DECOM-FEEC-UNICAMP EA-513 – Circuitos Elétricos I
Capítulo 12
Potência em Regime Permanente C.A.
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12.1 Potência Média
Em circuitos lineares cujas entradas são funções periódicas no tempo, as
tensões e correntes em regime permanente produzidas são periódicas.
Potência instantânea:
onde v e i possuem período T. Assim,
Potência instantânea é também periódica com período T.
p = vi
p t +T( ) = v t +T( )i t +T( )= v t( )i t( )= p t( )
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Período fundamental T1 de p é o mínimo tempo no qual esta potência se repete.
T1 não é necessariamente igual a T mas deve ser seu divisor, isto é, para um
dado n positivo:
T = nT1
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Exemplo: Resistor R percorrido por uma corrente i = Imcos(ωt) de período T = 2π/ω.
Então,
Note que T1 = π/ω ⇒ T = 2T1.
p = Ri2
= RIm2 cos2 ωt( )
=RIm2
21+ cos 2ωt( )!"
#$
Relação trigonométrica usada:
cos2 α( ) = 12 1+ cos 2α( )!
"#$
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t
i(t), p(t)
T1
T
i(t)
p(t)
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Se a corrente agora é i = Im[1 + cos(ωt)] de período T = 2π/ω.
Então,
Note que T1 = 2π/ω ⇒ T = T1.
p = Ri2
= RIm2 1+ cos ωt( )!"
#$2
t
i(t), p(t) T1 = T
i(t)
p(t)
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Potência média para uma potência instantânea periódica p é dada por:
onde t1 é arbitrário.
Potência instantânea periódica p:
Assim, podemos escrever:
P = 1T1
p dtt1
t1+T1∫
p(t)
t t1 t1 + T1
P = 1mT1
p dtt1
t1+mT1∫
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Se m é selecionado de tal forma que T = mT1 (período de v ou i), então
Portanto, a potência média pode ser obtida por integração no período de v ou i.
Integrais para funções senoidais e seus produtos:
f(t)
sen(ωt + α), cos(ωt + α) 0
sen(nωt + α), cos(nωt + α) 0
sen2(ωt + α), cos2(ωt + α) π/ω
sen(mωt + α) × cos(nωt + α) 0
cos(mωt + α) × cos(nωt + β) 0, m ≠ n
π[cos (α - β)]/ω, m = n
P = 1T
p dtt1
t1+T∫
f t( )dt, ω ≠ 00
2π ω∫
!"#
$#
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Considere o seguinte bipolo genérico em regime permanente:
Impedância de entrada do dispositivo, no domínio da frequência:
Se
Então temos:
onde
A potência média entregue ao dispositivo, tomando t1 = 0 é
Bipolo
I
V +
-
Z = Z∠θ
v =Vm cos ωt +φ( )
i = Im cos ωt +φ −θ( )Im =
VmZ
P = 1T
p dtt1
t1+T∫ =ωVmIm2π
cos ωt +φ( )cos ωt +φ −θ( ) dt0
2π ω∫
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Mas, da tabela temos que:
Fazendo m = n = 1, α = φ e β = φ – θ, obtemos:
ou seja, a potência absorvida pelo bipolo é determinada pelas amplitudes Vm e
Im e pelo ângulo θ pelo qual a tensão v antecede a corrente i.
cos mωt +α( )cos nωt +β( )dt0
2π ω∫ =
0 para m ≠ n
πωcos α −β( ) para m = n
$
%&
'&
P =ωVmIm2π
πωcos θ( )
P =VmIm2cos θ( )
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Em termos de fasores:
então
onde ang V = φ e ang I = φ – θ.
Se o bipolo é um resistor, então θ = 0 e Vm = RIm, assim:
Note que se i = Idc (corrente constante), então ω = φ = θ = 0 e Im = Idc, então,
V =Vm∠φ = V ∠φ
I = Im∠ φ −θ( ) = I∠ φ −θ( )
P = 12V I cos angV − ang I( )
PR =12RIm2
PR = RIdc2
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Se o bipolo é um indutor, então θ = 90º.
Se o bipolo é um capacitor, então θ = -90º.
Assim, para ambos os casos, temos:
ou seja, a potência média dissipada em um indutor ideal ou em um capacitor
ideal é zero.
P =VmIm2cos ±90°( ) = 0
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Forma alternativa de muito útil, pode ser obtida lembrando:
e, portanto,
como Vm = |Z|Im, podemos re-escrever P como:
P =VmIm2cos θ( )
Z = Re Z{ }+ j Im Z{ }= Z∠θ
cos θ( ) =Re Z{ }Z
Re{Z}
Im{Z} Zθ
P =VmIm2cos θ( ) =
Z ImIm2
Re Z{ }Z
=12Im2 Re Z{ }
P = 12Im2 Re Z{ }
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P =VmIm2cos θ( ) = 12 Im
2 Re Z{ }
Se o dispositivo é uma carga passiva, então a energia entregue a esta carga é
não negativa, logo:
ou de modo equivalente,
Se θ = 0, o dispositivo é equivalente a um resistor.
Se θ = π/2, o dispositivo é equivalente a uma indutância.
Se θ = -π/2, o dispositivo é equivalente a uma capacitância.
Para -π/2 < θ < 0, o dispositivo é equivalente a um circuito RC.
Para 0 < θ < π/2 , o dispositivo é equivalente a um circuito RL.
Para | θ | > π/2, então P < 0, o dispositivo atua como uma fonte (ativo).
Re Z jω( ){ }≥ 0
−π2≤θ ≤
π2
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Exemplo: Cálculo da potência entregue pela fonte.
Impedância sobre a fonte:
Corrente máxima:
Potência entregue a Z:
ou de outro modo:
Z =100+ j100 =100 2∠45° Ω#$ %&
Im =VmZ=
100100 2
=12
A!" #$
P =VmIm
2cosθ = 100
2 2cos45° = 25 W!" #$
P = 12Im
2 Re Z{ }= 12
12
!
"#
$
%&
2
100 = 25 W'( )*
1 H vg = 100cos(100t) [V]
100 Ω
+ -
i
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Potência dissipada pelo resistor R = 100 Ω:
Portanto, o indutor não dissipa potência.
A potência consumida pela fonte é:
Sinal negativo: corrente sai pelo terminal positivo da fonte.
Ou seja, fonte entrega 25 W para Z.
PR =RIm
2
2=
100 12
!
"#
$
%&
2
2= 25 W'( )*
PR = −VmIm
2cosθ = −25 W"# $%
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12.2 Superposição e Potência
Circuitos com mais de uma fonte:
Por superposição, temos i = i1 + i2, onde i1 e i2 são as correntes em R devido a
vg1 e vg2, respectivamente.
Potência instantânea:
Assim, a superposição não pode ser aplicada diretamente para potência
instantânea.
vg1
R
+ -
vg2 + -
i
p = R i1+ i2( )2= Ri1
2 + 2Ri1i2 + Ri22
= p1+ p2 + 2Ri1i2
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No caso de p ser periódica com período T, a potência média será:
onde P1 e P2 são as potências médias de vg1 e vg2, respectivamente, atuando
isoladamente.
A superposição para a potência média só se aplica se:
o que faz com que:
P = 1T
pdt =0
T∫ 1
Tp1+ p2 + 2Ri1i2( )dt0
T∫
= P1+ P2 +2RT
i1i2 dt0
T∫
i1i2 dt0
T∫ = 0
P = P1+ P2
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Im1cos ω1 t +T( )+φ1!"
#$+ Im2 cos ω2 t +T( )+φ 2!
"#$= Im1cos ω1t +φ1( )+ Im2 cos ω2t +φ 2( )
Caso importante:
Assumindo que i = i1 + i2 é periódica com período T, temos:
Para que a igualdade da equação seja válida devemos ter que:
m e n inteiros positivos.
Portanto, se ω é um número tal que T = 2π/ω, então ω1 = mω e ω2 = nω.
i1 = Im1cos ω1t +φ1( )
i2 = Im2 cos ω2t +φ 2( )
ω1T = 2π m
ω2T = 2π n
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Então,
Se m = n ⇒ ω1 = ω2 ⇒ a superposição não pode ser aplicada.
Se m ≠ n ⇒ a superposição pode ser aplicada.
i1 i2 dt0
T∫ = Im1Im2 cos mω t +φ1( )cos nω t +φ2( )dt0
2π ω∫
=
Im1Im2 cos φ1 −φ2( )ω
m = n
0 m ≠ n
$
%&
'&
Generalização para o caso de senóide periódica com qualquer número de
componentes senoidais de diferentes frequências:
A potência média devida à soma das componentes é a soma das potências
médias devida a cada componente atuando isoladamente.
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Pode ser mostrado que a superposição da potência média é mantida para
senóides cujas frequências não são múltiplos inteiros de uma frequência ω:
Generalização da definição de potência média:
que pode ser aplicada também para o caso i = i1 + i2, onde
Neste caso i não é periódica, pois ω1/ω2 = 1/π não é um número racional, mas
P = limτ→∞
1τ
pdt0
τ∫
i1 = cos t
i2 = cosπ t
limτ→∞
1τ
i1i2 dt0
τ∫ = 0
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Exemplo:
ω1 = ω2 ⇒ não se pode usar a superposição para a potência.
Superposição para calcular a corrente:
100 cos(377t + 60º) [V]
100 Ω
+ -
+ -
i
50 cos(377t) [V]
I1 =1∠60° A"# $%
I2 = −0,5∠0! A#$ %&
I = I1+ I2 = j0,866 A!" #$
P = 12RIm2 =12100 0,866( )
2= 37,5 W!" #$
Im = 0,866 A!" #$
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Exemplo:
ω1 = 377 rad/s e ω2 = 0 rad/s ⇒ pode-se usar a superposição para a potência.
100 cos(377t + 60º) [V]
100 Ω
+ -
+ -
i
50 [V]
I1 =1∠60° A"# $% para ω1 = 377
I2 = −0,5 A"# $% para ω2 = 0
P1 =12RIm12 =
12100 1( )
2= 50 W!" #$
P2 = RIm22 =100 −0,5( )
2= 25 W"# $%
P = P1+ P2 = 75 W!" #$
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Estendendo o procedimento do exemplo anterior para uma corrente periódica
que é a soma de N + 1 senóides de diferentes frequências,
Encontra-se a potência média entregue ao resistor R:
Assim, temos a superposição das potências:
i = Idc + Im1cos ω1t +φ1( )+ Im2 cos ω2t +φ2( )+ ...+ ImN cos ωNt +φN( )
P = RIdc2 +
R2Im12 + Im2
2 + ...+ ImN2( )
P = Pdc + P1+ P2 + ...+ PN
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Exemplo:
ω1 = ω2 ⇒ Não podemos usar a superposição para a potência, mas podemos
utilizar superposição de correntes.
10 cos(100t) [V]
10 Ω
+ -
+ -
i
I1 =1∠0° A"# $%
I2 = 2∠60° A"# $%
P = 12RIm
2 =12⋅10 ⋅ −1,732( )
2=15 W#$ %&
20 cos(100t + 60º) [V]
I = I1 − I2 =1− (1+ j1,732) = − j1,732 A"# $%
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12.3 Valores Eficazes
Método de comparação da potência entregue por diferentes formas de onda.
Valor eficaz de uma corrente (ou tensão) periódica é sempre uma constante
igual à corrente c.c. (ou tensão c.c.) que iria entregar a mesma potência média
para um resistor R.
Se Ieficaz é o valor eficaz de i, podemos escrever:
De onde se tira a corrente eficaz:
P = RIeficaz2 =
1T
Ri2 dt0
T∫
Ieficaz =1T
i2 dt0
T∫
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De modo similar, a tensão eficaz é:
Termo “eficaz” é a tradução da abreviatura de “root-mean-square (rms)”.
Valor rms = raiz quadrada da média do valor ao quadrado da corrente (tensão).
Considerando uma corrente senoidal , a corrente eficaz é
Assim, uma corrente senoidal de amplitude Im entrega a mesma potência média
a um resistor R, que uma corrente c.c. de valor igual a .
Veficaz =1T
v2 dt0
T∫
i = Im cos ωt +φ( )
Ieficaz =ω2π
Im cos ω t +φ( )!"
#$2dt
0
2π ω∫ = Im
2 ⋅ω2π
⋅πω
Im2
Ieficaz =Im2
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De modo similar, para uma tensão senoidal , a tensão eficaz é:
Note que tanto a corrente como a tensão eficaz são independentes da
frequência ω e da fase φ.
Assim, a potência média para um bipolo é dada por:
ou
Veficaz =ω2π
Vm cos ω t +φ( )!"
#$2dt
0
2π ω∫
P =Veficaz Ieficaz cosθ
P = Ieficaz2 Re Z{ }
Veficaz =Vm2
Bipolo
I
V +
-
P =VmIm2cosθ
v =Vm cos ωt +φ( )
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Exemplo:
Valores eficazes são empregados normalmente nas geração e distribuição de
potência.
O valor de tensão nominal de 127 V para uma rede é um valor eficaz.
A potência que é fornecida em 60 Hz às residências vem através de uma tensão
que tem o valor máximo igual a .
Valores máximos são geralmente empregados em eletrônica e
telecomunicações.
127 2 ≅180 V
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Valor eficaz da corrente composta de senóides com diferentes frequências:
Potência média:
Portanto, o valor eficaz da corrente senoidal composta de diferentes frequências
é
De forma análoga,
i = Idc + Im1cos ω1t +φ1( )+ Im2 cos ω2t +φ2( )+ ...+ ImN cos ωNt +φN( )
P = R Idc2 + I1eficaz
2 + I2eficaz2 + ...+ IN eficaz
2( )
Ieficaz = Idc2 + I1eficaz
2 + I2eficaz2 + ...+ IN eficaz
2
Veficaz = Vdc2 +V1eficaz
2 +V2eficaz2 + ...+VN eficaz
2
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Exemplo: Cálculo do valor eficaz das correntes:
a)
i =
A para 0 ≤ t < 2
−A para 2 ≤ t < 4
#$%
&%
Ieficaz =1T
i2 dt0
T∫
Ieficaz =14
A2 dt0
2∫ + −A( )
2dt
2
4∫
#$%
&'(=
A2
4t0
2+ t
2
4#
$%
&
'( =
A2
42+ 2#$ &'
Ieficaz = A
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b) i = 2t 0 < t < T
Ieficaz =
1T
i2 dt0
T∫
Ieficaz =1T
2t( )2dt
0
T∫ =
4T⋅t3
30
T
=4T⋅T 3
3
Ieficaz =2T3
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c)
i =Im sen ωt( ) para 0 ≤ t < π ω
0 para π ω ≤ t < 2π ω
"#$
%$ T =
2πω
Ieficaz =1T
i2 dt0
T∫
Ieficaz =1T
Im2 sen2 ωt( )dt +00
π ω∫"#$
%&'=
ω Im2
2πsen2 ωt( )dt0
π ω∫ =
ω Im2
2π⋅π2ω
Ieficaz =Im2
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12.4 Fator de Potência
Potência média entregue a uma carga em regime permanente c.a. é:
O produto VeficazIeficaz é denominado de potência aparente.
Unidade da potência aparente = voltamperes (VA) ou kilovoltamperes (kVA).
Potência média ≤ potência aparente
Fator de potência fp :
Fator de potência fp no caso senoidal:
P =Veficaz Ieficaz cosθ
f p =P
Veficaz Ieficaz= cosθ
f p =Potência Média
Potência Aparente
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Cargas puramente resistivas ⇒ tensão e corrente em fase ⇒ θ = 0 ⇒ fp = 1 ⇒
potência média = potência aparente.
Cargas indutivas e capacitivas onde as reatâncias se cancelam ⇒ tensão e
corrente em fase ⇒ θ = 0 ⇒ fp = 1 ⇒ potência média = potência aparente.
Carga puramente reativa ⇒ tensão e corrente a ±90º ⇒ θ = ±90º ⇒ fp = 0 ⇒
potência média = 0.
f p =P
Veficaz Ieficaz= cosθ
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Carga onde -90º < θ < 0 é equivalente a um circuito RC.
Carga onde 0 < θ < 90º é equivalente a um circuito RL.
Como cos(θ ) = cos(-θ), então fp é o mesmo para um circuito RC ou RL com
mesmo |θ |.
Para diferenciar: fp é caracterizado como adiantado ou atrasado pela fase da
corrente com relação à da tensão (referência).
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Exemplo: Frequência = 60 Hz
ω = 2πf = 2π 60 = 377 rad/s
Fator de potência:
0,1 H vg
100 Ω
+ -
Z =100+ j37,7 =106,9∠22,95° Ω
f p = cos 22,95°( ) = 0,936 atrasado
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Exemplo: O fator de potência afeta grandemente a conta de eletricidade.
Suponha que um moinho consuma 100kW de uma linha de 220 V eficazes, com
fp = 0,85 atrasado.
Corrente eficaz do moinho:
Potência aparente fornecida:
Suponha que fp é aumentado para 0,95 atrasado, então:
Assim, a potência aparente é reduzida para:
Ieficaz =P
Veficaz f p=
105
220 ⋅0,85= 534,8 A"# $%
Veficaz Ieficaz = 220 ⋅534,8 =117,65 kVA"# $%
Ieficaz =P
Veficaz f p=
105
220 ⋅0,95= 478,5 A"# $%
Veficaz Ieficaz = 220 ⋅478,5=105,26 kVA"# $%
56,3 A
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Note que Ieficaz foi reduzida de 56,3 A.
Portanto, a usina precisa gerar uma corrente maior para fp menor.
Como as linhas de transmissão têm resistência, a usina precisa produzir uma
potência média maior para fornecer os 100 kW à carga.
Se a resistência for 0,1 Ω, então a potência gerada pela fonte deve ser:
Portanto,
A usina deve produzir 5,7 kW a mais de potência para fornecer à carga de fp
mais baixo.
Pg =100.000+0,1Ieficaz2
Pg =128,6 kW f p = 0,85
122,9 kW f p = 0,95
!
"#
$#
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Método de correção do fator de potência de uma carga:
Pode-se alterar o fator de potência conectando uma impedância Z1 em paralelo
com a carga Z = R + jX.
Note que apenas a corrente I1 fornecida pelo gerador muda.
Associação das impedâncias:
Z1 Z = R + jX
I1 I
ZT
ZT =Z ⋅Z1Z+Z1
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Selecionamos Z1 tal que:
• Z1 absorva potência média = 0;
• ZT tenha o fator de potência desejado fp = FP.
A primeira condição requer que Z1 seja puramente reativa:
A segunda condição requer que:
Substituindo ZT em termos de R, X e X1, temos:
11 jX=Z
cos tan−1Im ZT{ }Re ZT{ }
"
#$$
%
&''
(
)
**
+
,
--= FP
X1 =R2 + X 2
R tan cos−1 FP( )"#
$% − X
tan cos−1 FP( )"#
$% =
> 0 se FP é atrasado
< 0 se FP é adiantado
&'(
)(
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Obtenção de X1:
mas
ZT =Z ⋅Z1Z+Z1
=R+ jX( ) jX1R+ jX + jX1
=−XX1+ jRX1R+ j X + X1( )
×R− j X + X1( )R− j X + X1( )
ZT =RX1
2 + jX1 R2 + X 2 + XX1( )
R2 + X + X1( )2
cos tan−1Im ZT{ }Re ZT{ }
"
#$$
%
&''
(
)
**
+
,
--= FP ⇒
Im ZT{ }Re ZT{ }
= tan cos−1 FP( )()
+,
X1 R2 + X 2 + XX1( )RX1
2= tan cos−1 FP( )"
#$% ⇒
R2 + X 2 + XX1X1
= R tan cos−1 FP( )"#
$%
R2 + X 2
X1+ X = R tan cos−1 FP( )!
"#$ ⇒ X1 =
R2 + X 2
R tan cos−1 FP( )!"
#$− X
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Exemplo: Fator de potência alterado para 0,95 atrasado no circuito:
Fator de potência:
Desejamos fator de potência de 0,95, então tan(cos-1FP) é positiva:
1 H vg = 100cos(100t) [V]
100 Ω
+ -
i
Z =100+ j100 =100 2∠45° Ω
f p = cosθ = cos45° = 0,707 atrasado
X1 =R2 + X 2
R tan cos−1 FP( )"#
$% − X
=1002 +1002
100 tan cos−1 0,95( )"#
$% −100
= −297,92 Ω
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Como X1 < 0, a reatância é uma capacitância C = -1/ωX1 = 33,6 µF.
Impedância de carga torna-se:
Potência média para a carga corrigida:
que é a mesma entregue a Z.
Corrente atual:
Corrente sem correção do fator de carga:
ZT =ZZ1Z+Z1
=100+ j100( ) − j297,92( )100+ j100( )+ − j297,92( )
=190,0∠18,2°
P =Vm
2
2 ZTcos θ( ) = 1002
2 190,0( )cos 18,2°( ) = 25 W
A 372,02190
100==eficazI
A 5,0221
2=== m
eficazII
corrente reduzida de 0,128 [A] (25,6%)
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12.5 Potência Complexa
Potência complexa em regime permanente c.a.
Útil para determinação e a correção de fatores de potência associados a cargas
interconectadas.
Representações fasoriais para e :
Fasores eficazes:
v =Vm cos ωt +φ( ) i = Im cos ωt +φ −θ( )
V =Vm exp jφ( ) I = Im exp j φ −θ( )"#
$%
Veficaz =V2=Veficaz exp jφ( ) Ieficaz =
I2= Ieficaz exp j φ −θ( )"
#$%
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Potência média:
mas
onde I*eficaz é o complexo conjugado de Ieficaz. Logo,
Veficaz I*eficaz = potência complexa cuja parte real é a potência média:
onde Q é a potência reativa (unidade: VA reativo = var).
Módulo da potência complexa = potência aparente:
P =Veficaz Ieficaz cosθ =EulerRe Veficaz Ieficaz exp jθ( ){ }
VeficazIeficaz* =Veficaz Ieficaz exp jθ( )
P = Re VeficazIeficaz*{ }
S =VeficazIeficaz* = P + jQ
S = VeficazIeficaz* = Veficaz Ieficaz
* =Veficaz Ieficaz
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Assim,
Para uma impedância Z, temos que senθ = Im{Z}/|Z|, logo
ou, de forma análoga:
Q = Im S{ }=Veficaz Ieficaz senθ
Q =Veficaz IeficazIm Z{ }Z
=VeficazZ
Ieficaz Im Z{ }= Ieficaz2 Im Z{ }
Q =Veficaz2 Im Z{ }
Z2
Ieficaz
Veficaz
θ
Im
Re
Componente em quadratura de Ieficaz
Componente em fase de Ieficaz
Produz a potência ativa P
Produz a potência reativa Q
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Potência complexa em termos de um diagrama:
Carga indutiva (fp atrasado) 0 < θ ≤ 90º, Q > 0:
Carga capacitiva (fp adiantado) -90º ≤ θ < 0, Q < 0:
Carga com fp = 1 requer Q = 0, pois θ = 0:
Re
Im
P
Q S
θ
Im Re P
Q S
θ
θ = tan−1 QP"
#$
%
&'
Re
Im
S = P
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Z1 Z2
Ieficaz
Veficaz
I1, eficaz I2, eficaz +
-
Potência complexa associada a uma carga composta de duas impedâncias:
A potência complexa entregue pela fonte às cargas interconectadas é igual a
soma das potências entregues a cada carga individual.
Princípio da conservação de potência!
S =VeficazIeficaz∗ =Veficaz I1,eficaz + I2,eficaz( )
∗
S =VeficazI1,eficaz∗ +VeficazI2,eficaz
∗
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A conservação de potência complexa pode ser usada para corrigir o fator de
potência.
Exemplo:
Potência complexa entregue à carga original Z:
Conectando uma reatância pura Z1 em paralelo com Z resulta:
Pela conservação de potência complexa, para a carga resultante, temos:
A potência média P entregue a carga não se altera com o acréscimo de Z1.
Z1 Z = R + jX
I1 I
ZT
S = P + jQ
S1 = jQ1
ST = S+S1 = P + j Q+Q1( )
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Exemplo: Mudar o fator de potência para FP = 0,95 (atrasado).
Potência complexa para a carga não corrigida:
Temos que QT = Q + Q1 , então
1 H vg = 100cos(100t) [V]
100 Ω
+ -
i
S =VeficazIeficaz∗ = P + jQ = 25+ j25
Veficaz = 70,7 V!" #$
Ieficaz =VeficazZ
= 0,3535 1− j1( ) A"# $%
θ = tan−1QTP
"
#$
%
&'
Z =100+ j100 =100 2∠45° Ω
Ieficaz∗ = 0,3535 1+ j1( ) A"# $%
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Portanto,
e
O valor de Q1 é:
Como e temos:
FP = cosθ = cos tan−1QTP
"
#$
%
&'
(
)**
+
,--
QT = P tan cos−1 FP( )"
#$%
= 25tan cos−1 0,95( )"#
$%
= 25tan 18,2°( )
= 8,22 vars"# $%
Q1 =QT −Q = 8,22− 25= −16,78 vars"# $%
Q1 =Veficaz2 Im Z1( )
Z12 Z1 = jX1
Q1 =Veficaz2
X1
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Resolvendo para X1 obtemos:
Que representa uma capacitância C = -1/(ωX1) = 33,6 µF.
X1 =Veficaz
2
Q1=
70,7( )2
−16,78= −297,9 Ω
1 H vg = 100cos(100t) [V]
100 Ω
+ -
i
33,6 µF
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Exemplo: Z1 representa uma carga de 10 kW com fp1 = 0,9 (atrasado) e Z2
representa uma carga de 5 kW com fp2 = 0,95 (adiantado):
Para Z1, temos:
onde
Z1 Z2
Ieficaz
Veficaz
I1, eficaz I2, eficaz +
-
S1 = P1+ jQ1
P1 =104 W!" #$
θ1 = cos-1 f p1( ) = cos-1 0,9( ) = 25,84°
Q1 = P1 tan θ1( ) = 4843 vars!" #$
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Para Z2, temos:
onde
A potência complexa total é:
Portanto, para as cargas associadas:
S2 = P2 + jQ2
P2 = 5⋅103 W"# $%Q2 = P2 tan θ2( ) = −1643 vars"# $%
ST = S1+S2 = 104 + j4843( )+ 5⋅103 − j1643( )
=1,5⋅104 + j3200
θ = tan-1 32001,5⋅104"
#$
%
&' =12,04° f p = cosθ = cos 12,04°( ) = 0,978 atrasado( )
θ2 = cos-1 f p2( ) = cos-1 0,95( ) = −18,2°
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12.5 Medição de Potência
Dispositivo que mede a potência média que é entregue a uma carga ⇒
wattímetro.
Wattímetro: possui uma bobina rotativa de alta resistência de tensão conectada
em paralelo com a carga e uma bobina fixa de baixa resistência de corrente, que
é conectada em série com a carga.
Conexão típica:
Carga
I
Bobina de corrente
Bobina de tensão
±
±
+ V -
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Tensão na bobina de corrente = 0
Corrente na bobina de tensão = 0
Um terminal de cada bobina é marcado com o símbolo ± tal que, se a corrente
entra no terminal ± da bobina de corrente e o terminal ± da bobina de tensão é
positivo com relação ao outro terminal, então o medidor dá uma medida positiva.
Na figura anterior, isto corresponde a carga absorvendo potência.
Se a conexão dos terminais ou da bobina de corrente ou da bobina de tensão
(mas não ambas) for invertida a leitura será negativa.
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O wattímetro abaixo está conectado para indicar:
Um medidor de potência aparente ou VA simplesmente mede o produto da
tensão eficaz pela corrente eficaz.
O varímetro mede a potência reativa.
P = V ⋅ I cosθ
Carga
I
Bobina de corrente
Bobina de tensão
±
±
+ V -