CARACTERIZACIÓN Y DISEÑO DE BOBINAS YTRANSFORMADORES
EFECTOS CAPACITIVOS
CONCEPTOS BÁSICOS DE ELECTROSTÁTICA
• Cargas puntuales
Fuerza entre dos cargas
Intensidad de campo eléctrico
Constante dieléctrica del vacío
Eo=8.8542·10-12 [F/m]
[ ]NrFr
oba
ba ····4
12
·, εεππ
=
Q
Q
a
b
F a,b
r
r
[ ]mVrE
r
Q
oba
a ····4
12, εεππ
=
EFECTOS CAPACITIVOS
Eo
Pi
D
d
EoD
E: campo Newtoniano
Integrando las ecuaciones de Maxwell
V : potencial electrostático
V: trabajo para mover una carga a velocidadconstante de A a B
MATERIALES DIELÉCTRICOS
De donde
0=
=
Erot
Edivoεε
ρρ
VdE gra−=
∫∫ =−=−a
b
b
aba dlEdlEVV )·()·(
EP
PED
oe
o
··
·
εεχχεε
=+=
)1·(· eo ED χχεε +=
EFECTOS CAPACITIVOS
Tma de Gauss
Donde σf es la densidad de carga libre
De donde
encerradacerradaSQdsD =∫∫ ,
·
ff DssD σσσσ =⇒= ··
ro
fro EED
εεεεσσ
εεεε·
·· =⇒=
dVdxdV
EVdEro
f ··
graεεεε
σσ=⇒=⇒−=
ds
d
s
VQ
C ro
ro
f
f ··
··
·εεεε
εεεεσσσσ
===
EFECTOS CAPACITIVOS
ENERGÍA ASOCIADA A UN CAMPO ELÉCTRICO
Ambas placas están a igual tensión por lo que el campo E esconstante a lo largo de toda la superficie
dvEdvDE
vro
v
····21
·2· 2∫∫∫∫∫∫ == εεεεεε
L
d
H
V
E
ds
Vdvd
Vroro ····
21
····21 2
2
2εεεεεεεεεε == ∫∫∫
2··21
VCeq=εε
ds
C roeq ··εεεε=
EFECTOS CAPACITIVOS
Según la estrategia de devanar las capacidades parásitascambian.
Consideremos placas planas de sección S y longitud l.
Caso a)
El campo eléctrico depende de “x”
Caso b)
El campo eléctrico no depende de “x”
V
a)
x
V V/2
b)
E=V/2
d
h
E(x)=V·xh·d d
ds
Vdvd
Vroro ····
81
··4
···21 2
2
2εεεεε == ∫∫∫
ds
C roeq ···41 εε=
ds
VdvdhxV
roro ····61
···
···21 2
2
εεεεε =
= ∫∫∫
ds
C roeq ···31 εε=
0
EFECTOS CAPACITIVOS
Condensador cilíndrico
Aplicando el Teorema de Gauss a un condensador cilíndricosometido a una tensión V, tenemos:
r
R1
R2
E(r )
ds+Q-Q H
εlibre
cerradaS
QsdE =∫∫ ,
·
12
·ln···2
·R
R
H
QrdEV
oεεππ== ∫∫
rH
QE
···2πε=
==
12
ln
···2
RR
HVQ
Cεεππ
EFECTOS CAPACITIVOS
O también
Si el condensador esta formado por dos capas de conductoresunidos como se indica en la figura y sometidos a la tensión V,el condensador equivalente será:
== ∫∫∫ 1
2·ln
··2··)(···
21 2
2
RR
HQ
dvrEro ππεεεεεεεε
eqeqeq C
QCVC 2
22 ··
21
··21 ==εε
=
12
ln
···2
R
RH
Ceq
εεππ
r
R1
R2
E(r )
ds+Q-Q HV
y
∆C
EFECTOS CAPACITIVOS
Tomemos un diferencial de condensador ∆C:
La energía almacenada en este condensador diferencial será:
Integrando a lo largo de la altura H, tendremos:
La energía almacenada en un condensador equivalente es
De donde se deduce la capacidad equivalente
∆=∆
12
ln
···2
RR
yC
εεππ
2
2··
21
∆=∆ V
CW
=
== ∫∫12
·ln4
···4
·
12
ln
···2·
21 22
00
RRVHV
RR
dydWW
HH εεππεεππ
2··21
VCW eq=
=
12
·ln2
··
RRH
Ceq
εεππ
EFECTOS CAPACITIVOS
Si por el contrario las conexiones entre devanados sonlas mostradas en la figura:
El perfil de tensiones a lo largo del eje y será como elindicado en el caso a): V(y)=V·y/H
Siguiendo el mismo proceso que es el caso anteriortendremos:
r
R1
R2
E(r )
ds+Q-Q H
V
y
∆C
∆=∆
12
ln
···2
RR
yC
εεππ
2·
··21
∆=∆
HyV
CW
=
== ∫∫12
·ln3
·····
12
ln
···2·
21 2
2
22
00
RRVH
HyV
RR
dydWW
HH εεππεεππ
EFECTOS CAPACITIVOS
Finalmente igualando la expresión anterior a la energíaalmacenada en un condensador C eq sometiodo a latensión V, obtendremos el valor de C eq:
Las técnicas de interleaving:
• Aumentan la capacidad entre devanados C 12 (se reducela distancia entre ellos)
• Disminuyen la capacidad propia C 11, C22
C11 C22
C12
=
12
·ln3
···2
RR
HCeq
εεππ
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
Ejemplo de diseño:
Convertidor en puente completo
Vi: 83-365 V (eficaces)Vo: 12 V (DC) Po: 100 W Fc: 100kHz
Asignaremos inicialmente el 10 % de pérdidas a lossemiconductores y otro 10 % a los magnéticos.
L FN1:N 2
UB
u 1 u 2 u 0
u 1
φ, im
u 2
i 2
t
t
t
t
TT/2
d·(T/2)
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
a) Diseño del transformador de aislamiento
1º) Determinar el ciclo de trabajo del convertidor
M=d·(N2/N1)
rt=N1/N2=8
UBmax=516 V ⇒ d=0.18UB =311 V ⇒ d=0.3UBmin =117 V ⇒ d=0.82
2º) Determinar los valores de corriente y tensión que deben sermanejados por los magnéticos
Corriente eficaz por el secundario
i2=IO·√d≈4.56 A
(suponemos despreciables los rizados de corriente debidos a la L F y Lm)
Corriente eficaz por el primario
I1=I2/rt ≈ 0.57 A
3º) Selección de los conductores
Objetivo: minimizar los efectos de la alta frecuencia
δ (100kHz)=0.24 mm
PRIMARIO: hilo redondo de φ 0.15 mmSECUNDARIO: Hilo litz 400x φ 0.04mm
Cf··µπρδ =
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
4º) Selección del material magnético
Objetivo: minimizar las pérdidas en alta frecuenciaEvitar la saturación del nucleo
3F3 PHILIPS
Entre 20 – 300 kHz
Cm=0.25, x=1.6, y=2.5, c t=1.26, ct1=1.05·10-2, ct2=0.79·10-4
Saturación B S=0.3 T
5º) Evaluación de las pérdidas en el núcleo
Pn(N1)=K1/N1
6º) Evaluación de las pérdidas en el cobre
)···(··)/( 221
3 TcTccBfCmmWPn ttty
acx
C +−=
eC
maxmax
ANf
dUNB
·1··4
·)1( =
eeC
Bc VANf
ddUfNPn ·
·1··12
·69····25.0)1( 6.1
−=
( )212
2
2212
1
1 ··
400·4
·
·1
··
4·
·1·)1( t
mt
Cum
Cu rI
lr
N
IlN
NPcu
+
=φπ
ρφπ
ρ
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
PCu(N1)=K1·N1
Pérdidas totales
PT(N1)= PCu(N1)+ Pn(N1)
El mínimo se obtiene cuando
PCu(N1)=Pn(N1)
Inductancia magnetizante:
P(W) Pn PCu
N1N1optimo
e
ero
l
ANNLm
···1)1(
2 µµ=
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
Corriente magnetizante:
7º) Disposición de los devanados
El primario se divide en dos capas en paralelo para minimizarla inductancia de dispersión.
C
B
fNLm
dUN
)·1(·4
·)1Im( =
PrimarioSecundario
núcleo
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
Fichero Mathcad
Ieff 0.6rt 8
f .100 103
Ub 311d 0.3
ρcu .1.7 108
capas 2 numero de capas en paralelo del primario
Datos del núcleo
Ve .574 109
Ae .24.8 106
φ c .5 10 3
mur 2000
muo ..4 π 10 7
le .23.2 103
h .6.3 103
Datos conductores
φ 1 .0.15 103
φ 2 .0.04 103
Cálculo de pérdidas en el cobre
Pcu1( )N1 ...ρcu..N1 π φ c
.π φ 1
4
2
1
capasIeff
2
Bmax( )N1.Ub d...4 f N1 Ae
Lm( )N1...N1
2muo mur Ae
le
Pcu2( )N1 ..ρcu
..N1
rtπ φ c ..2 0.2 103
..π φ 2
4
2
400
( ).Ieff rt 2
Im_max( )N1.Ub d
..4 Lm( )N1 f
Pcu( )N1 Pcu1( )N1 Pcu1( )N1
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
Cálculo de pérdidas en el núcleo
Pn( )N1 ...0.25 ( )f 1.6 ..Ub d...12 f N1 Ae
9 .6 d2.5
Ve
N1 ..,8 9 40
0 10 20 30 400
2
4
Pcu( )N1
Pn( )N1
N1
0 10 20 30 400
0.5
1
1.5
Im_max( )N1
N1
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
0 10 20 30 400
0.5
1
1.5
Bmax( )N1
N1
A la vista de las anteriores gráficas se selecciona:
Núcleo RM5N1=32 (dos capas en paralelo)N2=8Pérdidas totales P T=1.2 W
ELEMENTOS MAGNÉTICOS: TRANSFORMADORES
b) Diseño de la bobina
A partir del rizado de corriente (i r=1A) se determina el valor deLF
UB=516 V, d=0.18 ⇒ LF=0.45mH
A partir de éste valor se ha de determinar el número de espirasN y el entrehierro necesarios para obtener el valor deseado deLF.
El cálculo sigue un proceso iterativo similar al realizado con eltransformador.
Tdi
VUL
r
OBF ··
·2
−=
eoe
e
Ag
A
lN
L
··
2
µµµµ+
=
o
e
maxmax gl
INB
µµµµ+
= ·
EFECTOS EN LOS DEVANADOS EN ALTA RECUENCIA
EJEMPLO:
Transformador para flyback:
Resultados en función de la estrategia de devanado:(Corriente neta por los devanados 2 A)
EFECTOS EN LOS DEVANADOS EN ALTA RECUENCIA
Influencia del entrehierro:
RM12, conductores de φ1.5 mm,Análisis a 150 kHz
CRITERIOS DE DISEÑO
ESPESOR ÓPTIMO EN FUNCIÓN DEL NÚMERO DE CAPASQUE FORMAN EL DEVANADO
Espesor óptimo normalizado ϕopt (m)=espesor/ δSKIN
Pérdidas: P(m)=P DC·F(ϕopt (m),m)
Bobinas con entrehierro central
m ϕopt(m) F(ϕopt(m),m)1 1.57 1.442 0.961 1.3493 0.77 1.344 0.663 1.3375 0.591 1.3356 0.539 1.3347 0.499 1.3348 0.466 1.3349 0.439 1.33410 0.417 1.334
Bobinas con entrehierro central y exterior
m ϕopt(m) F(ϕopt(m),m)1 3.133 1.4372 1.57 1.443 1.143 1.3644 0.961 1.3495 0.849 1.3436 0.77 1.347 0.711 1.3388 0.663 1.3379 0.624 1.33610 0.591 1.335
EJEMPLO DE DISEÑO
MÉTODO DE DISEÑO DE BOBINAS:
Datos de partida:
L=450 µHFrecuencia=200 kHzCorriente máxima I MAX=8.8 ACorriente ac I ac=0.5 ACorriente eficaz I RMS≈8.5 AFactor de uso de ventana k W=0.3Saturación B S=0.3 TFactor de forma geométrico K FG=85Factor de pérdidas en el núcleo
1.- Selección del núcleo
2ac
NU
MB
VolP
K =
3
2
222 ·····
·2
V
IILK
KK
P
RMSac
W
FGMCU
OPT
ρρ
=
3
5
2
22
2 1·
·······
VB
IIL
K
KVB
I
IKP
MAX
MAXRMS
W
FGCUMAX
MAX
ac
MBmax
+= ρρ
EJEMPLO DE DISEÑO
Representación de las pérdidas óptimas totales y las pérdidasa BMAX en función del volumen del núcleo.El volumen óptimo se encontrará en el cruce de ambas curvas.Con volúmenes inferiores al óptimo forzosamente acudiremosa un diseño a B MAX para evitar la saturación.Con volúmenes superiores al óptimo minimizamos pérdidas acosta de incrementar el volumen.
1 10 7 1 10 6 1 10 5 1 10 4 0.0010.1
1
10
100
1 103
1 104
Popt ( )v
Pbmax ( )v
v
Se asumen como aceptables unas pérdidas del orden de 5W,por lo tanto seleccionamos un volumen de núcleo ≈ 13.000 mm3
Es decir un RM14.
2.- Selección del número de vueltas
a) por límite de pérdidas
4
12
·
··
··
·0
==⇒⇒==
e
W
RMS
ac
CU
WMOPT Al
VA
I
ILKKN
dNdP
ρρ
EJEMPLO DE DISEÑO
b) por límite de B MAX
En nuestro caso es la opción b) la seleccionada
N=74
3.- Diámetro del hilo
4.- Determinación del entrehierro
eMAX
MAX
ABIL
N·
·=
mmN
AK WW 8.0·
··4 ≈=ππ
φφ
mml
LNA
gr
eeo 3·· 2
=−=µµ
µµ
EJEMPLO DE DISEÑO
FICHERO MATHCAD:
DATOS DE ENTRADA:INDUCTANCIA
l .450 10 6
FRECUENCIAf 100000
CORRIENTESimax 8. 8
iac 0. 5
irms 8. 5
FACTOR DE USO DE VENTANAkw 0. 3
RESISTIVIDAD CONDUCTOR
res1
.5.7 107
PERMEABILIDADur 2000
bmax 0. 3 B MAXIMO
PERDIDAS NUCLEOkfg 85 factor de forma geometrico=80 por lo general
km .5.28 106 factor de pérdidas del núcleo
v ..,.500 10 9 .600 10 9 .550000 10 9
perbopt ( )v .2
.....res km kfg
kwl2 iac 2 irms 2
v
2
3
perbmax ( )v ...kmiac 2
imax 2bmax 2 v ....
.res kfg
kwl2 irms 2 imax 2
bmax 2
1
v
5
3
cálculo a mínimas pérdidas perbopt(v) y a Bmax, perbmax(v). Hay un punto de corte.A la izda de derecho punto el diseño ha de ser a Bmax ya que en el otro caso sesatura la bobina. A la derecha del punto el diseño ha de ser a mínimas pérdidas.
1 107
1 106
1 105
1 104
0.0010.1
1
10
100
1 103
1 104
perbopt ( )v
perbmax ( )v
v
EJEMPLO DE DISEÑO
v2 .13 106 v1 .13 10
6
Aw1 .135 106
Aw2 .135 106
Ae1 .178 106
Ae2 .178 106
lmed1 .90 10 3 lmed2 .90 10 3
le2 .71 10 3 le1 .71 10 3
n1opt
4
.....km kw
resl2 iac
2
irms2
Aw1v1
.lmed1 Ae12
n2opt.l imax
.bmax Ae1
=n1opt 14.047 =n2opt 74.157
b1max.imax l
.Ae1 n1optb2max
.imax l.Ae2 n2opt
=b1max 1.584 =b2max 0.3
b1ac.iac l
.Ae1 n1optb2ac
.iac l.Ae2 n2opt
=b1ac 0.09 =b2ac 0.017
d1
..4
πAw1 kw
n1optd2
..4
πAw2 kw
n2opt
=d1 0.002 =d2 8.339 104
p1nu ...km v1iac 2
imax 2b1max 2 p2nu ...km v2
iac 2
imax 2b2max 2
=p1nu 0.556 =p2nu 0.02
pdev1 ...res n1opt lmed1
.π4
d1 2irms 2 pdev2 .
..res n2opt lmed2
.π4
d2 2irms 2
=pdev1 0.556
g1....4 π 10 7 Ae1 n1opt 2
l
le1
urg2
....4 π 10 7 Ae2 n2opt 2
l
le2
ur
=g1 6.258 105
=g2 0.003
=n1opt 14.047 =n2opt 74.157
=pdev1 0.556 =pdev2 15.49
=p1nu 0.556 =p2nu 0.02
=d1 0.002 =d2 8.339 104
=b1max 1.584 =b2max 0.3