARTE B
PARTE A
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Motivação para o uso destes teoremas:
curva característica i-v de um circuito
Aplicando-se uma tensão v nos terminais A-B indicados, pode-se medir a corrente
resultante i.
bmvi
Para uma rede (circuito) linear, a característica i-v é uma função linear*:
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* Mais especificamente, uma função f: definida por uma equação do tipo:
é uma função afim.
Pode também ser interpretada como uma função polinomial de primeira ordem
de uma variável. No gráfico cartesiano, trata-se da equação de uma linha reta
com inclinação (coeficiente angular) m e coeficiente linear b.
Uma função linear f: , por sua vez, é definida por uma equação do tipo:
No gráfico cartesiano, trata-se da equação de uma linha reta com inclinação
(coeficiente angular) m que passa sempre pela origem (b = 0).
Em outras palavras, uma função afim é a composição de uma função linear com
uma translação.
baxbxaxf , , , )(
axxaxf , , )(
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Exemplos de características i-v:
Normalmente, a característica i-v não passa pela origem.
Veja o próximo exemplo.
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Exemplos de características i-v:
0 vVsiRLKT: ou
R
Vsvi
Equivalentemente: VsiRv
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Exemplos de características i-v:
0 iR
vIS
LKC: ou
R
vIsi
Corrente de
curto circuito
Tensão de
circuito aberto
Equivalentemente: IsRiRv
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monitores: Ricardo Didonet ([email protected])
Lígia Magalhães ([email protected])
Da aula 7:
2) A rede linear mostrada possui apenas fontes independentes e
resistores. Se a característica i-v para a tensão e corrente mostradas é
dada por:
Determine a potência (em Watts) fornecida à resistência de carga RL.
5125.0 vi
Rede linear
resistiva
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Da aula 7: 3) Duas fontes de tensão não ideais encontram-se conectadas em paralelo. A primeira fonte possui uma tensão V1 e uma resistência R1. A segunda fonte possui tensão V2 e resistência interna R2. Esta combinação em paralelo fornece uma fonte de tensão não ideal com que tensão e resistências equivalentes? Dica: Utilize o resultado do exercício anterior como referência.
monitores: Ricardo Didonet ([email protected]) Lígia Magalhães ([email protected])
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Qual característica i-v corresponde à uma resistência maior?
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Redes de dois terminais equivalentes
0 vVsiRLKT: ou
R
Vsvi
0 iR
vIS
LKC: ou
R
vIsi
Se VS = R I
S ou I
S = V
S / R:
as duas redes são equivalentes
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Examplos de Partições Válidas e Inválidas
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Explicação – versão 1
Se o Circuito A permanecer inalterado, a corrente i deve is permanecer a mesma Vo
Usando a superposição de fontes
SCi
Todas as fontes independentes em repouso no circuito A
Oi
O
OTH
i
vR Defina
SCO iii
OSC
TH
O viR
vi ;
SC
TH
OCOCO i
R
vvv
i
0
)0( aberto circuito :especial Caso
SC
OCTH
i
vR
TH
OCSC
R
vi
iRvviR
vi THOCOSC
TH
O Como se pode interpretar este resultado?
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Explicação – versão 2
2. Este resultado deve valer para “toda Parte B válida” que se pode criar
1. Devido à linearidade dos modelos, para qualquer Parte B a relação entre Vo e a corrente i deve ser da forma nimvO *
3. Se a parte B for um circuito aberto então i=0 e... OCvn
4. Se a parte B for um curto circuito então Vo é zero. Neste caso
OCTHO viRv Como isso pode ser interpretado?
OCSC vim *0 TH
SC
OC Ri
vm
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART B
a
b_
Ov
iCIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE B
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Este é o circuito equivalente de Thevenin para o circuito na parte A
OCTHO viRv Para QUALQUER circuito escolhido para a parte B
A fonte de tensão é chamada de fonte equivalente de Thevenin
A resistência é chamada de resistência equivalente de Thevenin
RTH
i +
_OvOCv +
_
A parte A deve se comportar como este circuito equivalente
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
ANY
PART B
a
b_
Ov
i
Abordagem de Thevenin
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
QUALQUER
PARTE B
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Abordagem de Norton
SCiTHR
Ov
a
b
i
Norton
TH
O
TH
OCTHOCO
R
v
R
viiRvv
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
ANY
PART B
a
b_
Ov
i
SC
TH
OC iR
v
Norton de eequivalent Fonte SCi
A parte a paraNorton de
eEquivalent do çãoRepresenta
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
QUALQUER
PARTE B
![Page 19: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/19.jpg)
RTH
i +
_OvOCv +
_
Thevenin
TH
OCSC
R
vi
- Esta equivalência pode ser interpretada como um problema de uma transformação de fonte.
- Isto mostra como se pode converter uma fonte de tensão em série com um resistor em um circuito equivalente composto por uma fonte de corrente em paralelo com o mesmo resistor.
SCiTHR
Ov
a
b
i
Norton
Interpretação alternativa dos teoremas de Thevenin e de Norton
A transformação de fontes pode ser uma ferramenta útil para reduzir a complexidade de um circuito.
![Page 20: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/20.jpg)
A transformação de fontes pode ser utilizada para se reduzir a complexidade de
um circuito ...
quando isto puder ser aplicado!!
A transformação de fontes pode ser utilizada para se determinar o equivalente de
Thevenin ou de Norton...
mas pode não ser a técnicas mais eficiente
“fontes ideais” não são bons modelos para o comportamento de fontes reais
Uma baterial real não produz uma corrente infinita quando seus terminais são curto-circuitados
+
-
Improved model
for voltage source
Improved model
for current source
SVVR
SI
IR
a
b
a
b SS
IV
RIV
RRR
quando esequivalent são modelos Estes
Modelo melhorado
para uma fonte de tensão
Modelo melhorado
para uma fonte de corrente
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EXAMPLO: Resolva pela transformação de fontes
A fonte de corrente equivalente terá o valor de 12V/3k
Os resistores de 3k e de 6k estão agora em paralelo e podem ser combinados
Entre os dois terminais conecta-se uma fonte de corrente e uma resistência em paralelo
Entre os terminais conecta-se uma fonte de tensão em série com um resistor
A fonte equivalente tem um valor de 4mA*2k
Os dois resistores de 2k ficam agora em série e podem ser combinados
Após a transformação as fontes podem ser combinadas
A fonte de corrente equivalente tem valor de 8V/4k e a fonte de corrente combinada tem valor de 4mA
Opções a partir deste ponto:
1. Realizar uma transformação de fonte adicional e obter um circuito com uma única malha
2. Usar divisor de corrente e calcular I_0 e a seguir V_0 usando a lei de Ohm
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Ou mais uma transformação de fonte
eqeqeq IRV +
-Veq
Req R3
R4
0V
Questão Compute V_0 usando a transformação de fontes
3 fontes de corrente em paraleloe três resistores em paralelo
0I
eqeqeq IRV eq
eq
VRRR
RV
34
40
Circuitos equivalentes
TH
TH
V
R
![Page 23: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/23.jpg)
A transformação de fontes pode ser utilizada para se determinar o equivalente de
Thevenin ou de Norton...
A seguir, veremos diversas abordagens eficientes
para se determinar os circuitos equivalentes de
Thevenin ou de Norton
+
-
Improved model
for voltage source
Improved model
for current source
SVVR
SI
IR
a
b
a
b SS
IV
RIV
RRR
quando esequivalent são modelos Os
Recaptulação da transformação de fontes
Modelo melhorado
para uma fonte de tensão
Modelo melhorado
para uma fonte de corrente
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Um procedimento geral para se determinar o equivalente de Thevenin
1. Determine a fonte equivalente de Thevenin
Remova a parte B e determine a tensão de circuito aberto abV
2. Determine a fonte equivalente de Norton
Remova a parte B e determine a corrente de cuirto circuito abI
SC
OCTHOCTH
i
vRvv ,
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
a
b
_
0
v
SCi
abI
Segundo passo
Resistance EquivalentThevenin
circuito curto umpor
asubstituídfor B parte a se b - a em flui que currente
Circuito Curto de Corrente
removidafor B parte a se b-a terminaisno tensão
Aberto Circuito de Tensão
SC
THTH
SC
TH
i
vR
i
v
Primeiro passo
_
abV
LINEAR CIRCUIT
May contain
independent and
dependent sources
with their controlling
variables
PART A
a
b
_
OCv
0iCIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
CIRCUITO LINEAR
Pode conter fontes
independentes e
dependentes com
suas variáveis de
controle
PARTE A
![Page 25: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/25.jpg)
Exemplo para a determinação do equivalente de Thevenin
+
-
a
b
To Part BVS
R1
R2IS
A parte B é irrelevante neste procedimento. A tensão V_ab será o valor da fonte equivalente de Thevenin.
Qual seria uma técnica eficiente para se determinar a tensão de circuito aberto?
THV
Para a corrente de curto circuito: Vamos tentar a superposição de fontes
SCI
1R
VII S
SSC
Fonte de corrente em repouso: a currente através do curto-circuito é
1
1
R
VI S
SC
Fonte de tensão em repouso: a corrente através do curto-circuito é SSC II 2
Para determinar a resistência equivalente de Thevenin pode-se utilizar
SC
THTH
I
VR
S
STH I
R
V
RR
RRV
121
21
Para este caso, a resistência equivalente de Thevenin resistance pode ser determinada como a resistência vista dos terminais a - b quando todas as fontes independentes forem colocadas em repouso
Este é um resultado geral?
SSTH
SS
TH
SSTHTH
IRR
RRV
RR
RV
IR
VV
RR
IR
VV
R
V
21
21
21
2
121
12
)11
(
0
Análise Nodal
21
21
RR
RRRTH
Para a parte B
![Page 26: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/26.jpg)
Determinando o equivalente de Thevenin em circuitos contendo apenas fontes
independentes
A fonte equivalente de Thevenin é determinada como a tensão de circuito aberto
A resistência equivalente de Thevenin pode ser determinada colocando-se todas as fontes dependentes em repouso e a seguir determinando-se a resistência vista pelos terminais onde este eqivalente será posicionado
+
-
a
b
To Part BVS
R1
R2IS
a
b
RTHR2R1
“Parte B”
kRTH 3
“Parte B”
kRTH 4
Como a obtenção do equivalente de Thevenin pode ser bem simples, ela pode ser adicionada às ferramentas disponíveis para a resolução de circuitos!!
Para a
parte B
![Page 27: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/27.jpg)
V6
k5
“PARTE B”
][1)6(51
1VV
kk
kVO
Para fixar Determine Vo na rede a seguir
utilizando o teorema de Thevenin
![Page 28: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/28.jpg)
Para fixar
Na região mostrada, pode-se utilizar duas vezes a transformação de fontes e reduzir esta parte a uma única fonte com um resistor.
... Ou pode-se aplicar a equivalência de Thevenin para esta parte (“Parte A”)
kRTH 4 Tensão de circuito aberto: elimina-se a parte do circuito fora da região demarcada
][8][1263
6VVVTH
O circito original torna-se...
Pode-se aplicar Thevenin novamente!
kR TH 41
1
THVPara a tensão de circuito aberto utilize LKT
VVmAkVTH 1682*41
...e obtêm-se um divisor de tensões simples!!
VVV 8][1688
80
Determine Vo usando Thevenin
![Page 29: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/29.jpg)
Ou pode-se utilizar Thevenin uma única vez e obter o divisor de tensões
“Part B”
Para a resistência equivalente de Thevenin
Para a tensão de Thevenin é necessário analizar o seguinte circuito Método??
Por exemplo, superposiçaõ de fontes
Contribuição da fonte de tensão
VVVOC 81263
61
Contribução da fonte de corrente
VmAkkVOC 8)2(*)22(2
Divisor de tensões simples
Equivalente de Thevenin da “Parte A”
kRTH 8
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Outro exemplo
Escolha como particionar o circuito. Torne a “Parte A” o mais simples possível
“Part B”
Como há apenas fontes independentes, para a resistência de Thevenin coloca-se todas as fontes em repouso e determina-se a resistência equivalente
Para a tensão de circuito aberto deve-se analisar o seguinte circuito (“Parte A”) ...
0)(246
2
211
2
IIkkIV
mAI
NodalAnálise
mAmAI
I3
5
6
26 21
][3/3243/20*2*4 21 VVIkIkVOC
O circuito torna-se...
Utilize Thevenin para determinar Vo
3
10
] )[4||2(2
kR
kR
TH
TH
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Utilize Thevenin para determinar Vo
“PART B”
OCVI
mAIVkI 2][189
][6123 VkIVOC
kkkRTH 26||3
OV
kRTH 2 k2
k4VVTH 6
Circuito equivalente resultante
][3)6(44
4VVVO
THR
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Determine Vo usando Norton
PARTE B kRR THN 3
SCI
mAmAk
VII NSC 22
3
12
NINR
k4
k2
N
N
NO I
kR
RkkIV
622
I
][3
4)2(
9
32 VVO
Determine Vo usando Thevenin PARTE B
THV
023
12
mA
k
VTH
kkRTH 43
+
-
THR
THV
k2
OV
][3
4)6(
72
2VVVO
![Page 33: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/33.jpg)
Problema típico:
+
-
RTH
VTH
Precisamos obter isto
Resistência Equivalente: Apenas fontes independentes
RRRRTH 5.13||3
THR
Tensão Equivalente: Nodal, malha, superposição…
1I
2I
SII 1 0)(5 221 RIIIRVS
THVKVL
)(2 212 IIRRIVTH
E superposição de fontes?
Abrindo a fonte de corrente:
2
1 STH
VV
Curto-circuitando a fonte de tensão
R
2R3R
IS
+
V2TH
_
1I SII6
51
2I
SII6
12
KVL
STH RIRIRIV2
12 21
2
21THTHTH VVV
Por malhas:
Determine o equivalente de Thevenin em a-b
![Page 34: Circuitos Elétricos 1 - Aula 11](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052208/5588be63d8b42a657e8b46c7/html5/thumbnails/34.jpg)
THV
Outro exemplo típico Somente fontes independentes Todos os resistores em paralelo!!
O circuito pode ser simplificado
THV
Para determinar a fonte equivalente...
THV
Divisor de tensão
])[6/246()6/8(8
8V
kk
kVTH
Transformação de fonte
kkkkRTH7
88||4||2
Determine o circuito equivalente de
Thevenin visto dos terminais a-b
Mostre todos os passos em sua resolução.
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Circuitos equivalente de Thevenin contendo apenas fontes dependentes
Um circuito contendo apenas fontes dependentes não consegue “auto-começar”.
0THV
Esta é uma enorme simplificação!!
Mas é necessária uma abordagem especial para a determinação da resistência equivalente de Thevenin.
Como o circuito não consegue “auto-começar”, é necessário analisá-lo com uma fonte externa.
A fonte pode ser uma fonte de tensão ou de corrente de qualquer valor!
Aquele a ser escolhido é determinado pela simplicidade do circuito resultante
0
0)(
21
21
x
Xx
IRRa
IRRaI
0021 xIRRa
(O que acontede se ) ?21 RRa
Para qualquer circuito apropriadamente projetado contendo apenas fontes dependentes
0,0 SCOC IV
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Escolhendo uma fonte de tensão externa...
)( PV
)( PVP
PTH
I
VR
1R
aIVII XP
XP
2R
VI P
X
PP VRR
a
RRI
2112
11
P
PTH
VRR
a
RR
VR
2112
11
Veja que, de fato, o valor numérico escolhido para a fonte de tensão externa é irrelevante. Pode-se, por exemplo, escolher VP = 1 V inicialmente, ou deixar valor literal.
Deve-se determinar a corrente fornecida pela fonte externa
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Escolhendo uma fonte de corrente externa
)( PI
)( PI
P
PTH
I
VR
Deve-se determinar a tensão nodal V_p
012
PXPP I
R
aIV
R
V
LKC
2R
VI P
X
PP IVRR
a
RR
2112
11
Novamente, o valor da corrente externa é irrelevante. Para simplificar, pode-se escolher IP = 1 A.