®® Gabriel Cano GGabriel Cano Góómez, 2009/10 mez, 2009/10 Dpto. FDpto. Fíísica Aplicada III (U. Sevilla)sica Aplicada III (U. Sevilla)
Campos ElectromagnCampos ElectromagnééticosticosIngeniero de TelecomunicaciIngeniero de Telecomunicacióónn
I. Fundamentos I. Fundamentos matemmatemááticosticos
4. Campos vectoriales4. Campos vectoriales
2Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
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1.1. Coordenadas curvilCoordenadas curvilííneasneas2.2. Sistemas de coordenadas ortogonalesSistemas de coordenadas ortogonales3.3. Campos escalaresCampos escalares4.4. Campos vectorialesCampos vectoriales
I. FundamentosI. Fundamentos matemmatemááticosticos
DefiniciónPropiedades generales
Líneas y tubo de campoFlujo de un campo vectorial
5.5. Divergencia y rotacionalDivergencia y rotacional6.6. Operadores diferencialesOperadores diferenciales7.7. Teoremas integralesTeoremas integrales
3Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
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DefiniciDefinicióónnen una región del espacio existe un campo vectorial cuando en cada punto hay un valor de magnitud vectorial
con módulo, dirección y sentido
concepto matemático: a cada radio-vector (r∈R3) le hace corresponder un vector A(r)∈R3
puede expresarse como una función vectorial –y monovaluada— de la posición: función de campo
Campo vectorialCampo vectorial
OX
Y
Z r=r(q1,q2,q3)
P P ∈∈ EE33 AA((PP)) ∈∈ RR33
r=rr=r(q1,q2,q3) ⇒⇒ AA((rr)=)=AA(q1,q2,q3)
OP=OP=rr ∈∈ RR33 AA==AA((rr) ) ∈∈ RR33
PAA((PP))
AA==AA((rr))
4Campos ElectromagnCampos Electromagnééticos (I. Telecomunicaciticos (I. Telecomunicacióón) I. n) I. Fundamentos matemFundamentos matemááticosticos
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LLíínea de camponea de campocurva Γ cuya tangente en cada punto P tiene la dirección de A(P)
las líneas de un campo vectorial NO se pueden cortar:
si se cortasen, A(P) tendría dos valores distintos!!!
Tubo de campoTubo de campoconjunto T={T={ΓΓ11,,……, , Γ Γ nn,,……}} de las líneas del campo A=A(r)ecuación de la familia de líneas:
Campo vectorial: propiedades generalesCampo vectorial: propiedades generales
Γj
OX
Y
Z
dr|ΓP
AA==AA((rr))
ΓiAA((PP))==AAjj??
AA((PP))==AAii??
r
PP
dr|Γj
dr|Γi
AA((PP))
Γ1
Γ3
Γ2
Γn
ddrr||ΓΓ = = dsds uuΓΓ((PP););
Τ: Τ: ddrr ×× AA((rr)) = 0 = 0
( )( )
( )con P
PPΓ =
AA
uΓ
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Flujo elementalFlujo elemental
flujo a través del elemento de superficie δΣ:
valor del flujo elemental:
dΦ|P = dS·A(P) ∈ ú
d 0Φ <d 0Φ > d 0Φ =
π/2 θ π< ≤ 0 θ π/2≤ <θ π/2=Flujo total en Flujo total en ΣΣ
contribución neta de flujos elemen-tales a través de la superficie Σ
dΣ Σ
Φ = Φ∫ ( ) dΣ
= ⋅ ∈∫ A r S
∼ΠΣ
Flujo de un campo vectorialFlujo de un campo vectorial
⊥ΠΣPlano tangente
a Σ en P
dΦ|P = |A(P)|cos θ dS
cos dSΣ Σ
Φ = ∫ A θ
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Elemento de circulaciElemento de circulacióónn
circulación sobre un elemento dr|Γde curva Γ:
valor del elemento:
dΖ|P = A(P)·dr ∈ ú
CirculaciCirculacióón sobre una curvan sobre una curvacontribución neta de los elementos de circulación entre dos puntos de Γ
dB
AZ Z
ΓΓ
= ∫ ( )·dB
AΓ
= ∈∫ A r r
ΔΓ|P
CirculaciCirculacióón de un campo vectorialn de un campo vectorial
dZ|P = |A(P)|cosθ ds;
cosB
AZ dsθ
ΓΓ
= ∫ A
AA((PP))
AA((rr))
dr|ΓP
Γ
θ
ΔΓ ||
0 θ π/2≤ <θ π/2=
AA
AA
AAdr
dr drd 0Z <
d 0Z =d 0Z >
π/2 θ π< ≤Γ
A
B
Recta tangente a Γ en P
(ds=|dr|)