7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 1/121
Ciprian Necula
Evaluarea opţiunilor financiare
Volumul I. Modelul Black-
Scholes-Merton
Bucureşti2009
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 2/121
Domnului profesor Moisă Alt ăr
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 3/121
Cuprins
Introducere....................................................................................................................3 I. No ţ iuni privind teoria probabilit ăţ ilor ......................................................................6
I.1 No ţ iuni preliminare ..............................................................................................6 I.2 Variabile aleatoare...............................................................................................8 I.3 M ă sur ă şi probabilitate ......................................................................................10 I.4 Reparti ţ ia şi func ţ ia de reparti ţ ie a unei variabile aleatoare.............................12 I.5 Media unei variabile aleatoare ..........................................................................13 I.6 Convergen ţ a şirurilor de variabile aleatoare ....................................................17 I.7 Densitatea de reparti ţ ie a unei variabile aleatoare ...........................................18
I.8 Vectori aleatori...................................................................................................20 I.9 Func ţ ia caracteristică.........................................................................................21 I.10 No ţ iunea de independen ţă a variabilelor aleatoare.........................................21 I.11 Media condi ţ ionat ă...........................................................................................23
II. No ţ iuni privind teoria proceselor stocastice..........................................................25
II.1 No ţ iuni preliminare ...........................................................................................25 II.2 Mi şcarea browniană .........................................................................................27
III. No ţ iuni privind teoria calculului stocastic ..........................................................34
III.1 Varia ţ ia pătratică a unui proces stocastic.......................................................34 III.2 Integrala stocastică..........................................................................................38 III.3 Formula de schimbare de variabil ă.................................................................40 III.4 Teorema de reprezentare a martingalelor .......................................................43 III.5 Teorema de schimbare a mă surii.....................................................................44
IV. No ţ iuni privind teoria proceselor de difuzie ........................................................46
IV.1 Ecua ţ ii diferen ţ iale stocastice ..........................................................................46 IV.2 Generatorul infinitizimal al unui proces de difuzie .........................................50 IV.3 Teorema de leg ătur ă dintre procesele de difuzie şi ecua ţ iile diferen ţ iale cu
derivate par ţ iale.......................................................................................................52
1
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 4/121
V. Pia ţ a financiar ă de tip Black-Scholes-Merton (BSM)..........................................55
V.1 Ipotezele modelului Black-Scholes-Merton .......................................................55V.2 Arbitrajul şi mă sura neutr ă la risc ....................................................................57V.3 Trecerea de la probabilitate pie ţ ei la mă sura neutr ă la risc ............................60
V.4 Hedging şi mă sura neutr ă la risc ......................................................................61V.5 M ă sura neutr ă la risc in cazul unidimensional .................................................63V.6 M ă sura neutr ă la risc in cazul bidimensional ...................................................64V.7 Utilizarea mă surii neutre la risc pentru evaluarea produselor financiare
derivate ....................................................................................................................66
VI. Evaluarea op ţ iunilor europene în contextul pie ţ ei financiare de tip BSM ........69
VI.1 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o ac ţ iune f ăr ă dividend ..................69VI.2 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o ac ţ iune cu dividend ....................72VI.3 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o valut ă..........................................75
VI.4 Op ţ iuni europene care au ca activ suport un contract futures ........................76VII. Evaluarea op ţ iunilor cu barier ă în contextul pie ţ ei financiare de tip BSM .....80
VII.1 Op ţ iuni knock-out şi knock-in .........................................................................80VII.2 Op ţ iuni "ladder" .............................................................................................93
VIII. Evaluarea op ţ iunilor dependente de drum în contextul pie ţ ei financiare de tip
BSM .............................................................................................................................96
VIII.1 Op ţ iuni cliquet ...............................................................................................96VIII.2 Op ţ iuni cu maxim discret ...............................................................................99VIII.3 Op ţ iuni asiatice ...........................................................................................102
IX. Evaluarea op ţ iunilor cu mai multe active suport în contextul pie ţ ei financiare
de tip BSM .................................................................................................................104
IX.1 Distribu ţ ia normal ă bidimensional ă ..............................................................104 IX.2 Mi şcarea browniană bidimensional ă.............................................................105 IX.3 Proces de difuzie bidimensional şi lema Ito bidimensional ă .........................105 IX.4 Evolu ţ ia cursului a două active......................................................................106 IX.5 Op ţ iuni curcubeu............................................................................................107 IX.6 Op ţ iuni quanto ...............................................................................................112
Bibliografie................................................................................................................118
2
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 5/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Introducere
Monografia de faţă se adresează studenţilor care doresc să aprofundezedomeniul evaluării opţiunilor financiare. Parcurgerea acestei lucr ări presupune
cunoaşterea noţiunilor elementare privind utilizarea şi evaluarea derivativelor
financiare (vezi Altăr - 2008, Hull - 2006). Volumul I reprezintă o abordare ab initio
în ceea ce priveşte evaluarea opţiunilor în contextul pieţei financiare de tip Black-
Scholes-Merton. Astfel, prima parte (capitolele I-IV) este consacrată aspectelor
teoretice necesare în cadrul matematicii financiare, iar în partea a doua (capitolele V-
IX) este analizată viabilitatea şi completitudinea pieţei financiare de tip BSM şi suntevaluate diferite tipuri de opţiuni financiare.
In capitolul I sunt prezentate noţiuni elementare de teoria probabilităţilor cum
ar fi conceptul de variabilă aleatoare, repartiţie şi funcţie de repartiţie, funcţie de
densitate, funcţie caracteristică, medie condiţionată ş.a.
Capitolul II este axat pe studiul mişcării browniene, fiind analizate
principalele proprietăţi ale mişcării browniene: proprietatea de scalare, simetrie şi
inversiune a timpului, nederivabilitatea traiectoriilor, calculul variaţiei pătratice, proprietatea Markov, proprietatea tare Markov, principiul de reflexie, precum şi
3
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 6/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
repartiţia comună a proceselor şi a proceselor ⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
≤t s
t s
B B ,sup t st s
B B ,inf ≤
repartiţii care
vor fi utilizate pentru evaluarea opţiunilor cu barier ă.
In capitolul III sunt prezentate noţiuni elementare de calcul stocastic. Pentru
început este analizat conceptul de variaţie pătratică în cazul martingalelor, a
martingalelor locale şi a semimartingalelor şi este studiat spaţiul martingalelor
mărginite. In continuare este introdus conceptul de integrală stocastică în raport cu
martingale -mărginite, în raport cu martingale locale şi în raport cu
semimartingalele şi sunt prezentate proprietăţile lor. Tot în cadrul acestui capitol sunt
demonstrate teorema de integrare prin păr ţi şi teorema de schimbare de variabilă
(i.e. formula lui Ito), teorema de caracterizare a lui Levy, teorema de reprezentare a
martingalelor şi în final teorema de schimbare a probabilităţii (i.e teorema lui
Girsanov).
2 L -
2 L
Capitolul IV este consacrat analizei ecuaţiilor diferenţiale stocastice şi
proceselor de difuzie. Pentru început sunt demonstrate teorema de existenţa şi
unicitate a unei soluţii a unei ecuaţii diferenţiale stocastice, precum şi proprietatea
Markov a proceselor de difuzie. De asemenea, este prezentată forma particular ă a
formulei Ito pentru procesele de difuzie. In continuare sunt analizate câteva proprietăţi
ale generatorului infinitizimal şi este calculat generatorul infinitizimal al unui proces
de difuzie omogen. In final este demonstrată teorema de legătură dintre procesele
de difuzie şi ecuaţiile cu derivate parţiale (i.e. teorema Feynman-Kac).
In capitolul V sunt analizate proprietăţilor pieţei financiare de tip Black-
Scholes-Merton (BSM), prin utilizarea conceptului de măsur ă neutr ă la risc. Pentru
început este analizată legătura dintre arbitrajul financiar şi existenţa măsurii neutre la
risc, precum şi dintre existenţa portofoliilor de hedging şi unicitatea măsurii neutre la
risc. Concluzia la care se ajunge este aceea că modelul BSM (unidimensional sau
multidimensional) este viabil şi complet (i.e. măsura neutr ă la risc există şi este
unică). In continuare este prezentată trecerea la măsura neutr ă la risc in cazul
unidimendsional şi bidimensional. In final este demonstrat principiul evaluării
neutre la risc şi este determinată ecuaţia fundamentală de evaluare a unui activ
financiar.
In continuare sunt determinate, prin utilizarea principiului evaluării neutre la
risc, formulele de evaluare pentru diverse tipuri de opţiuni financiare în contextul
4
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 7/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
pieţei financiare de tip Black-Scholes-Merton. Astfel, în capitolul VI este analizată
evaluarea opţiunilor europene în cazul în care activul suport este o acţiune f ăr ă
dividend, o acţiune cu dividend, o valută sau un contract futures. Tot în cadrul acestui
capitol este demonstrat faptul că, în contextul modelului BSM, preţul futures teoretic
este egal cu preţul forward teoretic, rezultat care se datorează ipotezei privind rata
dobânzii f ăr ă risc. Capitolul VII este dedicat analizei opţiunilor barieră de tip knock-
aut, knock-in şi ladder, iar capitolul VIII analizei opţiunilor dependente de drum de
tip cliquet, cu maxim discret şi asiatice. In capitolul IX sunt obţinute formule de
evaluare pentru o serie de opţiuni care au mai multe active suport.
5
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 8/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
I. No ţ iuni privind teoria probabilit ăţ ilor
I.1 No ţ iuni preliminare
Fie Ω o mulţime şi mulţimea păr ţilor lui( )Ω Ω . Vom nota cu
complementara mulţimii
A AC −Ω=:
A .
Definiţia 1.1
( )Ω⊂ se numeşte σ - algebr ă dacă sunt îndeplinite condiţiile:
1. şi ∈ ∈Ω2. ∈⇒∈ C
A A 3. ( ) ∈⇒∈ ∪
n
nnn A A
Definiţia 1.2
( )Ω⊂ se numeşte algebr ă dacă sunt îndeplinite condiţiile:
1. şi∈ ∈Ω2. ∈⇒∈ C
A A 3. ( ) ∈⇒∈
∈∈ ∪
I n
n I nn A A finitI ,
Definiţia 1.3
Fie ( )Ω⊂ . Vom defini σ - algebra generată de , ( )σ , ca fiind ceamai mică - algebr ă care îl conţine pe , i.e.σ ( ) ∩
ebraa lg
:
−σ⊂
=σ
Propoziţia 1.4
Fie şi două σ - algebre. Atunci ∩ este - algebr ă. Dar
nu este neapărat o σ - algebr ă.
σ
∪
Vom nota în continuare ( ) ∪σ=∨ : .
6
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 9/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Definiţia 1.5
( )Ω⊂ se numeşte topologie pe Ω dacă sunt îndeplinite condiţiile:
1. ∈ şi ∈Ω 2. ( ) ∈⇒∈
∈∈ ∩
I n
n I nn A A finitI ,
3. ( ) ∈⇒∈ ∪n
nnn A A
Definiţia 1.6
Fie o topologie pe . Vom defini borelianul luiΩ Ω asociat topologiei
, , ca fiind( )Ω σ - algebra generată de , i.e. ( ) ( ) σ=Ω :
Exemplul 1.7 (mulţimea borelienelor reale)
Fie şi( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
<=⊂= ∪n
nnnn babaGG , ,| ( ){ } { } ∪<∈= bababa ,,|,
Avem că este o topologie pe (topologia mulţimilor deschise) şi ( ) ( ) σ=σ .
Mulţimea borelienelor reale este borelianul generat de topologia mulţimilor deschise.
Definiţia 1.8 (indicatorul unei mulţimi)
Fie ( )Ω⊂ A . Indicatorul lui este o funcţie { }1,0: →Ω A definită astfel:
( )⎩⎨⎧
∈ω
∈ω=ω
A
A A ,0
,1 .
Propoziţia 1.9 (proprietăţile funcţiei indicator)
1. 0,1 ==Ω
2. A AC −= 1
3. A=2
4. B A B A =∩
5. B A B A B A −+=∪
6. B A A B A −=−
7. B A B A =⇔=
7
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 10/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
I.2 Variabile aleatoare
Definiţia 1.10
Fie ( )Ω⊂ o - algebr ă.σ ( ) ,Ω se numeşte spaţiu măsurabil.
Definiţia 1.11
Fie o funcţie, E f →Ω: E A ⊂ şi ( ) E ⊂ . Vom defini preimaginile lui
A respectiv astfel ( ) ( ){ } E f A f ∈ωΩ∈ω=− |:1 , ( ) ( ){ } ∈= −− A A f f |: 11 .
Propoziţia 1.12
Fie o funcţie şi E f →Ω: ( ) E ⊂ . Avem că ( )( ) ( )( ) σ=σ −− 11 f f . In
particular dacă este o - algebr ă atunci şi σ ( )1− f este o σ - algebr ă.
Definiţia 1.13
Fie şi două spaţii măsurabile. Funcţia( ) ,Ω ( , E ) E f →Ω: se numeşte
- măsurabilă dacă ( , ) ( ) ⊂−1
f ( i.e. ( ) ∈⇒∈∀−
A f A1
).
Exemplul 1.14
Fie două ( )Ω⊂ , σ - algebre, . ⊂ ( ) ,Ω şi ( ) ,Ω sunt spaţii
măsurabile. Fie funcţia identitate Ω→ΩΩ :id , ( ) ω=ωΩid . Deoarece
( ) ⊄=−Ω
1id funcţia nu esteΩid ( ) , - măsurabilă. Dar este ( ) -
măsurabilă pentru că
,
( ) ⊂=−Ω
1id
Definiţia 1.15 (variabilă aleatoare)
Fie spaţiu măsurabil. Funcţia( ,Ω ) →Ω: X se numeşte variabilă
aleatoare dacă este - măsurabilă ( i.e.( )( , ) ( )( ) ⊂−
1 X ).
Definiţia 1.16
8
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 11/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Fie spaţiu măsurabil. Funcţia măsurabilă ( ,Ω ) →Ω: f se numeşte
simplă (etajată) dacă ,∑=n
An na f ∈na , ji A A ji ≠∀=∩ , .Ω=∪
n
n A
Propoziţia 1.17 (proprietăţile funcţiilor măsurabile)
1. Fie funcţii măsurabile şi→Ω:, g f ∈α . Atunci ,
,
g f +
fg f α , ( ) g f g f ,min:=∨ , ( ) g f g f ,max:=∧ , , g f f sunt funcţii
măsurabile.
2. Fie funcţie măsurabilă. Atunci→Ω: f 2
:,2
: f f
f f f
f −
=+
= −+
sunt funcţii măsurabile pozitive.
3. Fie funcţie măsurabilă. Atunci→Ω: f ( )nn f ∃ , func ţ ii simple,
astfel încât ,
n f
nn f f ≥+1 f f n ≤ şi nn
f f lim= (punctual) i.e.
( ) ( ) Ω∈ω∀ω=ω ,lim nn
f f .
Definiţia 1.18 (σ - algebra generată de o funcţie măsurabilă)
1. Fie şi( ,Ω ) ( ) , E două spaţii măsurabile şi funcţia
E f →Ω: măsurabilă. Vom defini σ - algebra generată de , ,
ca fiind σ - algebra generată de preimaginea lui , i.e.
f ( ) f σ
( ) ( ) 1: −=σ f f . Evident că datorită măsurabilităţii lui avem că
.
f
( ) ⊂σ f
2. Fie şi( ) ,Ω ( ) I nn E ∈ , spaţii măsurabile şi funcţii
măsurabile. Vom defini
nn E f →Ω:
σ - algebra generată de astfel
.
n f
( )( ) ( )⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ=σ
∈
−∈ ∪
I n
I n f f 1:
9
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 12/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
I.3 M ăsur ă şi probabilitate
Definiţia 1.19 (măsură)
Fie spaţiu măsurabil. O funcţie( ,Ω ) [ ]∞→μ ,0: se numeşte masură pe
dacă îndeplineşte condiţiile:
1. disjuncte (( ) ∈∀μ=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ μ ∑ n
n
n
n
n A A A ;∪ σ - aditivă)
2. astfel încât ∈∃ A ( ) ∞<μ A .
Propoziţia 1.20 (proprietăţile măsurii)
1. ( ) 0=μ
2. disjuncte( ) ∈∀μ=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ μ ∑
==i
n
i
n
i
i A A A ;1i1
∪
3. ( ) ( ) B A B A μ≤μ⇒⊆
4. ( ) ∈∀μ≤⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ μ ∑ n
n
n
n
n A A A ;∪
5. ( )nn
nn
A A μ≤μ inf liminf lim
6. ( )nn
nn
A A μ≥⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ μ suplimsuplim
7. Dacă ( )nn
nn
nn A A A A μ=μ⇒⊆ + limlim1
8. Dacă ( )nn
nn
nn A A A A μ=μ⇒⊇ + limlim1
9. Fie 21,μμ două măsuri şi ∈21,aa . Atunci 2211 μ+μ aa este măsur ă.
10. Fie ( măsuri. Atunci)nnμ ∑μ
n
n este măsur ă
Definiţia 1.21
Fie μ o măsur ă pe .
1. Dacă ( ) ∞<Ωμ atunci μ se numeşte măsură finită (mărginită)
10
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 13/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
2. Dacă ∈∃ n A astfel încât şiΩ=∪n
n A ( ) ∞<μ n A atunci μ se
numeşte măsură σ - finită
Exemplul 1.22 (măsura Dirac)
Fie . DefinimΩ∈a ( ) ( )a A Aa =ε : . Se poate ar ăta că aε este o măsur ă.
Aceasta se numeşte măsura Dirac concentrată în punctul .a
Fie şi . AtunciΩ∈na 0≥n p ∑ ε=μn
an n p: este o măsur ă. Dacă se
obţine card .
1=n p
Exemplul 1.23 (măsura Lebesgue)
Fie ( ]{ bababa }≤∈= ,,|, , . Se poate ar ăta că este o algebr ă şi că
. Definim măsura Lebesgue pe astfel
( ) ( ) σ= ( ]( ) abba −=λ , . Măsura se
extinde la folosind procedeul lui Caratheodry ( o măsur ă ( ) σ - finită definită pe
o algebr ă poate fi extinsă în mod unic pe ( )σ ).
Măsura Lebesgue mai poate fi extinsă, existând mulţimi neboreliene care sunt
măsurabile Lebesgue. Dar nu poate fi extinsă pe ( ) existând mulţimi care nu sunt
măsurabile Lebesgue.
Dacă A este cel mult numărabilă atunci ( ) 0=λ A , dar există mulţimi de
puterea continuumului care sunt neglijabile Lebesgue ( i.e ( ) 0=λ A ).
Propoziţia 1.24
Fie spaţiu măsurabil şi( ,Ω ) νμ, măsuri pe . Fie şi notăm( )Ω⊂
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
∈=∈
finit ,|: I A A i
I i
id ∩ . Dacă
1. (se spune că este închisă la intersecţii finite) =d
2. ( ) ( ) ∈∀= A A A ,ν
Atunci ( ) ( ) ( )σ ν μ ∈∀= A A A , .
Această propoziţie este foarte importantă. Ea arată că dacă trebuie să ar ătăm
egalitate dintre două măsuri pe o σ - algebr ă este de ajuns să ar ătăm egalitatea
acestora pe un sistem de generatori închis la intersecţii finite. Astfel dacă trebuie să
11
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 14/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
demonstr ăm egalitatea a două măsuri pe ( ) de ajuns de ar ătat egalitatea acestora
pe (vezi exemplul 1.23) deoarece este închis la intersecţii finite şi este un
sistem de generatori pentru ( i.e.
( ) ( ) ( ) σ= ).
Definiţia 1.25
1. Fie spaţiu măsurabil şi( ,Ω ) μ o măsur ă pe . Spunem că
( )μ Ω ,, este spaţiu cu măsură.
2. Fie spaţiu măsurabil şi o măsur ă pe astfel încât( ,Ω ) P
( ) 1=Ω P . Atunci se numeşte probabilitate, iar se
numeşte câmp de probabilitate.
P ( ) P ,, Ω
I.4 Reparti ţ ia şi func ţ ia de reparti ţ ie a unei variabile aleatoare
Definiţia 1.26 (repartiţia unei variabile aleatoare)
Fie ( un câmp de probabilitate şi) P ,, Ω →Ω: X o variabilă aleatoare.
Repartiţia lui X notată 1− X P sau X μ este o funcţie definită pe ( ) cu valori în
astfel:+
( ) ( ) A X P A X P
11
:
−−
= .
Propoziţia 1.27
Fie ( ) P ,, Ω un câmp de probabilitate şi →Ω: X o variabilă aleatoare.
Repartiţia lui X este o probabilitate pe ( ) .
Definiţia 1.28 (funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare)
Fie ( ) P ,, Ω un câmp de probabilitate şi →Ω: X o variabilă aleatoare.
Funcţia , →: X F ( ) ( ]( ) ( ]( ) ( ]( )( )=∞−=∞−=∞−μ= −−a X P a X P aa F X X ,,,: 11
( ){ }( ) a X P a X P not
≤=≤ωΩ∈ω= | ( ) se numeşte funcţia de repartiţie a lui X .
Propoziţia 1.29 (proprietăţile funcţiei de repartiţie)
1. este crescătoare X F
2. ( ) ( ) 1lim,0lim ==∞→−∞→
a F a F X
a
X
a
12
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 15/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
3. este continuă la dreapta şi are limite la stânga (i.e. X F
( ) ( ) ( )0,0 −∃=+ a F a F a F X X X )
4. ( ) ( ) ( ]( ) ( )b X a P baa F b F X X X ≤<=μ=− ,
5. ( ) ( ) { }( ) ( )a X P aa F a F X X X ==μ=−− 0
Definiţia 1.28 (variabilă aleatoare discretă)
X se numeşte variabilă aleatoare discretă dacă
astfel încât .
1,0, =≥∈∃ ∑n
nnn p pa
∑ ε=−
n
an n p X P 1
Dacă X este variabilă aleatoare discretă se observă că:
( ) { }( ) { }( )⎩⎨⎧
=∃
∀≠=ε=== ∑−
nn
n
n
anaan p
naaa pa X P a X P
n a.i.,
,01
De aici rezultă binecunoscuta notaţie pentru o variabilă aleatoare discretă (mai
exact pentru distribuţia acesteia)
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
....................
..................... ~
21
21
n
n
p p p
aaa X
Definiţia 1.29 (variabilă aleatoare continuă)
X se numeşte variabilă aleatoare continuă dacă este continuă. X F
Se observă că dacă X este variabilă aleatoare continuă atunci sau
altfel spus repartiţia unei variabile aleatoare continue „nu vede” punctele.
{ }( ) 0=μ a X
I.5 Media unei variabile aleatoare
Definiţia 1.30 (integrala)
Fie ( )Ω ,, un spaţiu cu măsur ă. Integrala se construieşte în cinci paşi
1. (integrala funcţiei indicator)( )∫ =Ω
μ μ Ad A :
2. ( )
∫ ∑∑=
Ω
μ μ n
nn
n
A Aad n
:(integrala funcţiilor simple)
13
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 16/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
3. Fie →Ω : f măsurabilă şi (integrala funcţiilor pozitive)0≥ f
∫ ∫⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≤=Ω Ω
μ μ f s s sd fd simpla,functieeste|sup:
4. Fie →Ω : f măsurabilă şi definite în propoziţia 1.17−+ f f ,
∫∫∫ −+ −=Ω Ω Ω
μ μ μ d f d f fd :
5. ∫∫ =Ω
μ μ d f fd A
A
:
Pentru integrală se mai folosesc şi notaţiile ( ) ( )∫Ω
ω μ ω d f sau .( ) ( )∫Ω
ω μ ω d f
Exemplul 1.31
1. ( )a f fd a =∫Ω
ε
2. ( ) 0==∫
λ λ d
Definiţia 1.32 (funcţie - integrabilă)
Fie ( )Ω ,, un spaţiu cu măsur ă. O funcţie măsurabilă →Ω : f se
numeşte - integrabilă (sau integrabilă când nu există riscul de confuzie) dacă
.∞<∫ Ω
μ fd
Propoziţia 1.33 (legătura dintre integrala Riemman şi integrala Lebesgue)
Fie integrabilă Riemman. Atunci este integrabilă Lebesgue şi[ ] →ba f ,:
( )[ ]
[ ]∫∫ ∫ ==
, λ λ d f fd dx x f
b
a ba
,
Reciproca nu este adevărată aşa cum se vede şi din exemplul 1.32 funcţia
fiind integrabilă Lebesgue, dar nu Riemman.
Definiţia 1.34 ( - apt, - as)
14
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 17/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Fie ( )Ω ,, un spaţiu cu măsur ă. Spune că o proprietate are loc - aproape
peste tot sau - apt sau apt când nu există riscul de confuzie ( - aproape sigur,
- as sau as dacă este o probabilitate) dacă mulţime punctelor pentru care
proprietatea nu are loc este μ - neglijabilă.
Definiţia 1.35 (proprietăţile integralei)
1. Dacă 00 ≥⇒≥ ∫Ω
μ fd f
2. ∫∫ ≤Ω Ω
μ μ d f fd
3. Dacă 0 0 =⇒−= ∫Ω
μ μ fd apt f
4. Dacă şi0≥ f 0 0 apt f fd −=⇒=∫ μ μ Ω
5. Dacă este f μ - integrabilă atunci apt f −∞<
6. Dacă ∈α atunci ∫∫ =Ω Ω
μ α μ α fd fd
7. ∫∫∫ +=+
Ω Ω Ω
μ μ μ gd fd d g f
8. ( ) ∫∫∫ +=+Ω Ω Ω
ν μ ν μ fd fd fd
Propoziţia 1.36 (convergenţă monotonă – Beppo Levi)
Fie →Ω :n f integrabile şi apt f f nn 1+≤ . Atunci
∫∫ =Ω Ω
μ μ d f d f nn
nn
limlim
Propoziţia 1.37 (convergenţă dominată – Lebesgue)
Fie →Ω :n f integrabile şi integrabilă astfel încât g apt g f n ≤ . Atunci
∫∫ =Ω Ω
μ μ d f d f nn
nn
limlim
Propoziţia 1.38 (lema Fatou)
Fie →Ω :n f integrabile şi . Atunci0≥n f
15
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 18/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
∫∫ ≤Ω Ω
μ μ d f d f nn
nn
inf liminf lim
Propoziţia 1.39 (formula de transport)
Fie un câmp de probabilitate , o variabilă aleatoare( P ,, Ω ) X şi o funcţie
. Atunci . →: f ∫∫∫ == −
X d f X dP f dP X f μ Ω
1
Această propoziţie arată cum putem transforma o integrală pe Ω într-o
integrală pe care este în general mai uşor de calculat. Propoziţia nu are loc doar
pentru probabilităţi, ci pentru orice măsur ă.
Definiţia 1.40 (media şi dispersia unei variabile aleatoare)
Fie un câmp de probabilitate şi o variabilă aleatoare( P ,, Ω ) X . Media lui
X este definită astfel . Varianţa
(sau dispersia) lui
[ ] 1I.39Prop
: −
ΩΩ∫∫∫ === X dP id dP X id XdP X E
X este ( ) [ ]( )2: X E X E X VAR −= , iar abaterea medie pătratică
este ( ) ( ) X VAR X =:σ
Exemplul 1.41 (media unei variabile aleatoare discretă)
Fie X variabilă aleatoare discretă, deci conform definiţiei 1.28
. Folosind formula de transport, proprietăţile integralei şi exemplul
1.32 media lui
∑=−
n
an n p X P ε 1
X este:
[ ] ===== ∫ ∑∫∫∫ −
n
an n pd id X dP id dP X id XdP X E ε
Ω Ω
: 1
( )∑∑ ∫∑∫ ===n
nn
n
an
n
an aid pd id pd id pnn
ε ε
∑=n
nna p
16
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 19/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
I.6 Convergen ţ a şirurilor de variabile aleatoare
Definiţia 1.42 (spaţiul ) p L
1. aintegrabil-este|: μ p
f f =
2. Spunem că două funcţii sunt g f , μ - echivalente, , dacă g f ~
apt g f - = . Mulţimea funcţiilor echivalente cu o funcţie se
numeşte clasa de echivalenţă a lui , iar se numeşte
reprezentantul clasei de echivalenţă. Dacă în 1 luăm doar
reprezentanţii claselor de echivalenţă se obţine spaţiul . Se mai
spune că
f
f f
p L
~ = p L .
3. p
p
pd f f
1
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ = ∫
Ω
μ
Propoziţia 1.43 (inegalităţi importante)
1. (Minkovski) p p p
g f g f +≤+
2. (Holder) Dacă 111
=+q p
atunciq p
g f fgd ≤∫Ω
μ
3. (Schwartz)22
g f fgd ≤∫Ω
μ
4. (Jensen) Fie X o variabilă aleatoare şi funcţia convexă .
Atunci
→: f
( )[ ] [ ]( ) X E f X f E ≥ .
5. (Cebîsev) Fie X o variabilă aleatoare şi . Atunci:0>k
[ ] ( )( )2
1
k X k X E X P ≤≥− σ
Definiţia 1.44 (tipuri de convergenţă)
Fie ( P ,, )Ω un câmp de probabilitate şi →Ω :, n X X variabile aleatoare.
Definim următoarele tipuri de convergenţă:
17
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 20/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
1. (punctual) ( ) ( ) Ω ∈∀→⇔→ X X X X nn
2. (aproape sigur) ( ) ( ){ }( ) 1|..
=→⇔→ ω ω ω X X P X X n
sa
n
3. (în ) p
L 0lim0lim =−⇔=−⇔→ ∫ pnn
p
nn
L
n X X dP X X X X
p
Ω
4. (în probabilitate)
( ) ( ){ }( ) 0|lim 0 =>−>∀⇔→ ε ω ω ω ε X X P X X nn
P
n
5. (în distribuţie) X X n F F X X n
→⇔→
Propoziţia 1.45
Avem următoarele implicaţii:
X X
X X X X X X X X
n
sa
n
P
n
L
n
L
n
→
⇓
→⇐→⇒→⇒→
..12
I.7 Densitatea de reparti ţ ie a unei variabile aleatoare
Definiţia 1.46 (absolut continuitatea şi echivalenţa a două măsuri)
Fie ( spaţiu măsurabil şi) ,Ω ν , două măsuri pe .
1. ν se numeşte absolut continuă în raport cu (ν << ) dacă
mulţimile neglijabile faţă de μ sunt neglijabile şi faţă de ν (i.e.
( ) ( ) 00 =⇒= A A ν )
2. şi ν se numesc echivalente ( ν ~ ) dacă au aceleaşi mulţimineglijabile (i.e. ( ) ( ) 00 =⇔= A A ν )
Propoziţia 1.47 (Radon Nikodym)
Fie spaţiu măsurabil şi( ,Ω ) ν , două măsuri pe . Dacă ν << atunci
o funcţie!∃ →Ω ϕ : - integrabilă astfel încât ( ) ∈∀= ∫ Ad A A
,μ ϕ ν ( se
18
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 21/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
foloseşte notaţia ϕ ν ⋅= ). Funcţia se numeşte derivata Radon Nikodym a lui ν
în raport cu μ şi se notează cuμ
ν
d
d .
Propoziţia 1.48
Fie ( spaţiu măsurabil şi) ,Ω ν , două măsuri pe . Dacă ϕ ν ⋅= atunci
∫∫ =Ω Ω
μ ϕ ν d f fd
Definiţia 1.49
Fie ( P ,, )Ω un câmp de probabilitate şi X o variabilă aleatoare. X se
numeşte absolut continuă dacă (i.e. este absolut continuă în raport cu
măsura Lebesgue), iar
λ <<−1 X P
λ ρ
d
X dP X
1
:−
=
se numeşte densitatea de repartiţie a lui 1.
Propoziţia 1.50 (proprietăţile densităţii de repartiţie)
Fie ( P ,, )Ω un câmp de probabilitate, X o variabilă aleatoare absolut
continuă şi X
ρ densitatea lui X .
1. 0≥ X ρ
2. Dacă este derivabilă atunci X F ' X X F = ρ
Exemplul 1.51 (media unei variabile aleatoare absolut continuă)
Fie X variabilă aleatoare absolut continuă şi X ρ densitatea lui X .Folosind
formula de transport, propoziţia 1.48 şi propoziţia 1.33 media lui X este:
[ ] =⋅==== ∫∫∫∫ −
λ ρ Ω Ω
X d id X dP id dP X id XdP X E : 1
( ) ( )∫∫∞
∞−
== dx xid d id X X ρ λ ρ x
( )∫∞
∞−
= dx x x X ρ
19
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 22/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
I.8 Vectori aleatori
Definiţia 1.52 (spaţiul produs)
Fie ( )111 ,,Ω şi ( )222 ,,Ω spaţii cu măsur ă, 21: Ω Ω Ω ×= ,( ) Ω ∈= 21, . Fie 11 : Ω Ω → pr , ( ) 11 = pr şi 22 : Ω Ω → pr , ( ) 21 = pr .
Definim pe Ω o σ - algebr ă ( )2121 ,: pr pr σ =⊗ (vezi definiţia 1.18).
Pe această σ - algebr ă se defineşte o măsur ă (măsura produs) astfel:
(se observă că 21 ⊗∈∀ A ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ =⊗
1 2
11222121 ,:Ω Ω
ω μ ω μ ω ω μ μ d d A
( ) ( ) ( 22112121 A A A A )μ =×⊗ )
( 212121 ,, )Ω Ω ⊗⊗× se numeşte spaţiul produs.
Propoziţia 1.53 (Fubini)
Fie ( )111 ,,Ω şi ( 222 ,, )Ω spaţii cu măsur ă şi spaţiul produs
( )212121 ,,Ω Ω ⊗⊗× . Fie o funcţie →× 21: Ω Ω f . Avem că:
( ) ( ) ( ) ( ) (
∫ ∫∫ ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ =⊗
× 1 221
112221212121 ,,,Ω Ω Ω Ω
ω μ ω μ ω ω ω ω μ μ ω ω d d f d f )
)
( ) ( ) (∫ ∫ ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ =
2 1
221121,Ω Ω
ω μ ω μ ω ω d d f
Definiţia 1.54 (vectori aleatori)
Fie ( P ,, )Ω un câmp de probabilitate. Funcţia ,
se numeşte vector aleator dacă este
d X →Ω :
(d
X X X X ,...,,21
= )( )
d - măsurabilă.
1. Analog cu cazul unidimensional ( ) 121
1 ,...,: −− == d X X X X P X P μ se
numeşte repartiţia lui X şi este o probabilitate pe .d
2. Funcţia , →d
X F : ( ) ( ] ( ] ( ]( )d X X aaaa F ,...,,: 21 ∞−××∞−×∞−=
se numeşte funcţia de repartiţie a lui X .
3. sunt variabile aleatoare, iar se numeşte
repartiţia marginală a lui fiind o probabilitate pe .
d i X i ...1, = 1: −= i X X P i
μ
i
X
4. X se numeşte absolut continuu dacă .d X P λ <<−1
20
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 23/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
I.9 Func ţ ia caracteristică
Definiţia 1.55 (funcţia caracteristică, transformata Fourier)
Fie ( ) P ,, Ω un câmp de probabilitate.
1. Fie X variabilă aleatoare. Funcţia →: X , ( ) itX
X e E t =ϕ se
numeşte funcţia caracteristică (transformata Fourier) a lui X .
2. Dacă X este vector aleator, funcţia caracteristică este o funcţie
, . →d
X :ϕ ( ) ⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡ ∑
= =
d
n
nn X t i
X e E t 1ϕ
Propoziţia 1.56 (proprietăţile funcţiei caracteristice)
Fie ( ) P ,, Ω un câmp de probabilitate.
1. Fie variabile aleatoare.Y X , Y X Y P X P ϕ ϕ =⇔= −− 11
2. Fie variabile aleatoare. X X n , X X n n X X ϕ ϕ →⇔→
3. ( ) ( ) [ ] ( ) 2''' 0,0,10 X E X iE X X X −=== ϕ ϕ ϕ
I.10 No ţ iunea de independen ţă a variabilelor aleatoare
Definiţia 1.57 (independenţa)
Fie ( ) P ,, Ω un câmp de probabilitate.
1. Două mulţimi ∈ B A, se numesc independente dacă
( ) ( ) ( ) B P A P B A P =∩
2. ⊂,1 se numesc independente dacă 2211 , ∈∈∀ A A
sunt independente.21, A A
3. Două variabile aleatoare se numesc independente dacă Y X ,
( )( )1− X şi ( )( )1−Y sunt independente ⇔
( ) ( ) ( )bY P a X P BY a X P ≤≤=≤≤ , ⇔ ( )( ) ( ) (b F a F ba F Y X Y X )=,,
21
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 24/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Propoziţia 1.58
Fie ( ) P ,, Ω un câmp de probabilitate şi variabile aleatoare.d X X X ,..., 21
1. sunt independented X X X ,..., 21 ( ) 1
1
11,... −
=− ⊗=⇔ i
d
id X P X X P
2. sunt independented X X X ,..., 21 ( ) ∏=
=⇔d
i
X X X id
1,...1
ϕ ϕ
Exemplul 1.59 (media produsului a două v.a. independente)
Fie ( P ,, )Ω un câmp de probabilitate şi variabile aleatoare
independente. Folosind formula de transport, propoziţia 1.58 şi teorema lui Fubini
avem:
Y X ,
[ ] ( ) ( ) ( ) ( yY P x X xydP y xY X xydP XYdP XY E 111
22
,, −−−
∫∫∫ ⊗=== Ω
)
( ) ( ) ( ) ( ) yY P d x X xdP y yY P d x X xydP 1111 −−−− ∫ ∫∫ ∫ ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
( ) ( ) P Yd XdP yY P yd x X xdP ∫∫∫∫ == −−
Ω Ω
11
[ ] [ ]Y E X E =
Definiţia 1.60 (variabile aleatoare i.i.d.)
Fie ( P ,, )Ω un câmp de probabilitate. Variabile aleatoare se
numesc i.i.d. (independente şi identic repartizate) dacă sunt independente şi
n X X X ,..., 21
112
11 ... −−− ===
n X P X P X P
Propoziţia 1.61
Fie ( ) P ,, Ω un câmp de probabilitate şi ( )nn X i.i.d. , [ ] [ ] σ σ == nn X a X E ,
1. (teorema numerelor mari)
an
X X X san
..21 ...
→+++
2. (teorema limită centrală)
( )1,0
...21
Φ σ
→
−+++
n
na X X X n
22
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 25/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
unde ( 1,0 )Φ este distribuţia normală standard.
3. (teorema lui Glivenko)
Fien X X F F F === ...
1 şi ( )
{ }
n
x X ni x F
i
n
≤≤≤=
|1: . Atunci:
( ) ( ) ∈∀→ x x F x F sa
n ,..
I.11 Media condi ţ ionat ă
Definiţia 1.62 (probabilitatea şi media condiţionată)
Fie ( ) P ,, Ω un câmp de probabilitate.
1. Fie , ∈ B A, ( ) 0≠ A P . Probabilitatea lui B condiţionată de A
este ( )( )
( ) A P
B A P A B P
∩=:| . Se observă că dacă sunt independente
atunci
B A,
( ) ( ) B P A B P =|
2. Fie , ∈ A ( ) 0≠ A P . Putem defini o probabilitate pe Ω numită
probabilitatea condiţionată de A astfel ( ) ( ) ∈∀= B A B P B P A ,|: .
Fie X o variabilă aleatoare. Definim media condiţionată a lui X de
A ca fiind media faţă de i.e. A P [ ] ∫=Ω
A XdP A X E :| .
3. Fie o ⊂ σ - algebr ă şi o variabilă aleatoare X . Dacă există o
variabilă aleatoare Y astfel încât:
i. Y este - măsurabilă (i.e. ( )( ) ⊂−
1Y )
ii. [ ] [ ] ∈∀= AY E X E A A ,
atunci Y se numeşte media condiţionată a lui X de şi se notează cu . Se poate defini şi repartiţia lui
[ ] | X E X condiţionată de
( ) ( ) ( )[ ] ( ) ∈∀== − A X E A X P A A X ,|:|1μ
Propoziţia 1.63 (proprietăţile mediei condiţionate)
1. [ ][ ]
( ) A P
X E A X E A| =
2. ( )[ ] [ ] c Ac
A A X E A X E A X E ||| +=σ
23
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 26/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
3. Media condiţionată [ ] | X E există şi este unică
4. [ ] .. | sa xd X E X ∫=
μ
5. Dacă X este - măsurabilă atunci [ ] X X E = |
6. [ ][ ] X E X E E = | [ ]
7. . Avem ⊂ [ ][ ] [ ] ||| X E X E E =
8. Dacă X este - măsurabilă atunci [ ] [ || Y E X XY E ]=
9. Dacă Y X ≤ atunci [ ] [ ] || Y E X E ≤
10. Fie funcţia convexă . Atunci →: f ( )[ ] [( ) || X E f X f E ≥ ]
11. Dacă ( ) X σ şi sunt independente atunci [ ] [ X E X E ]= |
12. Fie variabile aleatoare astfel încâtY X , X este - măsurabilă, iar
( )Y σ şi sunt independente. Fie astfel încât
este o variabilă aleatoare şi fie funcţia definită prin
→2: g ( )Y X g ,
→: f
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( )
∈∀=== ∫∫ − x yY dP y x g dP Y x g Y x g E x f ,,,, 1
Ω
. Atunci
( )[ ] ( ) X f Y X g E = |, .
13. Dacă este absolut continuu atunci există ( Y X , ) Y X | ρ şi X Y | ρ astfel
încât şi( ) λ ρ μ σ ⋅= Y X
Y
X |( ) λ ρ μ σ ⋅= X Y
X
Y | , iar ( ) ( )( )
( )Y
Y x x
Y
Y X
Y X ρ
ρ ρ
,,| = şi
( ) ( )( )
( ) X
y X y
X
Y X
X Y ρ
ρ ρ
,,| = .
Definiţia 1.64 (regresia)
Fie ( P ,, )Ω un câmp de probabilitate şi variabile aleatoare.Y X ,[ ] ( )[ Y X E Y X E ]σ |:| = se numeşte regresia lui X faţă de Y .
24
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 27/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
II. No ţ iuni privind teoria proceselor stocastice
II.1 No ţ iuni preliminare
Fie ( Ω ,K, P) un câmp de probabilitate. Un şir crescător F(t) notat şi Ft, t ≥ 0
de σ-algebre poartă numele de filtrare. Intuitiv F(t) reprezintă mulţimea
informaţiilor disponibile până la momentul de timp . t
Un proces stocastic notat X sau X(t,ω ) sau X t ( ω ) sau X(t) sau X t reprezintă o
aplicaţie măsurabilă X:[0,∞ )× Ω → . Aplicaţiile t → X R t ( ω ) se numesc traiectoriile
procesului stocastic. Un proces stocastic se numeşte adaptat la filtrarea F(t) dacă
X(t) sunt F(t)-măsurabile.
O filtrare se numeşte continuă la dreapta dacă . O filtrare
se numeşte completă dacă F(t) conţine mulţimile neglijabile.
∩0
)F(tF(t)>
+=ε
ε
Un proces X se numeşte F(t) - martingal dacă X este adaptat şi este
îndeplinită proprietatea că:
[ ] t s s X st X ≤∀= , )(|)( )F( .
Dacă în relaţia de mai sus in loc de semnul = consideram semnul ≤ (≥) atunci
procesul se numeşte supermartingal respectiv submartingal.
Mulţimea informaţiilor generată doar de către procesul stocastic X , noţiune
cunoscută şi sub numele de trecutul minimal al procesului stocastic, este definită
astfel:
FX(t)= σ (X(u),0≤ u≤ t).
Un proces X se numeşte proces Markov dacă
[ ] [ ])(|| st
X
st X A X P A X P σ ∈=∈ F
Să presupunem că există pentru orice s≤ t probabilităţile de tranziţie P s,t (x,⋅ )
boreliene in x astfel încât:
[ ] ( ) .. ,| , sa A X P A X P st s
X
st =∈ F pentru A ⊆ R boreliană.
25
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 28/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Pentru orice s≤ t şi f boreliană şi mărginită definim operatorii de tranziţie:
( ) ),()( ,, dy x P y f x f P t st s ∫=
Dacă avem că atunci p(t,s,x,y) se numesc
densităţi de tranziţie.
( ) dy y x st p y f x f P t s ),,,()(, ∫=
Pentru f boreliană mărginită avem că pentru orice s≤ t:
( )[ ] ( )( ) .. | , sa X f P X f P st s
X
st =F
Probabilităţile de tranziţie P s,t se numesc omogene dacă depind doar de t-s şi
in acest caz notăm P s,t = P t-s
Are loc relaţia Chapman-Kolmogorov:),(),(),( A x P dy x P A x P t s st ∫=+ , t,s≥ 0 şi A ⊆ R boreliană.
Avem că:
( ) ( ) )( x f P P x f P st st =+
Aceasta inseamnă că {P t ,t ≥ 0} formează un semigrup. Conform teoremei
Hille-Yoshida generatorul infinitizimal L asociat semigrupului conţine in domeniul
său funcţiile boreliene mărginite şi avem că:
loperatoriasensin lim0 t
f f P f t
t
−=
↓L
Avem că:
( ) )()( x f P x f P dt
d t t L= şi ( ) )()( x f P x f P
dt
d t t L=
numite ecuaţia înainte (Fokker-Planck) respectiv ecuaţia înapoi.
Fie Ft o filtrare continuă la dreapta şi X t proces stocastic adaptat la Ft. Se
numeşte timp de stopare o aplicaţie T:Ω → [0,∞ ) astfel încât (T < t)∈ Ft
Notăm cu:
FT={A∈ F∞ |A∩ (T ≤ t)∈ Ft pentru orice t>0} şi
X T ( ω )=X T( ω )( ω )
Dacă S ≤ T sunt timpi de stopare mărginiţi şi M t este martingal continuu la
dreapta atunci E[ M T | FS ]= M S
26
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 29/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Dacă M t este martingal notăm cu st s
t M M ≤
= sup* .
Teoremă (Inegalităţile Doob): Dacă M n este martingal continuu la dreapta
atunci:
[ ] nn M E a
a M P ⋅≤> 1*
Dacă p>1 atunci există c care depinde doar de p astfel incît
( ) p
n
p
n M E c M E ⋅≤*
Rezultatele r ămîn adevărate şi pentru M t martingal continuu la dreapta.
II.2 Mi şcarea browniană
Definiţie: Un proces stocastic BBt se numeşte mişcare browniană (cu valoare iniţială
0) dacă îndeplineşte următoarele condiţii:
- B(0)=0 a.s
- pentru orice 0≤ s≤ t , BBt - B s este variabilă aleatoare gausiană centrată cu
dispersia t-s
- pentru orice 0≤ s < t , BBt - B s este variabilă aleatoare independentă in raport
cu σ (B(u),0≤ u≤ s).
- cu probabilitatea 1 traiectoriile sunt continue.
Se poate observa că st B B t t ∧=),cov( şi a doua condiţie din definiţie este
echivalentă cu următoarea proprietate: pentru orice 0≤ s≤ t , BBt - B s este familie
gausiană centrată cu covariaţia t ∧ s.
In mod analog se poate defini mişcarea browniană n-dimensională
inlocuind a doua condiţie cu : pentru orice 0≤ s≤ t , BB
t - B s este variabilă aleatoaregausiană centrată cu matricea de covariaţie (t-s)I n.
Pentru a defini mişcarea browniană cu valare iniţială x∈ se consider ă
procesul . Dacă F= σ ( B(t) , t < ∞ ) definim pe ( Ω ,F ) o probabilitate P
R
t
x
t B x B += P
x
astfel
, x∈ A∈ F][][ A B x P A B P x x ∈+=∈ R
Se numeşte mişcare browniană cu valoare iniţială x perechea (P x ,Bt ).
27
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 30/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teoremă:
1. (proprietatea de sclare) Dacă (P x ,Bt ) este mişcare browniană cu valoare iniţială x
este mişcare browniană cu valoare iniţială x/a unde a>0 ) Ba(P t a
a x2
1/ , −
2. (proprietatea de simetrie) Dacă (P x
,Bt ) este mişcare browniană cu valoare iniţială x este mişcare browniană cu valoare iniţială -1. ) B(P t
x −− ,
3. (proprietatea de inversiune a timpului) Dacă BBt este mişcare browniană pe [0,1]
atunci e mişcare browniană pe [1, ∞ ]t t tB B /1* =
Demonstraţie:
1. Aplicaţiile sunt continue şi avem că:t a
Ba 21−
( (
st sat aa Ba Ba sat a
∧=∧= −−− 2221122 ,cov
2. Aplicaţia -Bt este continuă şi avem că:
( ) ( ) st B B B B st st ∧==−− ,cov,cov
3. Aplicaţia este continuă şi avem că:*t B
( ) st st
ts B B st ∧=⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ∧=
11,cov ** .
Teoremă: (nederivabilitatea traiectoriilor).Aproape toate traiectoriile mişcării browniene nu sunt nicăieri derivabile,
altfel spus cu probabilitate 1 aplicaţiile t → Bt ( ω ) nu au derivată in nici un punct t.
Demonstraţie:
E suficient să facem demonstraţia pentru t∈[0,1]. Bacă BBt ar fi derivabilă intr-
un punct s∈[0,1] atunci ar exista ε > 0 şi un intreg k ≥ 1 astfel ca:
ε <−<−≤− st st k B B st 0 pentru
Atunci pentru n suficient de mare avem că
( ) [ ] 1unde3,2,1, 4
/1/ +=+++=<− + nsiiii jn
k B B n jn j
Fie mulţimea acelor ω care satisfac inegalitatea de mai sus. Fie ji
nk A ,,
∪∪ ∩ ∪ ∩1 1 0 3
,,
≥ ≥ ≥ ≤< +≤<
=k m mn ni i ji
ji
nk A A
28
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 31/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Mulţimea A este evenimentul următor: există un intreg k astfel încât pentru toţi
n suficient de mari inegalitatea de mai sus are loc intr-un punct i/n. Deci A conţine toţi
ω pentru care BBt este derivabilă intr-un punct t. Este suficient să ar ătăm că P(A)=0.
≤⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡ <=
⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ <≤⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡
∞→∞→≥ ≤< +≤<
3
1
3
/10 3
,, 4inf lim4inf lim
nk B P n
nk B P n A P
nn
nmn ni i ji
ji
nk ∩ ∪ ∩
08
2
1lim
3
=⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
≤∞→ n
k n
n π
Cum A este reuniune numărabile de mulţimi de probabilitate nulă rezultă că
este neglijabilă.
Definiţie: Fie X un proces stocastic şi Δ
n
={0=t 0<t 1<…<t n=t} o partiţie aintervalului [0,t]. Se numeşte variaţie pătratică următorul proces (dacă există):
( )∑=
+→Δ
−−=n
i
iit t X t X P X X
n
0
21
0)()(lim,
Teoremă: t B Bt
=,
Demonstraţie:
E suficient să ar ătăm că ( )( ) t B B
P
k t k kt
n
nn →−∑=
−
2
1
2
2/12/
Fie( )
n
nnk nk t k kt nk k t
B B B nn 2,...,1,2
, 2
2/12/=−Δ=−=Δ
−
Avem de demonstrat că . Pentru orice n, v.a.∑=
→n
k
P
nk B2
1
0 ( )k nk B sunt i.i.d cu:
[ ] [ ]nnk nk
t B E B E
4
2 ,0
22 ==
Avem că: [ ]1
22
1
212
2
1 24
2−
=
+
=
===⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∑∑ nk
n
n
nk
k
nk
t t B E B E
nn
. Cum 02 1
2
→−n
t rezultă că
şi deci converge şi in probabilitate.∑=
→n
k
L
nk B2
1
2
0
Fie Ft 0 corpul borelian generat de Ft
B şi de mulţimile P P
x-neglijabile pentru
orice x∈ şi .R ∩0FF
>+=
ε
ε 0t t
29
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 32/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teoremă: Dacă (P x ,Bt ) este mişcare browniană cu valoare iniţială x, Y este
v.a. mărginită şi - măsurabilă, T este - timp de stopare şi θ este operator de lag,
atunci avem că:
∞F t F
1. BBt , şi2t Bt − C∈∀⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ − α
α α ,
2exp
2
t Bt sunt - martingale0
tF
2. (proprietatea Markov). [ ] .. | sa P Y E Y E x B
t t
x t −=Fθ
3. (proprietatea tare Markov). [ ] ( )∞<−= T sa P Y E Y E x B
T T
x T pe.. | Fθ
4. = sau altfel spus este continuă la dreaptat F0
tF0
tF
Demonstraţie:
1. [ ] [ ] [ ] s st
x
s s st
x
s st
x B B B E B B B E B B E =−+=−+= 00FF ||
[ ] ( ) [ ] 2222 |2|| s s st
x
s s st
x
st
x B st B B E B B B E B E +−=−+−= 000 FFF
( ) ( ) ( )( ) ( ) (( ))[ ]t t
x
s st t
x
s st
x B B E B B B E B B E −=−= α α α α α expexp|expexp|exp 00FF
( ) ( )⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= st B s 2
expexp2α
α
3. Demonstr ăm mai întîi pentru şi Y = f(B0
tF t ) , f boreliană mărginită. E suficient să
ar ătăm pentru . Avem că: st iuBe +
( ) ( ) t
u
s s st x s s
s st x s s
st x eiuB
e B Biu
e E iuB
e B Biu
e E iuB
eiuB
e E 2
2
||−−+−++ =⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ 00
FF
t
u
t t y eiuy
eiuy
eiuB
e E iuB
e E 20
2
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ . Prin liniaritate şi trecind la limită este
suficient să consider ăm , f )(1
∏=
=n
ii
t i B f Y i boreliene mărginite s≤ t 1≤ t 2≤ …≤ t n.Facem
prin inducţie. Presupunem adevărat pentru n şi fie şi)(1
21∏
+
=−=
n
i
t it i B f V V E yh y=)(
[ ][ ] [ ] ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡==⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡∏+
=
0000FFFF st
t B x
st t t
x x
s
n
iii
t i
x B f V E E B f V E E B f E |)(|)(||)(11
1
1111
1
θ
( )[ ] ( )[ )(|)(1111 st
s B
st
x Bhf E Bhf E −== 0F ]. Dar pentru orice y avem că:
30
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 33/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( )[ ] [ ] [ ][ ] ( )[ ])()(|)()(111111111
1
11 st st
y
st st st
y y
st
st B y
st
y B f V E B f V E E B f V E E Bhf E −−−−−−−
− ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡= θ θ 0
F
Verificăm că mişcarea browniană este proces Markov omogen cu densităţile de
tranziţie t
x
et
xt p 2
2
21),(
−
=π
.Se observă că dacă f este mărginită P t f(x) e continuă in
1. E suficient să ar ătăm că pentru orice 0 ≤ s < t , A ⊆ R boreliană şi C ∈ avem că 0
tF
[ ] ( )[ dP B A B P dP A B P C
st
x
C
st
x ∫∫ ∈=∈ σ || 0F ] . Mulţimea C poate fi luată de forma
s s s A B A B A B A BC n s snn
snn
s <≤≤≤∈∈∈∈= −−...0cu,,...,, 101111
, A0 ,…An ⊆
boreliene. Avem că:
R
[ ] ( ) ( )[ ]=∈==∈ ∫∫ ∈ ∩ A BC P dP dP A B P t
C
At
B
C
st x 1| 0F
dxdydxdx x y st p x x s s p x s p nnnnn
A A A A
nn
n
111 ...),()...,(),(...1 0
−−−−= −−∫ ∫ ∫ ∫
dxdxdxdy x y st p x x s s p x x s s p x s p n
A
nnnn
A A A
nn
n
11111 ...),(),()...,(),(...1 0 ⎭
⎬⎫
⎩⎨⎧
−−−−−−= ∫∫ ∫ ∫ −−
Dar integrala dintre acolade reprezintă de fapt [ ] x B A B P st
x =∈ | .
In continuare vom demonstra proprietatea Markov faţă de a mişcării browniene. Este suficient să consider ăm Y = f(B
t F
t ) , f continuă. Dacă A∈ atunci
A∈ pentru orice ε >0. Din proprietatea Markov faţă de avem
. Trecînd la limită cînd ε → 0 şi ţinînd seama de
continuitatea lui f şi B se obţine relaţia dorită.
sF
0ε +t F
0ε +t F
( ) ( ) x
A
st
x
A
st dP B f P dP B f ∫∫ +++ = ε ε
3. E suficient să ar ătăm pentru cazul Y = f(Bt ) , f continuă şi mărginită.
Definim T n astfel T n( ω )=k/2n dacă T( ω )∈ [(k-1)/2n , k/2n). T n este un şir
descrescător de timpi de stopare către T pe mulţimea (T < ∞ ). Dacă A∈ atunci
A∈ şi deci A ∩ (T
T F
nT F n= k/2n )∈ şi avem că:nk 2/F
( )( )
( )( )
[ ]( )
[ ]( )
x
k T A
t
T B x
k T A
t k
B
k T A
x
t k
k T A
x
t nT dP B f E dP B f E dP B f dP B f n
n
n
nn
n
nn
n
nn
∫∫∫∫===
+=
+ ===∩∩∩∩ 2/2/
2/
2/2/
2/
)()(
Avem că:
( )( ) ( )( ) == ∑ ∫∫
∞
= =+
∞<+ 1 2/k k T A
x
t nT T A
x
t nT n
ndP B f dP B f ∩∩
31
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 34/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
[ ]( )
[ ]( )
x
T A
t
T B
k
x
k T A
t
T B
dP B f E dP B f E
n
n
nn
n ∫∑ ∫∞<
∞
= =
==∩∩
)()(1 2/
Din continuitatea lui f şi B cînd facem n→∞ avem că:
( )( )
( )( )∫∫
∞<
+
∞<
+ →∩∩ T A
xt T
T A
xt
nT dP B f dP B f
Pe de altă parte din continuitatea lui P t f rezultă că:
[ ] [ ])()()()( t T B
T t n
T t t
T B
B f E B f P B f P B f E n =→=
4. Fie astfel încât t )(1
∏=
=n
iit i B f Y i≤ s < t i+1 şi
{ })(
|1 ∏
≤
= s
it i
it i B f Y ,
{ })(
|2 ∏
>
= s
it i
it i B f Y
Avem că:
[ ] | 21 Y E Y Y E t B
t
x =F care este -măsurabilă. Prin liniaritate şi trecind la limită avem
că este -măsurabilă pentru orice . Fie
0
tF
[ | t
x Y E F ] 0
tF0
F∞∈Y tF∈ A . Luăm şi
rezultă că .
AY 1=
0
tF∈ A
Fie T timp de stopare şi notăm . Definim un nou proces stocastic Y t T
T
t B B ∧= t :
∞<⎩⎨⎧
≥−
≤≤=
∞==
T T t B B
T t BY
T BY
t
T
t
t
t
t t
daca,2
0,
daca
Teoremă:(principiul de reflexie al mişcării browniene). Procesul Y t e mişcare
browniană.
Demonstraţie:
Consider ăm T<∞ a.s. Notăm { }0, ≥= t B B t , { }0, ≥= t Y Y t , { 0, ≥= t B B T
t
T ,
şi consider ăm tripletele{ 0, ≥−= + t B BC T t T T } ( )T
T C BT ,, şi ( )T
T C BT −,, . Avem că
T B şi T sunt -măsurabile şi sunt deci independente deT F T C ± . Există o aplicaţie
măsurabilă f astfel încât ( )T
T C BT f B ,,= şi folosind al doilea triplet avem că
( )T
T C BT f Y −= ,, , deci B şi Y au aceeaşi repartiţie.
Fie BBt mişcare browniană cu valoare iniţială 0 şi notăm st s
t B M ≤
= sup .
32
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 35/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teoremă: Fie a≥ b, a ≥ 0 atunci:
1. [ ] [ ]ba B P b Ba M P t t t −>=<≥ 2, 00
3. Densitatea de repartiţie comună a lui M t şi BBt este( ) ( )
t
ba
et t
ba 2
22
2
22 −−−
π
Demonstraţie:
1. Fie . Avem că { a B sT s == |inf } { } ( ) { }T t t T T t t t B B B X >< −+= 121 e miscare
browniană şi fie { }a X s R s == |inf . Cum ( ) X R, şi ( ) BT , au aceeaşi distribuţie
avem că : [ ] [ ]b Bt T P b X t R P t t <≤=<≤ ,, 00 . Dar avem evident că RT ≡ . Din
construcţia lui X avem că { } { }ba Bt T b X t R t t −>≤=<≤ 2,, . Deci rezultă că:
[ ] [ ] [ ] [ ] =−>≤=<≤=<≤=<≥ ba Bt T P b X t R P b Bt T P b Ba M P t t t t t 2,,,,0000
[ ] [ ba B P ba Ba M P t t t −>=−>≥= 22, 00 ] deoarece dacă atunci
.
ba Bt −> 2
a M t ≥
3. Avem că [ ] [ ] [ ]b B P b Ba M P b Ba M P t t t t t <=<≥+<< 000 ,, şi deci
[ ] [ ] [ ]ba B P ba
b Ba M P ba
b Ba M P ba
t t t t t −>∂∂
∂−=<≥
∂∂∂
−=<<∂∂
∂2,, 000
( )( )
t
ba
et t ba 2
22
222
−−
−=π
.
Teoremă: Fie a≤ b, a ≤ 0. Densitatea de repartiţie comună a lui şi B st s B
≤inf Bt
este( ) ( )
t
ba
et t
ab2
22
2
22 −−−
π .
[( ) ] ( )⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ <<−−=<<=≤≤
b Ba B P b Ba B P ba F t st s
t st s
,sup,inf , 00 Demonstraţie:
( )( ) ( )
+⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −>−−>−= ∫ ∫
−
−
∞
−≤
a
b a
t st s
dydxt
x y
t t
x yb Ba B P
2
2exp
2
22 ,sup
20
π
( ) ( ) ( )∫∫ ∫ ∫∞
−
∞
−
∞ −
−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−
−+
aa x
a
b
dxt
x
π t dx
t
xa
π t dydx
t
x y
t t
x y
2exp
2
1
2
2exp
2
1
2
2exp
2
22
222
π
( )( ) ( )
t
ba
et t
abba
ba
F 2
222
2
22,
−−−
=∂∂
∂
π .
33
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 36/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
III. No ţ iuni privind teoria calculului stocastic
III.1 Varia ţ ia pătratică a unui proces stocastic
Definiţie: Un proces stocastic A se numeşte cu variaţie mărginită dacă
traiectoriile procesului au variaţie mărginită. In acest caz, pentru un ω fixat se poate
defini integrala Riemann-Stieltjes ( .) ( ) ( ) ( )ω ω ω s
t
st dA X A X ∫=⋅0
Teoremă: Un martingal continuu M are variaţie mărginită dacă şi numai dacă
este constant.
Demonstraţie:
Presupunem că M 0=0. Notăm cu V t variaţia lui M pe [0,t ]. Definim timpul destopare . Avem că { nV sS sn ≥= |inf } nS are variaţie mărginită. Este de ajuns să
demonstr ăm rezultatul cînd M şi variaţia sa sunt mărginite de un număr K . Fie o
diviziune a lui [0,t ] { }t t t t n =<<<==Δ ...0 10 . Avem că:
[ ] ( ) ( ) ≤⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −≤⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−=
+
−
=+
−
=+ ∑∑
it
it
it
n
ii
t i
t
n
iit it t M M V E M M E M M E M E
1
1
1
2
1
1
1
22
1
2 sup
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡ −≤+ i
t i
t i
M M KE 1
sup
Cum M e continuu avem că 02 →t M E şi deci M t =0.
Teoremă: Un martingal continuu şi mărginit M are variaţie pătratică mărginită
şi M M , este unicul proces adaptat, continuu şi crescător cu valoare iniţială 0 astfel
încât M M M ,2 − este martingal.
34
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 37/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Definiţie: Un proces stocastic adaptat X , continuu la dreapta se numeşte
martingal local dacă există un şir crescător de timpi de stopare astfel încât:1, ≥nT n
i) .. lim saT nn
∞=∞→
ii) procesul ) este martingal uniform integrabil.( 01 >n
T
T n X
01 >n
T
T n X Alegând convenabil avem că ) este martingal mărginit. nT (
Teoremă: Dacă M este martingal local continuu atunci există un unic proces
crescător, continuu care incepe din 0 notat M M , astfel încât M M M ,2 − este
martingal local continuu.
Demonstraţie:
Fie şir crescător de timpi de stopare cu1, ≥nT n .. lim saT nn
∞=∞→
şi astfel încât
) este martingal mărginit. Deci există un proces adaptat, continuu şi
crescător care începe din 0 astfel încât e martingal. Definim
( 01 >=nT
T
nn M X n A
nn A X −2n A M M =, pe
.( )0>nT
Teoremă: Dacă M şi N sunt martingale locale continue atunci există un unic
proces crescător, continuu care incepe din 0 notat N M , astfel încât N M MN ,−
este martingal local continuu şi ( ) N M N M N M N M N M −−−++= ,,4
1, .
Dacă T e timp de stopare avemT T T T N M N M N M ,,, == .
Teoremă
(Inegalitatea Kunita-Watanabe): Dacă M
şi N sunt martingale locale
continue, H,K sunt măsurabile, p≥1 şi atunci:111 =+ −−q p
q
s s
p
s s s s s N N d K M M d H N M d K H E
2/1
0
2
2/1
0
2
0
,,, ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ≤
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡∫∫∫∞∞∞
3.1
Demonstraţie:
35
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 38/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Fie { t t t t n }=<<<==Δ ...0 10 o diviziune a lui [0,t ]. Este de ajuns să
consider ăm H şi K de forma [ ] K H X X X iit it
i
i ,marginite, 11, =
+∑ . Notăm cu
st
t
s N M N M N M ,,, −= . Avem că, aproape sigur :
R∈∀++=++≤ r N N r N M r M M rN M rN M t
s
t
s
t
s
t
s,,,2,,0 2
De unde rezultă că: ( ) ( ) 2/12/1,,,
t
s
t
s
t
s N N M M N M = . Ca urmare:
≤⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ≤≤ +++ ∑∑∫
2/11
2/111
0
,,,, it
it
it
it
i
iii
t
it
i
ii
t
s s s N N M M K H N M K H N M d K H
2/1
0
2
2/1
0
2
2/1
122/1
12 ,,,, ⎟⎟ ⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
⎟⎟ ⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ =⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ≤ ∫∫∑∑ ++
s
t
s s
t
s
i
it
it i
i
it
it i N N d K M M d H N N K M M H
Se aplică inegalitatea lui Holder şi se obţine relaţia dorită.
Definiţie: Un proces X se numeşte semimartingal continuu dacă poate fi
scris sub forma A X += unde M este martingal local continuu şi A este adaptat,
continuu şi cu variaţie mărginită.
Teoremă: Un semimartingal continuu A X += are variaţie pătratică finită
şi M M X X ,, = .
Demonstraţie:
Fie { t t t t n }=<<<==Δ ...0 10 o diviziune a lui [0,t ]. Avem că:
it it
iit it
iit it
iit it
iit it
A A M M A A M M X X −−+−+−=−+++++ ∑∑∑∑ 11
2
1
2
1
2
12
Primul termen tinde in probabilitate la M M , , al doilea tinde la 0 şi ultimul
tot la 0 deoarece: ( )( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −≤−−
+++∑i
t i
t i
t i
t i
t
iit
it M M AVar A A M M
111sup şi M e
continuu.
Definiţie: Dacă A X += şi BY += sunt semimartingale continui
definim: ( )Y X Y X Y X Y X N M Y X −−−++== ,,4
1,, şi este limita in
probabilitate a it it i
it it Y Y X X −− ++∑ 11 .
36
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 39/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Definiţie: Definim următoarele mulţimi:
[ ]⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∞<= 2
t
2 sup|martingal t M E M H - spaţiul martingalelor - mărginite2 L
continuu|22 M M H H∈=
{ 0| 022
0 =∈= M H M H
Teoremă:
i) este spaţiu Hilbert cu norma2H [ ]
2
2/1 22 ∞∞ == M M E M
H
ii) Dacă avem că 20 H M ∈ [ ]
2
2/12/1 2 ,,
∞∞== M M M M E M
H
iii) 2
H este închis în şi este închis în2
H20 H
2
H
Demonstraţie:
i) Se vede că [ ]22 ,, N M N M E N M == ∞∞H
este produs scalar şi
222,
HH M M M = . Trebuie să ar ătăm că este spaţiu Banach. Fie2
H { 0≥n
n M un şir
Cauchy în . Rezultă că 2H {
0≥∞ n
n M este şir Cauchy în . Cum este spaţiu Banach
rezultă că
2 L 2 L
{0≥∞ n
n M converge la un . Fie2 L M ∈∞ [ ]t t M E M F|∞= . Ar ătăm că
2H∈ şi că { 0≥n
n M converge la M . Avem că: [ ] [ ]( ) 222 || t t t M M E M E =≥ ∞∞ FF ⇒
⇒ ∞<=≤ ∞∞222 | M E M E E M E t t F ⇒ 2
H∈ . Mai avem că:
022 →−=− ∞∞ M M M M nn
H.
ii) 0,,0
20
2 =−=−∞∞ M M M E M M M E ⇒ [ ] 2/1
2 ,∞
= M M E M H
iii) Fie { } 0≥n
n M un şir din 2 H care converge la un 2H∈ . Din inegalitatea
Doob avem că 22
2
supH
M M c M M E nt
nt
t −≤⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡ ⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ − şi deci 0sup
2 L
t nt
t
M M →− şi
există un subşir { astfel încât}k n 0sup.. sa
t k
n
t t
M M →− . Avem că:
sk
n
s s
k n
t k
n
t t t M M M M M M −+−≤− ++ sup2ε ε . Deci 2 H ∈ .
Fie { 0≥n
n M un şir din care converge la un20 H 2 H ∈ . Avem că:
( ) [ ]( ) [ ]( ) ( ) 2
2222
0 H M M M M E M M E M E M
nnn
−=−≤−== ∞∞∞∞∞ ⇒ .00 = M
37
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 40/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
III.2 Integrala stocastică
Definiţie: Fie 2 H ∈ , ( ) ∞+ ⊗∈Γ FB R . Definim:
( )⎪⎭
⎪⎬⎫⎪⎩
⎪⎨⎧ ∞<⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡== ∫∞
0
222 ,K |masurabil progresiv s s M
M M d K E K M L
( ) ( ) ( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=Γ ∫
∞
Γ
0
,,1 ω ω s M M M d s E P o măsur ă pe ( ) ∞+ ⊗ FB R
( ) ( )~
22 M M L L= unde H K ~ ⇔ .. sa P H K M −=
Teoremă:(Integrala stocastică in raport cu martingalele - mărginite)2 L
i) Fie 2 H ∈ . Pentru orice ( ) M L K 2∈ există şi este unic , notat
şi cu , astfel încât
20 H M K ∈⋅
s sdM K ∫•
0
( ) 2,,, H N N M K N M K ∈∀⋅=⋅
ii) Aplicaţia K K ⋅→ este o izometrie de la ( ) M L2 la 20 H
iii) Dacă şi( M L K 2∈ ) ( ) M K L H ⋅∈ 2 atunci ( ) M L HK 2∈ şi avem că
( ) ( M K H M HK )⋅⋅=⋅
iv) Dacă T e timp de stopare [ ] ( )T
T
T M K M K M K ⋅=⋅=⋅ ,01
Demonstraţie:
i) Existenţa. E suficient să ar ătăm pentru . Conform inegalităţii
Kunita-Watanabe pentru avem că:
20, H M N ∈
2== q p
( ) 22
2/1
2
2/1
0
2
00
K ,,,,H
N N N M M d K N M d K E N M d K E M s s s s s s =⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ ≤
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡≤⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡∞
∞∞∞
∫∫∫
Rezultă că aplicaţia ( )[ ]∞
⋅→ N M K E N , este liniar ă şi continuă pe spaţiul
Hilbert . Deci conform teoremei lui Riesz există astfel încât20 H 2
0 H M K ∈⋅
( )[ ] ( )∞∞∞ ⋅=⋅ N M K E N M K E , . Fie T timp de stopare . Avem că:
( )[ ] ( )[ ][ ] ( )[ ][ ] ( )[ ]T T T T T T T N M K E N M K E E N M K E E N M K E ∞∞∞ ⋅=⋅=⋅=⋅ FF ||
( )[ ] ( )∞∞∞ ⋅=⋅= T T N M K E N M K E ,
( )[ ]T
T N M K E N M K E ,, ⋅=⋅=
∞
38
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 41/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Avem că ( ) N M K N M K ,⋅−⋅ e martingal şi deci N M K N M K ,, ⋅=⋅ .
Unicitatea. Dacă astfel încât20, H L L ∈′ ( ) 2,0, H N N L L ∈∀=′− avem în
particular că 0, =′−′− L L L L . Notînd cu L L R ′−= avem că
( ) [ ] 0,20 ==−
t t R R E R R E ⇒ 00 == R Rt .
ii) ( )[ ] ( )[ ] 22222 ,
M K M M K E M K E M K =⋅=⋅=⋅
∞∞H
iii) ( ) ( ) M M K H M K H M K H ,, 22 ⋅=⋅⋅⋅⋅ ⇒
( ) ∞<⋅⋅=2
22
H M K H HK
M ⇒ ( ) M L HK 2∈
( ) ( ) ( ) N M K H N M K H N M K H N M HK N M HK ,,,,, ⋅⋅=⋅⋅=⋅⋅=⋅=⋅
⇒ ( ) ( ) M K H M HK ⋅⋅=⋅
iv) [ ] [ ] N M N M N M N M T T
T T ,1,1,, ,0,0 ⋅=⋅== . Deci avem că:
[ ]( ) [ ] M K M K M K T T
T ⋅=⋅⋅=⋅ ,0,0 11 şi ( ) [ ] ( ) [ ] M K M K M K T T
T ⋅=⋅⋅=⋅ ,0,0 11
Definiţie: Fie M martingal local continuu. Notăm cu mulţimea
claselor de procese progresiv măsurabile K cu proprietatea că există un şir crescător
de timpi de stopare cu
( M Lloc
2 )
1, ≥nT n .. lim saT nn
∞=∞→
şi ∞<⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣
⎡ ∫nT
s s M M d K E 0
2 , .
Teoremă: (Integrala stocastică in raport cu martingalele local continue)
Fie M este martingal local continuu. Pentru orice ( ) M L K loc
2∈ există şi este
unic K ⋅ martingal local continuu , notat şi cu , astfel încât orice N
martingal local continuu
s sdM K ∫•
0
N M K N M K ,, ⋅=⋅ . R ămân adevărate şi proprietăţile
iii) şi iv) din teorema de mai sus.
Demonstraţie: Se poate alege un şir crescător de timpi de stopare cu
astfel încât
1, ≥nT n
.. lim saT nn
∞=∞→
2 H nT
∈ şi nT
nT
M L K 2∈ . Putem să definim procesul
. Cum coincide cu penT
nT
n M K X ⋅= 1+n X n X [ ]nT ,0 putem defini pe
care este evident un martingal local continuu.
n X M K =⋅
[ nT ,0 ]
39
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 42/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Definiţie: Un proces progresiv măsurabil K se numeşte local mărginit dacă
există un şir crescător de timpi de stopare cu1, ≥nT n .. lim saT nn
∞=∞→
şi constantele
astfel încâtnC nn
T C K ≤ .
Se vede că procesele continue şi adaptate sunt local mărginite iar procesele
local mărginite sunt in .( ) M Lloc
2
Definiţie: (Integrala stocastică in raport cu semimartingalele continue)
Fie K local mărginit şi A X += semimartingal continuu. Definim integrala
stocastică a lui K in raport cu X semimartingalul continuu A K K X K ⋅+⋅=⋅ . Se
observă că are proprietăţile iii) şi iv) din teorema de mai sus.
Corolar: (Integrala stocastică in raport cu mişcarea browniană)
i) Pentru orice ( ) B L K 2∈ există şi este unic , notat şi cu
, astfel încât
20 H B K ∈⋅
s
t
st dB K I ∫=0
( ) 2,,, H N N B K N B K ∈∀⋅=⋅
ii) [ ] 0=t I E
iii) (izometria Ito) [ ] [ ]ds K E I VARt
st ∫=0
2
iv) este martingal t I
v) Dacă şi( ) B L K 2∈ ( ) B K L H ⋅∈ 2 atunci ( ) B L HK 2∈ şi avem că
( ) ( B K H B HK )⋅⋅=⋅
vi) Dacă T e timp de stopare [ ] ( )T
T
T B K B K B K ⋅=⋅=⋅ ,01
III.3 Formula de schimbare de variabil ă
Teoremă:(de convergenţă dominantă)
Fie X += semimartingal continuu. Dacă ( )n K este un şir de procese
local mărginite ce tinde punctual la 0 şi există un proces local mărginit K astfel încât
K K n ≤ atunci ( ) X K n ⋅ converge la 0 in probabilitate, uniform pe fiecare interval
compact.
40
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 43/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Demonstraţie: Trebuie ar ătat că ( ) 0suplim =⋅−≤∞→
s
n
t sn X K P care este evident
adevărată pentru X cu variaţie finită. Dacă X martingal local continuu şi T timp de
stopare astfel încât e martingal mărginit şi( 01 >T
T X ) [ ] δ ≤≤ t T P . tinde la 0
în
( )T n K
( )T X L2 şi deci converge la 0 în( T n
X K ⋅ ) 2 H . Cum ( ) X K n ⋅ coincide cu
pe [ avem că ( T n X K ⋅ ) ]T ,0 ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ >⋅+≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ >⋅
≤≤ε δ ε
T
s
n
t s s
n
t s
X K P X K P supsup şi
cum ultimul termen tinde la 0 rezultă convergenţa dorită.
Teoremă: Dacă K este continuu şi ( )nΔ un şi de diviziuni a lui [0,t ] cu
0→Δn atunci: ( )it it
ni
t it n
s
t
s X X K P dX K −−=+
Δ∈∞→
∑∫ 10
lim .
Demonstraţie: E suficient să facem pentru K mărginit(dacă nu apelăm la
localizare). Fie ]. Cum[ 1,1+
Δ∈
∑=it
it
ni
t it
n K K i
t i
t n
it
it
n X X K X K −=⋅+
Δ∈
∑ 1,
şi
K K n →
∞≤ K K n se poate aplica teorema de mai sus.
Teoremă:(integrarea prin păr ţi).Fie Y X , semimartingale continue. Atunci:
t s
t
s s
t
st t Y X dX Y dY X Y X Y X ,00
00 +++= ∫∫ 3.2
Demonstraţie: Avem că:
∑∑∑ −−−−−=−−++++
ii
t i
t i
t it
it
ii
t t t i
t i
t
iit
it X X Y Y Y X Y X Y X Y Y X X
110011
Trecând la limită se obţine relaţia dorită.
Teoremă: (formula Ito). Fie RR ,2 d C f ∈ şi ( )d i
i X X ..1== vector de
semimartingale continui. Atunci ( ) X f este semimartingal continuu şi:
( ) ( ) ( ) ( ) s
ji
s
ji
t
ji
i
s s
d
i
t
i
t X X d X x x
f dX X
x
f X f X f ,
2
1
, 0
2
1 0
0 ∑∫∑∫ ∂∂∂
+∂∂
+==
3.3
Demonstraţie: Dacă f are proprietatea din enunţ conform formulei de integrare
prin păr ţi şi funcţiile ),...,(),...,( 11 d id i x x f x x x g = au aceeaşi proprietate. Deci
proprietatea e adevărată pentru funcţii polinomiale. E suficient să ar ătăm cazul in care
41
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 44/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
X ia valori intr-un compact d K R∈ . Dar pe K orice funcţie este limita unui şir de
funcţii polinomiale. Folosind teorema de convergenţă, formula este demonstrată.
Lemă: Fie M martingal local continuu şiC
∈λ . Notăm cu
( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= M M M M ,2
exp2λ
λ ξ λ . Avem că ( ) M λ ξ e martingal local continuu.
Demonstraţie: Fie ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧
−= y x y x f 2
exp,2λ
λ λ . Aplicînd formula Ito şi avînd
în vedere că ( ) ( M M M f M ,,λ λ ξ = ) avem că :
( ) ( ) 0,, 02
2
000
∫∫∫ +∂
∂
+∂
∂
+∂
∂
+=
t
s
t
s
t
st M M d x
f
M M d y
f
dM x
f
M M
λ λ λ λ λ
ξ ξ
( ) ( ) ∫∫∫ ∂∂
+=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂
∂+
∂∂
+=t
s
t
s
t
s dM x
f M M M d
x
f
y
f dM
x
f M
0
0
0
0
2
2
0
0 ,λ
λ λ λ λ
λ ξ ξ
Teoremă:(Levy). Fie X un proces d-dimensional, adaptat cu . Dacă X
este martingal local continuu şi
00 = X
d jit X X ij
ii ≤≤= ,1 , , δ atunci X e mişcare
browniană.
Demonstraţie: Fie T>0 şi [ ] d k f k k k ≤≤=∈ ,1 1, 0,Tα α R . Notăm cu
k
s
k
t
k t dX f M ∑∫=0
. Avem că ds f M M k
t
k t ∑∫=0
2, . Aplicând lema de mai sus cu i=λ
avem că ( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ ∧+== ∧ T t X i M D T t t
i
t
2
2
1,exp α α ξ este martingal local continuu.
Dar fiind mărginit rezultă că este martingal. Pentrut D s A F∈ şi T t s << avem că:
{ }[ ] ( ) ( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−−=− st A P X X i E st A 2exp,exp1
2α
α . Deci st X X − este independentă
de şi este v.a. gaussiană cu maticea de covarianţă sF ( ) n I st − . Deci X este mişcare
browniană.
42
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 45/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
III.4 Teorema de reprezentare a martingalelor
Fie B mişcare browniană. In continuare consider ăm filtrarea pe care o
notăm cu .
Bt F
t F
Lemă: Mulţimea e
totală in .
( )⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ==Φ
∞
•
∞∞ ∫ compactsup.cusimpla|0
f dB s f s
f ξ ξ
( ) P L ,2∞Ω F,
Demonstraţie: Ar ătăm că dacă ( ) P LY ,2∞Ω∈ F, şi Y este ortogonal pe orice
atunci f ∞ξ P Y ⋅ e măsura nulă. E de ajuns să ar ătăm că e nulă pe n
t t B B ,...,1σ pentru
orice secvenţă finită . Funcţia e
analitică pe . Cum
( nt t ,...,1 ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∑
=−
Y B B z E z z n
ii
t i
t in
111 exp,...,ϕ
nC ( ) ( ) n
n
iit it in Y B B E R∈∀=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −= ∑
=−
α α α α ϕ ,0exp,...,1
11 avem
că 0≡ϕ şi deci . Deci( ) nn
i
it
it i Y B Bi E R∈∀=⎥
⎦
⎤⎢
⎣
⎡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −∑
=
−α α ,0exp
1
1 P Y ⋅ e nulă pe
nt t B B ,...,
1σ deoarece transformata Fourier e nulă.
Lemă: Fie . Există şi e unic astfel încât
.
( P L F ,2∞Ω∈ F, ) ( ) B L H 2∈
[ ] ∫∞
+=0
s sdB H F E F
Demonstraţie: Notăm cu mulţimea acelor H ( ) P L F ,2∞Ω∈ F, cu proprietatea
de mai sus. Dacă atunciH∈ F [ ] 222
2 B H F E F += . Dacă { }n
F converge in la
atunci şirul corespunzător
H
( P L F ,2∞Ω∈ F, ) n H tinde la . Rezultă că
. Deci e închisă. Dar folosind formula lui Ito avem
că . Deci
( ) B L H 2∈
[ ]( ) H∈+= ∫∞
0
lim s s
n
ndB H F E F H
s
f
s
f dB s f )(10∫∞
∞ += ξ ξ H⊆Φ∞ . Rezultă că { }0=⊥H şi cum e inchisă H
43
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 46/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
atunci . Dacă avem( P L ,2∞Ω= F,H ) ( ) B L H H 2, ∈′ cu proprietatea de mai sus rezultă
că [ ] 222
200
B H H E ′−+= şi deci H H ′= .
Teoremă: (teorema de reprezentare a martingalelor). Fie ( ) d i
i B B ..1== o
mişcare browniană d-dimensională. Dacă M este - martingal atunci există şi este
unic
t F
( ) ( ) B L H H d i
i 2..1 ∈= = astfel încât .∑∫
=
+=d
i
t
i
s
i
st dB H C M 1 0
Demonstraţie: Facem demonstraţia pentru 1=d şi M martingal -mărginit.
Deci există astfel încât
2 L
( P L M ,2∞∞ Ω∈ F, ) [ ]t t M E M F|∞= . Aplicând lema de mai
sus avem că :
.[ ] [ ] [ ] ∫∫∫ +=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+= ∞
∞
∞
∞
∞
t
s st s st s st dB H M E dB H E M E dB H M E E M 000
|| FF
Observaţie Una din proprietăţile fundamentale ale integralei stocastice în
raport cu mişcarea browniană se refer ă la faptul că aceasta este un martingal în raport
cu filtrarea generată de mişcarea browniană. Teorema de reprezentare a martingalelor
reprezintă o reciprocă a acestei proprietăţi, în sensul orice martingal în raport cu
filtrarea generată de mişcarea browniană se poate scrie sub forma unei integrale
stocastice.
III.5 Teorema de schimbare a măsurii
Lemă: Fie L martingal local continuu. Notăm cu ( ) L D ξ = . Avem că
s
t
st dD D D L ∫ −+=0
10ln şi L M D M D ,,1 =⋅− cu M martingal local continuu
Demonstraţie: Aplicînd formula lui Ito rezultă că
s
t
s s
t
st D Dd DdD D D D ,2
1lnln
0
2
0
10 ∫∫ −− −+= ⇒ s
t
st dD D D L ∫ −+=0
10ln
L M D D D M D D M D M D ,ln,,, 10
11 =⋅+=⋅=⋅ −−−
44
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 47/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teorema:(Girsanov). Fie L martingal local continuu şi ( ) P L P ⋅= ξ ~
. Dacă B
este P -mişcare browniană atunci L B B B ,~
−= este P ~
-mişcare browniană.
Demonstraţie: Facem demonstraţia pentru 1=d . Notăm cu ( ) L D ξ = . In
primul rînd ar ătăm că B~ este P ~ - martingal local continuu ar ătînd că D B~ este P -
martingal local continuu. Aplicînd formula de integrare prin păr ţi şi lema avem că:
t s
t
s s
t
st t D B Bd DdD B D B D B ,~~~~~
00
00 +++= ∫∫
t s
t
s s
t
s D B L B DdB DdD B D B ,~
,~~
00
00 +⋅−++= ∫∫
s
t
s s
t
s dB DdD B D B ∫∫ ++=00
00 ~~
Dar t B B B Bt t
== ,~
,~
. Aplicînd teorema lui Levy rezultă că B~
este P ~
-
mişcare browniană.
In general este important cazul in care ( ) Lξ este martingal şi nu doar
martingal local continuu. In acest caz avem că probabilitatea ( ) P L P ⋅= ξ ~
poate fi
extinsă pe . In această lucrare vom lua în considerare doar cazul∞F T t t B L ∧= θ unde
B este mişcare browniană rezultînd că ( ) Lξ e martingal. Pentru cazul general dăm in
continuare f ăr ă demonstraţie două criterii care ne asigur ă că ( ) Lξ e martingal.
Teorema:(criteriul Kazamaki). Dacă L martingal local continuu astfel încât
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ L
2
1exp este submartingal uniform integrabil atunci ( ) Lξ este martingal uniform
integrabil.
Teorema:(criteriul Novikov). Dacă L martingal local continuu astfel încât
∞<⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
∞ L L E ,
2
1exp atunci ( ) Lξ este martingal uniform integrabil.
45
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 48/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
IV. No ţ iuni privind teoria proceselor de difuzie
IV.1 Ecua ţ ii diferen ţ iale stocastice
Fie ( )r i
i B B ..1== o mişcare browniană r-dimensională şi consider ăm funcţiile
boreliene: ( ) ( )( ) [ ) r d d
ji xt xt RRR ⊗→×∞= ,0:,, ,σ σ , r jd i ≤≤≤≤ 1,1 şi
( ) ( )( ) [ ) d d
i xt b xt b RR →×∞= ,0:,, , 1 d i ≤≤ . Funcţia poartă numele de
drift, iar funcţia
),( xt b
( ) xt ,σ poartă numele de difuzie.
Se consider ă următoarea ecuaţie diferenţială stocastică:
( ) d x X R∈=0 dat
( ) ( )( ) ( )( ) k
s
t r
k
k i
t
ii
i dB s X sds s X sb xt X ∫ ∑∫=
++=0 1
,
0
,, σ , 1 d i ≤≤ 4.1
Ecuaţia stocastică poate fi scrisă şi in formă "diferenţială":
( ) d x X R∈=0 dat
( ) ( )( ) ( )( ) k
s
r
k
k ii
i dBt X t dt t X t bt dX ,,1
,∑=
+= σ , 1 d i ≤≤ 4.2
Dacă ( ) ( x xt )σ σ =, şi ( ) ( ) xb xt b =, atunci ecuaţia se numeşte omogenă.
Definiţie: Se numeşte proces de difuzie orice soluţie a ecuaţiei stocastice 4.1 .
Se observă că procesle de difuzie au traiectorii continue. De asemenea, din
teorema de reprezentare a martingalelor rezultă că în cazul în care driftul este egal cu
zero, procesul de difuziune este un martingal. De fapt, în matematica financiar ă, o
modalitate simplă de a ar ăta că un proces stocastic este martingal constă în a ar ăta că
acesta este un proces de difuziune f ăr ă drift.
46
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 49/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teoremă:(de existentă şi unicitate a unei soluţii tari). Dacă există
astfel încât
0> K
( ) ( ) ( ) ( ) 222,,,, y x K yt b xt b yt xt −≤−+− σ σ , ( ) ( ) [ ) d
yt xt R×∞∈∀ ,0,,,
( ) ( ) 1,, 222 +≤+ x K xt b xt σ , ( ) [ ) d xt R×∞∈∀ ,0,
atunci ecuaţie 4.1 are soluţie unică ( )t X - măsurabilă. B
t F
Demonstraţie:
Vom considera doar cazul ecuaţiilor omogene cu 1== r d .
Existenţa. Fie şi . Construim şirul0>T [ T t ,0∈ ] ( )( )nn t X definit astfel:
R∈= xt X )(0
( ) ( )( ) ( )( ) sn
t
n
t
n dB s X ds s X b xt X 1
0
1
0
−− ∫∫ ++= σ
Avem că:
( ) ( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )t I t I ds s X b s X bdB s X s X t X t X
t
nn s
t
nnnn 21
0
1
0
11 +=−+−=− ∫∫ −−+ σ σ
Folosind inegalittea lui Doob avem că:
( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ≤⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ −=⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎣
⎡⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ −≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ∫∫ −−
≤ds s X s X E dB s X s X E s I E
t
nn s
t
nnt s
2
0
1
2
0
1
2
1 44sup σ σ σ σ
( ) ( )[ ]ds s X s X E K
t
nn∫ −−≤0
2
1 4
Analog folosind inegalitatea Cauchy-Schwartz avem că:
( ) ( )( ) ( )( )[ ] ( )( ) ( )( )[ ] ≤⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ≤
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ∫∫∫ −−
≤ds s X b s X bds E dB s X b s X b E s I E
t
nn
t
s
t
nnt s
2
0
1
0
2
0
1
2
2sup
( )( ) ( )( )[ ] ( ) ( )[ ]ds s X s X E TK ds s X b s X bTE
t
nn
t
nn ∫∫ −− −≤⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −≤
0
2
1
2
0
1
Rezultă că:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]ds s X s X E T K s I E s I E s X s X E
t
nn
C t st s
nnt s
∫ −≤≤
+≤
−+≤⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡+⎥⎦
⎤⎢⎣⎡≤⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −
0
2
1
2
2
2
1
2
1 42supsup2sup
Se obţine prin iteraţii succesive că:
( ) ( ) ( ) ( )[ ]2
01
2
1 !
sup t X t X E n
T C s X s X E
nn
nnt s
−≤⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −+
≤
47
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 50/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Dar
( ) ( )[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( )( ) ( ) ( )( )2222222
2
0
2
0
2
01 222 t xbt xt xb B E xds xbdB x E t X t X E t
t
s
t
+=+=⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ≤− ∫∫ σ σ σ
( ) ( ) ) ( ) ∞<+≤+≤22222
144 x K T xb xT σ
Rezultă că ( ) ( )∑∞
=+
≤∞<−
1 21 sup
n
nnt s
s X s X . Deci ( ) ( )∑∞
=+
≤−
11sup
n
nnt s
s X s X converge a.s. şi
ca urmare converge a.s., uniform pe fiecare interval mărginit, către un proces
continuu care e soluţie - măsurabilă a ecuaţiei 4.1.
)(t X n
( )t X B
t F
Unicitatea. Fie ( )t X şi două soluţii ale ecuaţiei 4.1 şi fie şirul de timpi de
stopare
( )t Y
( ) ( ){ } sau|0inf nt Y nt X t T n >>>= . Pentru n fixat notăm cu:
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −=
≤
2
sup nT
snT
st s
Y X E t ϕ
Folosind aceleaşi argumente ca mai sus rezultă că pentru n fixat pe [ ]T T n ∧,0 avem:
( ) ( )ds sC t
t
∫≤0
ϕ ϕ
Folosind lema Gronwall rezultă că 0≡ şi deci Y X = pe . Cînd
şi
[ ]T T n ∧,0
∞→n ∞→T ţinînd seama că ∞→nT rezultă că Y X = pe [ )∞,0 .
Teoremă: Procesele de difuzie sunt procese Markov. Mai mult, dacă procesul
de difuzie este soluţie a unei ecuaţii stocastice omogene atunci este proces Markov
omogen.
Demonstraţie:
Vom considera doar cazul 1== r d .
Fie . Fie soluţia ecuaţiei stocastice 4.1. Notăm cu0>T t X sT s
T
s B B B −= +
~.
Consider ăm ecuaţia stocastică:
4.3( ) (∫∫ ′++′++=′t
s
T
s
t
sT t ds X T sb Bd X T s X X 00
,~
,σ )
Cum T
s B~
e independent de rezultă că B
T FT B
~e independent de . Notăm cu
soluţia ecuaţiei 4.3 care există şi e unică.
T X
{ 0, >′=′ t X X t }
Fie X ′′ definit astfel
48
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 51/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
⎩⎨⎧
≥′
<=′′
− T t X
T t X X
T t
t
t ,
,
Avem că X ′′ verifică 4.1 şi din unicitate rezultă că X X =′′ , deci t T t X X ′=+
pentru . Rezultă că nu depinde decât de şi de0≥t T t X + T X T B~ .
Dar am văzut că T B~
este independentă de . Altfel spus avem că legea
condiţionată a lui relativ la depinde decât de t,T şi de , adică
B
T F
T t X + B
T F T X X e proces
Markov.
Dacă procesul de difuzie este soluţie a unei ecuaţii stocastice omogene avem
că şi 4.3 este omogenă. Se observă că legea condiţionată a lui cunoscînd că
este aceeaşi cu a lui cunoscînd că
T t X +
x X T = t X x X =0 şi deci X e proces Markov
omogen. In acest caz avem că probabilităţile de traniţie sunt omogene şi deci
.( ) [ ] A X P A x P t
x
t ∈=,
Teoremă: (formula Ito pentru procesele de difuzie). Fie ( )RR ,2 d C f ∈ şi
( ) d i
i X X ..1== proces de difuzie. Atunci ( ) X f este proces de difuzie şi:
( ) ( ) k sk i
r
k
t d
i i
t
ji
d
ji
ji
i
d
i
it dB x f ds
x x f c
x f b X f X f ,
1 0 10
2
1,,
10 2
1 σ ∑∫ ∑∫ ∑∑ = === ∂∂+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ ∂∂∂+∂∂+= 4.3
unde .t c σσ =
Demonstraţie:
Calculăm ji X X , şi aplicăm formula lui Ito. Avem că:
=== ∑ ∫∫∫ ∑∫ ∑===
r
pk
p
s
t
p j
k
s
t
k i
p
s
t r
p
p j
k
s
t r
k
k i
ji dBdBdBdB X X 1, 0
,
0
,
0 1,
0 1, ,,, σ σ σ σ
∫∑∫∑∫==
===t
ji
r
k
t
k jk i
r
pk
t
p
s
k
s p jk i dscds B Bd 0
,1 0
,,1, 0
,, , σ σ σ σ
49
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 52/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
IV.2 Generatorul infinitizimal al unui proces de difuzie
Fie {P t ,t ≥ 0} un semigrup de probabilităţi de tranziţie omogene al unui proces Markov omogen cut X 00 = X .
Definiţie: Fie (funcţii continue cu limita la infinit zero) şi
generatorul infinitizimal al semigrupului {P
0C f ∈
L t ,t ≥ 0}. Spunem că dacă ( )L Dom f ∈
00
lim C t
f f P f t
t ∈
−=
↓L
Teoremă: Dacă ( )L Dom f ∈ atunci
i) ( )L Dom f P t ∈
ii) ( ) ( f P f P f P dt
d t t t LL == )
iii) ( ) ( )∫∫ ==−t
t
t
t t ds f P ds f P f f P 00
LL
iv) este( ) ( ) ( )ds X f X f X f M
t
st
f
t ∫−−=0
0 L x P -martingal x∀
Demonstraţie: Pentru t fixat avem că:
( )( f P
s
f f P P
s
f P f P P
s
f P f P t
st
s
t t s
s
t st
sL=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=
−=
−↓↓
+
↓ 000limlimlim ) ⇒
( )L Dom f P t ∈ , ( ) ( f P f P t t LL = ) şi are derivată la dreapta egală cu f P t t → ( ) f P t L
Funcţia e derivabilă şi are derivata egală cu∫→t
s fds P t 0
L ( ) f P t L . Rezultă că :
g fds P f P
t
st += ∫0
L . Făcând rezultă că 0=t f g = . In continuare vom demonstra iv)
[ ] ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−−+= ∫ s
t
s
s st
x f
s s
f
t
x ds X f X f X f E M M E FLF ||
( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
−−+= ∫
−
− ds X f X f X f E M
st
s st
s X f
s0
0L
50
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 53/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Dar ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 000
0 =−−=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− ∫∫
−
−
−
−
st
u st
st
s st
y du y f P y f y f P ds X f X f X f E LL
Teoremă: Dacă şi există 0C f ∈ 0C g ∈ a.i. este( ) ( ) ( )ds X g X f X f t
st ∫−−0
0
x P -martingal atunci x∀ ( )L Dom f ∈ şi g f =L .
Demonstraţie: Avem . Deci( ) ( ) ( ) 00
=−− ∫t
st ds x g P x f x f P
( ) 011
00
→−≤−=−−
∫∫ ds g g P t
ds g g P t
g t
f f P t
s
t
st
Definiţie: O funcţie boreliană apar ţine domeniului generatorului
infinitizimal extins notat tot cu
f
( )L Dom dacă există o funcţie boreliană a.i.
( ) ∞<∫ ds X g
t
s
0
şi este( ) ( ) ( )ds X g X f X f
t
st ∫−−0
0 x P -martingal şi scriem
.
x∀
g f =L
In continuare vom considera că este proces de difuzie omogen.t X
Teoremă:(generatorul infinitizimal al unui proces de difuzie omogen).
Fie ( d i
i X X ..1== proces de difuzie. Atunci ( )L DomC K ⊆∞ şi
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x x x
f xc x
x
f xb x f
ji
d
ji
ji
i
d
i
i ∂∂∂
+∂∂
= ∑∑==
2
1,,
1 2
1L 4.4
unde t c σσ =
Demonstraţie: Conform formulei Ito pentru ( )RR ,d
K C f ∞∈ avem:
( ) ( ) k
sk i
r
k
t d
i i
t
ji
d
ji
ji
i
d
i
it dB x
f ds
x x
f c
x
f b X f X f ,
1 0 10
2
1,,
10 2
1σ ∑∫ ∑∫ ∑∑
= === ∂∂
=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
+∂∂
−− care este x P -
martingal , fiind martingal local continuu mărginit. x∀
51
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 54/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teoremă: Fie e proces de difuzie .Următoarele afirmaţii sunt echivalente:t X
i) ,( )[ ] ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+= ∫ ds X f E x f X f E
t
s
x
t
x
0
L x∀ şi ∞∈∀ K C f
ii) f este x P -martingal x∀ , ∞∈∀ K C f
iii) f este x P -martingal local x∀ , 2C f ∈∀
Demonstraţie:
ii) ⇒ i). Cum ,00 = f M ( ) ( ) ( ) [ ] 0
0
==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−− ∫ f
t
x
t
s
x
t M E ds X f E x f x f P L
i) ⇒ ii). Avem că . Rezută deci că:[ ] 0= f
t s
X M E
[ ] ( ) ( ) ( ) [ ] f
s
f
st s
X f
s s
t
s
s st
x f
s s
f
t
x M M E M ds X f X f X f E M M E =+=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −−+= −∫ FLF ||
iii) ⇒ ii). Dacă f este x P -martingal local şi e mărginit pe [ ]t ,0 atunci e martingal
ii) ⇒ iii). Fie . Există un compact H şi un şir de funcţii2 K C f ∈ { }k f din care
converge uniform către f pe H. Procesul e mărginit pe [ de o
constantă . Avem că:
∞ K C
f
t k
f
t M M − ]t ,0
0→k c
[ ] [ ] [ ] 0||| →−+−≤− f
sk
f
t sk
f
t
x
s
f
t
x f
s s
f
t
x M M M E M E M M E FFF , deci f este
martingal. Dacă fie din a.i.2C f ∈ { }n g 2 K C n g f = pe . Fie şirul de timpi
de stopare
1+⊂ nn K K
{ nt n K X t ∉>= |0inf }σ . Cum avem că pînă lan g
t
f
t M M = nσ şi cum
e martingal rezultă că e martingal local.n g
t M f
t M
IV.3 Teorema de leg ătur ă dintre procesele de difuzie şi ecua ţ iilediferen ţ iale cu derivate par ţ iale
Fie g boreliană şi . Definim :( ) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= ∫
t
st ds X g N 0
exp
x
t
x
g P N P ⋅= pe şit F ( ) ( )[ ]t t
x g
t X f N E x f P =
52
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 55/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teoremă: Fie e proces de difuzie cu generatorul infinitizimal . Avem:t X L
i) e proces Markov şi faţă de măsurat X x
g P
ii) Generatorul infinitizimal al semigrupului { }0, >t P g
t este :
4.5 gf f f g −= LL
Demonstraţie:
i) Fie h boreliană şi Y -măsurabilă. Avem că:t F
( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ] st X
g
x
g s st X
t
x
st st
x
st
x
g X hYE E N X h E YN E N X Yh E X Yh E === +++
ii) Fie . Avem că ∞∈ K C f f este x P -martingal x∀ . Folosind formula de
integrare prin păr ţi rezultă că:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) f
s
t
s
t
s s s s
t
st t dM N sd X f N ds X g N X f X f X f N ∫∫∫ ++−=000
0 L
Se vede că ultimul termen este x P -martingal. Integrînd in raport cu x P avem că :
( )[ ] ( )[ ] ( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−+= ∫ ds X gf f E X f E X f E
t
s
x
g
x
g t
x
g
0
0 L
Folosind teorema de mai sus rezultă că . gf f f g −= LL
Teoremă:(Feynman-Kac). Fie e proces de difuzie cu generatorul
infinitizimal , şi fie şi g boreliane mărginite. Definim funcţia
. Funcţia
t X
L 0>T 0 f
( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= ∫ T
T
t
s
yt X f ds X g E yt f 0, exp, ( ) yt f , verifică ecuaţia cu
derivate par ţiale:
0=−+∂
∂ gf f t
f
L
cu condiţie pe frontier ă
( ) )(, 0 y f yT f = 4.6
Demonstraţie:
Consider ăm procesul ( care este proces de difuzie care porneşte din
. Generatorul infinitizimal al acestui proces este evident
)
)
t X t ,
( x,0 ⋅+∂
⋅∂L
t . Deci cu
notaţiile de mai sus (f ăcând modificările necesare adică in loc de x consider ăm
53
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 56/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
perechea ) rezultă că ( x,0 ) gf f t
f f g −+
∂∂
= LL . Dintr-o teoremă anterioar ă rezultă
că ( ) ( ) ( )ds X gf f t
f X f X t f
t
st ∫ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+∂∂
−−0
0,0, L este - martingal. x
g P ,0
Fie . Avem că:t u <
( )[ ] ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡= ∫ uT
T
st X t
u
x
ut
u
t x
ut
x
g X f ds X g E N
E X t f N
N E X t f E FFF |exp
1|,|, 0
0
,,0,0,0
( ) ( ) ( ) ( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= ∫∫ uT
T
s
u
x
ut T
T
s
x
u
x X f ds X g N
E X f ds X g E N
E FFF |exp1
||exp1
0
0
,00
0
,0,0
( ) ( ) ( uuT
T
u
s
x X u f X f ds X g E ,|exp 0,0 =
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= ∫ F )
)Deci este - martingal şi in consecinţă rezultă că ( t X t f , x
g P ,0
( )ds X gf f t
f t
s∫ ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −+∂∂
0
L este - martingal. De aici rezultă că: x
g P ,0
0=−+∂
∂ gf f t
f
L .
Observaţie. In matematica financiar ă există două modalităţi de evaluare a activelor
financiare şi anume principiul arbitrajului şi principiul evaluării neutre la risc. Prin
utilizarea principiului arbitrajului se ajunge la concluzia că preţul activului financiar
trebuie să verifice o ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale. Pe de altă parte însă prin
utilizarea principiului evaluării neutre la risc preţul activului reprezintă o medie a
cash-flow-urilor viitoare actualizate. Teorema Feynman-Kac este fundamentală înmatematica financiar ă în sensul că arată faptul că cele două principii de evaluare sunt
echivalente.
54
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 57/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
V. Pia ţ a financiar ă de tip Black-Scholes-Merton (BSM)
V.1 Ipotezele modelului Black-Scholes-Merton
Fie Ω spaţiul tuturor evenimentelor care influenţează cursul bursier al unui
activ şi fie P o probabilitate pe aceast spatiu, numită probabilitatea pieţei. Fie B(t ) o
mişcare browniana relativa la P cu ( ) 00 = B , 0≤t≤T, şi F(t),0≤t≤T , filtrarea
generată de mişcarea browniană.
Modelul Black-Scholes-Merton presupune următoarele ipoteze:
• tranzacţionarea are loc în mod continuu (model cu timp continuu)
• rentabilitatea activului suport are o distribuţie normală
•
activul suport nu generează dividende pe perioada analizată • rata dobânzii este constantă
• volatilitatea anuală a cursului suport este constantă
Ipoteza de bază a modelului Black-Scholes este că rentabilitatea activului
suport este distribuită normal. Mai exact, rentabilitatea pe perioada ( are o
distribuţie normală cu medie
)t t t Δ+,
t Δ⋅ şi dispersie t Δ⋅σ , unde reprezintă
rentabilitatea medie anuală, iar σ este volatilitatea anuală a activului suport:
( )t t N S
S S
t
t t t Δ⋅Δ⋅−Δ+ σ μ ,~
Folosind proprietăţile mediei şi dispersiei putem scrie că:
ε σ μ ⋅Δ⋅+Δ⋅=−Δ+ t t
S
S S
t
t t t
unde ε are o distribuţie normală standard (i.e. ( )1,0~ N ε ).
55
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 58/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
O altă ipoteză a modelului este aceea că tranzacţionarea are loc în timp
continuu. De aceea este nevoie de o ecuaţie de evoluţie pe un interval mic de timp
( dt ) a cursului activului suport. Dacă notăm cu modificarea cursului în intervalul
rentabilitatea instantanee pe intervalul dt se poate scrie sub forma:
t dS
( )dt t t +,
t
t
t dBdt S
dS σ μ +=
Astfel, în cadrul modelul Black-Scholes-Merton, cursul activului reprezintă o
proces stocastic S(t), 0≤t ≤T, adaptat la filtrarea F(t) si care are următoarea ecuaţie de
dinamică:
)()()()( t dBt S dt t S t dS ⋅⋅+⋅⋅= σ , 0>σ 5.1Aplicând lema lui Ito ecuaţie 5.1 pentru funcţia g(t,S)=ln(S) si tinând seama de
faptul că:
0=∂∂
t
g
S S
g 1=
∂∂
22
2 1
S S
g −=
∂∂
5.2
obţinem ecuaţia de dinamica a procesului ln(S):
⇒⋅⋅⋅+⋅⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ −⋅+⋅⋅+= )()(
)(1)(
)(1
21)(
)(10))(ln( 22
2t dBt S
t S dt t S
t S t S
t S t S d σ σ μ
)(2
))(ln(2
t dBdt t S d ⋅+⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −= σ
σ μ 5.3
Integrând ecuaţia 5.3 de la t la t+τ obţinem:
( ) sdBdst S t S
t
t
t
t ∫∫++
+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ −=−+
τ τ
σ σ μ τ 2))(ln())(ln(
2
5.4
Cum μ şi σ sunt constante relatia 5.4 devine:
( )()(2
))(ln())(ln(2
t Bt Bt S t S −+⋅+⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−+ τ σ τ
σ μ τ ) 5.5
Dar B(t+τ )-B(t) ∼ N(0, τ ) , deci
ln(S(t+τ )) ∼ N( τ σ
μ ⋅⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −+
2))(ln(
2
t S , τ σ ⋅ ) 5.6
56
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 59/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Considerând τ=1 (o unitate de timp) obţinem semnificaţia parametrului σ.
Volatilitatea activului reprezintă dispersia repartiţiei logaritmului cursului activului la
momentul t+1 condiţionat de faptul că valoarea cursului la momentul t este S(t),
repartiţie care conform relaţiei 5.6 este normală cu media 2
2
))1(ln(σ
μ −++t S şidispersie σ.
Este importanta alegerea unităţii de timp. Daca unitatea de timp este 1 zi
atunci vorbim despre volatilitate zilnică (σz ), iar dacă unitatea de timp este 1 an
atunci vorbim de volatilitate anuală (σa ). Relaţia dintre volatilitatea anuală şi cea
zilnică este următoarea:
N z a ⋅= σ σ 5.7
unde N numărul de zile de tranzacţionare dintr-un an.
V.2 Arbitrajul şi măsura neutr ă la risc
Consideram ca pe piaţă există n active şi notam cu S i(t) cursurile lor , 1≤i≤n şi
fie Ω spaţiul tuturor evenimentelor care influenţează cursul bursier al celor n active,
fie P o probabilitate pe aceast spatiu (probabilitatea pieţei).
Fie B(t )=(B1(t),B2(t),…,BBn(t)) o mişcare browniana relativa la P ,0≤t ≤T, şi
F(t), 0≤t≤T , filtrarea generată de miscarea browniană. (F(t) reprezintă mulţimea
informaţiilor cunoscute la momentul t referitoare la cursurile celor n active).
Cursul activelor urmează următoarele ecuatii de dinamică:
,)()()()(
1
, t dBt S dt t S t dS j
n
j
jiiiii ⋅⋅+⋅⋅= ∑=
σ μ 0, > jiσ 1≤ i≤ n 5.7
Definiţie: O probabilitate P P* pe Ω echivalentă cu probabilitatea pieţei P cu
proprietatea că procesele ,1≤i≤n, sunt martingale relativ la P * )(t S e i
t r ⋅⋅−P
se numeşte
măsură (probabilitate) neutră la risc.
Consider ăm un portofoliu format din activele de pe piaţă şi dintr-o suma de
bani remunerată cu o rată a dobânzii f ăr ă risc r . Fie Δi(t) numărul de unităţi din activul
57
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 60/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
de tip i conţinute in portofoliu la momentul t . Δi(t) sunt F(t) - măsurabile. Notam cu
L(t) cantitatea de bani din portofoliu la momentul t.
Avem evident că:
5.9)0()( Let L
t r
⋅=⋅
Dacă notăm cu Π (t) valoarea portofoliului la momentul t , avem că:
5.10)()()()(1
t Lt S t Δt Π i
n
i
i +⋅= ∑=
Definiţie: Un portofoliu se numeşte autofinanţat dacă are proprietatea că
)()()()(
1
t dLt dS t Δt d Π i
n
i
i +⋅= ∑=
Un portofoliu autofinanţat se caracterizează prin faptul că o eventuală
modificare a structurii nu conduce la modificarea valorii acestuia sau altfel spus nu
există intr ări sau ieşiri de fonduri.
Teorema: Pentru orice portofoliu autofinanţat procesul este
martingal relativ la probabilitatea P
)(t Π e t r ⋅⋅−
P
*
.Demonstratie:
Conform definiţiei măsurii neutre la risc procesele ,1≤i≤n, sunt
martingale martingal relativ la probabilitatea P
)(t S e i
t r ⋅⋅−
P
* . Conform teoremei de reprezentare a
martingalelor există procesele δ (t) ,1≤ t ≤ n, adaptate la F(t) astfel încât:i,j
5.11nit dBt t S ed j
n
j
jii
t r ≤≤⋅=⋅ ∑=
⋅− 1 )()())(( *
1
,δ
Ecuaţia de dinamica a valorii portofoliului este:
5.12)()()()(1
t dLt dS t Δt d Π i
n
i
i +⋅= ∑=
Avem că:
))(()())(()()())(( t d edt t er t d et ed t ed t r t r t r t r t r
Π⋅+⋅Π⋅⋅−=Π⋅+Π⋅=Π⋅⋅−⋅−⋅−⋅−⋅−
58
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 61/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅⋅+⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅⋅⋅−= ∑∑
=
⋅−
=
⋅− )()()()()()(11
t dLt dS t Δedt t Lt S t Δer i
n
i
i
t r
i
n
i
i
t r
))()()(())()()(()(
1
t dLet Led t dS et S ed t Δ t r t r
i
t r
i
t r n
i
i ⋅+⋅+⋅+⋅⋅= ⋅−⋅−⋅−⋅−
=
∑
))0(())(()(1
Leed t S ed t Δ t r t r
i
t r n
i
i ⋅⋅+⋅⋅= ⋅⋅−⋅−
=∑
))0(( )()()( *
1,
1
Ld t dBt t Δ j
n
j
ji
n
i
i +⋅⋅= ∑∑==
δ
5.12 )()()( *
1,
1
t dBt t Δ j
n
j
ji
n
i
i ⋅⋅= ∑∑= =
δ
Deoarece este un proces de difuziune f ăr ă drift, procesul estemartingal relativ la probabilitatea P
)(t Π et r
⋅⋅−
P
* .
Definiţie: Un portofoliu autofinanţat cu proprietăţile:
i) Π (0) = 0
ii) P ( Π (T ) ≥ 0 ) = 1
iii) P ( Π (T) > 0 ) > 0, unde P este probabilitatea pieţei
se numeşte portofoliu de arbitraj.
Teorema (Teorema fundamentală a evaluării activelor - partea I):
Dacă există o masur ă neutr ă la risc nu există nici un portofoliu de arbitraj.
Demonstratie:
Notam cu P P
* probabilitatea neutr ă la risc, care există conform ipotezei.
Să presupunem prin reducere la absurd că există un portofoliu de arbitraj a
carui valoare o notăm cu Π (t). Conform teoremei demonstrate mai sus procesuleste martingal relativ la probabilitatea P )(t Π e
t r ⋅⋅−P
* . Deci:
[ ] [ ] 0)0(*)(* 0EE =Π⋅=Π⋅ ⋅−⋅− r T r eT e 5.13
Cum am presupus că Π (t) valoarea unui portofoliu de arbitraj avem că :
P ( Π (T ) ≥ 0 ) = 1 5.14
Dar tinînd seama ca P şi P P* sunt echivalente avem:
P ( Π (T ) ≥ 0 ) = 1 ⇒ P ( Π (T ) < 0 ) = 0 ⇒ P * ( Π (T ) < 0 )= 0 ⇒
59
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 62/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
⇒ P P
* ( Π (T ) ≥ 0 ) = 1 5.15
Din relatia 5.13 tinînd cont că iese de sub integrala obţinemT r e ⋅−
5.16[ ] 0)(*E =Π T
Din 5.15 şi 5.16 avem că:
P * ( Π (T ) = 0 ) = 1 ⇒ P P
* ( Π (T ) > 0 ) = 0 ⇒ P ( Π (T ) > 0 ) = 0 5.17
S-a ajuns la o contradicţie.
V.3 Trecerea de la probabilitate pie ţ ei la măsura neutr ă la risc
Ţinând seama de relaţia 5.7 avem că:
))(()()())(( t S d et S ed t S ed i
t t
i
t r
i
t r ⋅+⋅=⋅ ⋅−⋅−⋅−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅−= ∑
=
⋅−⋅− )()()()(1
, t dBt S dt t S et S er j
n
j
jiiii
t r
i
t r σ μ
( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ ⋅+⋅−⋅⋅= ∑
=
⋅− )()(
1
, t dBdt r t S e j
n
j
jiii
t r σ μ
5.18( ) ( )⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅⋅+⋅⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅−−⋅⋅= ∑∑
==
⋅− )()(1
,1
, t dBdt dt r t S e j j
n
j
ji
n
j
j jiii
t r θ σ θ σ μ
Fie ∫ ∑∫ ∑==
⋅⋅−⋅−=t n
j
j j
t n
j
j ds sdBt Z 0 1
2
0 1
)2
1)(exp()( θ θ
şi∫ ⋅= A
d T Z A P P * )()(
1≤ j≤ n)()(0
*t Bdst B j
t
j j +⋅= ∫θ
Conform teoremei lui Girsanov B*(t)=(B1*(t),…, Bn
*(t)) este mişcare
browniană relativ la probabilitatea P P* .
Relaţia 5.18 devine:
( ) ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ ⋅+⋅⎥
⎦⎤⎢
⎣⎡ ⋅−−⋅⋅=⋅ ∑∑ ==
⋅−⋅− )()())(( *
1,
1, t dBdt r t S et S ed j
n
j
ji
n
j
j jiiit r
it r σ θ σ μ
60
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 63/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Pentru ca P P* să fie măsura neutr ă la risc trebuie ca procesele ,1≤ i≤ n )(t S e i
t r ⋅⋅−
să fie martingale. Deci trebuie ca θ j , 1≤ j≤ n să verifice sistemul:
, 1≤ i≤ n 5.19r i
n
j
j ji −=⋅∑=
μ θ σ 1
,
Acest sistem poate să nu aibă soluţie, poate să aibă soluţie unică sau poate să
aibă mai multe soluţii. Dacă sistemul nu are soluţie atunci nu există măsura neutr ă la
risc şi deci este posibil să existe un portofoliu de arbitraj. Implicaţiile cazului în care
soluţia este unică le analizăm in secţiunea următoare.
V.4 Hedging şi măsura neutr ă la risc
In această secţiune consider ăm un produs financiar a cărui valoare la
momentul t, 0≤ t ≤T, o notăm cu V(t).
Definiţie: Se numeşte portofoliu de hedging pentru un activ financiar cu
valoare V(t) un portofoliu cu proprietatea că Π (T)=V(T).
Teorema (Teorema fundamentală a evaluării activelor - partea II):
Dacă măsura neutr ă la risc este unică atunci orice activ financiar are un
portofoliu de hedging.
Demonstraţie:
Notăm A=( σ i,j )i,j∈ {1,..,n} . Cum măsura neutr ă la risc este unică inseamnă casistemul 5.19 are soluţie unică si deci
det(A) ≠ 0 5.20
Avem că:
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅⋅⋅=⋅ ∑
=
⋅−⋅− )()())(( *
1
, t dBt S et S ed j
n
j
jii
t r
i
t r σ
61
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 64/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
)()( *
1, t dBt S e j
n
j
i
t r
ji∑=
⋅− ⋅⋅⋅= σ
5.21)(*
1, t dB j
n
j
ji ⋅= ∑=
δ
unde am notat , 1≤ i,j≤ n)(,, t S e i
t r
ji ji ⋅⋅= ⋅−σ δ
Fie un portofoliu cu valoarea Π (t). Din 5.12 avem că
5.22)()()())(( *
1,
1
t dBt t Δt ed j
n
j
ji
n
i
i
t r ⋅⋅=Π⋅ ∑∑= =
⋅− δ
Pentru a fi portofoliul de hedging trebuie să existe Δi(t) , 1≤ i≤ n , astfel încât
Π (T)=V(T).
Fie 0≤ t≤ T.[ )(|)(*)( E t T V et Y T r F⋅= ⋅− ]
Evident Y(t) este martingal faţă de probabilitatea P P* . Conform teoremei de
reprezentare a martingalelor avem că există procesul γ (t)=( γ (t),γ (t),…,γ (t)) adaptat
la filtrarea F(t) astfel încât
1 2 n
5.23)()())(( *
1
t dBt t Y d j
n
j
j ⋅= ∑=
γ
Luăm
[ ])(*)0()0(
ET V eY T r ⋅==Π ⋅− 5.24
Dacă există Δi(t) , 1≤ i≤ n , astfel încât
, 1≤ j≤ n 5.25)()()( ,1
t t t Δ j ji
n
i
i γ δ =⋅∑=
atunci portofoliul asociat verifică:
)()()())(( *
1,
1
t dBt t Δt ed j
n
j
ji
n
i
i
t r ⋅⋅=Π⋅ ∑∑= =
⋅− δ
)()( *
1
t dBt j
n
j
j ⋅= ∑=
γ
5.26))(( t Y d =
Integrând 5.26 de la 0 la t obţinem:
5.27)0()()0()( Y t Y t e t r −=Π−Π⋅⋅−
Dar ţinând cont de 5.24 avem că
, 0≤ t≤ T 5.28)()( t Y t et r
=Π⋅⋅−
62
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 65/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
şi in particular
)()( T Y T eT r =Π⋅⋅−
[ ])(|)(*E T T V e T r F⋅= ⋅−
)(T V e T r ⋅= ⋅−
şi deci
Π (T)=V(T) 5.29
Deci r ămîne să ar ătăm că sistemul 5.25 are soluţie. Sistemul este echivalent cu
, 1≤ j≤ n 5.30)()()( ,1
t et S t Δ j
t r
jii
n
i
i γ σ ⋅=⋅⋅ ⋅
=∑
Cum det(AT ) = det(A) ≠ 0 sistemul 5.30 are soluţie unică şi dacă notăm
inversa lui A cu A-1= ( σ i,j )i,j∈ {1,..,n} avem că:
)()(
)(1
, t t S
et j
n
j
i j
i
t r
i γ σ ⋅⋅=Δ ∑=
⋅
, 1≤ i≤ n 5.31
V.5 M ăsura neutr ă la risc in cazul unidimensional
Consider ăm cazul unui activ cu ecuaţia de dinamică:)()()()( t dBt S dt t S t dS ⋅⋅+⋅⋅= σ
Avem
( )( ))()())(( t dBdt r t S et S ed t r t r ⋅+⋅−⋅⋅=⋅ ⋅−⋅−σ μ
( )[ ] [ ]( ))()( t dBdt dt r t S et r +⋅⋅+⋅⋅−−⋅⋅= ⋅−
θ σ θ σ μ
Considerândσ
θ r −
= , procesul este martingal faţă de
probabilitatea P
)(t S et r ⋅⋅−
P
*
care este măsura neutr ă la risc, definită astfel:
P P *
d T T B A A
⋅⋅⋅−⋅−= ∫ )2
1)(exp()( 2θ θ 5.32
In cazul unidimensional măsura neutr ă la risc este unică deci nu există
portofoliu de arbitraj (i.e. modelul BSM unidimensional este viabil), iar orice activ
financiar are portofoliu de hedging (i.e. modelul BSM unidimensional este complet).
Să aflăm portofoliul de hedging asociat unui activ financiar care la scadenţă are
valoarea V(T).
63
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 66/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Fie . Y(t) fiind martingal faţă de P [ )(|)(*)( E t T V et Y T r F⋅= ⋅− ]P
* există un
proces adaptat γ (t) astfel incît
∫⋅+=
t
sdB sY t Y 0
)()()0()( γ
Folosind teorema fundamentală a evaluării activelor obţinem că portofoliul de
hedging indeplineşte următoarele condiţii:
i) Π (0) = Y(0)
ii) )(
)()(
t S
t et
t r
⋅⋅
=Δ⋅
σ
γ , 0≤ t ≤ T 5.33
Faţă de P P* ecuatia de dinamică a activului este:
5.34)()()())(( * t dBt S dt t S r t S d ⋅⋅+⋅⋅= σ
V.6 M ăsura neutr ă la risc in cazul bidimensional
Consider ăm o mişcare browniană bidimensională B(t)=(BB1(t),B2B (t)) notăm cu
F(t) filtrarea generată de B(t).
Consider ăm două active cu următoarea ecuaţie de dinamică:
)()()())(( 111111 t dBt S dt t S t S d ⋅⋅+⋅⋅= σ
)()(1)()()())(( 2222
122222 t dBt S t dBt S dt t S t S d ⋅⋅⋅−+⋅⋅⋅+⋅⋅= σ ρ σ ρ μ 5.36
cu ]1,1[−∈ ρ .
In cazul bidimensional sistemul 5.19 devine:
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−=⋅⋅−+⋅⋅
−=⋅
r
r
2222
12
111
1
μ θ σ ρ θ σ ρ
μ θ σ
5.37
Dacă )1,1(−∈ ρ sistemul 5.37 are soluţie unică:
1
11
σ
μ θ
r −=
( ) ( )2
21
12212
1 ρ σ σ
σ ρ σ θ
−⋅⋅
−⋅⋅−−⋅=
r r 5.38
Măsura neutr ă la risc P P* este definită astfel:
64
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 67/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
P P *
d T t BT B A A
⋅⋅+⋅−⋅−⋅−= ∫ ))(2
1)()(exp()( 2
22
12211 θ θ θ θ 5.39
Deci dacă )1,1(−∈ ρ măsura neutr ă la risc este unică şi deci nu există
portofoliu de arbitraj (i.e. modelul BSM bidimensional este viabil), iar orice activ
financiar are portofoliu de hedging (i.e. modelul BSM bidimensional este complet).
Concluzia poate fi estinsă şi pentru cazul în care se consider ă trei sau mai multe
active, iar matricea de varianţă-covarianţă nu este degenerată.
In continuare vom determina portofoliul de hedging asociat unui activ
financiar care la scadenţă are valoarea V(T).
Fie . Y(t) fiind martingal faţă de P [ )(|)(*)( E t T V et Y T r F⋅= ⋅− ]
P
* există un
proces adaptat γ (t)=( γ (t),γ (t)) astfel incît1 2
∫∫ ⋅+⋅+=t t
sdB s sdB sY t Y 0
22
0
11 )()()()()0()( γ γ
Folosind teorema fundamentală a evaluării activelor obţinem că portofoliul de
hedging indeplineşte următoarele condiţii:
i) Π (0) = Y(0)
ii) 211
22
11
1)(
)(1)()(
ρ σ
ρ γ ρ γ
−⋅⋅
⋅⋅−−⋅⋅=Δ
⋅⋅
t S
t et et
t r t r
222
22
1)(
)()(
ρ σ
γ
−⋅⋅
⋅=Δ
⋅
t S
t et
t r
5.40
Dacă ρ = ± 1 sistemul 5.37 sau nu are soluţie sau are soluţie multiplă. Să
analizăm cazul ρ = 1 . Sistemul 5.37 devine:
r −=⋅ 111 μ θ σ
r −=⋅ 212 θ σ
Avem 2 situaţii:
- dacă 2
2
1
1
σ σ
r r −≠
−sistemul nu are soluţie neexistând măsur ă
neutr ă la risc şi deci se poate construi un portofoliu de arbitraj
65
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 68/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
- dacă 2
2
1
1
σ σ
r r −=
−sistemul are mai multe soluţii existând mai
multe măsuri neutre la risc şi deci pot exista produse financiare
care să nu aibă portofoliu de hedging
V.7 Utilizarea măsurii neutre la risc pentru evaluarea produselor
financiare derivate
Fie B(t)=(B1(t),B2(t),…,BBn(t)) ,0≤t ≤T, o mişcare browniana relativa la P,
probabilitatea pieţei, şi F(t), 0≤t≤T , filtrarea generată de mişcarea browniană.
Cursul activelor urmează următoarele ecuaţii de dinamică:
, 1≤ i≤ n)()()()(1
, t dBt S dt t S t dS j
n
j
jiiiii ⋅⋅+⋅⋅= ∑=
σ μ
şi notam S(t)=(S 1(t),S 2(t),…,S n(t)).
Definiţie: Se numeşte produs financiar derivat un produs financiar a cărui
valoare la momentul T depinde de S(T), valoare pe care o notăm g(S(T)).
Definiţie: Valoarea unui produs financiar derivat la momentul t, 0≤ t ≤ T, este
egală cu valoarea portofoliului de hedging asociat activului financiar.
Teoremă: (Teorema fundamentală a evaluării activelor - partea III)
Dacă măsura neutr ă la risc există şi este unică atunci valoarea la momentul t a
unui produs financiar derivat, notată cu V(t,S(t)), a cărui valoare la momentul T
(payoff) este g(S(T)), este dată de:
( )[ ]))(()(,*))(,( E T S g et S t
t S t V t T r ⋅= −⋅− 5.41
Demonstraţie:
Deoarece măsura neutr ă la risc există şi este unică, conform teoremei
fundamentale a evaluării activelor produsul financiar are portofoliu de hedging a carui
valoare o notăm cu Π (t).
Am demonstrat in cadrul teoremei fundamentale a evaluării activelor – parteaII (relaţia 5.28) că:
66
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 69/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
⇒ [ ])(|))((*)( E t T S g et e T r t r F⋅=Π⋅ ⋅−⋅−
5.42( )[ )(|))((*)( E t T S g et t T r F⋅=Π −⋅− ]
Aplicând proprietatea Markov in relaţia 5.42 obţinem:
( )[ ]))(()(,*)( E T S g et S t
t t T r ⋅=Π −⋅− 5.43
Ţinând seama de definiţie obţinem relaţia dorită.
Teoremă: (Ecuaţia fundamentală de evaluare a unui activ financiar)
Dacă măsura neutr ă la risc există şi este unică atunci valoarea la momentul t a
unui produs financiar derivat a cărui valoare la momentul T este
g(S 1(T),S 2(T),…,S n(T)) este egală cu V(t, S 1(t),S 2(t),…,S n(t)) , unde funcţia de n+1variabile V(t,S 1 ,S 2 ,…,S n ) este soluţia ecuaţiei cu derivate par ţiale:
02
1
1
2
1,, =⋅−
∂∂
⋅⋅+∂∂
∂⋅⋅+
∂∂ ∑∑
==
V r S
V S r
S S
V c
t
V
i
n
i
i
ji
n
ji
ji
),...,,(),...,,,( 2121 nn S S S g S S S T V = 5.44
unde . jk
n
k
k i jic ,1
,, σ σ ⋅= ∑=
Demonstraţie:
Conform teoremei precedente avem că:
( ) ( )[ ]))(),...,(()(),...,(,*
))(),...,(,( 11
1 E T S T S g et S t S t
t S t S t V n
t T r nn ⋅= −⋅−
Notînd cu:( ) ( )[ ]),...,(
,...,,*),...,,( 1
11 E n
t T r nn S S g e
S S t S S t V ⋅= −⋅− ⇒
5.45( )
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡ ⋅∫=⋅−
),...,(,...,,*),...,,( 11
1 E n
dsr n
n S S g eS S t
S S t V
T
t
In 5.45 aplicăm teorema Feyman-Kac si obţinem că V(t,S 1 ,…,S n ) este soluţia
ecuaţiei cu derivate par ţiale:
0=⋅−+∂
∂
V r V t
V
L
67
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 70/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
5.46),...,(),...,,( 11 nn S S g S S T V =
unde L este generatorul infinitizimal al procesului de difuzie S(t) faţă de
probabilitatea P P* .
Cum:
)()()()( *
1, t dBt S dt t S r t dS j
n
j
jiiii ⋅⋅+⋅⋅= ∑=
σ , 1≤ i≤ n
avem că generatorul infinitizimal al lui S(t) este:
i
n
i
i
ji
n
ji
ji
S
V S r
S S
V cV
∂
∂⋅⋅+
∂∂
∂⋅⋅=
∑∑ == 1
2
1,,
2
1L
unde . jk
n
k
k i jic ,1
,, σ σ ⋅= ∑=
In continuarea lucr ării vom aplica Teorema fundamentală de evaluare a
activelor financiare pentru evaluarea, în contextul pieţei financiare de tip BSM, a
principalelor tipuri de opţiuni financiare.
68
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 71/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
VI. Evaluarea op ţ iunilor europene în contextul pie ţ ei
financiare de tip BSM
VI.1 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o ac ţ iune f ăr ă dividend
Am văzut că in cazul unidimensional măsura neutr ă la risc există şi este unică.
Vom considera că s-a f ăcut deja trecerea de la măsura pieţei la măsura neutr ă la risc
pe care o notăm cu P.
Astfel ecuaţia de dinamică a activului suport este:
)()()()( t dBt S dt t S r t dS ⋅⋅+⋅⋅= σ , 0>σ 6.1
Definiţie: O opţiunea europeană cu preţ de exerciţiu X şi scadenţă T este un
produs financiar derivat a cărui valoare la scadenţă este g(S(T))=max( δ⋅ (S(T)-X),0),
unde δ = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ = -1 pentru opţiunea de tip put.
Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni europene cu preţ de exerciţiu
X şi scadenţă T este egală cu V(t, S(t)), unde funcţia V(t,S) este soluţia ecuaţiei cu
derivate par ţiale:
02
12
222 =⋅−
∂∂
⋅⋅+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
V r S
V S r
S
V S
t
V σ
)0),(max(),( X S S T V −⋅= δ 6.2
Demonstraţie:
Având în vedere că modelul BSM unidimensional este viabil şi complet,
teorema este un caz particular al teoremei din capitolul precedent privind ecuaţia de
evaluare a produselor financiare derivate.
Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni, cu preţ de exerciţiu X şi
scadenţă T, este:
)()()())(,( 2)(
1 d N e X d N t S t S t V t T r ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅= −⋅−
δ δ δ δ 6.3
69
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 72/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
unde
( )
t T
t T r X
t S
d −⋅
−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=σ
σ
2
)(ln
2
1 şi
( )
t T
t T r X
t S
d −⋅
−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛
=σ
σ
2
)(ln
2
2
iar N(•) reprezintă funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare distribuită normal
standard.
Demonstraţie: Pentru a nu complica notaţiile consider ăm cazul δ =1.
Avem că
( )
( )[ ])0,)(max())(,( E X T S e
t,S(t)
t S t V
t T r
−=
−⋅−
( ) ( )
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅⋅−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅⋅= −⋅−−⋅−
})(})()( EE
X T S t,S(t)
e X X T S
T S et,S(t) t T r t T r
{{11
6.421 V V −=
Vom calcula mai întâi V 3. Avem că:
( ) [ ]})(2 X T S t,S(t)
e X V t T r >⋅⋅= −⋅−{P
Ştim că:
( ) ( )()(2
))(ln())(ln(2
t BT Bt T r t S T S −⋅+−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=− σ σ
) ⇒
( ) ( )⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅+−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅= )()(
2exp)()(
2
t BT Bt T r t S T S σ σ
Deci
( ) ( ) ( )[ ]}ln)(ln2 X T S t,S(t)
e X V t T r >⋅⋅= −⋅− {P
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡ >−⋅+−⋅⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ −+⋅⋅= −⋅− }ln)()(
2)(ln
2 X t BT Bt T r t S t,S(t)e X t T r σ σ {P
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−>
−
−⋅⋅= −⋅− }
)()(2d
t T
t BT Bt,S(t)e X
t T r {P
Ţinând seama de faptul că B(T)-B(t) este independent de F( t ) avem că:
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−>
−
−⋅⋅= −⋅− }
)()(22 d
t T
t BT Be X V t T r {P
70
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 73/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Dar ştim că:
N(0,1)~)()(
t T
t BT B
−
−
Ţinând cont de simetria densităţii repartiţiei normale standard obţinem:
( ) )( 22 d N e X V t T r ⋅⋅= −⋅− 6.5
Să calculăm acum V 1.
Fie
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅= t t Bt Z 2
2
1)(exp)( σ σ şi
∫= A d T Z A P P
*
)()(Conform teoremei lui Girsanov avem că B*(t)=B(t)-σ⋅ t este mişcare
browniană faţă de probabilitatea P P* . Rezultă că:
( ) ( ))()(2
))(ln())(ln( **2
t BT Bt T r t S T S −⋅+−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +=− σ
σ ⇒
( ) ( )⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅+−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +⋅= )()(
2exp)()( **
2
t BT Bt T r t S T S σ σ
Avem că:
( )
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅⋅= −⋅−
})()(E1 X T S
T S et,S(t)
V t T r
{1
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡>⋅⋅⋅= −⋅−
})()(
)(
)(*E X T S
T S et Z
T Z t,S(t) t T r
{1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅=
})()(*E
X T S t S
t,S(t){
1
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅=})(
*)( E X T S t,S(t)t S
{1
[ ]})(*)( P X T S t,S(t)
t S >⋅= {
( ) ( )[ ]}ln)(ln*)( X T S t,S(t)
t S >⋅= {P
( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡>−⋅+−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ++⋅= }ln)()(
2)(ln*)( **
2
X t BT Bt T r t S t,S(t)
t S σ σ
{P
71
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 74/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−>
−
−⋅= }
)()(*)( 1
**
d t T
t BT Bt,S(t)t S {P
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−>
−
−⋅= }
)()(*)( 1
**
d
t T
t BT Bt S {P ⇒
6.6)()( 11 d N t S V ⋅=
Din 6.5 şi 6.6 rezultă formula dorită.
VI.2 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o ac ţ iune cu dividend
Consider ăm un activ care are la momentul t un dividend D(t).
Ecuaţia de dinamică a activului suport faţă de măsura neutr ă la risc este:
)()()()()( t dBt S dt t S r dt t Dt dS ⋅⋅+⋅⋅=⋅+ σ 6.7
Vom considera in continuare că:
)()( t S qt D ⋅= 6.8
Astfel ecuaţia de dinamică devine:
( ) )()()()( t dBt S dt t S qr t dS ⋅⋅+⋅⋅−= σ 6.9
Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni, cu preţ de exerciţiu X şi
scadenţă T, este egală cu V(t, S(t)) , unde funcţia V(t,S) este soluţia ecuaţiei cu
derivate par ţiale:
( ) 02
12
222 =⋅−
∂∂
⋅⋅−+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
V r S
V S qr
S
V S
t
V σ
)0),(max(),( X S S T V −⋅= δ 6.10
Demonstraţie:
Ştim că:
( ) ( )[ ])0,)(max())(,( E X T S et,S(t)
t S t V t T r −⋅= −⋅−
δ
Aplicând teorema Feynman-Kac şi ţinând seama de ecuaţia de dinamică dată
de 6.9 rezultă ecuaţia dorită.
Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni europene, cu preţ de
exerciţiu
X şi scaden
ţă T,
este:
6.11)()()())(,( 2)(
1)( d N e X d N et S t S t V t T r t T q ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= −⋅−−⋅− δ δ δ δ
72
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 75/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
unde
( )
t T
t T qr X
t S
d −⋅
−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=σ
σ
2
)(ln
2
1 şi
( )
t T
t T qr X
t S
d −⋅
−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛
=σ
σ
2
)(ln
2
2
iar N(•) reprezintă funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare distribuită normal
standard.
Demonstraţie: Pentru a nu complica notaţiile consider ăm cazul δ =1.
Avem că
( )
( )[ ])0,)(max())(,( E X T S e
t,S(t)
t S t V
t T r
−=
−⋅−
( ) ( )
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅⋅−⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅⋅= −⋅−−⋅−
})(})()( EE
X T S t,S(t)
e X X T S
T S et,S(t) t T r t T r
{{11
6.1221 V V −=
Vom calcula mai întîi V 6. Avem că:
( ) [ ]})(2 X T S t,S(t)
e X V t T r >⋅⋅= −⋅−{P
Aplicînd lema Ito funcţiei ln(S) avem:
( ) ( )()(2
))(ln())(ln(2
t BT Bt T qr t S T S −⋅+−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−=− σ σ
) ⇒
( ) ( )⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅+−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⋅= )()(
2exp)()(
2
t BT Bt T qr t S T S σ σ
Deci
( ) ( ) ( )[ ]}ln)(ln2 X T S t,S(t)
e X V t T r >⋅⋅= −⋅− {P
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦⎤⎢
⎣⎡ >−⋅+−⋅⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ −−+⋅⋅= −⋅− }ln)()(
2)(ln
2 X t BT Bt T qr t S t,S(t)e X t T r σ σ {P
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−>
−
−⋅⋅= −⋅− }
)()(2d
t T
t BT Bt,S(t)e X
t T r {P
Ţinând seama de faptul că B(T)-B(t) este independent de F( t ) avem că:
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡−>
−
−⋅⋅= −⋅− }
)()(22 d
t T
t BT Be X V t T r {P
73
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 76/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Dar ştim că:
N(0,1)~)()(
t T
t BT B
−
−
Ţinând cont de simetria densităţii repartiţiei normale standard obţinem:
( ) )( 22 d N e X V t T r ⋅⋅= −⋅− 6.13
Să calculăm acum V 1.
Fie
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅= t t Bt Z 2
2
1)(exp)( σ σ şi
∫= A d T Z A P P
*
)()(Conform teoremei lui Girsanov avem că B*(t)=B(t)-σ⋅ t este mişcare browniană
faţă de probabilitatea P P* . Rezultă că:
( ) ( ))()(2
))(ln())(ln( **2
t BT Bt T qr t S T S −⋅+−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−=− σ
σ ⇒
( ) ( )⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅+−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−⋅= )()(
2exp)()( **
2
t BT Bt T qr t S T S σ σ
Avem că:
( ) ( ) ( )
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅⋅⋅= −⋅−−−⋅−
})()(E1 X T S
T S et,S(t)
eV t T qr t T q
{1
( ) ( )( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡>⋅⋅⋅⋅= −−⋅−−⋅−
})()(
)(
)(*E X T S
T S et Z
T Z t,S(t)e t T qr t T q
{1
( )
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅⋅= −⋅−
})()(*E
X T S t S
t,S(t)e t T q
{1
( )
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅⋅= −⋅−
})(*)( E X T S
t,S(t)et S t T q
{1
( ) [ ]})(*)( P X T S t,S(t)
et S t T q >⋅⋅= −⋅− {
( ) ( ) ( )[ ]}ln)(ln*)( X T S t,S(t)
et S t T q >⋅⋅= −⋅−
{P
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡>−⋅+−⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+⋅⋅= −⋅− }ln)()(
2)(ln*)( **
2
X t BT Bt T qr t S t,S(t)
et S t T q σ σ
{P
74
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 77/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−>
−
−⋅⋅= −⋅− }
)()(*)( 1
**
d t T
t BT Bt,S(t)et S t T q {P
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−>
−
−⋅⋅= −⋅− }
)()(*)( 1
**
d
t T
t BT Bet S
t T q {P ⇒
( ) )()( 11 d N et S V t T q ⋅⋅= −⋅− 6.14
Din 6.13 şi 6.14 rezultă formula dorită.
VI.3 Op ţ iuni europene care au ca activ suport o valut ă
Notăm cu S(t) cursul valutar la momentul t al valutei care este activ suport
(vforeign) faţă de cealaltă valută (vhome) exprimat astfel:
1 unitate vforeign = ( )t S unităţi vhome .
Notăm cu r rata dobînzii f ăr ă risc la valuta vhome şi cu r f rata dobânzii f ăr ă
risc la valuta vforeign.
Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni europene, cu preţ de
exerciţiu X şi scadenţă T, este egală cu V(t, S(t)) , unde funcţia V(t,S) este soluţia
ecuaţiei cu derivate par ţiale:
( ) 02
12
222 =⋅−
∂∂
⋅⋅−+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
V r S
V S r r
S
V S
t
V f σ
)0),(max(),( X S S T V −⋅= δ 6.15
In mod explicit avem:
6.16)()()())(,( 2)(
1)(
d N e X d N et S t S t V t T r t T r f ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅= −⋅−−⋅− δ δ δ δ
unde
( )
t T
t T r r X
t S
d
f
−⋅
−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ +−+⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=σ
σ
2
)(ln
2
1 şi
( )
t T
t T r r X
t S
d
f
−⋅
−⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−+⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
=σ
σ
2
)(ln
2
2
75
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 78/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
iar N(•) reprezintă funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare distribuită
normal standard.
Demonstraţie:
Deţinerea unei unităţi din moneda str ăină şi plasarea ei intr-un depozit lavedere (i.e. remunerat la rata dobânzii f ăr ă risc) aduce intr-un interval un profit,
măsurat in unităţi monetare interne, de dS(t)+r
dt
f ⋅ S(t)⋅ dt.
Deci putem considera cursul de schimb ca fiind cursul unui activ cu dividend
la momentul t egal cu r f ⋅ S(t).
Relaţiile din teoremă se obţin aplicând teoremele de la cazul activului cu
dividend pentru q = r f .
VI.4 Op ţ iuni europene care au ca activ suport un contract futures
Consider ăm că ecuaţia de dinamică a activului suport faţă de măsura neutr ă la
risc este:
)()()()( t dBt S dt t S r t dS ⋅⋅+⋅⋅= σ 6.17
Definiţie: T-pre ţ ul futures (i.e. preţul futures al contractului futures cu
scadenţă T ) al unui activ este un proces Φ (t) adaptat la F(t) cu proprietăţile:
i) Φ (T)= S(T)
ii) , 0≤ t ≤ T 6.18 0|)(E =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Φ⋅∫ ⋅−
T
t
ur ud e F(t)
Teoremă: Unicul proces care verifică definiţia de mai sus este:
[ ]F(t)|)()( E T S t =Φ , 0≤ t ≤ T 6.19
Demonstraţie:
Vom ar ăta mai întâi că ii) se verifică dacă şi numai dacă Φ (t) este martingal.
Intr-adevăr dacă Φ (t) este martingal atunci şi este martingal şi
avem că:
∫ Φ⋅⋅−t
ur ud e
0
)(
76
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 79/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Φ⋅−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Φ⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Φ⋅ ∫∫∫ ⋅−⋅−⋅−
t
ur
T
ur
T
t
ur ud eud eud e00
|)(|)(|)( EEE F(t)F(t)F(t)
∫∫Φ⋅−⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Φ⋅= ⋅−⋅−
t
ur
T
ur ud eud e00
)(|)(E F(t)
∫∫ Φ⋅−Φ⋅= ⋅−⋅−t
ur
t
ur ud eud e
00
)()(
0=
Reciproc dacă ii) se verifică notăm cu:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Φ⋅= ∫ ⋅−
T
ur ud et M
0
|)()( E F(t)
M(t) este martingal şi avem că:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡Φ⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡Φ⋅ ∫∫= ⋅−⋅−
T
t
ur
t
ur ud eud et M F(t)F(t) |)(|)()( EE0
, 0≤ t ≤ T ∫ Φ⋅= ⋅−t
ur ud e0
)(
Rezultă că:
⇒ )()( t d et dM t r
Φ⋅=⋅−
)()( t dM et d t r
⋅=Φ⋅
De unde avem că Φ (t) este martingal.
Fie:
[ ]F(t)|)()( E T S t =Φ
Evident că Φ (T)=S(T) şi Φ (t) fiind martingal se verifică şi ii).
Să presupunem că mai există un proces Φ '(t) care verifică i) şi ii).
Fie Z(t)= Φ (t) - Φ '(t). Avem că Z(T)=0 şi Z(t) verifică ii). Deci Z(t) este
martingal şi avem că:
[ ] [ ] a.s 0|0|)()( EE === F(t)F(t)T Z t Z
De unde rezultă că:
Φ (t) = Φ '(t) a.s
Teoremă: In cazul pieţei financiare de tip BSM T-pre ţ ul futures este dat de relaţia
, 0≤ t ≤ T 6.20 )()( )( t S et t T r ⋅=Φ −⋅
Demonstraţie:
77
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 80/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Avem că:
[ ] [ ])(|)()( EE T S t,S(t)
T S t ==Φ F(t)
Deci Φ (t)=V(t,S(t)), conform teoremei Feynman-Kac V(t,S) este soluţia
ecuaţiei cu derivate par ţiale:
02
12
222 =
∂∂
⋅⋅+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
S
V S r
S
V S
t
V σ
6.21S S T V =),(
Soluţia ecuaţiei 6.21 este .S eS t V t T r ⋅= −⋅ )(),(
Aşa cum se observă preţul futures este egal cu preţul forward. Acest lucru este
o consecinţă a ipotezei modelului BSM privind rata dobânzii f ăr ă risc. In volumul II
al lucr ării această ipoteză va fi relaxată studiindu-se modele de evaluare care presupun
că rata dobânzii este modelată cu ajutorul unui proces stocastic. In acest caz preţul
futures teoretic este diferit de preţul forward teoretic.
Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni pe T' -preţul futures, cu preţ
de exerciţiu X şi scadenţă T ≤ T' , este egală cu V(t, Φ (t)) , unde funcţia V(t, Φ ) este
soluţia ecuaţiei cu derivate par ţiale:
02
12
222 =⋅−
Φ∂∂
⋅Φ⋅⋅+∂∂
V r V
t
V σ
)0),(max(),( X S T V −Φ⋅= δ 6.22
In mod explicit avem:
6.23)()()())(,( 2)(
1)( d N e X d N et t t V
t T r t T r ⋅⋅⋅⋅−⋅⋅⋅Φ⋅=Φ −⋅−−⋅−δ δ δ δ
unde( )
t T
t T X
t
d −⋅
−⋅+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ Φ
=σ
σ
2
)(ln
2
1 şi
( )
t T
t T
X
t
d −⋅
−⋅−⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ Φ
= σ
σ
2
)(ln
2
2
78
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 81/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
iar N(•) reprezintă funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare distribuită normal
standard.
Demonstraţie:
Avem că Φ (t)=G(t,S(t)). Aplicăm lema lui Ito şi obţinem:
)()()()(2
1)(
2
222 t dB
S
Gt S dt
S
Gt S r
S
Gt S
t
Gt d ⋅
∂∂
⋅⋅+⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∂∂
⋅⋅+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
=Φ σ σ
Folosind 6.20 şi 6.21 obţinem că:
)()()( t dBt t d ⋅Φ⋅=Φ σ 6.24
Rezultă că:
r-q=0 ⇒ q=r
Deci se poate considera că preţul futures este cursul unui activ care q=r şiaplicând teoremele de la activul cu dividend se obţin relaţiile dorite.
79
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 82/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
VII. Evaluarea op ţ iunilor cu barier ă în contextul pie ţ ei financiare de tip BSM
VII.1 Op ţ iuni knock-out şi knock-in
Vom considera că s-a f ăcut deja trecerea de la măsura pieţei la măsura neutr ă
la risc pe care o notăm cu P.
Astfel, ecuaţia de dinamică a activului suport,care are şi dividend, este:
( ) )()()()( t dBt S dt t S qr t dS ⋅⋅+⋅⋅−= σ 7.1
Fie
şi 7.2)(min)(0
* uS t S t u≤≤
= )(max)(0
* uS t S t u≤≤
=
Definiţie: Fie L < S(0). O opţiune down-and-out, cu preţ de exerciţiu X şi
scadenţă T , este un produs financiar derivat cu valoare la scadenţă
. O opţiune down-and-in, cu preţ de exerciţiu X
şi scadenţă T , este un produs financiar derivat cu valoare la scadenţă
.
( )})(
)0,)(max(* LT S
X T S >⋅−⋅{
1δ
( )})(
)0,)(max(* LT S
X T S <⋅−⋅{
1δ
Fie L > S(0). O opţiune up-and-out, cu preţ de exerciţiu X şi scadenţă T , esteun produs financiar derivat cu valoare la scadenţă
. O opţiune up-and-in, cu preţ de exerciţiu X şi
scadenţă T , este un produs financiar derivat cu valoare la scadenţă
,unde δ = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ = -1
pentru opţiunea de tip put.
( )})(
)0,)(max( * LT S
X T S <
⋅−⋅{
1δ
( )})(
)0,)(max( * LT S
X T S >
⋅−⋅{
1δ
80
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 83/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Notăm cu c şi p valoarea la momentul 0 a unei opţiuni europene call respectiv
put şi cu cui respectiv pui valoarea la momentul 0 a unei opţiuni up-and-in call
respectiv put. Analog pentru celelalte tipuri de opţiuni.
Notăm cu S=S(0).
Notam cu:
2
2
2σ
σ
λ
+−=
qr
T T
X S
L
y ⋅⋅+⋅
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
= σ λ σ
2
2
ln
T T
L
S
x ⋅⋅+⋅
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= σ λ σ
ln
1 T T
S
L
y ⋅⋅+⋅
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
= σ λ σ
ln
1
Teoremă: Fie L > S. Avem următoarele relaţii:
i) 7.3 p p p
ccc
uiuo
uiuo
=+
=+
ii) Dacă X < L avem:
[ ]+−−−⋅⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅=
⋅⋅−⋅−⋅− )()()()( 12
2
11 y N y N S
LeS T x N e X x N eS c T qT r T q
ui
λ
σ
[ ])()( 12
22
T y N T y N S
Le X T r ⋅+−−⋅+−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+−⋅
⋅− σ σ
λ
uiuo ccc −=
)()( 2
22
2
2
T y N
S
Le X y N
S
LeS p T r T q
ui ⋅+−⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+−⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−=−⋅
⋅−⋅
⋅− σ
λ λ
uiuo p p p −= 7.4
iii) Dacă X > L avem:
0=uoc
ccui =
−−⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅+−⋅⋅+−⋅⋅−=⋅
⋅−⋅−⋅− )()()( 1
2
11 y N S
LeS T x N e X x N eS p T qT r T q
uo
λ
σ
81
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 84/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
)( 1
22
T y N S
Le X T r ⋅+−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−−⋅
⋅− σ
λ
uoui p p p −= 7.5
Demonstraţie:
( ) +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<⋅−⋅=+ ⋅−
F(0)|})(
)0,)(max( *E LT S
X T S eccT r
uiuo{
1
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>⋅−⋅+ ⋅−
F(0)|})(
)0,)(max( *E LT S
X T S eT r
{1
( )[ ]F(0)|)0,)(max(E X T S eT r −⋅= ⋅−
c=
Analog pentru opţiunea put.
Luăm cazul X < L
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>⋅−⋅= ⋅−
F(0)|})(
)0,)(max( *E LT S
T S X e p T r
ui{
1
7.6( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
><⋅−⋅= ⋅−
})()( *E
LT S X S(T)T S X e T r
,{1
Avem că:
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅+⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅−−⋅= )(
2
1exp)( 2 T BT qr S T S σ σ
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡+⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅−
−⋅⋅= )(
2
1exp T BT
qr S σ
σ σ
( ))(exp * T BS ⋅⋅= σ
unde σ σ
θ ⋅−−=21qr
)()(* t Bt t B +⋅= θ
Fie
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅−= t t Bt Z 2
2
1)(exp)( θ θ şi
∫= A
d T Z A P P * )()(
82
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 85/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Conform teoremei lui Girsanov avem că B*(t)=B(t)+θ⋅ t este mişcare browniană faţă
de probabilitatea P P* .
Fie
)(max)(*
0
*
u Bt M t u≤≤=Rezultă că:
( ))(exp)( ** t M S t S ⋅⋅= σ
Notăm cu:
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=S
X b ln
1
σ ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅=S
Lm ln
1
σ
Avem evident că b < m
Cu notaţiile de mai sus
( )( )( ) ( ) ⎥
⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>⋅⋅<⋅⋅⋅⋅⋅−⋅= ⋅−
})(*exp)(*exp)(exp *E
LT M S X T BS T BS X e p T r
ui
σ σ σ
,{1
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
><⋅⋅⋅−⋅= ⋅−
})(*
)(*
)(exp *EmT M bT B
T BS X e T r
,{1σ
( )( )⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣⎡
><⋅⋅⋅−⋅= ⋅−
})(*
)(*
)(exp* *EmT M bT B
T BS X e T r
,{1σ
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
><⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅⋅⋅⋅−⋅= ⋅−
})(*
)(*2
1)(exp)(exp* 2*E
mT M bT BT T BT BS X e T r
,{1θ θ σ
( )( )⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡
><⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅= ⋅−
})(*
)(*2
1)(exp)(exp* 2**E
mT M bT BT T BT BS X e T r
,{1θ θ σ
( )( )( ) ( )
dydxT
x y
T T
x yT x xS X e
b
m
T r
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅= ∫ ∫
∞−
∞⋅−
2
2exp
2
22
2
1expexp
22
π θ θ σ
( )( )( )
dxT
x y
T T x xS X e
b
T r 2
2exp
2
1
2
1expexp
y
my
22
∞=
=∞−
⋅−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−= ∫π
θ θ σ
83
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 86/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( )( )( )
dxT xT
xm
T xS X e
b
T r
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅⋅−⋅= ∫∞−
⋅− 22
2
1
2
2exp
2
1exp θ θ
π σ
( )+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+
⋅
−⋅−⋅
⋅⋅
⋅⋅−=
∫∞−
⋅−b
T r dxT x x
T
xm
T
eS 22
2
1
2
2exp
2
1θ σ θ
π
( )dxT x
T
xm
T e X
b
T r ∫∞−
⋅−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅+ 22
2
1
2
2exp
2
1θ θ
π
21 I I += 7.7
Calculăm mai întâi I 3.
Facem schimbarea de variabilă:
T T
xm
z ⋅−
−⋅
−= θ
2
⇒ dxT dz
1
= 7.8
Avem că:
( ) σ λ θ ⋅−= 1 7.9
Rezultă că:
( ) T yT T
X S
L
T T
bm⋅+−=⋅⋅−−
⋅
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅
−=⋅−−⋅
− σ σ λ σ
θ 2
2
1
ln2
( )( ) dx
T mT xm
T
xme X I
b
T r 1222
2
2
1exp
2
1 22
2 ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+⋅−⋅+
−⋅⋅−⋅
⋅⋅⋅= ∫
∞−
⋅− θ θ θ π
( ) dz z
me X
T y
T r ∫⋅+−
∞−
⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅
⋅⋅⋅⋅⋅⋅=
σ
π θ
2
2exp
2
12exp
2
)(ln2exp 2 T y N S
Le X T r ⋅+−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅⋅⋅= ⋅− σ
σ
θ
)( 2
22
T y N S
Le X T r ⋅+−⋅⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅⋅=
−⋅
⋅− σ
λ
7.10
Să calculăm acum I 1.
Facem schimbarea de variabilă:
( ) T T
xm z ⋅+−
−⋅−= σ θ
2 ⇒ dx
T dz
1= 7.11
( ) ( )∫−
∞−
⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+−⋅
⋅⋅⋅−=
2
22
12
2exp
2
1 22
1
y
T r dz T m
z eS I σ θ σ σ θ
π
84
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 87/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( ) ( ) )(22
12exp 2
2 y N T meS T r −⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅⋅⋅−= ⋅− σ θ σ σ θ
( ) )(12
expln2exp 22
2
y N T S
LeS T r −⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ ⋅⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ ⋅−+⋅⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⋅⋅⋅⋅−= ⋅− σ λ σ
λ
( ) )( 2
2
y N eS
LeS T qr T r −⋅⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−= ⋅−
⋅⋅−
λ
)( 2
2
y N S
LeS T q −⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−=⋅
⋅−λ
7.12
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>⋅−⋅= ⋅−
})()0,)(max( *E
LT S X T S ec T r
ui{
1
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡>>
⋅−⋅= ⋅−
})()( *E
LT S X S(T) X T S e
T r
,{1
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>>⋅−⋅⋅⋅= ⋅−
})(*
)(*
)(exp *EmT M bT B
X T BS e T r
,{1σ
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>>⋅−⋅⋅⋅= ⋅−
})(*
)(*
)(exp* *EmT M bT B
X T BS e T r
,{1σ
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>>⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅⋅= ⋅−
})(*
)(*2
1)(exp)(exp* 2*E
mT M bT BT T B X T BS e T r
,{1θ θ σ
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
>>⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ⋅−
})(*
)(*2
1)(exp)(exp* 2**E
mT M bT BT T B X T BS e T r
,{1θ θ σ
( )( )( ) ( )
+⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ∫ ∫∞
⋅− 2
2exp
2
22
2
1expexp
22 dydx
T
x y
T T
x yT x X xS e
m
b m
T r
π θ θ σ
( )( )( ) ( )
dydxT
x y
T T
x yT x X xS e
m x
T r
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅+ ∫ ∫
∞ ∞⋅−
2
2exp
2
22
2
1expexp
22
π θ θ σ
( )( )( )
+⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−=
∞=
=
⋅−∫ 2
2exp
2
1
2
1expexp
y
my
22 dx
T
x y
T T x X xS e
m
b
T r
π θ θ σ
85
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 88/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( )( )( )
dxT
x y
T T x X xS e
m
T r 2
2exp
2
1
2
1expexp
y
xy
22
∞=
=
∞⋅−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅−+ ∫
π θ θ σ
( )( )( )
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅
−⋅−⋅
⋅⋅
⋅−⋅⋅⋅=
∫
⋅−
2
1
2
2exp
2
1exp 2
2
dxT x
T
xm
T
X xS e
m
b
T r θ θ
π
σ
( )( ) dxT xT
x
T X xS e
m
T r
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
⋅⋅⋅−⋅⋅⋅+ ∫
∞⋅− 2
2
2
1
2exp
2
1exp θ θ
π σ
( )
2
1
2
2exp
2
1 22
−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅= ∫⋅−m
b
T r dxT x xT
xm
T eS θ σ θ
π
( )∫ +⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅− ⋅−m
b
T r dxT x
T
xm
T e X 2
2
2
1
2
2exp
2
1θ θ
π
−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+
⋅−⋅
⋅⋅⋅⋅+ ∫
∞⋅−
m
T r dxT x xT
x
T eS 2
2
2
1
2exp
2
1θ σ θ
π
∫∞
⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
⋅⋅⋅⋅−
m
T r dxT xT
x
T e X 2
2
2
1
2exp
2
1θ θ
π
4321 I I I I +++= 7.13
Pentru a calcula I 4 facem schimbarea de variabilă:
T T
x z ⋅−= θ ⇒ dxT
dz ⋅= 1 7.14
Avem că:
( ) T xT T T
L
S
T T
m⋅+−=⋅+⋅⋅−
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛
−=⋅⋅−− σ σ σ λ σ λ 1
ln1
Rezultă că:
∫∞
⋅+−
⋅− ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ −⋅⋅⋅⋅−=T x
T r dz z e X I σ
π 1
2exp21
2
4
∫⋅−
∞−
⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −⋅
⋅⋅⋅−=
T x
T r dz z
e X
σ
π
1
2exp
2
1 2
)( 1 T x N e X T r ⋅−⋅⋅−= ⋅− σ
Pentru a calcula I 3 facem schimbarea de variabilă:
( ) T
T
x z ⋅+−= σ θ ⇒ dx
T
dz ⋅=1
7.15
86
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 89/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Rezultă că:
( )∫∞
−
⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅+⋅+−⋅
⋅⋅⋅=
1
22
1
2exp
2
1 22
3
x
T r dz T z
eS I σ θ σ π
( ) ∫∞−
⋅−⋅−⎟⎟
⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛ −⋅
⋅⋅⋅⋅=
1
2exp
21 2
x
T qr T r dz z eeS
π
)( 1 x N eS T q ⋅⋅= ⋅−
Pentru a calcula I 2 folosim schimbarea de variabilă 7.8 şi obţinem:
∫⋅+−
⋅+−
⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅+−⋅
⋅⋅⋅−=
T y
T y
T r dz m z
e X I
σ
σ
θ π
1
2
22
exp2
1 2
2
( ))()( 21
22
T y N T y N S
Le X
T r
⋅+−−⋅+−⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−=
−⋅⋅−
σ σ
λ
Pentru a calcula I 1 folosim schimbarea de variabilă 7.11 şi obţinem:
( ) ( )∫−
−
⋅−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅⋅+⋅+⋅+⋅+−⋅
⋅⋅⋅=
1
2
22
12
2exp
2
1 22
1
y
y
T r dz T m z
eS I σ θ σ σ θ π
( ))()( 21
2
y N y N S
LeS T q −−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅=⋅
⋅−λ
Luăm acum cazul
X > L.Avem c
ă b > m .
Dacă S(T) > X ⇒ S(T) > L ⇒ S *(T) > L ⇒
⇒ 0})(
* =<> LT S X S(T) ,{
1
⇒ ( ) 00})(
)( ]E[E * ==⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<>⋅−⋅= ⋅−
LT S X S(T) X T S ec
T r
uo,{
1
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<<⋅−⋅= ⋅−
})()( *E
LT S X S(T)T S X e p T r
uo,{
1
( )( )⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
<<⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅= ⋅−
})(*
)(*2
1)(exp)(exp* 2**E
mT M bT BT T BT BS X e T r
,{1θ θ σ
( )( )( ) ( )
+⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅= ∫ ∫
∞−
⋅− dydxT
x y
T T
x yT x xS X e
m
T r
2
2exp
2
22
2
1expexp
20
0
2
π θ θ σ
87
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 90/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( )( )( ) ( )
dydxT
x y
T T
x yT x xS X e
m m
x
T r
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅+ ∫ ∫ ⋅−
2
2exp
2
22
2
1expexp
2
0
2
π θ θ σ
( )( )( )
+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−=
=
=∞−
⋅−∫ dxT
x y
T T x xS X e
m
T r 2
2exp
2
1
2
1expexp
y
0y
202
π θ θ σ
( )( )( )
dxT
x y
T T x xS X e
mm
T r 2
2exp
2
1
2
1expexp
y
xy
2
0
2
=
=
⋅−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅⋅⋅−⋅−+ ∫
π θ θ σ
−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
⋅⋅⋅⋅= ∫
∞−
⋅−dxT x
T
x
T X e
m
T r 22
2
1
2exp
2
1θ θ
π
−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+
⋅−⋅
⋅⋅⋅⋅− ∫
∞−
⋅−dxT x x
T
x
T S e
m
T r 22
2
1
2exp
2
1θ σ θ
π
( )+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅− ∫∞−
⋅− dxT xT
xm
T X e
m
T r 22
2
1
2
2exp
2
1θ θ
π
( )dxT x x
T
xm
T S e
m
T r
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅+ ∫∞−
⋅− 22
2
1
2
2exp
2
1θ σ θ
π
)()()( 1
22
11 T y N S
Le X x N eS T x N e X
T r T qT r ⋅+−⋅⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−−⋅⋅−⋅+−⋅⋅=
−⋅⋅−⋅−⋅−
σ σ
λ
)( 1
2
y N S
LeS T q −⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅+
⋅⋅−
λ
Teoremă: Fie L < S. Avem următoarele relaţii:
i) 7.16 p p p
ccc
dido
dido
=+
=+
ii) Dacă X < L avem:
+⋅⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅−⋅⋅−⋅⋅=
⋅⋅−⋅−⋅− )()()( 1
2
11 y N S
LeS T x N e X x N eS c T qT r T q
do
λ
σ
)( 1
22
T y N S
Le X T r ⋅−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+−⋅
⋅− σ
λ
uiuo ccc −=
0=do p
7.17 p pdi =
iii) Dacă X > L avem:
88
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 91/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
)()( 2
22
2
2
T y N S
Le X y N
S
LeS c T r T q
di ⋅−⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅=−⋅
⋅−⋅
⋅− σ
λ λ
dido ccc −=
[ ]−−⋅⎟ ⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅+−⋅⋅+−⋅⋅−=
⋅⋅−⋅−⋅− )()()()( 12
2
11 y N y N S
LeS T x N e X x N eS p T qT r T q
di
λ
σ
[ ])()( 12
22
T y N T y N S
Le X T r ⋅−−⋅−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−−⋅
⋅− σ σ
λ
7.18
Demonstraţie:
Demonstraţia este similar ă cu cea din teorema anterioar ă. Pentru exemplificare
să calculăm cdi in cazul X > L. Păstrând notaţiile din teorema precedentă notăm cu:)(min)( *
0* u Bt M
t u≤≤=
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
<⋅−⋅= ⋅−
})()0,)(max(
*
E LT S
X T S ec T r
ui {1
( ) ⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
<>⋅−⋅= ⋅−
})()(
*
E LT S X S(T)
X T S e T r
,{1
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<>
⋅−⋅⋅⋅= ⋅−
})()(
)(exp*
**E
mT M bT B
X T BS eT r
,{
1σ
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<>⋅−⋅⋅⋅= ⋅−
})()()(exp*
*
**E
mT M bT B X T BS e
T r
,{1σ
( )( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<>⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ⋅−
})()(2
1)(exp)(exp*
*
*2**E
mT M bT BT T B X T BS e
T r
,{1θ θ σ
( )( )( ) ( )
dydxT
x y
T T
y xT x X xS e
b
m
T r
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ∫ ∫∞
∞−
⋅−
2
2exp
2
22
2
1expexp
22
π θ θ σ
( )( )( )
dxT
x y
T T x X xS e
m
b
T r 2
2exp
2
1
2
1expexp
y
-y
22
=
∞=
∞⋅−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅−⋅⋅⋅= ∫
π θ θ σ
( )( )( )
dxT xT
xm
T X xS e
b
T r
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅−⋅⋅⋅= ∫∞
⋅− 22
2
1
2
2exp
2
1exp θ θ
π σ
( )−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅= ∫∞
⋅−
b
T r dxT x x
T
xm
T eS 2
2
2
1
2
2exp
2
1θ σ θ
π
89
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 92/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( )dxT x
T
xm
T e X
b
T r ∫∞
⋅−
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⋅− 22
2
1
2
2exp
2
1θ θ
π
∫∫
∞
⋅+−
−⋅⋅−
∞
−
⋅⋅−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ −⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅=T y
T r
y
T q dz z
S
Le X dz
z
S
LeS
σ
λ λ
22 2
exp
2
exp22222
)()( 2
22
2
2
T y N S
Le X y N
S
LeS T r T q ⋅−⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅+⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅=
−⋅⋅−
⋅⋅− σ
λ λ
De obicei opţiunile cu barier ă nu sunt tranzacţionabile pe piaţă şi din acest
motiv este importantă doar valoarea la momentul 0. Totuşi se pot calcula şi valorile la
un moment t .
In continuare consider ăm valorile opţiunilor ca funcţie de t,T şi S. Vom nota
cu τ momentul atingerii barierei. Acesta reprezintă un timp de stopare definit prin:
{ } Lt S t =≥= )(|0inf τ .
Teoremă: Fie 0≤ t ≤ T. Avem că:
i) Dacă t < τ
))(,,0())(,,(
))(,,0())(,,(
t S t T vt S T t v
t S t T vt S T t v
kiki
koko
−=
−=
7.19
ii) Dacă t > τ
))(,,())(,,(
0))(,,(
t S T t vt S T t v
t S T t v
ki
ko
=
=7.20
Demonstraţie:
Dacă la momentul t încă nu a fost atinsă bariera valoarea la momentul t se
obţine înlocuind in formulele pentru valoarea la momentul 0 pe T cu T-t şi pe S cu
S(t). Se obţin astfel formulele 7.19.
Dacă la momentul t s-a atins bariera valoarea la momentul t a unei opţiuni
knock-out este 0, iar a uneia knock-in este egală cu valoarea la momentul t a unei
opţiuni europene.
90
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 93/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teoremă:
i) Valoarea optiunilor knock-in după momentul τ verifică ecuaţia Black-Scholes.
ii) Valoarea optiunilor knock-out pînă la momentul τ verifică ecuaţia Black-
Scholes.Demonstraţie:
Primul punct este evident având in vedere teorema precedentă.
Pentru punctul doi facem demonstraţia in cazul opţiunii up-and-out call cu L > 1.
Fie
, t ≤ T , S ≤ L ( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<⋅−⋅= ⋅−
})()0,)(max( *E
LT S X T S et,S V(t,S)
T r
{1
V(t,S(t)) este valoarea opţiunii la momentul t < τ .Avem că
V( T,S ) = max( S-X ,0 ) , 0≤ S ≤ L
V( t,0 ) = 0 , 0≤ t ≤ T
V( t,L ) = 0 , 0≤ t ≤ T
Trebuie să mai ar ătăm că verifică ecuaţia:
0
2
12
222 =⋅−
∂
∂⋅⋅+
∂
∂⋅⋅⋅+
∂
∂V r
S
V S r
S
V S
t
V σ
Avem evident că
S *(T) < L ⇔ τ > T
Fie t fixat.
Dacă τ ( ω )≤ t avem că S *(T) ≥ L şi rezultă că:
( ) 0)(})(
)0,)(max( |*E =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<⋅−⋅⋅− ω F(t)
LT S X T S e T r
{1
Avem că:0)),(())),((),(( =∧=∧∧ Lt V t S t V τ ω τ ω τ
Si putem scrie că:
( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<⋅−⋅⋅− )(
})()0,)(max( |*E ω F(t)
LT S X T S e T r
{1
( ) ))),((),(()( ω ω τ ω τ ω τ ∧∧⋅= ∧⋅−t S t V e t r
Dacă τ ( ω )> t avem că:
91
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 94/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<⋅−⋅⋅− )(
})()0,)(max( |*E ω F(t)
LT S X T S e T r
{1
( ) =⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<
⋅−⋅= ⋅−
})(
)0,)(max()*E
LT S
X T S et,S(t,ω T r
{
1
)),(,( ω t S t V e t r ⋅= ⋅−
( ) ))),((),(()(ω ω τ ω τ
ω τ ∧∧⋅= ∧⋅−t S t V e
t r
Deci in concluzie:
( ) ( ) ))(,(})(
)0,)(max( |*E τ τ τ ∧∧⋅=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
<⋅−⋅ ∧⋅−⋅−
t S t V e LT S
X T S e t r T r F(t){
1
Fie 0≤ u≤ t ≤ T.
( ) =∧∧⋅∧⋅− F(u)|))(,(E τ τ τ t S t V e t r
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<⋅−⋅= ⋅− F(u)F(t) ||
})()0,)(max( *EE
LT S X T S e
T r
{1
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
<⋅−⋅= ⋅− F(u)|
})()0,)(max( *E
LT S X T S e T r
{1
( ) ))(,( τ τ τ ∧∧⋅= ∧⋅− uS uV e ur
Si deci rezultă că este martingal.( ) ))(,( τ τ τ ∧∧⋅∧⋅− t S t V e t r
Avem că:
( ) )(2
1)(,(
2
222 t dB
S
V S edt V r
S
V S r
S
V S
t
V et S t V ed t r t r t r ⋅
∂∂
⋅⋅⋅+⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−
∂∂
⋅⋅+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
⋅=⋅ ⋅−⋅−⋅−σ σ
Integrînd de la 0 la t ∧τ obţinem:
( ) ∫∧
⋅−∧⋅− ⋅∂∂
⋅⋅⋅+=∧∧⋅τ
τ σ τ τ
t
ur t r udBS
V S eS V t S t V e
0
)())0(,0())(,( +
∫∧
⋅− ⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−∂∂⋅⋅+
∂∂⋅⋅⋅+
∂∂⋅+
τ
σ t
ur duV r S
V S r
S
V S
t
V e
02
222
21
Cum şi( ) ))(,( τ τ τ ∧∧⋅∧⋅− t S t V e t r ∫∧
⋅− ⋅∂∂
⋅⋅⋅τ
σ
t
ur udBS
V S e
0
)( sunt martingale
rezultă că şi ∫∧
⋅− ⋅⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅−
∂∂
⋅⋅+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
⋅τ
σ
t
ur duV r S
V S r
S
V S
t
V e
02
222
2
1este martingal şi
conform teoremei de reprezentare a martingalelor (orice martingal are drift zero)
avem că:
92
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 95/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
02
12
222 =⋅−
∂∂
⋅⋅+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
V r S
V S r
S
V S
t
V σ
VII.2 Op ţ iuni "ladder"
Definiţie: Fie L > S(0). O opţiune ladder, cu preţ de exerciţiu X şi scadenţă T ,
este un produs financiar derivat cu valoare la scadenţă dată de
( ) ( ) ( )})(
),)(max(})(
)0,)(max( ** LT S
X L X T S LT S
X T S >
⋅−⋅−⋅<
⋅−⋅ +{{
11 δ δ δ
unde δ = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ = -1 pentru opţiunea de tip put.
Notăm cu V valoarea la momentul 0 a unei opţiuni europene şi cu V L valoarea
la momentul 0 a unei opţiuni ladder.
Teoremă:
i) Dacă L < X avem că V L = V
ii) Dacă L > X avem că:
( ) ( ) −⋅−⋅−⋅⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+=−⋅
⋅− )( 1
22
T y N S
Le X LV V T r
L σ δ δ
λ
[ ]+⋅−−⋅−⋅⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−
⋅⋅− )()( 21
2
y N y N S
LeS T q δ δ
λ
( ) ( )[ ])()( 21
22
T y N T y N S
Le X T r ⋅−⋅−−⋅−⋅−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅+−⋅
⋅− σ δ σ δ
λ
Demonstraţie:
Dacă L < X avem că max( δ⋅ (S(T)-X), δ⋅ (L-X))= max( δ⋅ (S(T)-X),0 ) şi valoarea
la scadenţă devine max( δ⋅ (S(T)-X),0 ) de unde rezultă relaţia din enunţ.
Notăm cu valoarea opţiunii call up-and-in respectiv up-and-out.
Analog pentru put.
X
uo
X
ui cc ,
Dacă L > X demonstr ăm relaţia pentru opţiunea call δ =1.
Avem că:
93
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 96/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>⋅−−⋅
<⋅−⋅= ⋅−⋅− +
})(),)(max(
})()0,)(max( **E
LT S X L X T S e
LT S X T S ec T r T r
L{{
11
( ) +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>⋅−⋅+⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡
<⋅−⋅= ⋅−⋅−
})(})()0,)(max( ** EE
LT S X Le
LT S X T S e
T r T r
{{11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>⋅−⋅+ ⋅−
})()0,)(max( *E
LT S LT S e
T r
{1
( ) L
ui
T r X
uo cmT M
X Lec +⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>⋅−⋅+= ⋅−
})(*E
{1
( ) ⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅⋅−⋅++−= ⋅−
})(2
1exp*
*2E
mT M T (T) Bθ X Leccc *T r L
ui
X
ui{
1θ
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>⋅⎟
⎠ ⎞⎜
⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅
})(21exp*
*2E
mT M T (T) Bθ *
{1θ
( ) ( )+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅= ∫ ∫∞−
∞
dydxT
x y
T T
x yT x
m
m2
2exp
2
22
2
1exp
22
π θ θ
( ) ( )dydx
T
x y
T T
x yT x
m x⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅
−⋅⋅⋅⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅+ ∫ ∫
∞ ∞
2
2exp
2
22
2
1exp
22
π θ θ
( ) +⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅⋅⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅−=
∞=
=∞−∫ dxT
x y
T T x
m
2
2exp2
1
2
1exp
y
my
2
2π
θ θ
( )dx
T
x y
T T x
m
2
2exp
2
1
2
1exp
y
xy
22
∞=
=
∞
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
⋅⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ ⋅⋅−⋅−+ ∫
π θ θ
( )+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
−⋅⋅⋅
= ∫∞−
m
dxT xT
xm
T
22
2
1
2
2exp
2
1θ θ
π
∫
∞
⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅+
⋅−⋅
⋅⋅+
m
dxT xT
x
T
22
2
1
2exp
2
1θ θ
π
)()( 1
22
1 T y N S
LT x N ⋅+−⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛ +⋅−=−⋅
σ σ
λ
Înlocuind valoarea opţiunilor knock-in şi valoarea integralei de mi sus se
obţine relaţia dorită.
94
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 97/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teoremă: Fie 0≤ t ≤ T. Avem că:
i) Dacă t < τ
))(,,0())(,,( t S t T V t S T t V L L −= 7.19
ii) Dacă t > τ
7.20))(,,())(,,( t S T t V X Lt S T t V L
L +−=
unde V L este valoarea opţiunii europene cu preţ de exerciţiu egal cu L
Demonstraţie:
Prima parte este evidentă. Pentru a doua parte avem că:
( ) F(t)|E ),)(max())(,,( X L X T S et S T t V t T r
L −−⋅= −⋅−
( ) F(t)|E )0,)(max( LT S e X L t T r −⋅+−= −⋅−
))(,,( t S T t V X L L+−=
95
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 98/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
VIII. Evaluarea op ţ iunilor dependente de drum în
contextul pie ţ ei financiare de tip BSM
VIII.1 Op ţ iuni cliquet
Vom considera că s-a f ăcut deja trecerea de la măsura pieţei la măsura neutr ă la risc pe care o notăm cu P.
Astfel ecuaţia de dinamică a activului suport,care are şi dividend, este:
( ) )()()()( t dBt S dt t S qr t dS ⋅⋅+⋅⋅−= σ 8.1
Definiţie: Fie 0 < t c < T. Se numeşte opţiune cliquet, cu preţ de exerciţiu X şi
scadenţă T, un produs financiar derivat cu valoarea la scadenţă egală cu
,0)−⋅,−⋅ ))(())((max( X t S X T S cδ δ ,unde δ = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ = -1
pentru opţiunea de tip put.
Notăm cu S=S(0).
Teoremă: Notînd cu V C (t,T,S(t)) valoarea la momentul t a opţiunii cliquet
avem că:
i) Dacă t ≥ t c
( ) ( ) ))(,,(0,)(max))(,,( ),(maxt S T t V X t S t S T t V
X t S
cC
c+−= 8.2
ii) Dacă t < t c
( ) +⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅−⋅⋅= −⋅−cc
X t T r
C t T N t S t t V et S T t V c
σ
λ δ 2))(,,())(,,(
−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
⋅−⋅⋅⋅⋅⋅+ ⋅−
t T
t T d t T N et S c
c
T q ,,)( 11
2 δ σ
λ δ δ
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−⋅−⋅⋅⋅⋅⋅− ⋅−
t T
t T d t T N e X c
c
T r ,, 22
2 δ
σ
λ δ δ 8.3
96
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 99/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
unde V X (t,T,S(t)) reprezintă valoarea opţiunii europene , cu preţ de exerciţiu X
şi scadenţă T, d 1 şi d 2 sunt cele definite la opţiunile europene şi
2
2
1
σ λ −−= qr
2
2
2
σ λ +−= qr
Demonstraţie:
Facem demonstraţia pentru δ =1.
Dacă t > t c şi S(t c ) < X avem că:
( ) ))(,,()0,)(max())(,,( |E t S T t V X T S et S T t V X T r
C =−⋅= ⋅− F(t)
Dacă t > t c şi S(t c ) > X avem că:
( ) F(t)|)0,)()(max()())(,,( E c
T r
cC t S T S e X t S t S T t V −⋅+−= ⋅−
))(,,()( )( t S T t V X t S ct S
c +−=
Vom calcula doar valoarea la momentul 0 in cazul t < t c.
+⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>>⋅−⋅= ⋅−
})(),()())((E
X t S T S t S X t S eV
ccc
T r
C {1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡><
⋅−⋅+ ⋅−
})(),()())((E
X T S T S t S X T S e
c
T r
{1
21 V V +=
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>>⋅−⋅= ⋅−)(F
ct
X t S T S t S X t S eV
ccc
T r |})(),()(
))((EE1 {1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>>⋅−⋅= ⋅⋅−)(F
ct
T S t S X t S X t S e
ccc
T r |)}()(})(
))(( EE{{
11
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡>⋅−⋅⋅⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
>= ⋅−
})())((
)}()(EE |
X t S X t S e
ct
T S t S c
c
T r
c{{
11 )(F
( )
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡
>⋅⋅=
−⋅−
)(F ct T S t S S t V e cc
X t T r c
|)}()(),,0( E {1
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅=
−⋅−<−
−−⋅−
)(Fc
t S t V e
ct T
ct T
ct BT Bc
X t T r c |}2
)()(E),,0(
σ
λ {
1
97
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 100/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( )
⎥⎥⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢⎢⎢
⎣
⎡
−⋅−<
−
−⋅⋅= −⋅−
}2)()(
),,0( E
ct T
ct T
ct BT B
S t V e c
X t T r c
σ
λ {
1
( ) ⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅−⋅⋅= −⋅−cc
X t T r t T N S t V e c
σ
λ 2),,0(
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
><⋅⋅−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
><⋅⋅= ⋅−⋅−
})(),()(})(),()()( EE2 X T S T S t S
X e X T S T S t S
T S eV c
T r
c
T r
{{11
[ ]})(),()(})(),()(
PE X T S T S t S X T S T S t S c
c
><=⎥⎦⎤
⎢⎣
⎡><
{{
1
⎥⎥
⎦
⎤⎢⎢
⎣
⎡ <−−⋅<−
−= })(,)()(2
2P d T
T Bt T
ct T
ct BT Bc
σ
λ {-
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛ −−⋅=
T
t T d
ct T N c;,2
22σ
λ
deoarece avem că:
⎥⎦
⎤
⎢⎣
⎡⋅
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡⋅
−
−=
⎟⎟
⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎜
⎝
⎛ −
−
−
T
T B
ct T
ct BT B
T
T B
ct T
ct BT B
T
T B
ct T
ct BT B )()()()()()()(
,)()(
cov EEE-
( )[ ] 0)()()(1 E −⋅−⋅
−⋅= T B
ct BT B
ct T T
[ ] [ ]( ))()()(1 EE 2
ct BT BT B
ct T T
⋅−⋅−⋅
=
( )( )ct T T
ct T T
∧−⋅−⋅
=1
T
ct T −
=
Fie
⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅⋅−⋅= t t Bt Z 2
2
1)(exp)( σ σ şi
∫= A
d T Z A P P * )()(
98
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 101/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Conform teoremei lui Girsanov avem că B*(t)=B(t)-σ⋅ t este mişcare
browniană faţă de probabilitatea P P* . Urmând acelaşi raţionament ca în cazul opţiunile
europene rezultă că:
( ) [ ]})(),()(*})(),()( PE X T S T S t S eS X T S T S t S S(T) cT qr
c><⋅=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ ><
⋅− {{1
( )
⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢
⎣
⎡<−−⋅<
−
−⋅⋅= ⋅− }
)(,
)()(*1
*1
**
P d T
T Bt T
ct T
ct BT B
eS c
T qr
σ
λ {-
( )
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −−⋅⋅⋅= ⋅−
T
t T d
ct T N eS cT qr ;, 1
12
σ
λ
deoarece folosind acelaşi raţionament ca mai sus avem că:
T
t T
T
T B
ct T
ct BT B
c−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛ −
−
− )(,
)()(cov
***
-
VIII.2 Op ţ iuni cu maxim discret
Definiţie: Fie 0≤ t 1≤ t 2≤ …≤ t n≤ T. Se numeşte opţiune cu maxim discret, cu
preţ de exerciţiu X şi scadenţă T, un produs financiar derivat cu valoarea la scadenţă
egală cu ( ) ,0)−⋅ ))(),...,(),((maxmax( 21 X t S t S t S nδ , unde δ = 1 pentru opţiunea de
tip call şi δ = -1 pentru opţiunea de tip put.
Teoremă: Valoarea la momentul 0 a opţiunii cu maxim discret, cu preţ de
exerciţiu X şi scadenţă T, este:
( )
( )( ));,...,(1
1
,1,21,21k jn
T r T r t qr
in
n
ii MD C d d N e X eS I H V
i
⋅−⋅−−⋅⋅⋅−⋅⋅⋅⋅=
⋅−⋅−⋅−
−=∑ δ δ δ δ
unde
( )⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ ⋅−⋅⋅−⋅⋅= −3,,11
11
1 ,,,..., k jiiiiii C d t t t t N H δ σ
λ δ
σ
λ δ
( )⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅⋅−−⋅⋅−= +−−2,
21
2 ,,..., k jiniiinin C t t t t N I σ
λ δ
σ
λ δ 8.4
S=S( 0 ),d 1,i şi d 2,i reprezintă d 1 şi d 2 definite la opţiunile europene in care seinlocuieşte T cu t i.
99
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 102/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
k j
k j
k jt
t C
∨
∧=1, ,1≤ j,k ≤ n ,
ik ji
ik ji
k jt t
t t C
−
−=
∨+
∧+2, ,1≤ j,k ≤ n-i
k ji
k jik j
t t t t C
∧
∨
−−=3, , j,k ≠ i
i
ji jii j
t t t C C −== 3
,3, , j≠ i
Demonstraţie:
Notăm cu S i=S(t i ).Facem demonstraţia pentru cazul δ =1.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡>⋅⋅−⎥⎦
⎤⎢⎣⎡
>⋅⋅= ⋅−⋅−
}),...,max(}),...,max(),...,max(
111 EE
X S S e X
X S S S S eV
n
T r
nn
T r
MD {{11
21 V V +=
Calculăm mai întâi V 3.
[ ] [ ])}),...,max(1}),...,max( 112 PP X S S -e X X S S e X V n
T r
n
T r <⋅⋅=>⋅⋅= ⋅−⋅− {{
[ ])},...,,1 21P X S X S X S -e X n
T r <<<⋅⋅= ⋅− {
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡−<−<⋅⋅= ⋅− }
)(,...,
)(1 ,21,2
1
1P n
n
nT r d t
t Bd
t
t B-e X {
( )( ));,...,(1 1,1,21,2 k jn
T r C d d N e X −−−⋅⋅= ⋅−
k j
k j
k
k
j
j
k jt t
t
t B
t
t BC ∨
∧=⎟⎟
⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛ = )(,)(cov1
,
Avem că:
∑∑==
⋅− =⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>>>⋅⋅=
n
i
i
n
i iniii
T r V X S S S S S
S eV 1
,11 1
1 },,...E
{1
Rezultă că:
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
>>>
⋅⋅= ⋅−
},,...1
,1 E X S S S S S
S eV inii
i
T r
i
{
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>>>⋅⋅= ⋅− )(|},,...1
EE iinii
i
T r t X S S S S S
S e F{
1
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
>>>>>>⋅⋅=+−
⋅− ⋅ )(|},,...},,... 111
EE iiniiiiiii
i
T r t X S S S S S X S S S S S
S e F{{
11
Fie acum:
⎥⎦⎤⎢⎣⎡ >>>=+
− )(|},,...1E iiniii
in t X S S S S S I F{1
100
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 103/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
−⋅−<−
−−⋅−<
−
−= +
+
+ )(|21
2
1
1 )()(,...,
)()(iin
in
inii
ii
ii t t t t t
t Bt Bt t
t t
t Bt BF
σ
λ
σ
λ P
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪
⎬
⎫
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
−⋅−<−
−
−⋅−<−
−
= ++
+
inin
in
iiii
ii
t t t t
t Bt B
t t t t
t Bt B
σ
λ
σ
λ 2
1
2
1
1 )()(
,...,
)()(
P
( )⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅−−⋅−= +−2,
21
2 ,,..., k jiniiin C t t t t N σ
λ
σ
λ
=⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
−
−⋅
−
−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−=
+
+
+
+
+
+
+
+
ik i
ik i
i ji
i ji
ik i
ik i
i ji
i ji
k jt t
t Bt B
t t
t Bt B
t t
t Bt B
t t
t Bt BC
)()()()()()(,
)()(cov E2
,
[ ] [ ] [ ] [ ]( )2)()()()()()()(1 EEEE ik iii jik i ji
ik ii ji
t Bt Bt Bt Bt Bt Bt Bt t t t
+⋅−⋅−⋅⋅−⋅−
= ++++
++
( )( ) =+−−∧⋅−⋅−
= ++
++
iiik i ji
ik ii ji
t t t t t t t t t
1
ik ji
ik ji
t t
t t
−
−=
∨+
∧+,1≤ j,k ≤ n-i
Făcând schimbarea de măsur ă definită mai sus avem că:( ) [ ]},,... 11,1 X S S S S S eS e I V iiii
t qr T r
inii >>>⋅⋅⋅⋅= −
⋅−⋅−− {*P
Avem că:
[ ]},,... 11 X S S S S S H iiiii >>>= −{*P
⎥⎥⎦
⎤
⎢⎢⎣
⎡
⎪⎭
⎪⎬⎫
⎪⎩
⎪⎨⎧
<−−⋅<−
−−−⋅<
−
−−= −
−
−i
i
iii
ii
iii
i
i d t
t Bt t
t t
t Bt Bt t
t t
t Bt B,1
*
11
1
1**
11
1
1** )(
,)()(
,...,)()(
σ
λ
σ
λ *P
( )⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅−⋅= −3,,11
11
1 ,,,..., k jiiiii C d t t t t N σ
λ
σ
λ
( )( )k jk ji
k i jik i
k i
ji
ji
k j t t t t t t t t t t t
t Bt B
t t
t Bt BC ∧+−−⋅
−⋅−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−
−
−=
1)()(,
)()(cov
****3,
k ji
k ji
t t
t t
∧
∨
−
−= , j,k ≠ i
101
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 104/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( )i
ji
ji
i jii
i
ji
ji
i jt
t t t t
t t t t
t B
t t
t Bt BC
−=−⋅
⋅−=
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
−=
1)(,
)()(cov
***3,
VIII.3 Op ţ iuni asiatice
Definiţie: Se numeşte opţiune asiatică, cu preţ de exerciţiu X şi scadenţă T, un
produs financiar derivat cu valoarea la scadenţă egală cu
,0)−⋅⋅ ∫ ))(1
(max(0
X dt t S T
T
δ ,unde δ = 1 pentru opţiunea de tip call şi δ = -1 pentru
opţiunea de tip put.
Notăm cu , 0≤ t ≤ T ∫=t
duuS t Y 0
)()(
Teoremă: Valoarea la momentul t a unei opţiuni asiatice, cu preţ de exerciţiu
X şi scadenţă T, este egală cu V(t, S(t),Y(t)) , unde funcţia V(t,S,Y) este soluţia ecuaţiei
cu derivate par ţiale:
( ) 02
12
222
=⋅−∂∂
⋅+∂∂
⋅⋅−+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
V r Y
V S S
V S qr S
V S t
V σ
)0),(max(),,( X T
Y Y S T V −⋅= δ 8.5
Demonstraţie:
Avem că:
( ) )()()()( t dBt S dt t S qr t dS ⋅⋅+⋅⋅−= σ
dt t S t dY ⋅= )()( 8.6
Generatorul infinitizimal al procesului de difuzie 8.6 este:
( )Y
S S
S qr S
S t ∂
∂⋅+
∂∂
⋅⋅−+∂∂
⋅⋅⋅+∂∂
=2
222
2
1σ L
Dar:
( )⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡ −⋅⋅= −⋅− )0),)(
(max())(),(,( E X T
T Y e
)t,S(t),Y(t t Y t S t V t T r δ
Aplicînd teorema Feynman-Kac rezultă ecuaţia cu derivate par ţiale dorită.
102
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 105/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Teoremă: Dacă Y(t) > T ⋅ X, valoarea la momentul t a unei opţiuni call asiatice,
cu preţ de exerciţiu X şi scadenţă T, este:
( ) ( )
( )( ) ⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ −⋅+⋅−
−⋅= −⋅−
−⋅−−⋅−
X T
t Y e
T qr
eet S t Y t S t V t T r
t T r t T q )()())(),(,( 8.7
Demonstraţie:
Avem că:
X T
t Y
T
T Y >≥
)()(
Deci:
( ) ( )
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −⋅=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ −⋅= −⋅−−⋅− )(|)(| )(
)0,)(
max())(),(,( EE t t X T
T Y e X
T
T Y et Y t S t V t T r t T r FF
( )( )
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅+⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −⋅= ∫
−⋅−−⋅− )(|)(
)( E t T
t
t T r t T r
duuS T
e X
T
t Y e F
( )( )
[ ] duuS T
e X
T
t Y e
T
t
t T r t T r t ⋅⋅+⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −⋅= ∫
−⋅−−⋅− )(|)(
)( E F
( )( )
( ) ( )duet S T
e X
T
t Y e
T
t
t uqr t T r
t T r ∫ −⋅−−⋅−
−⋅− ⋅⋅+⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −⋅= )(
)(
( )( ) ( ) ( )
( )du
qr
et S
T
e X
T
t Y e
t T qr t T r t T r
−−
⋅⋅+⎟ ⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⋅=−⋅−−⋅−
−⋅− 1)(
)(
( ) ( )
( )( ) ⎟
⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ −⋅+
⋅−−
⋅= −⋅−−⋅−−⋅−
X T
t Y e
T qr
eet S t T r
t T r t T q )()(
103
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 106/121
IX. Evaluarea op ţ iunilor cu mai multe active suport în
contextul pie ţ ei financiare de tip BSM
IX.1 Distribu ţ ia normal ă bidimensional ă
Vectorul aleator ( )′= 21, X X X cu medie şi matrice de
varianţă-covarianţă are o distribuţie
normală bidimensională notată cu
[ ] ( ′== 21,mmm X E )
[ ]( ) [ ]( ) ⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
σσρσ
σρσσ=Ω=⎥⎦
⎤⎢⎣⎡ ′−−
2221
2121XEXXEXE
( )ΩΦ ,2 m dacă are densitatea de repartiţie dată de:
( ) ( ) ( )⎭⎬⎫
⎩⎨⎧ −Ω′−−
Ωπ= − mt mt t t f 1
212 2
1exp
det2
1, unde (9.1)( ′= 21,t t t )
Se poate ar ăta că dacă ( )ΩΦ ,~ 2 m X atunci avem că:
1) ( ) ( 222111 ,~,,~ σΦσΦ m X m X )
2) (9.2)( ) 212122
22
21
21
222112211 2 ,,~ σσρ+σ+σ=σσ+Φ+ aaaaundemama X a X a
Dacă 021 == mm şi 121 =σ=σ se spune că distribuţia este normală
bidimensională standard cu coeficient de corelaţie ρ , iar pentru funcţia de
repartiţie a acestei distribuţii există formule de
aproximare (vezi de exemplu Hull - 2006).
( ) ( )∫ ∫∞− ∞−
=ρ x y
dt dt t t f y x N 212122 ,:;,
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 107/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
IX.2 Mi şcarea browniană bidimensional ă
( ) ( ) ( )( t Bt Bt B 21 ,= ) este proces Wiener bidimensional (mişcare browniană
bidimensională) cu coeficient de corelaţie ρ dacă:
1) ;( ) ( ) 000 21 == B B
2) Variaţia procesului între două momente de timp ( ) ( )t BT B − este independentă de
informaţiile acumulate până la momentul t ;
3) ( ) ( )( )
( ) ⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛ Φ−
t T t T
t T t T t BT B
ρ
ρ ,
0
0~ 2 .
Pentru un interval scurt de timp variaţia procesului are următoare
distribuţie:
dt
( )( )( ) ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ Φ⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ =
dt dt
dt dt
t dB
t dBt dB
ρ
ρ ,
0
0~ 2
2
1 (9.3)
Pentru a pune în evidenţă coeficientul de corelaţie ρ se foloseşte notaţia
( ) ( ) dt t dBt dB ρ =21 .
IX.3 Proces de difuzie bidimensional şi lema Ito bidimensional ă
Fie ( ) ( ) ( )( )t xt xt x 21 ,= un proces de difuzie bidimensional:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) dt t dBt dBunde
t dBt xt xt bdt t xt xt at dx
t dBt xt xt bdt t xt xt at dx ρ =
⎩⎨⎧
+=
+=21
22122122
12112111 ,,,,,
,,,,
şi fie o funcţie . R R RG →×+2:
105
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 108/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Ne interesează variaţia lui ( ) ( )( )t xt xt G 21 ,, . Aplicând lema Ito pentru procese
de difuzie bidimensionale rezultă că:
22
211
1
21
2
2122
2222
1
22
12
21
1
21
21
dz x
Gbdz
x
Gb
dt x xGbb
xGb
xGb
xGa
xGa
t GdG
∂∂
+∂∂
+
+⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜
⎝ ⎛
∂∂∂ρ+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂+
∂∂=
(9.4)
IX.4 Evolu ţ ia cursului a două active
Modelul BSM bidimensional presupune că pe piaţă există două active
financiare al căror curs verifică următorul sistem de ecuaţii diferenţiale stocastice:
dt dBdBundedBS dt S dS
dBS dt S dS ρ
σ μ
σ μ =
⎩⎨⎧
+=
+=21
222222
111111 , (9.5)
In continuare vom determina repartiţiile cursurilor celor două active la
momentul T . Astfel, aplicând lema lui Ito bidimensională pentru funcţiile
respectiv obţinem că:
1ln S
2ln S
( )
( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
+−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
+−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=
22
22
22
11
21
11
2ln
2ln
dBt T S d
dBt T S d
σ σ
μ
σ σ
μ
(9.6)
Prin integrare de la lat T rezultă că :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )
( ) ( ) ( ) ( ) (( )⎪⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
−+−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−
−+−⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ −=−
t BT Bt T t S T S
t BT Bt T t S T S
222
22
222
111
21
111
2lnln
2lnln
σ σ
μ
σ σ
μ
)
106
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 109/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Deci
( )( )
( ) ( )( )( ) ( )( )
( ) ( )( ) ( )
⎟
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−
−−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
−−+
−−+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
t T t T
t T t T
t T t S
t T t S
T S
T S
m
2221
2121
2222
2111
22
1 ,2ln
2ln~
ln
ln
σ σ ρσ
σ ρσ σ
σ μ
σ μ Φ
Utilizând repartiţia la momentul T al cursurilor celor două active, se poate
calcula probabilitatea ca la momentul T să avem că ( ) ( )T S T S 21 > . Astfel, utilizând
proprietatea (9.2) rezultă că:
( ) ( ) ⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛ −σ−Φ−
μ
v X
t T mmT S T S ,~lnln 2121 unde 2122
21
2 2 σρσ−σ+σ=σ
Dar ( )1,0~ N v
X −, deci:
( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )
⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ μ
−−=⎟ ⎠ ⎞
⎜⎝ ⎛ μ
−>μ−
=
>=>=>
v N
vv
X P
X P T S T S P T S T S P
1
0lnln 2121
(9.7)
IX.5 Op ţ iuni curcubeu
Opţiunile curcubeu sunt produse financiare al căror payoff la scadenţă (T)
depinde de şi . Deci pot fi considerate derivative care au două active
suport.
( )T S 1 ( )T S 2
Prima la momentul al unui astfel de derivativ va depinde .
Vom nota această primă cu .
T t < ( ) ( )t S t S t 21
,,
( )21,, S S t D
5.1 Ecua ţ ia de evaluare a unei op ţ iuni curcubeu
Vom considera un portofoliu format dintr-o poziţie -1 pe derivativ, pe
primul activ suport şi pe cel de al doilea activ suport:
1h
2h
107
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 110/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
2211 S hS h D ++−=Π (9.8)
Variaţia valorii acestui portofoliu este (folosind (9.4) şi (9.5)):
2211 dS hdS hdDd ++−=Π
( ) ( 22222211111122
2211
11
21
2
212122
222
222
1
221
21
222
111
2
1
2
1
dBS dt S hdBS dt S hdBS
DS dB
S
DS
dt S S
DS S
S
DS
S
DS
S
DS
S
DS
t
D
σ μ σ μ σ σ
σ ρσ σ σ μ μ
++++⎥⎦
⎤
∂∂
+∂∂
+
⎢⎣
⎡+⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−=
)
(9.9)
2
1
2
1
22
22211
111
21
2
212122
222
222
1
221
21
222
1112212111
dBS
DhS dB
S
DhS
dt S S
DS S
S
DS
S
DS
S
DS
S
DS
t
DS hS h
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−+⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
−+
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−+=
σ σ
σ ρσ σ σ μ μ μ μ
Pentru ca Π să fie portofoliu f ăr ă risc trebuie ca
11 S
D
h ∂∂
= şi 22 S
D
h ∂∂
= (9.10)
Deoarece nu există posibilităţi de arbitraj trebuie ca portofoliul f ăr ă risc să
aibă rentabilitatea egală cu rata dobânzii f ăr ă risc:
Π
dt r d Π=Π (9.11)
Folosind (9.9),(9.10) şi (9.11) avem că:
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂
+∂∂
+−=⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
σρσ+∂∂
σ+∂∂
σ+∂∂
− 22
1121
2
212122
222
222
1
221
21 S
S
DS
S
DDr
SS
DSS
S
DS
2
1
S
DS
2
1
t
D
De aici rezultă ecuaţia de evaluare pentru o opţiune curcubeu:
108
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 111/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
rDS S
DS S
S
DS
S
DS
S
DrS
S
DrS
t
D=
∂∂∂
σρσ+∂∂
σ+∂∂
σ∂∂
+∂∂
+∂∂
21
2
212122
222
222
1
221
21
22
11 2
1
2
1(9.12)
Ecuaţia (9.12) este verificată de prima oricărei opţiuni curcubeu. Pentru a afla prima pentru o opţiune anume trebuie pusă şi o condiţie la scadenţă (T) şi anume:
( ) optiune Payoff S S T D =21,, (9.13)
Ecuaţia (9.12) este un caz particular al ecuaţiei fundamentale de evaluare a
activelor financiare obţinută în capitolul V. In acest capitol demonstraţia a fost
realizată prin utilizarea principiului arbitrajului (Altăr - 2008).
5.2 Tipuri op ţ iuni curcubeu
1) Opţiunea de a schimba cele două active (Spread options)
( ) ( )( )0,max 21 T S T S Payoff Spread −= (9.14)
Prima acestei opţiuni la momentul T t < va fi:
( ) ( ) ( )221121,, d N S d N S S S t Spread −= (9.15)
unde:
( ) ( )
t T
t T S S
d −σ
−σ
+
= 2
ln2
21
1 t T d d −σ−= 12 2122
21
2
2 σρσ−σ+σ=σ
Demonstraţie
Se observă că putem scrie payoff-ul opţiunii spread astfel:
21,
20,1
21max20,
21max S S T H S S S S S S =−=− unde ( ) ( )0,1max:, −= x xT H
109
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 112/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Datorită formei payoff-ului vom căuta o soluţie a ecuaţiei de evaluare (9.12)
de forma:
21,
22,
1, S S t H S S S t D =
Făcând schimbarea de variabilă 21
S S x = , vom căuta să obţinem o ecuaţie
diferenţială cu derivate par ţiale pentru ( ) xt H , (care să semene cu ecuaţia Black-Scholes
a cărei soluţie o ştim) . Avem că:
2xH
2
2
2S
1S
2S
1S
D2
;2xH
2
3
2S
2
1S
22
SD
2;
2xH
2
2S1
21
SD
2;
xH
2S
1S
H
2SD;
xH
1SD;
tH
2S
tD
∂∂−=
∂∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂−=
∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
Înlocuind in ecuaţia (9.12) derivatele par ţiale de mai sus şi folosind
schimbarea de variabilă obţinem următoarea ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale
pentru ( ) xt H , :
0
2
222
2
1=
∂
∂σ+
∂
∂
x
H x
t
H
cu condiţia pe frontier ă ( ) ( )0,1max:, −= x xT H .
Se observă că aceasta este ecuaţia de evaluare a unei opţiuni call pentru cazul
în care . Deci1,0 == K r
( )21
:, d N d xN xt H −=
Dar 21
,22
,1
, S S t H S S S t Spread = şi se obţine (9.15)
2) Opţiunea de a „livra” activul mai scump
( ) ( )( )T S T S Payoff Optmax 21 ,max=
( ) ( ) ( )( ) ( )Spread Payoff T S T S T S T S +=−+= 2212 0,max (9.16)
110
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 113/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Folosind principiul arbitrajului rezultă că prima acestei opţiuni la momentul
va fi:T t <
( ) ( ) ( )21221 ,,,, S S t Spread t S S S t Optmax += (9.17)
3) Opţiunea de a „livra” activul mai ieftin
( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )0,min,min 12121 T S T S T S T S T S Payoff Optmin−+==
( ) ( ) ( )( ) ( ) Spread Payoff T S T S T S T S −=−−= 1211 0,max (9.18)
Folosind principiul arbitrajului avem că prima acestei opţiuni la momentul
va fi:T t <
( ) ( ) ( )21121 ,,,, S S t Spread t S S S t Optmin −= (9.19)
4) Opţiunea de a „livra” activul mai scump sau o sumă de bani
( ) ( )( ) K T S T S Payoff Optmaxcash ,,max 21= (9.20)
Prima acestei opţiuni este dată de:
( ) ( )ρ−σ+−−σ+−−−
+
+ρδ−−δ+ρδ−−δ=
;22,
12
2;
2,
22221;
1,
12112,
1,
1 t T d t T d N t T r
Ke
d N N S d N N S S S t Optmaxcash
unde
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
21222
21
2 ,21
2 ,12
1
2
2
1ln
2 ,2
2
1ln
1
2
2
2ln
2 ,2
2
11ln
1
22
2
σρσ−σ+σ=σσ
σ−ρσ=ρ
σ
σ−ρσ=ρ
−σ
−σ
+
=δ−σ
−σ
+
=δ
−σ
−σ
+
=−σ
−σ
+
=
t T
t T S S
t T
t T S S
t T
t T K S
d
t T
t T K S
d
111
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 114/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
5) Opţiuni call şi put pe maximul a două active
( ) ( )( )( )0,,maxmax 21max K T S T S Payoff c −=
( ) ( )( )( )0,,maxmax 21max T S T S K Payoff p −= (9.21)
Se poate ar ăta că există următoarele relaţii de paritate:
1) ( ) ( ) ( )t T r KeS S t OptmaxcashS S t c −−−= 2121max ,,,,
2) ( ) ( ) ( ) ( )2121max21max ,,,,,, S S t OptmaxS S t p KeS S t c t T r +=+ −− (9.22)
6) Opţiuni call şi put pe maximul a două active
( ) ( )( )( )0,,minmax 21min K T S T S Payoff c −=
( ) ( )( )( )0,,minmax 21minT S T S K Payoff p −= (9.24)
Se poate ar ăta că există următoarele relaţii de paritate:1) ( ) ( ) ( ) ( K ,S,tcK ,S,tcS,S,tcS,S,tc 2esBlackSchol1esBlackSchol21min21max )+=+
2) ( ) ( ) ( ) ( )2121min21min ,,,,,, S S t OptminS S t p KeS S t c t T r +=+ −− (9.25)
IX.6 Op ţ iuni quanto
Quanto-urile sunt derivative tranzacţionate într-o ţar ă (de exemplu SUA) şi
care au ca suport un activ financiar tranzacţionat într-o altă ţar ă (de exemplu indicele
Nikkei din Japonia). Fiind tranzacţionat în SUA payoff-ul unui quanto este exprimat
în USD.
Vom nota cu:
S - cursul indicelui Nikkei exprimat în JPY
Q - cursul valutar USD/JPY (1 JPY = Q USD)
r - rata dobânzii în SUA
112
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 115/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
f r - rata dobânzii în Japonia
Prima la momentul al unui astfel de derivativ va depinde .
Vom nota această primă cu .
T t < ( ) ( )tQ,tS,t
( )Q,S,tD
Variaţia în timp a celor doi factori de influenţă este dată de:
(9.26)( ) dt dBdBundeQdBQdt r dQ
SdBSdt dS QS
QQ f Q
S S S ρ
σ μ
σ μ =
⎩⎨⎧
+−=
+= ,
6.1 Ecua ţ ia de evaluare a unui quanto
Vom considera un portofoliu format dintr-o poziţie -1 pe derivativ, yeni şi
unităţi din indicele Nikkei. Valoarea portofoliului (exprimată în USD) este:
Qh
Sh
SQhQhD SQ ++−=Π (9.27)
Variaţia valorii acestui portofoliu este (folosind (9.4) şi (9.26)):
( )
in USD exprimata yeniladobinda
f QSQ Qdtr hSQdhdQhdDd +++−=Π
( )
( )( )
( )[ ]QQS S QS f QS S
f QQQ f QQQQS S
QS QS f QS
SQdBSQdBSQdt r h
Qdt r hQdBQdt r hdBQ
DQdB
S
DS
dt QS
DSQ
Q
DQ
S
DS
Q
DQr
S
DS
t
D
σ σ σ ρσ μ μ
σ μ σ σ
σ ρσ σ σ μ μ
+++−++
++−+⎥⎦
⎤
∂∂
+∂∂
+⎢
⎢
⎣
⎡+⎟
⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛
∂∂∂
+∂∂
+∂∂
+∂∂
−+∂∂
+∂∂
−=
2
1
2
1 2
2
222
2
222
113
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 116/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
( ) dtQS
DSQ
Q
DQ
2
1
S
DS
2
1
Q
DQr
S
DS
t
D
SQr hQh
2
QS2
222
Q2
222
Sf QS
QSf QSSQQ
⎥⎥⎦
⎤
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
σρσ+∂∂
σ+∂∂
σ+∂∂
−μ+∂∂
μ+∂∂
−
−σρσ+−μ+μ+μ=
QS QQS S S dBQ
DS hhQdBS
DQhS ⎟⎟ ⎠ ⎞⎜⎜⎝ ⎛ ∂∂−++⎟ ⎠ ⎞⎜⎝ ⎛ ∂∂−+ σ σ (9.28)
Pentru ca Π să fie portofoliu f ăr ă risc trebuie ca
S
D
Q
1hS ∂
∂= şi
S
D
Q
S
Q
DhQ ∂
∂−
∂∂
= (9.29)
Deoarece nu există posibilităţi de arbitraj trebuie ca portofoliul f ăr ă risc să
aibă rentabilitatea egală cu rata dobânzii f ăr ă risc:
Π
dt r d Π=Π (9.30)
Folosind (9.28),(9.29) şi (9.30) avem că:
( )
⎟⎟ ⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ ∂∂
+−=
=⎟⎟ ⎠
⎞
⎜⎜⎝
⎛
∂∂∂
σρσ+∂∂
σ+∂∂
σ+∂∂
−∂∂
σρσ−+∂∂
−
Q
DQDr
QS
DSQQ
DQ2
1
S
DS2
1
Q
DQr S
DSr t
D 2
QS2
222
Q2
222
Sf QSf
De aici rezultă ecuaţia de evaluare pentru un quanto:
( ) ( ) rD
QS
DSQ
Q
DQ
2
1
S
DS
2
1
Q
DQr r
S
DSr
t
D 2
QS2
222
Q2
222
Sf QSf =
∂∂
∂σρσ+
∂
∂σ+
∂
∂σ+
∂
∂−+
∂
∂σρσ−+
∂
∂(9.31)
Ecuaţia (9.31) este verificată de prima oricărui quanto. Pentru a afla prima
pentru o opţiune anume trebuie pusă şi o condiţie la scadenţă (T):
( ) optiunePayoff Q,S,TD = (9.32)
114
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 117/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
6.2 Tipuri de quanto
1) Opţiuni quanto cu pretul de exerciţiu (K) fixat în JPY
Payoff-ul în SUA va fi:
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0,K TSmaxTQ0,TKQTQTSmaxPayoff Quantocall −=−=
( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )0,TSK maxTQ0,TQTSTKQmaxPayoff Quantoput −=−= (9.33)
Prima opţiunii call la momentul T t < va fi:
( ) ( ) ( ) ( )( )2tTr
1 d NKedSNQQ,S,tQuantocall f −−−= (9.34)
unde:
( ) ( )
tT
tT2
r K Sln
dS
2S
f
1−σ
−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛ σ++
= tTdd S12 −σ−=
Deci în cazul în care preţul de exerciţiu este fixat în JPY (variabil în USD)
prima call pe piaţa americană va fi egală cu prima call de pe piaţa japoneză (rata
dobânzii din Japonia este ) transformată în USD.f r
Demonstraţie
Se observă că putem scrie payoff-ul opţiunii call astfel:
( ) ( )S,TQH0,K SmaxQ =− unde ( ) ( )0,K Smax:S,TH −=
Datorită formei payoff-ului vom căuta o soluţie a ecuaţiei de evaluare (9.31)
de forma:
( ) ( )S,tQHQ,S,tD =
115
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 118/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Vom căuta să obţinem o ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale pentru ( )S,tH .
Avem că:
SH
QSD2;0
2Q
D2;2S
H2Q2S
D2;HQD;
SHQ
SD;
tHQ
tD
∂∂=
∂∂∂=
∂
∂
∂
∂=∂
∂=∂∂
∂∂=
∂∂
∂∂=
∂∂
Înlocuind in ecuaţia (9.31) derivatele par ţiale de mai sus obţinem următoarea
ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale pentru ( )S,tH :
Hf
r 2x
H22
S2
2
1
S
HS
f r
t
H
S=
∂
∂σ+
∂
∂+
∂
∂
cu condiţia pe frontier ă ( ) ( )0,K Smax:S,TH −= .
Dar această ecuaţie este chiar ecuaţia de evaluare pentru o opţiune call de tip
european pe indicele Nikkei evaluat pe piaţa japoneză (rata dobânzii din Japonia fiind
)f r
2) Opţiuni quanto cu pretul de exerciţiu (K) fixat în USD
Payoff-ul în SUA va fi:
( ) ( )( )0,K TQTSmaxPayoff Quantocall −=
( ) ( )( )0,TQTSK maxPayoff Quantoput −= (9.35)
Prima opţiunii call la momentul
T t < va fi:
( ) ( ) ( ) ( )2tTr
1 d NKedSQNQ,S,tQuantocall −−−= (9.36)
unde:
( ) ( )
tT
tT
2
r K SQln
d
2
1−σ
−⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜
⎝
⎛ σ++
= tTdd 12 −σ−= QS2Q2S2 2 σρσ+σ+σ=σ
116
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 119/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Demonstraţie
Se observă că putem scrie payoff-ul opţiunii call astfel:
( ) ( )SQ,TH0,K SQmax =− unde ( ) ( )0,K xmax:x,TH −=
Datorită formei payoff-ului vom căuta o soluţie a ecuaţiei de evaluare (9.31)
de forma:
( ) ( )SQ,tHQ,S,tD =
Facem schimbarea de variabilă SQ x = . Vom căuta să obţinem o ecuaţie
diferenţială cu derivate par ţiale pentru. Avem că:
x
H
x
H SQ
QS
D
x
H S
Q
D
x
H Q
S
D
x
H S
Q
D
x
H Q
S
D
t
H
t
D
∂
∂+
∂
∂=
∂∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
∂
∂=
∂
∂
2
22;
2
22
2
2;
2
22
2
2;;;
Inlocuind in ecuaţia (9.31) derivatele par ţiale de mai sus şi folosind
schimbarea de variabilă obţinem următoarea ecuaţie diferenţială cu derivate par ţiale
pentru ( )x,tH :
Hr 2x
H22
x2
2
1
x
Hxr
t
H=
∂
∂σ+
∂
∂+
∂
∂
cu condiţia pe frontier ă ( ) ( )0,K xmax:x,TH −= .
Deci
( ) ( ) ( ) ( )2
d NtTr
Ke1
dxNx,tH−−
−= .
117
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 120/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Bibliografie
Altăr, M., (2008), Inginerie financiar ă, Editura ASE
Cuculescu, I., (1998), Teoria probabilit ăţ ilor, Editura All
Cuculescu, I., (1979). Elemente de teoria proceselor stocastice, Editura Universităţii
Bucureşti
Bjork, T., (1998), Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press.
Black, F., şi M. Scholes, (1973), "The pricing of options and corporate liabilities,"
Journal of Political Economy 81, 637-659.
Fleming, W., şi R. Rishel, (1975), Deterministic and Stochastic Optimal Control ,
Springer Verlag.
Hull, J., (2006), Options, Futures, and other Derivatives, Prentice Hall.
Ikeda, N. şi S. Watanabe, (1989), Stochastic differential equations and diffusion processes, North Holland, Amsterdam.
Ito, K. şi H.P. McKean, (1965), Diffusion processes and their sample paths, Springer-
Verlag , Berlin
Karatzas, I. şi S. E. Shreve, (1991), Brownian Motion and Stochastic Calculus,
Springer-Verlag, New York
Licea , G., (1979), Martingale şi aplica ţ ii, Editura Universităţii Bucureşti
Merton, R. C., (1973a), "An Intertemporal Capital Asset Pricing Model,"
Econometrica 41, 867-888.
Merton, R. C., (1973b), "Theory of Rational Option Pricing," Bell Journal of
Economics and Management Science 4, 141-184.
Merton, R. C., (1976), "Option Pricing When Underlying Stock Returns Are
Discontinuous," Journal of Financial Economics 3, 125-145.
118
7/27/2019 Ciprian Necula - Evaluarea Optiunilor Financiare - Vol 1
http://slidepdf.com/reader/full/ciprian-necula-evaluarea-optiunilor-financiare-vol-1 121/121
Ciprian Necula – Evaluarea op ţ iunilor financiare – volumul I
Musiela, M., şi M. Rutkowski, (1997), Martingale Methods in Financial Modelling ,
Springer Verlag.
Oksendal, B., (2000), Stochastic Differential Equations ( 5th Edition), Springer
Verlag.
Protter, P., (1992), Stochastic Integration and Differential Equations, Springer
Verlag.
Revuz, D. şi M. Yor, (1991), Continuous martingales and brownian motion, Springer-
Verlag, Berlin
Shreve, S. (1997), Stochastic Calculus and Finance, lecture notes, Carnegie Mellon
University
Stoica, G., (1999), Introducere în studiul mi şcării browniene, Editura Universităţii
Bucureşti