水理学Ⅱ及び同演習 第12回 開水路の流れ③
(等流水深・合成粗度・有利断面)
目標:開水路における等流水深,粗度の異なる水路の粗度係数・流量最大となる有利断面の計算法を理解する ・Manningの式やChezyの実用式から円管断面内や台形断面における等流水深を求める ・潤辺の粗度が異なる水路の粗度係数を求める ・流量を最も流しうる断面形(水理学的有利断面)について理解する
開水路の等流 開水路の等流
水柱の重さの流れ方向成分 =潤辺に働く摩擦応力
hA
gAQ
AQ
gRdxdh
∂∂α
−θ
ϕ−θ
=
3
2
2
2
cos
1sin
一様断面(dB/dx=0) の基礎式
基礎式の分子=0 (等流dh/dx=0)
AgRQ ⋅θϕ= sin θϕ== singRvAQ
等流dh/dx=0であるから, エネルギー勾配I=水路床勾配sinθ
*ugRIvAQ
ϕ=ϕ==gRIu
ρ=τρ≡τ
0
2*0
*/ uv≡ϕ流速係数
流速係数ϕ 実河川の開水路流れ
skR
uv
10*
log75.50.6 +=ϕ=
粗面に適する対数(平均流速)式
Manningの平均流速公式(実用式として広く用いられる)
gRIgn
RIRn
v6/1
2/13/21== gRIu =* gn
Ruv 6/1
*=ϕ=
Chezyの平均流速公式(不等流計算によく用いられる)
gRIg
CICRv == 2/12/1 gRIu =* gC
uv
=ϕ=*
Re数が大きく,粗い面が多いため,以下の実用式を用いた(流速係数)が適用される
開水路・河川のnの値(表5.1)
等流の計算1 等流水深h0
Manningの式(5.30)や Chezyの式(5.31)を満たす水深h0
2/13/22/12/1 1 IARn
ICARAvQ ===
Chezy Manning
通水能Kを導入
3/22/1 1 ARn
CARK == 0KI
Q=
3/200
2/1000
1 RAn
RCAK ==
添え字0:等流における値
粗度・断面形が 与えられた水路
通水能Kは水深hの関数 (式5.18からhcを求める方法と同様) CZ
gQ
=
限界水深を求める式 (教科書P136例題5.1より)
等流の計算2 (広長方形水路)
0h
b
0
0000 2
,hb
bhRbhA+
==
等流時の断面積Aと径深R
2/12/1
0
00
2/12/1
0
0000 212
Ibh
hChIhb
bhChvhq
+
=
+
==Chezy
単位幅あたりの流量q
2/13/2
0
00
2/13/2
0
0000 21
12
1 Ibh
hn
hIhb
bhn
hvhq
+
=
+
==Manning
広長方形水路の場合
幅bで等流水深h0の水路
00 →bh
2/12/30 IChq =
2/13/50
1 Ihn
q =
3/2
0
=
ICqh
5/3
0
=
Inqh
等流水深 (Chezy)
等流水深 (Manning)
直径D(半径r)の円管水路
rr
D
h
ϕ r
2cos ϕr
2sin ϕr
ϕ
−=ϕ
−=2
cos12
cos rrrh:水深
21
2cos
2sin2
21 2 ×
ϕ×
ϕ×−ϕ= rrA:断面積
{ } ϕ=−ϕ=
ϕ×
ϕ=
sin2
0sinsin2
2cos
2sin
222
2
rr
r
三角形の面積扇形の面積
( )ϕ−ϕ=∴ sin21 2rA:断面積 ϕ= rs:潤辺
2sin2 ϕ
= rB:水面幅
( )ϕ
ϕ−ϕ=
ϕ
ϕ−ϕ==
2sinsin
21 2
rr
r
sAR:径深
等流水深を求めるための通水能K 限界水深を求めるための断面係数Z を定義する
半径rと扇型の角度ϕで表すことができる
円管水路における 通水能K (無次元)
( )ϕ−ϕ= sin21 2rA:断面積
2sin2 ϕ
= rB:水面幅ϕ
ϕ−ϕ=
2sinrR:径深
3/2ARK =:通水能 水面幅B,径深R,断面積Aを用いて直径Dで無次元化
( )( )
ϕ
ϕ−ϕ⋅
ϕ−ϕ=
ϕ
ϕ−ϕ
⋅
ϕ−ϕ
=3/2
3/23/2
3/23/2
2
2
3/2
3/2
2 2sin
21sin
812
sin2
sin22
1
D
D
D
D
DR
DA
無次元化された通水能は扇角ϕのみの関数
円管水路における 断面係数Z (無次元)
( )ϕ−ϕ= sin21 2rA:断面積
2sin2 ϕ
= rB:水面幅ϕ
ϕ−ϕ=
2sinrR:径深
水面幅B,径深R,断面積Aを用いて直径Dで無次元化
( )( )
2sin
1sin641
81
2sin
22
sin22
13
6
363
6
3
ϕ⋅ϕ−ϕ×=
ϕ⋅
ϕ−ϕ
= DD
D
D
BD
DA
BAZ /3=:断面係数
無次元化された断面係数は扇角ϕのみの関数
無次元化された通水能Kと断面係数Z
( )
ϕ
ϕ−ϕ⋅
ϕ−ϕ=
3/2
3/23/2
3/2
2 2sin
21sin
81
DR
DA
( )2
sin
1sin641
81 3
6
3
ϕ⋅ϕ−ϕ×=
BD
DA
通水能K
断面係数Z 扇角ϕ(またはh/D) のみの関数
扇角ϕが分かれば 通水能Kと断面係数Z が求められる. 求めた通水能KをManningの式(平均流速公式)に代入
03/2
01 KARnI
Q== 流量Q,勾配I,粗度係数nを与えれば
等流水深h0が求まる
cc
c ZBA
gQ
≡=3求めた断面係数Zを
ブレスの定理(5.10)代入 流量Qを断面形から 限界水深hcが求まる
底幅b,側壁勾配mの台形水路
h
b
m1
B mh
2
222
1 mh
hmh
+=
+
m1
( )
bhm
bmh
hhmb
mhbhsAR22 121
1
12/
++
+=
++
+==:径深
( ) ( ){ } ( )mhbhhbmhbhBbA +=++=+= 221
21
:断面積
mhbB 2+=:水面幅 hmbs 212 ++=:潤辺
無次元化された通水能Kと断面係数Z 通水能K (無次元)
( )
3/2
2
3/2
3/2
3/2
23/2
23/2
3/2
2
/121
/11
/121
/1
++
+
⋅
+=
++
+
⋅+
=
bhm
bmhbh
bhm
bh
bbhm
bmhh
bmhbh
bR
bA
断面係数Z(無次元)
( ) ( )bmh
bmhbh
mhbb
bmhbh
Bb
bA
/211/1
23
3
6
33
6
3
+⋅+
=
+⋅
+=
h/bとmの関数
無次元化した通水能Kと 断面係数Zはh/bとmの関数
これらの関係の図表を作成することで 等流水深と限界水深の概略値を求める ことができる.
円管の水理特性曲線 用水路、排水路の横断管、下水管などに用いられる円形断面水路では、 各水深に応ずるs(潤辺),A(流積),R(径深),v(流速)及びQ(流量)を 満管の場合のs0、A0,R0,v0,Q0で割って,s/s0, A/A0, R/R0, v/v0, Q/Q0を水深h/h0の関数として図示しておけば実用上便利になる.これを、水理特性曲線という.
流速、流量の最大値は満管のときではなく,それよりもやや小さな場合に起きる.最大流速はh/D=0.813、最大流量はh/D =0.938のときに起こる
最大流量 最大流速
例題5.3(台形断面の等流水深)
側壁勾配m(=1.5)と底幅b(=5m),流量Q(=20m3/s) , 粗度係数n(=0.016),水路勾配I(=1/2500)が与えられている
台形断面の等流水深h0を求める
3/2
2
3/2
3/8
3/2
/121
/11
++
+
⋅
+=
bhm
bmhbh
bhm
bh
bAR
通水能K (無次元)
としてη=bh
( ) ( ) ( )η=
η++
η+η⋅η+η= ,
121
113/2
2mf
m
mm
m,η の関数 等流水深h0の計算方法
対数軸に図を作成(図5.16) η=0.1,0.2….と変化させ f(m,η)をプロット
0.162500/120016.02/1
3/2 =×==InQAR
通水能K b=5mの場合に 対応するηを求める
( ) 22.05
0.16, 3/8 ==ηmfm825.15365.0
0
=×=×η= bh
等流水深h0
合成粗度 潤辺が異なる粗度からなる水路 (複断面河川にある高水敷・低水路 底面と側壁の粗度が異なる長方形水路etc.)
粗度係数niの種類 によって断面を分割
2/13/22/13/2 11 IRn
IRn
v ii
i ==
分割断面(i=1,2,3…)毎の 流水面積Ai,潤辺si 平均流速vi,流量Qi ,径深Ri
∑∑ ==== iii
ii ssAA
sAR
sAR ,,,
3/23/2 11
=
i
i
i sA
nsA
n
∑∑∑ ==
=
iiii
i
i
i
i snA
snA
sA
nsA
n 2/32/32/32/311
3/22/3
= ∑
ssn
n ii
合成粗度係数
A1 A2 A3 n3 s3
n2 s2
n1, s1
∑=→ iiii baba※テンソル表記
水理学的に有利な断面
水理学的に有利な断面とは 水路勾配I,断面積A,粗度係数nが与えられた時に
流量Qを最も流しうる断面のこと
2/13/21 IARn
Q =
最小の断面で一定流量の水を流すことが可能
径深Rを最大にする
潤辺sを最小にする sAR =
水理学的に有利な断面(台形)
hmmhhAhmbs 22 1212 ++−=++=
( )mhbhA +=
012 22
.
=++−−=
∂∂
=
mmhA
hs
constAmm
Ah−+
=2
2
12
−+= mmhA 22 12
水理学的有利断面
mhhAb −=
①
底面幅
−++= 22121 hmmA
hs
勾配mも変数として考える場合は,式①を変形して式②を代入
②
0
.
=
∂∂
=ms
constA
水理学的有利断面
hbhm3
2,3
1==
補足①参照
限界勾配(ic) 1
BA
gQ 32
cos=
θα限界水深hcの式
(5.10) 水路勾配に無関係 (流量・断面形で決まる)
等流水深h0の式(5.34)
3/200
1 RAnI
Q= 水路勾配に関係(流量・断面形・
粗度係数で決まる)
限界勾配とは,ある与えられた流量に対して等流水深h0=限界水深hcとなる 勾配が存在する.この勾配のことを「限界勾配」という
①
②
式①,式②から流量Qを消去
IRAn
Q 3/422
2 1= B
AIRAng
33/42
21
cos=
θα
BA
RgniI c ⋅
α== 3/4
2
1cos ≈θ
限界勾配(ic=tanθc)
Chezyの式を用いると.. 2/12/1 ICARQ = ( )
BARIAC
g
322
cos=
θα
BA
RCgiI c ⋅
α== 2
限界勾配(ic) 2 急勾配水路(i > ic)
ch
0h
等流水深h0<限界水深hc
緩勾配水路(i > ic)
ch
0h
等流水深h0>限界水深hc
等流ではh0 < hc
水路勾配I=i < ic
急勾配水路(steep slope)
緩勾配水路(mild slope)
水路勾配I=i > ic
等流ではh0 > hc
流量や断面形,粗度係数が一定あれば 限界水深hcは水路勾配iに関係なく一定 等流水深h0は水路勾配iが増すと減少
BhnI
Q 3/50
1= 広矩形断面の
等流水深h0の式
2/2[バス]
補足① 式(5.44)の導入
( ){ } ( ){ }( ){ } 2/12/12
2/122/12/122/1
2/1
12
112112mm
mmAmmFA
mF
Fs
ms
−+
−+=−+=
∂∂
∂∂
=∂∂
−−
−++= 22121 hmmA
hshmmh
hAs 212 ++−=
012 22
.
=++−−=
∂∂
=
mmhA
hs
constA
mm
Ah−+
=2
2
12
−+
−++
−+= A
mm
mmAA
mms2
22
12
1212
1
2/122/1
2/1
2/12
12212
2
−+=
−+
= mmAA
mmAs
Fとおく
となればよいとなるには分子 00 ==∂∂ms ( ) 0112
2/12 =−+−
mm 114
2
2=
+ mm
13 2 =m31
=m式(5.43) に代入
hhhb3
23
13
223
13112 =
−=
−+=