CÁLCULO VETORIAL E
GEOMETRIA ANALÍTICA
EDILENE PEREIRA BORGES CARLOS
O Plano
Equação Geral do Plano
2
Seja
𝐴(𝑥1, 𝑦1, 𝑧1) ponto ϵ plano π
𝑛 = 𝑎, 𝑏, 𝑐 , 𝑛 ≠ 0, um vetor normal (ortogonal) ao plano
𝑛 ⊥ π, 𝑛 é ortogonal a todo vetor representado em π.
P(x, y, z) ponto ϵ plano π
𝐴𝑃 é ortogonal a 𝑛
ax + by + cz + d = 0 equação geral do plano
Equação Geral do Plano
3
Exemplo 1:
Seja 𝜋: 2𝑥 − 3𝑦 + 4𝑧 + 1 = 0
a) Determine um dos componentes normais 𝑛 = 2,−3,4
b) obtenha o ponto B que pertence ao plano
Dando valores a x e y: x = 2 e y = -1
2.2 -3.(-1) + 4z + 1 = 0
4 + 3 +4z + 1 = 0
z = -2
B(2, -1, -2)
Equação Geral do Plano
4
Exemplo 2:
Obtenha uma equação do plano 𝜋 que passa pelo ponto A(2, -2, 1) e tem 𝑛 = −3, 1, 5
como um vetor normal.
ax + by + cz + d = 0
Substituindo o vetor normal temos:
-3x + 1y + 5z + d = 0
Substituindo o A na equação do plano temos:
-3. 2 + 1. (-2) +5. 1 + d = 0
-6 – 2 +5 + d = 0
d = 3
Logo a equação geral do plano é
-3x + 1y + 5z + 3 = 0
Equação Geral do Plano
5
Exemplo 3:
Escreva uma equação geral do plano 𝜋 que passa pelo ponto A(-2, 0, 1) e é paralelo ao
plano 𝜋1: 2𝑥 + 3𝑦 − 2𝑧 + 4 = 0.
Solução:
“um vetor normal a um plano também é normal a qualquer plano paralelo a ele”
π // π1
Vetor 𝑛1 = (2,3, −2) normal a π1 é também normal a π.
Uma equação de π é: π: 2x +3y – 2z + d = 0
𝐴 ∈ 𝜋
2. (-2) +3.0 – 2.1 + d = 0
d = 6
𝜋 : 2x + 3y – 2z + 6 = 0
Equação Geral do Plano
6
Exemplo 4:
Seja a reta 𝑥 = 3 + 2𝑡𝑦 = −2 − 2𝑡𝑧 = 1 − 3𝑡
ortogonal ao plano 𝜋 que passa pelo ponto A(1,3,4). Determine
uma equação geral do plano e represente-o graficamente.
Solução:
𝑛 = (2, −2,−3) A(1,3,4)
3x + 2y + z + d = 0
2.1 - 2.3 – 3.4 + d = 0
d = 16
2𝑥 − 2𝑦 − 3𝑧 + 16 = 0
Equação Geral do Plano
7
Exemplo 4: continuação
x = 0 e y = 0, então z = 5,3
x = 0 e z = 0, então y = 8
y = 0 e z = z, então x = -8
𝐴1(5,3; 0; 0) 𝐴2(0, 8, 0) 𝐴3(0, 0, −8)
Equação vetorial e equações paramétricas do plano
8
Seja:
𝐴 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 ∈ 𝑝𝑙𝑎𝑛𝑜 𝜋
𝑢 = 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 𝑒 𝑣 = 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 𝑣𝑒𝑡𝑜𝑟𝑒𝑠 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠 𝑎 𝜋
𝑢 𝑒 𝑣 𝑛ã𝑜 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜𝑠
Para todo ponto P do plano, os vetores 𝐴𝑃, 𝑢 𝑒 𝑣 𝑠ã𝑜 𝑐𝑜𝑝𝑙𝑎𝑛𝑎𝑟𝑒𝑠
𝑃 𝑥, 𝑦, 𝑧 ∈ 𝜋 ↔ ∃ 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜𝑠 𝑟𝑒𝑎𝑖𝑠 ℎ 𝑒 𝑡 𝑡𝑎𝑖𝑠 𝑞𝑢𝑒
𝑃 − 𝐴 = ℎ 𝑢 + 𝑡 𝑣
𝑃 = 𝐴 + ℎ 𝑢 + 𝑡 𝑣
Logo,
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + t 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 , ℎ, 𝑡 ∈ 𝑅
Equação vetorial do plano
Equação vetorial e equações paramétricas do plano
9
Seja:
Logo,
𝑥, 𝑦, 𝑧 = 𝑥0, 𝑦0, 𝑧0 + ℎ 𝑎1, 𝑏1, 𝑐1 + t 𝑎2, 𝑏2, 𝑐2 , ℎ, 𝑡 ∈ 𝑅
𝑥 = 𝑥0 + 𝑎1ℎ + 𝑎2𝑡𝑦 = 𝑦0 + 𝑏1ℎ + 𝑏2𝑡𝑧 = 𝑧0 + 𝑐1ℎ + 𝑐2𝑡
Equações paramétricas de 𝜋
(h e t são denominados parâmetros)
Equação vetorial e equações paramétricas do plano
10
Exemplo 5: Dados
A(-2, 3, -2)
𝜋 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜 𝑢 −2,−2,−2 𝑒 𝑣 −1, 3, 2 , obtenha
a) Equação vetorial do plano
𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2,3, −2 + ℎ −2,−2,−2 + t −1,3,2
b) Equações paramétricas
𝑥 = −2 − 2ℎ − 𝑡𝑦 = 3 − 2ℎ + 3𝑡𝑧 = −2 − 2ℎ + 2𝑡
Equação vetorial e equações paramétricas do plano
11
Exemplo 5: continuação 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2,3, −2 + ℎ −2,−2,−2 + t −1,3,2
c) Um ponto C ∈ 𝜋
Dar valores a h e t (parâmetros)
h = 0 e t = 1
𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2, 3,−2 + 1 −2,−2,−2 − 2 −1, 3, 2
𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2, 3,−2 + 0,−8,−6
𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2,−5,−8
x = -2, y = -5, z = -8
Equação vetorial e equações paramétricas do plano
12
Exemplo 5: continuação 𝑥, 𝑦, 𝑧 = −2,3, −2 + ℎ −2,−2,−2 + t −1,3,2
d) Equação geral do plano ax + by + cz + d = 0
Precisamos do vetor normal e do ponto A
𝑢 𝑥 𝑣 = 𝑖 𝑗 𝑘−2 −2 −2−1 2 2
𝑖 𝑗−2 −2−1 2
𝑢 𝑥 𝑣 = 4i + 6j − 8k
𝑛 = 4,6, −8 𝑒 𝐴(−2,3, −2)
ax + by + cz + d = 0
4.(-2) + 6.3 -8.(-2) + d = 0
d = 26
Logo, 4x + 6y – 8z + 26 = 0