Chapitre 16 : Algèbre linéaire
Définition d’un espace vectoriel
Un ensemble E est appelé un espace vectoriel sur R (ou un R
espace vectoriel) si :
Définition d’un espace vectoriel
Un ensemble E est appelé un espace vectoriel sur R (ou un R
espace vectoriel) si :1) E est muni d’une addition, notée +, qui vérifie les propriétéssuivantes :
i) ∀(u, v ) ∈ E 2, on a u + v ∈ E (on reste dans l’ensemble Elorsqu’on effectue une addition).
ii) ∀(u, v ) ∈ E 2, on a u + v = v + u (l’addition est commuta-tive)
iii) ∀(u, v , w) ∈ E 3, on a (u + v ) + z = u + (v + z) (l’additionest associative)
iv) il existe un élément neutre dans E , noté 0E , qui vérifie :∀u ∈ E , u + 0E = 0E + u = u
v) ∀u ∈ E , ∃v ∈ E , u + v = v + u = 0E . On note alorsv = −u (pour chaque élément de E, il existe un opposé)
2) E est muni d’une multiplication par un réel, notée ·, qui vérifie :
i) ∀λ ∈ R, ∀u ∈ E , on a λ · u ∈ E (on reste dans E en multi-pliant par un réel)
ii) ∀u ∈ E , on a 1 · u = u
iii) ∀λ ∈ R, ∀(u; v ) ∈ E 2, on a λ · (u + v ) = λ · u + λ · v (distri-butivité 1)
iv) ∀(λ, µ) ∈ R2, ∀u ∈ E , on a (λ+ µ) · u = λ · u + µ · u (distri-
butivité 2)
v) ∀(λ, µ) ∈ R2, ∀u ∈ E , on a λ · (µ · u) = (λµ) · u
Les éléments d’un espace vectoriel sont appelés les vecteurs.
Exemple 1
Exemple
Parmi les ensembles suivants, lesquels vous semblent être desespaces vectoriels ?
i) N ;
ii) [0, 1] ;
iii) C 0 ([0, 1]) ;
iv) M3,1(R).
Correction de l’exemple 1
i Non ! N n’est pas stable par passage à l’opposé : 2 ∈ N, mais−2 /∈ N.
Correction de l’exemple 1
i Non ! N n’est pas stable par passage à l’opposé : 2 ∈ N, mais−2 /∈ N.
ii Non ! Même raison que ci-dessus, [0, 1] n’est pas stable par
passage à l’opposé :12
∈ [0, 1], mais −12
/∈ [0, 1].
Correction de l’exemple 1
i Non ! N n’est pas stable par passage à l’opposé : 2 ∈ N, mais−2 /∈ N.
ii Non ! Même raison que ci-dessus, [0, 1] n’est pas stable par
passage à l’opposé :12
∈ [0, 1], mais −12
/∈ [0, 1].
iii Oui ! C 0 ([0, 1]) est un espace vectoriel.
Correction de l’exemple 1
i Non ! N n’est pas stable par passage à l’opposé : 2 ∈ N, mais−2 /∈ N.
ii Non ! Même raison que ci-dessus, [0, 1] n’est pas stable par
passage à l’opposé :12
∈ [0, 1], mais −12
/∈ [0, 1].
iii Oui ! C 0 ([0, 1]) est un espace vectoriel.
iv Oui ! M3,1 (R) est un espace vectoriel.
Exemples classiques d’espaces vectoriels
ThéorèmeLes ensembles suivants, munis des opérations + et · classiques,sont des espaces vectoriels :
i) Mn,p(R), l’ensemble des matrices à n lignes et p colonnes (n ∈N
∗, p ∈ N∗) ;
ii) R[X ], l’ensemble des polynômes réels, Rn [X ] l’ensemble despolynômes réels de degré au plus n ;
iii) l’ensemble des suites réelles ;
iv) l’ensemble des fonctions de I dans R, où I est un intervalle deR ;
v) C k (I) (k ∈ N ∪ {∞}) l’ensemble des fonctions de classe C k
sur I.
Exemple 2
Exemple
Soient u =
10
−1
, v =
3−12
, w =
(
10
)
, x =
(
01
)
,
y =
12
−21
, z =
−1−22
−1
. Soient P(X ) = −X 2 + 1 et
Q(X ) = 2X 2 − X + 3. Soient A =
(
1 2−2 1
)
et B =
(
−1 −22 −1
)
.
Soient λ et µ deux réels.
i) Calculer, en précisant les espaces vectoriels concernés :
2u − 3v , λw + µx ,12(3y + z) − y .
ii) Expliciter le polynôme 2P(X ) − 3Q(X ) et comparer le résultatà un des calculs précédents.
iii) Expliciter la matrice12(3A + B) − A et comparer le résultat à
un des calculs précédents.
Correction de l’exemple 2i)
• u et v appartiennent à M3,1 (R) et
2u − 3v = 2
10
−1
− 3
3−12
=
−73
−8
.
Correction de l’exemple 2i)
• u et v appartiennent à M3,1 (R) et
2u − 3v = 2
10
−1
− 3
3−12
=
−73
−8
.
• w et x appartiennent à M2,1 (R) et
λw + µx = λ
(
10
)
+ µ
(
01
)
=
(
λ
µ
)
.
Correction de l’exemple 2i)
• u et v appartiennent à M3,1 (R) et
2u − 3v = 2
10
−1
− 3
3−12
=
−73
−8
.
• w et x appartiennent à M2,1 (R) et
λw + µx = λ
(
10
)
+ µ
(
01
)
=
(
λ
µ
)
.
• y et z appartiennent à M4,1 (R) et12(3y + z) − y =
32
y +12
z − y =12
y +12
z . On a donc :
12
y +12
z =12
12
−1−2
+12
−1−22
−1
=
0000
.
ii) On a :
2P (X ) − 3Q (X ) = 2(
−X 2 + 1)
− 3(
2X 2 − X + 3)
= −2X 2 + 2 − 6X 2 + 3X − 9
= −8X 2 + 3X − 7.
ii) On a :
2P (X ) − 3Q (X ) = 2(
−X 2 + 1)
− 3(
2X 2 − X + 3)
= −2X 2 + 2 − 6X 2 + 3X − 9
= −8X 2 + 3X − 7.
iii) On a :
12(3A + B) − A =
12
A +12
B
=12
(
1 2−2 1
)
+12
(
−1 −22 −1
)
=
(
0 00 0
)
.
Combinaison linéaire
Définition (Combinaison linéaire)
Soit E un espace vectoriel. On appelle combinaison linéaire d’unefamille (e1, e2, . . . , en) de vecteurs d’un espace vectoriel E toutvecteur x de E de la forme x = λ1e1 + λ2e2 + · · · + λnen, où(λ1, λ2, . . . , λn) ∈ R
n.
Exemple 3
Si possible, écrire
i)
(
11
)
et
(
3−2
)
comme combinaisons linéaires de la famille((
10
)
,
(
01
))
.
ii)
(
00
)
et
(
3−2
)
comme combinaisons linéaires de la famille((
−1−1
)
,
(
21
))
.
iii)
(
11
)
et
(
3−2
)
comme combinaisons linéaires de la famille((
33
)
,
(
22
))
.
iv)
332
et
10
−1
comme combinaisons linéaires de la famille
111
,
210
,
011
.
v) Écrire 2X 2 + 3X − 1 comme combinaison linéaire de la famille(1, X , X 2).vi) Écrire 2X 2 + 3X − 1 comme combinaison linéaire de la famille(1, X + 1, X 2 + X + 1).
i) On a :(
11
)
= 1 ×
(
10
)
+ 1 ×
(
01
)
et
(
3−2
)
= 3 ×
(
10
)
− 2 ×
(
01
)
.
i) On a :(
11
)
= 1 ×
(
10
)
+ 1 ×
(
01
)
et
(
3−2
)
= 3 ×
(
10
)
− 2 ×
(
01
)
.
ii) Ici, trouver une combinaison linéaire est moins facile queci-dessus. On procède autrement.
• On cherche deux éventuels réels α et β tels que(
00
)
= α
(
−1−1
)
+ β
(
21
)
. On a le système suivant :
{
−α + 2β = 0
−α + β = 0⇐⇒
{
α = 0
β = 0.
i) On a :(
11
)
= 1 ×
(
10
)
+ 1 ×
(
01
)
et
(
3−2
)
= 3 ×
(
10
)
− 2 ×
(
01
)
.
ii) Ici, trouver une combinaison linéaire est moins facile queci-dessus. On procède autrement.
• On cherche deux éventuels réels α et β tels que(
00
)
= α
(
−1−1
)
+ β
(
21
)
. On a le système suivant :
{
−α + 2β = 0
−α + β = 0⇐⇒
{
α = 0
β = 0.
• On cherche deux éventuels réels α et β tels que(
3−2
)
= α
(
−1−1
)
+ β
(
21
)
. On a le système suivant :
{
−α + 2β = 3
−α + β = −2⇐⇒
{
−α+ 2β = 3
−β = −5⇐⇒
{
β = 5
α = 7.
iii)
• On remarque que l’on a
(
11
)
= 1 ×
(
33
)
+ (−1) ×
(
22
)
.
iii)
• On remarque que l’on a
(
11
)
= 1 ×
(
33
)
+ (−1) ×
(
22
)
.
• Ici, c’est moins clair, on résout un système. On cherche deux
éventuels réels α et β tels que
(
3−2
)
= α
(
33
)
+ β
(
22
)
. On
a le sysème suivant :
{
3α + 2β = 3
3α + 2β = −2⇐⇒
{
3α + 2β = 3
0 = −5.
Ce système n’a pas de solution, donc
(
3−2
)
n’est pas
combinaison linéaire de
(
33
)
et
(
22
)
.
v) On constate facilement que
2X 2 + 3X − 1 = 2 × X 2 + 3 × X + (−1) × 1.
v) On constate facilement que
2X 2 + 3X − 1 = 2 × X 2 + 3 × X + (−1) × 1.
(Oui, c’est simple l’algèbre linéaire !)
vi) Ici, trouver une combinaison linéaire n’est pas claire. On résoutun système. On cherche trois éventuels réels α, β et γ tels que2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×
(
X 2 + X + 1)
.
vi) Ici, trouver une combinaison linéaire n’est pas claire. On résoutun système. On cherche trois éventuels réels α, β et γ tels que2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×
(
X 2 + X + 1)
. On a :
2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×(
X 2 + X + 1)
⇐⇒ 2X 2 + 3X − 1 = α + βX + β + γX 2 + γX + γ
⇐⇒ 2X 2 + 3X − 1 = (α + β + γ) + (β + γ)X + γX 2
vi) Ici, trouver une combinaison linéaire n’est pas claire. On résoutun système. On cherche trois éventuels réels α, β et γ tels que2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×
(
X 2 + X + 1)
. On a :
2X 2 + 3X − 1 = α × 1 + β × (X + 1) + γ ×(
X 2 + X + 1)
⇐⇒ 2X 2 + 3X − 1 = α + βX + β + γX 2 + γX + γ
⇐⇒ 2X 2 + 3X − 1 = (α + β + γ) + (β + γ)X + γX 2
En identifiant les coefficients, on récupère :
α + β + γ = −1
β + γ = 3
γ = 2
⇐⇒
α = −4
β = 1
γ = 2
.
Base d’un espace vectoriel.
Définition (Base d’un espace vectoriel)
On appelle base canonique :
i) de M2,1(R) la famille
((
10
)
,
(
01
))
et de M3,1(R) la famille
100
,
010
,
001
.
ii) de Mn,1(R) la famille
10...0
, . . . ,
0...01
. Elle est donc consti-
tuée de n vecteurs.
iii) de R[X ] la famille
(
1, X , X 2, X 3, . . . , X n, . . .)
.
Propriété fondamentale des bases.
Proposition (Propriété des bases)
Tout vecteur s’écrit de manière unique comme combinaisonlinéaire des vecteurs de la base canonique.
Exemple 4
Exemple
Décomposer dans les bases canoniques respectives :
(
3−1
)
,
210
,
2X 2 + 3X − 1 et (X + 1)2.
Correction de l’exemple 4
i) On a :(
3−1
)
= 3 ×
(
10
)
+ (−1) ×
(
01
)
.
Correction de l’exemple 4
i) On a :(
3−1
)
= 3 ×
(
10
)
+ (−1) ×
(
01
)
.
ii) On a :
210
= 2 ×
100
+ 1 ×
010
+ 0 ×
001
.
Correction de l’exemple 4
i) On a :(
3−1
)
= 3 ×
(
10
)
+ (−1) ×
(
01
)
.
ii) On a :
210
= 2 ×
100
+ 1 ×
010
+ 0 ×
001
.
iii) On a :
2X 2 + 3X − 1 = 2 × X 2 + 3 × X + (−1) × 1.
Correction de l’exemple 4
i) On a :(
3−1
)
= 3 ×
(
10
)
+ (−1) ×
(
01
)
.
ii) On a :
210
= 2 ×
100
+ 1 ×
010
+ 0 ×
001
.
iii) On a :
2X 2 + 3X − 1 = 2 × X 2 + 3 × X + (−1) × 1.
iv) On a :
(X + 1)2 = X 2 + 2X + 1 = 1 × X 2 + 2 × X + 1 × 1.