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Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité
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Définition (Fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire. On définit sur R la fonction de
répartition de F , notée FX par :
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Définition (Fonction de répartition)
Soit X une variable aléatoire. On définit sur R la fonction de
répartition de F , notée FX par :
∀x ∈ R, FX (x) = P (X ≤ x) .
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Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
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Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
• FX est croissante sur R ;
![Page 6: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/6.jpg)
Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
• FX est croissante sur R ;
• limx→−∞
FX (x) = 0 et limx→+∞
FX (x) = 1 ;
![Page 7: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/7.jpg)
Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
• FX est croissante sur R ;
• limx→−∞
FX (x) = 0 et limx→+∞
FX (x) = 1 ;
• FX est continue à droite en tout point de R et admet une limite
à gauche en tout point ;
![Page 8: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/8.jpg)
Proposition (Propriétés des fonctions de répartition)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
Alors,
• FX est croissante sur R ;
• limx→−∞
FX (x) = 0 et limx→+∞
FX (x) = 1 ;
• FX est continue à droite en tout point de R et admet une limite
à gauche en tout point ;
• pour tout x0 ∈ R, FX est continue en x0 si, et seulement si,
P (X = x0).
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Proposition (Caractérisation de la loi)
Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même
loi, si et seulement si, FX = FY .
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Proposition (Caractérisation de la loi)
Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même
loi, si et seulement si, FX = FY .
Définition (Variable aléatoire à densité)
Soit X une variable aléatoire et soit FX sa fonction de répartition.
On dit que X est une variable aléatoire à densité si FX est
continue sur R et de classe C 1 sur R, sauf éventuellement en un
nombre fini de points.
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Définition (Densité)
Soit X une variable aléatoire à densité. On définit une densité fXde X par :
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Définition (Densité)
Soit X une variable aléatoire à densité. On définit une densité fXde X par :
∀x ∈ R, fX (x) =
F ′X(x) si FX est dérivable en x
0 sinon.
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Proposition (Lien entre la fonction de répartition et unedensité)
Soit X une variable aléatoire à densité dont on note FX la fonction
de répartition et fX une densité. Alors, pour tout x ∈ R, l’intégrale∫
x
−∞fX (t) dt converge et
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Proposition (Lien entre la fonction de répartition et unedensité)
Soit X une variable aléatoire à densité dont on note FX la fonction
de répartition et fX une densité. Alors, pour tout x ∈ R, l’intégrale∫
x
−∞fX (t) dt converge et
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
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Proposition (Proposition fondamentale des variables à densité)
Soit X une variable aléatoire réelle à densité dont on note fX une
densité et FX la fonction de répartition. Alors, pour tout
(a, b) ∈ R2 avec a < b, on a :
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Proposition (Proposition fondamentale des variables à densité)
Soit X une variable aléatoire réelle à densité dont on note fX une
densité et FX la fonction de répartition. Alors, pour tout
(a, b) ∈ R2 avec a < b, on a :
P (a < (≤)X < (≤)b) = FX (b) − FX (a) =∫
b
a
fX (t) dt.
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Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
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Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
Premier cas : si x < −1. On a :
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Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
Premier cas : si x < −1. On a :
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫
x
−∞0dt = 0.
![Page 20: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/20.jpg)
Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
Premier cas : si x < −1. On a :
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫
x
−∞0dt = 0.
Deuxième cas : si x ∈ [−1, 0[. On a :
![Page 21: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/21.jpg)
Exemple 3
1) On a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt.
Premier cas : si x < −1. On a :
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫
x
−∞0dt = 0.
Deuxième cas : si x ∈ [−1, 0[. On a : D’après la relation deChasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
x
−1
f (t) dt.
![Page 22: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/22.jpg)
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
![Page 23: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/23.jpg)
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
![Page 24: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/24.jpg)
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
![Page 25: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/25.jpg)
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]x
−1
![Page 26: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/26.jpg)
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]x
−1
= x +x2
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
![Page 27: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/27.jpg)
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]x
−1
= x +x2
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
= x +x2
2+
1
2.
![Page 28: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/28.jpg)
Or, f (t) = 0 pour tout t < −1, donc
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
Et, pour tout t ∈ [−1, 0[, f (t) = 1 + t, donc
∫
x
−1
f (t) dt =∫
x
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]x
−1
= x +x2
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
= x +x2
2+
1
2.
Finalement, pour tout x ∈ [−1, 0[,
FX (x) = 0 + x +x2
2+
1
2= x +
x2
2+
1
2.
![Page 29: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/29.jpg)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[.
![Page 30: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/30.jpg)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
![Page 31: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/31.jpg)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
![Page 32: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/32.jpg)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0.
![Page 33: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/33.jpg)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
![Page 34: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/34.jpg)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
∫
0
−1
f (t) dt =∫
0
−1
(1 + t) dt
![Page 35: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/35.jpg)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
∫
0
−1
f (t) dt =∫
0
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]0
−1
![Page 36: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/36.jpg)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
∫
0
−1
f (t) dt =∫
0
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]0
−1
= 0 +02
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
![Page 37: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/37.jpg)
3 ème cas : si x ∈ [0, 1[. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt =
∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,
∫ −1
−∞f (t) dt = 0. De plus,
∫
0
−1
f (t) dt =∫
0
−1
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]0
−1
= 0 +02
2−
(
−1 +(−1)2
2
)
=1
2.
![Page 38: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/38.jpg)
Et,
![Page 39: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/39.jpg)
Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
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Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
=
[
t −t2
2
]x
0
![Page 41: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/41.jpg)
Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
=
[
t −t2
2
]x
0
= x −x2
2−
(
0 −02
2
)
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Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
=
[
t −t2
2
]x
0
= x −x2
2−
(
0 −02
2
)
= x −x2
2.
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Et,
∫
x
0
f (t) dt =∫
x
0
(1 − t) dt
=
[
t −t2
2
]x
0
= x −x2
2−
(
0 −02
2
)
= x −x2
2.
Finalement, pour tout x ∈ [0, 1[, FX (x) = 0 +1
2+ x −
x2
2.
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4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
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4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
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4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et
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4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et∫
0
−1
f (t) dt =1
2.
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4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et∫
0
−1
f (t) dt =1
2.
De plus,∫
1
0
f (t) dt =∫
1
0
(1 + t) dt
![Page 49: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/49.jpg)
4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et∫
0
−1
f (t) dt =1
2.
De plus,∫
1
0
f (t) dt =∫
1
0
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]1
0
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4 ème cas : si x ≥ 1. D’après la relation de Chasles, on a
FX (x) =∫
x
−∞f (t) dt
=∫ −1
−∞f (t) dt +
∫
0
−1
f (t) dt +∫
1
0
f (t) dt +∫
x
0
f (t) dt.
Or,∫ −1
−∞f (t) dt = 0,
et∫
0
−1
f (t) dt =1
2.
De plus,∫
1
0
f (t) dt =∫
1
0
(1 + t) dt
=
[
t +t2
2
]1
0
=1
2.
![Page 51: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/51.jpg)
On a aussi
∫
x
1
f (t) dt =∫
x
1
0dt = 0. Ainsi,
![Page 52: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/52.jpg)
On a aussi
∫
x
1
f (t) dt =∫
x
1
0dt = 0. Ainsi,
FX (x) = 0 +1
2+
1
2+ 0 = 1.
![Page 53: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/53.jpg)
On a aussi
∫
x
1
f (t) dt =∫
x
1
0dt = 0. Ainsi,
FX (x) = 0 +1
2+
1
2+ 0 = 1.
Pour résumer,
![Page 54: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/54.jpg)
On a aussi
∫
x
1
f (t) dt =∫
x
1
0dt = 0. Ainsi,
FX (x) = 0 +1
2+
1
2+ 0 = 1.
Pour résumer,
∀x ∈ R, FX (x) =
0 si x < −1
x +x2
2+
1
2si x ∈ [−1, 0[
1
2+ x −
x2
2si x ∈ [0, 1[
1 si x ≥ 1
.
![Page 55: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/55.jpg)
2) a) On a :
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2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
![Page 57: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/57.jpg)
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
![Page 58: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/58.jpg)
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
![Page 59: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/59.jpg)
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
P (|X | < 2) = 1 − 0 = 1.
![Page 60: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/60.jpg)
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
P (|X | < 2) = 1 − 0 = 1.
b) On a :
![Page 61: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/61.jpg)
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
P (|X | < 2) = 1 − 0 = 1.
b) On a :
P (X ≥ −3) = limx→+∞
FX (x) − FX (−3) = 1 − 0 = 1.
![Page 62: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/62.jpg)
2) a) On a :|X | < 2 ⇐⇒ −2 < X < 2.
Ainsi
P (|X | < 2) = P (−2 < X < 2) = FX (2) − FX (−2) .
Mais, FX (2) = 1 et FX (−2) = 0, d’où
P (|X | < 2) = 1 − 0 = 1.
b) On a :
P (X ≥ −3) = limx→+∞
FX (x) − FX (−3) = 1 − 0 = 1.
BNe pas écrire FX (+∞) !
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Proposition (Les densités caractérisent la loi)
Soient X et Y deux variables aléatoires à densité dont on note fXet fY des densités.
X et Y suivent la même loi, si et seulement si, les fonctions fX et
fY sont égales sauf en un nombre au plus fini de points.
![Page 64: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/64.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[.
![Page 65: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/65.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[,
![Page 66: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/66.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
![Page 67: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/67.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et
![Page 68: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/68.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
![Page 69: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/69.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
![Page 70: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/70.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
![Page 71: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/71.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
![Page 72: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/72.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x)
![Page 73: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/73.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
![Page 74: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/74.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
![Page 75: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/75.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
![Page 76: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/76.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
car t 7−→ et est une bijection croissante
![Page 77: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/77.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
car t 7−→ et est une bijection croissante
= P(
U ≤ 1 − e−x)
de R sur R∗+
![Page 78: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/78.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
car t 7−→ et est une bijection croissante
= P(
U ≤ 1 − e−x)
de R sur R∗+
= FU
(
1 − e−x)
![Page 79: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/79.jpg)
Exemple 41) Comme fU est non nulle sur [0, 1[, on en déduit queU (Ω) = [0, 1[. Comme U ∈ [0, 1[, 1 − U ∈ ]0, 1].
On en déduit que Y est bien définie et Y (Ω) = R+.
2) On rappelle que, par définition, FY (x) = P (Y ≤ x). CommeY (Ω) = R+, on a
∀x < 0, FY (x) = P (Y ≤ x) = 0.
Soit x ≥ 0. On a :
FY (x) = P (Y ≤ x)
= P (− ln (1 − U) ≤ x) par définition de Y
= P (ln (1 − U) ≥ −x)
= P(
1 − U ≥ e−x)
car t 7−→ et est une bijection croissante
= P(
U ≤ 1 − e−x)
de R sur R∗+
= FU
(
1 − e−x)
par définition de FU .
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On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
![Page 81: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/81.jpg)
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
![Page 82: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/82.jpg)
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
![Page 83: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/83.jpg)
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
![Page 84: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/84.jpg)
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt
![Page 85: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/85.jpg)
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt par définition de fU
![Page 86: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/86.jpg)
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt par définition de fU
= 0 + [t ]1−e−x
0
![Page 87: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/87.jpg)
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt par définition de fU
= 0 + [t ]1−e−x
0
= 1 − e−x .
![Page 88: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/88.jpg)
On remarque que, comme x ≥ 0, 1 − e−x ∈ ]0, 1]. D’après la
proposition 1.3, on a
FU
(
1 − e−x)
=∫
1−e−x
−∞fU (t) dt.
On utilise la relation de Chasles, on écrit
FU (x) =∫
0
−∞fU (t) dt +
∫
1−e−x
0
fU (t) dt
=∫
0
−∞0dt +
∫
1−e−x
0
1dt par définition de fU
= 0 + [t ]1−e−x
0
= 1 − e−x .
Conclusion :
∀x ∈ R, FY (x) =
0 si x < 0
1 − e−x si x ≥ 0
.
![Page 89: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/89.jpg)
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
![Page 90: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/90.jpg)
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
![Page 91: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/91.jpg)
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
![Page 92: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/92.jpg)
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
![Page 93: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/93.jpg)
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
etlim
x→0+FY (x) = lim
x→0+
(
1 − e−x)
= 0.
![Page 94: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/94.jpg)
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
etlim
x→0+FY (x) = lim
x→0+
(
1 − e−x)
= 0.
Conclusion, FY est continue en 0, puis sur R.
![Page 95: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/95.jpg)
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
etlim
x→0+FY (x) = lim
x→0+
(
1 − e−x)
= 0.
Conclusion, FY est continue en 0, puis sur R.
• Les théorèmes généraux assurent que FY est de classe C 1 surR sauf peut-être en 0.
![Page 96: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/96.jpg)
3) On utilise la définition 1.2. pour montrer que Y est une variablealéatoire à densité, on montre que FY est continue sur R et declasse C 1 sauf peut-être en un nombre fini de points.
• Continuité.FY est continue sur R
∗ d’après les théorèmes généraux.
• On a :FY (0) = 1 − e
−0 = 1 − 1 = 0,
limx→0−
FY (x) = limx→0−
0 = 0
etlim
x→0+FY (x) = lim
x→0+
(
1 − e−x)
= 0.
Conclusion, FY est continue en 0, puis sur R.
• Les théorèmes généraux assurent que FY est de classe C 1 surR sauf peut-être en 0.
On en déduit que Y est une variable aléatoire à densité.
![Page 97: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/97.jpg)
Pour obtenir une densité de Y , on dérive FY là où elle estdérivable et on complète par la valeur 0.
![Page 98: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/98.jpg)
Pour obtenir une densité de Y , on dérive FY là où elle estdérivable et on complète par la valeur 0. On a donc :
![Page 99: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/99.jpg)
Pour obtenir une densité de Y , on dérive FY là où elle estdérivable et on complète par la valeur 0. On a donc :
∀x ∈ R, fY (x) =
0 si x < 0
0 si x = 0
e−x si x > 0
=
0 si x ≤ 0
e−x si x > 0
.
![Page 100: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/100.jpg)
Pour obtenir une densité de Y , on dérive FY là où elle estdérivable et on complète par la valeur 0. On a donc :
∀x ∈ R, fY (x) =
0 si x < 0
0 si x = 0
e−x si x > 0
=
0 si x ≤ 0
e−x si x > 0
.
4) On remarque que une densité de X et une densité de Y sont
égales, donc les variables aléatoires X et Y suivent la même loi.
![Page 101: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/101.jpg)
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
![Page 102: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/102.jpg)
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
• f est à valeurs positives ;
![Page 103: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/103.jpg)
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
• f est à valeurs positives ;
• f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de
points ;
![Page 104: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/104.jpg)
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
• f est à valeurs positives ;
• f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de
points ;
• l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et vaut 1.
![Page 105: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/105.jpg)
Proposition (Caractérisation des densités de probabilité)
Soit f : R −→ R une fonction. On suppose :
• f est à valeurs positives ;
• f est continue sur R sauf éventuellement en un nombre fini de
points ;
• l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et vaut 1.
Alors, f est une densité d’une variable aléatoire : il existe une
variable aléatoire X dont f est une densité.
![Page 106: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/106.jpg)
Exemple 5
![Page 107: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/107.jpg)
Exemple 51)
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Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
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Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
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Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
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Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
![Page 112: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/112.jpg)
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
=1
2
∫
2
0
tdt
![Page 113: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/113.jpg)
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
=1
2
∫
2
0
tdt
=1
2
[
t2
2
]2
0
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Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
=1
2
∫
2
0
tdt
=1
2
[
t2
2
]2
0
= 1.
![Page 115: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/115.jpg)
Exemple 51)
• f est clairement positive sur R.
• f est continue sur R sauf peut-être en 0 et 2.
• f est continue sur le segment [0, 2] et nulle hors de [0, 2],
dont l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt converge et
∫ +∞
−∞f (t) dt =
∫
2
0
f (t) dt
=1
2
∫
2
0
tdt
=1
2
[
t2
2
]2
0
= 1.
On a montré que f est une densité d’une variable aléatoire.
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2)
![Page 117: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/117.jpg)
2)
• g est clairement positive sur R.
![Page 118: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/118.jpg)
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
![Page 119: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/119.jpg)
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
![Page 120: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/120.jpg)
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
![Page 121: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/121.jpg)
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
∫
A
0
f (t) dt =∫
A
0
e−t
dt
![Page 122: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/122.jpg)
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
∫
A
0
f (t) dt =∫
A
0
e−t
dt
=[
−e−t]A
0
![Page 123: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/123.jpg)
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
∫
A
0
f (t) dt =∫
A
0
e−t
dt
=[
−e−t]A
0
= −e−A −
(
−e−0)
![Page 124: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/124.jpg)
2)
• g est clairement positive sur R.
• g est clairement continue sur R sauf peut-être en 0.
• g est nulle sur R−, ainsi pour montrer que
∫ +∞
−∞g (t) dt
converge, il suffit de montrer que
∫ +∞
0
g (t) dt converge.
Soit A ≥ 0. On a :
∫
A
0
f (t) dt =∫
A
0
e−t
dt
=[
−e−t]A
0
= −e−A −
(
−e−0)
= 1 − e−A.
![Page 125: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/125.jpg)
Comme limA→+∞
(
1 − e−A
)
= 1, on en déduit que l’intégrale∫ +∞
0
f (t) dt converge et vaut 1.
![Page 126: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/126.jpg)
Comme limA→+∞
(
1 − e−A
)
= 1, on en déduit que l’intégrale∫ +∞
0
f (t) dt converge et vaut 1. Ainsi, l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt
converge et vaut 1.
![Page 127: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/127.jpg)
Comme limA→+∞
(
1 − e−A
)
= 1, on en déduit que l’intégrale∫ +∞
0
f (t) dt converge et vaut 1. Ainsi, l’intégrale
∫ +∞
−∞f (t) dt
converge et vaut 1.On a montré que g est une densité d’une variable aléatoire.
![Page 128: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/128.jpg)
Proposition (Fonction de répartition et densité de aX + b avec(a, b) ∈ R
∗ × R)
Soit X une variable aléatoire dont on note FX la fonction de
répartition et fX une densité.
![Page 129: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/129.jpg)
Proposition (Fonction de répartition et densité de aX + b avec(a, b) ∈ R
∗ × R)
Soit X une variable aléatoire dont on note FX la fonction de
répartition et fX une densité. Alors, la variable aléatoire aX + b est
une variable aléatoire réelle dont une densité faX+b est donnée par :
![Page 130: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/130.jpg)
Proposition (Fonction de répartition et densité de aX + b avec(a, b) ∈ R
∗ × R)
Soit X une variable aléatoire dont on note FX la fonction de
répartition et fX une densité. Alors, la variable aléatoire aX + b est
une variable aléatoire réelle dont une densité faX+b est donnée par :
∀x ∈ R, faX+b (x) =1
|a|fX
(
x − b
a
)
.
![Page 131: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/131.jpg)
Exemple 6.
![Page 132: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/132.jpg)
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
![Page 133: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/133.jpg)
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =1
|2|fX1
(
x − 3
2
)
=1
2fX1
(
x − 3
2
)
.
![Page 134: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/134.jpg)
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =1
|2|fX1
(
x − 3
2
)
=1
2fX1
(
x − 3
2
)
.
Or, fX1(x) =
1
2x si x ∈ [0, 2]
0 sinon, il s’ensuit que
![Page 135: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/135.jpg)
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =1
|2|fX1
(
x − 3
2
)
=1
2fX1
(
x − 3
2
)
.
Or, fX1(x) =
1
2x si x ∈ [0, 2]
0 sinon, il s’ensuit que
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =
1
2
(
x − 3
2
)
six − 3
2∈ [0, 2]
0 sinon
![Page 136: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/136.jpg)
Exemple 6.1) Comme X1 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 2X1 + 3 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 2 et b = 3) dont une densité f2X1+3 est donnée par :
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =1
|2|fX1
(
x − 3
2
)
=1
2fX1
(
x − 3
2
)
.
Or, fX1(x) =
1
2x si x ∈ [0, 2]
0 sinon, il s’ensuit que
∀x ∈ R, f2X1+3 (x) =
1
2
(
x − 3
2
)
six − 3
2∈ [0, 2]
0 sinon
=
x − 3
4si x ∈ [3, 7]
0 sinon.
![Page 137: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/137.jpg)
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
![Page 138: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/138.jpg)
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
∀x ∈ R, f3−X2(x) =
1
|−1|fX2
(
x − 3
−1
)
= fX2(3 − x) .
![Page 139: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/139.jpg)
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
∀x ∈ R, f3−X2(x) =
1
|−1|fX2
(
x − 3
−1
)
= fX2(3 − x) .
Or, fX2(x) =
e−x si x ≥ 0
0 sinon, il s’ensuit que
![Page 140: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/140.jpg)
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
∀x ∈ R, f3−X2(x) =
1
|−1|fX2
(
x − 3
−1
)
= fX2(3 − x) .
Or, fX2(x) =
e−x si x ≥ 0
0 sinon, il s’ensuit que
f3−X2(x) =
e−(3−x ) si 3 − x ≥ 0
0 sinon
![Page 141: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/141.jpg)
2) Comme X2 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire 3 − X2 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −1 et b = 3) dont une densité f3−X2
est donnée par :
∀x ∈ R, f3−X2(x) =
1
|−1|fX2
(
x − 3
−1
)
= fX2(3 − x) .
Or, fX2(x) =
e−x si x ≥ 0
0 sinon, il s’ensuit que
f3−X2(x) =
e−(3−x ) si 3 − x ≥ 0
0 sinon
=
ex−3 si x ≤ 3
0 sinon.
![Page 142: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/142.jpg)
Occupation de confinement.
![Page 143: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/143.jpg)
Occupation de confinement.
Exemple 5, questions 3 et 4
![Page 144: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/144.jpg)
Occupation de confinement.
Exemple 5, questions 3 et 4Exemple 6, questions 3 et 4.
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Exemple 21) On rappelle que :
![Page 146: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/146.jpg)
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
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Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
![Page 148: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/148.jpg)
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt =
∫
x
−∞0 dt = 0.
• Si x ∈ [−1, 1], la relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
![Page 149: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/149.jpg)
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt =
∫
x
−∞0 dt = 0.
• Si x ∈ [−1, 1], la relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
x
−1
fX (t) dt
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Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt =
∫
x
−∞0 dt = 0.
• Si x ∈ [−1, 1], la relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
x
−1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
x
−1
1
2dt
![Page 151: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/151.jpg)
Exemple 21) On rappelle que :
∀x ∈ R, FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt.
• Si x < −1, alors :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt =
∫
x
−∞0 dt = 0.
• Si x ∈ [−1, 1], la relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
x
−1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
x
−1
1
2dt
= 0 +
[
1
2t
]x
−1
.
![Page 152: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/152.jpg)
Ainsi,
![Page 153: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/153.jpg)
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
![Page 154: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/154.jpg)
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
![Page 155: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/155.jpg)
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
![Page 156: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/156.jpg)
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
![Page 157: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/157.jpg)
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
= 0 +
[
1
2t
]1
−1
+ 0
![Page 158: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/158.jpg)
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
= 0 +
[
1
2t
]1
−1
+ 0
= 1.
![Page 159: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/159.jpg)
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
= 0 +
[
1
2t
]1
−1
+ 0
= 1.
Finalement,
![Page 160: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/160.jpg)
Ainsi,
∀x ∈ [−1, 1] , FX (x) =1
2x +
1
2.
• Si x > 1. La relation de Chasles donne :
FX (x) =∫
x
−∞fX (t) dt
=∫ −1
−∞fX (t) dt +
∫
1
−1
fX (t) dt +∫
x
1
fX (t) dt
=∫ −1
−∞0 dt +
∫
1
−1
1
2dt +
∫
x
1
0 dt
= 0 +
[
1
2t
]1
−1
+ 0
= 1.
Finalement,
∀x ∈ R, FX (x) =
0 si x < −11
2x +
1
2si x ∈ [−1, 1]
1 si x > 1
.
![Page 161: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/161.jpg)
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.
![Page 162: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/162.jpg)
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
![Page 163: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/163.jpg)
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
![Page 164: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/164.jpg)
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
![Page 165: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/165.jpg)
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
A
0
e−t
dt
![Page 166: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/166.jpg)
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
A
0
e−t
dt car |t| = t
![Page 167: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/167.jpg)
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
A
0
e−t
dt car |t| = t
=1
2
[
−e−t]A
0
![Page 168: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/168.jpg)
Exemple 53)
• h est clairement positive sur R.• h est continue sur R.
• Pour montrer que l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge, il suffit
de prouver la convergence des intégrales
∫
0
−∞h (t) dt et
∫ +∞
0
h (t) dt.
Soit A ≥ 0. On a :∫
A
0
h (t) dt =∫
A
0
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
A
0
e−t
dt car |t| = t
=1
2
[
−e−t]A
0
=1
2−
1
2e
−A.
![Page 169: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/169.jpg)
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
![Page 170: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/170.jpg)
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
![Page 171: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/171.jpg)
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt
![Page 172: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/172.jpg)
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt car |t| = −t
=1
2
∫
0
B
etdt
![Page 173: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/173.jpg)
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt car |t| = −t
=1
2
∫
0
B
etdt
=1
2[et ]
0
B
![Page 174: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/174.jpg)
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt car |t| = −t
=1
2
∫
0
B
etdt
=1
2[et ]
0
B
=1
2−
1
2e
B .
![Page 175: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/175.jpg)
Or, limA→+∞
(
1
2−
1
2e
−A
)
=1
2, donc l’intégrale
∫ +∞
0
h (t) dt
converge et vaut1
2.
Soit B ≤ 0. On a :
∫
0
B
h (t) dt =∫
0
B
1
2e
−|t|dt
=1
2
∫
0
B
e−(−t)
dt car |t| = −t
=1
2
∫
0
B
etdt
=1
2[et ]
0
B
=1
2−
1
2e
B .
Or, limB→−∞
(
1
2−
1
2e
B
)
=1
2, donc l’intégrale
∫
0
−∞h (t) dt
converge et vaut1
2.
![Page 176: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/176.jpg)
Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge et
![Page 177: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/177.jpg)
Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge et
∫ +∞
−∞h (t) dt =
∫
0
−∞h (t) dt +
∫ +∞
0
h (t) dt =1
2+
1
2= 1.
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Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞h (t) dt converge et
∫ +∞
−∞h (t) dt =
∫
0
−∞h (t) dt +
∫ +∞
0
h (t) dt =1
2+
1
2= 1.
On a montré que h est une densité d’une variable aléatoire.
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Exemple 5
4)
• i est clairement positive sur R.
![Page 180: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/180.jpg)
Exemple 5
4)
• i est clairement positive sur R.
• i est continue sur R sauf peut-être en 0.
![Page 181: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/181.jpg)
Exemple 5
4)
• i est clairement positive sur R.
• i est continue sur R sauf peut-être en 0.
• Comme i est nulle sur R−, pour montrer que l’intégrale∫ +∞
−∞i (t) dt converge, il suffit de montrer que l’intégrale
∫ +∞
0
i (t) dt converge.
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Soit A ≥ 0, on a :
![Page 183: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/183.jpg)
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
![Page 184: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/184.jpg)
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
![Page 185: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/185.jpg)
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
![Page 186: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/186.jpg)
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
= 1 −1
1 + A2.
![Page 187: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/187.jpg)
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
= 1 −1
1 + A2.
Or, limA→+∞
(
1 −1
1 + A2
)
= 1, ainsi l’intégrale
∫ +∞
0
i (t) dt
converge et vaut 1.
![Page 188: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/188.jpg)
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
= 1 −1
1 + A2.
Or, limA→+∞
(
1 −1
1 + A2
)
= 1, ainsi l’intégrale
∫ +∞
0
i (t) dt
converge et vaut 1. Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞i (t) dt converge
et vaut
∫ +∞
0
i (t) dt = 1.
![Page 189: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/189.jpg)
Soit A ≥ 0, on a :∫
A
0
i (t) dt =∫
A
0
2t
(1 + t2)2dt
=∫
A
0
2t(
1 + t2)−2
dt
=
[
(
1 + t2)−1
−1
]A
0
= −1
1 + A2−
(
−1
1 + 02
)
= 1 −1
1 + A2.
Or, limA→+∞
(
1 −1
1 + A2
)
= 1, ainsi l’intégrale
∫ +∞
0
i (t) dt
converge et vaut 1. Finalement, l’intégrale
∫ +∞
−∞i (t) dt converge
et vaut
∫ +∞
0
i (t) dt = 1.
On a montré que i est une densité d’une variable aléatoire.
![Page 190: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/190.jpg)
Exemple 6
3) Comme X3 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire X3 + 1 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 1 et b = 1) dont une densité fX3+1 est donnée par :
![Page 191: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/191.jpg)
Exemple 6
3) Comme X3 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire X3 + 1 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 1 et b = 1) dont une densité fX3+1 est donnée par :
∀x ∈ R, fX3+1 (x) =1
|1|fX3
(
x − 1
1
)
= fX3(x − 1) .
![Page 192: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/192.jpg)
Exemple 6
3) Comme X3 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire X3 + 1 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 1 et b = 1) dont une densité fX3+1 est donnée par :
∀x ∈ R, fX3+1 (x) =1
|1|fX3
(
x − 1
1
)
= fX3(x − 1) .
Or, fX3(x) =
1
2e
−|x |, il s’ensuit que
![Page 193: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/193.jpg)
Exemple 6
3) Comme X3 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire X3 + 1 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = 1 et b = 1) dont une densité fX3+1 est donnée par :
∀x ∈ R, fX3+1 (x) =1
|1|fX3
(
x − 1
1
)
= fX3(x − 1) .
Or, fX3(x) =
1
2e
−|x |, il s’ensuit que
fX3+1 (x) =1
2e
−|x−1|.
![Page 194: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/194.jpg)
4) Comme X4 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire −2X4 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −2 et b = 0) dont une densité f−2X4
est donnée par :
![Page 195: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/195.jpg)
4) Comme X4 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire −2X4 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −2 et b = 0) dont une densité f−2X4
est donnée par :
∀x ∈ R, f−2X4(x) =
1
|−2|fX4
(
x − 0
−2
)
=1
2fX4
(
−1
2x
)
.
![Page 196: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/196.jpg)
4) Comme X4 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire −2X4 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −2 et b = 0) dont une densité f−2X4
est donnée par :
∀x ∈ R, f−2X4(x) =
1
|−2|fX4
(
x − 0
−2
)
=1
2fX4
(
−1
2x
)
.
Or, fX4(x) =
2x
(1 + x2)2si x ≥ 0
0 sinon
, il s’ensuit que
![Page 197: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/197.jpg)
4) Comme X4 est une variable aléatoire à densité, la variablealéatoire −2X4 est aussi une variable aléatoire à densité (on peutposer a = −2 et b = 0) dont une densité f−2X4
est donnée par :
∀x ∈ R, f−2X4(x) =
1
|−2|fX4
(
x − 0
−2
)
=1
2fX4
(
−1
2x
)
.
Or, fX4(x) =
2x
(1 + x2)2si x ≥ 0
0 sinon
, il s’ensuit que
f−2X4(x) =
1
2×
2
(
−1
2x
)
(
1 +
(
−1
2x
)2)2
si −1
2x ≥ 0
0 sinon
.
![Page 198: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/198.jpg)
Après simplifications, on obtient
f−2X4(x) =
−x
2
(
1 +1
4x2
)2si x ≤ 0
0 sinon
.
![Page 199: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/199.jpg)
Définition (Espérance)
Soit X une variable aléatoire à densité dont on note fX une
densité. On dit que X admet une espérance si, et seulement si,
l’intégrale
∫ +∞
−∞xfX (x) dx converge absolument. En cas de
convergence absolue, on note
![Page 200: Chapitre 14 : Variables aléatoires à densité...Proposition (Caractérisation de la loi) Soient X et Y deux variables aléatoires. X et Y suivent la même loi, si et seulement si,](https://reader033.vdocuments.mx/reader033/viewer/2022060413/5f118b68852a52738254fcf3/html5/thumbnails/200.jpg)
Définition (Espérance)
Soit X une variable aléatoire à densité dont on note fX une
densité. On dit que X admet une espérance si, et seulement si,
l’intégrale
∫ +∞
−∞xfX (x) dx converge absolument. En cas de
convergence absolue, on note
E (X ) =∫ +∞
−∞xfX (x) dx .