Capitolo 2 Idrostatica
Stato tensionale di un fluido in quiete
• Equilibrio di un cilindro infinitesimo di
fluido
x1
F1
F2
F3
dx1
a
z
13
2
1
1
1
F
F
F
xA
Ap
Axx
pp
dd
d
dd
0cos11
1
addddd xAAx
x
ppAp
01
1
zx
x
pdd
01
1
1
1
x
x
zx
x
pdd
La legge di Stevino
• d(z + p/) = 0
• z + p/ = cost.
• zA+pA/=zB+pB/
• …
Attenzione alle ipotesi !!!Simone Stevino, noto anche
come Simon Stevin o Simone
di Bruges
(Bruges, 1548 – L'Aia, 1620)
Under pressure :-)
• Piani orizzontali isobari
• Pressioni assolute, pressioni relative
• Unità di misura della pressione nel SI
• Unità di misura comuni per la pressione
atmosferica (mH2O, mmHg, atm )
Applicazione: l’esperienza di Torricelli
Calcolare il valore della pressione
atmosferica sapendo che:
• hHg=0.76 m
• rHg=13595 kg/m3
• che nel tubo è stato fatto il vuoto
Se si ripetesse l’esperimento con
acqua invece di mercurio, quanto
varrebbe hH2O ?
Evangelista Torricelli
(Faenza 1608 – Firenze 1647)
Pressione atmosferica
1 atm =
= 101325 Pa = 101325 N/m² = 1013.25 hPa = 1013.25 mbar
= 760 mm di mercurio (mmHg)
= 10.33 mH2O
Applicazione: serbatoio aperto
Tracciare (in scala !) il
diagramma delle
pressioni relative lungo
la parete e il fondo del
serbatoio.
Tracciare inoltre il
diagramma delle altezze
piezometriche.
h
Spinta idrostatica e centro di spinta:
pareti piane
• Spinta idrostatica
• Centro di spinta
• Calcolo mediante la geometria delle masse
• Proprietà della spinta e del centro di spinta
Spinta idrostatica su pareti piane
“Il modulo della spinta è pari al prodotto della
pressione nel baricentro della parete bagnata per
l’area della parete stessa”
Centro di spinta su pareti piane
“La coordinata x (distanza dalla retta di sponda) è data dal rapporto tra i momenti d’inerzia e statico rispetto alla retta di sponda.
La coordinata h (distanza dall’asse x) è data dal rapporto tra i momenti centrifugo xy e statico rispetto alla retta di sponda.”
Baricentri e Momenti d’inerzia
G
y
x
b
h
Origine degli assi nell’intersezione
delle diagonali
• xG = 0
• yG = 0
• Ix = bh3/12
• Iy = hb3/12
• Ixy = 0
Baricentri e Momenti d’inerzia
G
y
xb
h
Origine degli assi nell’intersezione
della base e dell’altezza
• xG = 0
• yG = h/3
• Ix = bh3/36
• Iy = hb3/48
• Ixy = 0
Baricentri e Momenti d’inerzia
G
y
x
r
Origine degli assi nel centro del
cerchio
• xG = 0
• yG = 4/3 r sen3a/(2a-2sena)
• Ix = I’+ Ae2
• I’ = r4 (2a/8-1/4 sen 2a cos32a)
• A =1/2 r2 (2a-sen2a)
• Iy = r4/8 (4a-sen 2a)
• Ixy = 0
2a
e
Baricentri e Momenti d’inerzia
G
y
x
r
Origine degli assi nel centro del
cerchio
• xG = 0
• yG =2/3 r sena/a
2a
Esercizio
Nella figura sottostante è rappresentata una paratoia piana
verticale sulla quale si esercita la spinta di un liquido
omogeneo (r = 1000 kg/m3). Sulla base dei dati riportati si
tracci, in scale grafiche a scelta, il diagramma delle pressioni
e si calcoli la spinta per unità di lunghezza della paratoia,
nonché la posizione del centro di spinta.
5.4 m
Esercizio
Si consideri l’autoclave in figura a cui è collegato un manometro a
mercurio (rHg = 13546 kg/m3) e un manometro metallico (M).
a) si determini la spinta per unità di larghezza
sulla parete A’M essendo h = 3 m e ∆ = 0,10 m;
b) si determini il nuovo valore di ∆ nel caso
l’apertura del rubinetto R faccia abbassare di 1
m il livello dell’acqua (h=2 m) e il manometro
metallico segni una pressione (assoluta) pari a
pM = 90 kN/m2.
c) con riferimento alle due condizioni di
funzionamento descritte ai punti precedenti, si
tracci nelle opportune scale grafiche il
diagramma delle pressioni relativo ad una
verticale interna all’autoclave.
Equazione globale dell’idrostatica
Equilibrio di un volume
infinitesimo|V
Legge di Stevino
x1
F1
F2
F3
dx1
a
z
Equilibrio di un volume
finito|V
Equazione globale
W
s=(W)
FTOT = FMASSA+FSUPERFICIE = 0
Equazione globale dell’idrostatica
Forze di massa (G):
– In generale f = (fx,fy,fz)
– Se agisce il solo peso f = (0,0,-g)
W
s=(W)
dG = f dM = f r dW
G = fW f r dW
dW
Equazione globale dell’idrostatica
Forze di superficie (P):
– Dipendenti dallo stato tensionale
dP = fn ds = p n ds
P = fs p n ds
p = p(z) (legge di Stevino)
W
s=(W)
ds
n
Spinta su pareti curve
• Differenze rispetto al caso di
parete piana
• Tre componenti della spinta
(in generale)
• Il caso piano
• Scelta del volume di
controllo
• Applicazione dell’equazione
globale per il calcolo delle
singole componenti
W
Esercizio
Si determini il modulo della spinta complessiva e la sua retta di
azione sulla parete di lunghezza unitaria di profilo ABC. Si
rappresentino i risultati ottenuti anche in forma grafica.
A
r
r
r
r=1020 Kg/m3
C
B
r = 2.50 m
Esercizio
Si determini il modulo e la retta d’azione della spinta
dell’acqua sulla paratoia a settore circolare AB lunga L = 5 m
rappresentata in figura. Si rappresentino anche in forma
grafica i risultati dei calcoli svolti.
h1= 3 m
h2 = 4 m
Esercizio
Sia dato un serbatoio a base quadrata, con una
coppia di pareti opposte inclinate sulla orizzontale
dell’angolo a, pieno di acqua per una altezza h. Si
tracci il diagramma delle pressioni e delle altezze
piezometriche lungo le pareti del serbatoio. Si
calcoli, inoltre, la pressione vigente nel baricentro
delle pareti a contatto con il liquido.
Per il tirante h=3.00 m fare i calcoli adottando per
l’angolo a i seguenti valori: a = 30°, a = 45°, a =
60°. Per l’angolo a = 60° effettuare i calcoli
adottando il tirante h=3.00 m, h=5.00 m, h=10.00 m.
Esercizio
Sia dato il serbatoio in figura, alto
10.00 m, riempito nello strato
inferiore con olio di densità r = 850
kg/m3 per una altezza h = 7.00 m.
Tracciare il diagramma delle altezze
piezometriche lungo la parete
verticale nelle ipotesi che il gas che
sovrasta l’olio presenti in un caso la
pressione po=2000 N/m2 e in un
secondo caso la pressione po = patm.
h
Esercizio
Esercizio
E’ dato un serbatoio con pianta
rettangolare di dimensioni: BC = 2.5
m, BL = 3.5 m ed altezza 3.0 m.
Sul fondo della parete lunga è
inserito uno sportello alto CE = 0.40
m e largo CM = 0.50 m. Detto
sportello è incernierato in E ed è
contrastato da un dente in C.
Calcolare la forza agente sul dente C
quando il serbatoio è pieno di acqua
per una altezza AB di 3.20 m.
Variante…lo sportello CE ha forma
circolare …
Obiettivi formativi essenziali
• Il concetto di pressione
• Definizione di quota piezometrica
• Saper applicare la legge di Stevino
• Calcolare la spinta idrostatica ed il centro di
spinta su una parete piana
• Saper applicare l’equazione globale al
calcolo della spinta su una parete curva