Download - Calculo Sup 2012
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Jaime Paredes Snchez
UNIVERSIDAD CATLICA LOS NGELES DE CHIMBOTEESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN
DEPARTAMENTO ACADMICO DE CIENCIAS
CLCULO SUPERIOR
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
1
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
NDICEPag.
CAPTULO 1: FUNCIONES REALES 41.1. Funcin. 4
1.2. Dominio y rango de una funcin. 6
1.3. Evaluacin de una funcin. 8
1.4. Funciones reales. 9
1.5. Funciones reales especiales. 11
1.6. Aplicaciones de las funciones. 19
1.7. Autoevaluacin 1 21
CAPTULO 2: LMITES Y CONTINUIDAD 232.1. Nocin intuitiva de lmite. 23
2.2. Definicin formal de lmite. 24
2.3. Teoremas para calcular lmites. 26
2.4. Clculo de lmites para formas indeterminadas 29
2.5. Lmites laterales. 30
2.6. Lmites infinitos 32
2.7. Lmites al infinito. 37
2.8. Continuidad de una funcin. 38
2.9. Discontinuidad. 39
2.10. Autoevaluacin 2 43
CAPTULO 3: DERIVADAS 453.1. Introduccin. 45
3.2. Derivada de una funcin. 46
3.3. Deduccin de reglas de derivacin. 48
3.4. Reglas de derivacin. 51
3.5. Derivadas de orden superior. 55
3.6. Aplicaciones de la derivada. 57
3.6.1. Razn de cambio. 57
3.6.2. Anlisis de crecimiento y decrecimiento. 57__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
2
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
3.6.3. Valores extremos de una funcin. 59
3.6.4. Concavidad y convexidad de una funcin. 68
3.6.5. Aplicaciones a las ciencias econmicas. 703.7. Derivadas parciales. 72
3.8. Autoevaluacin 3 74
CAPTULO 4: INTEGRALES 764.1. Antiderivada de una funcin. 76
4.2. La integral indefinida 80
4.3. Reglas bsicas de integracin. 80
4.4. Mtodos de integracin: Integracin por partes 83
4.5. La integral definida. 86
4.6. Aplicaciones de la integral definida. 91
4.6.1. reas de regiones planas. 91
4.6.2. Aplicaciones a las ciencias econmicas. 95
4.7. Autoevaluacin 4
BIBLIOGRAFA 100
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
3
-
A Bf
A B
g
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
CAPTULO 1
FUNCIONES REALES
1.1. FUNCINUna funcin de A en B es una relacin que asocia a cada elemento de un
conjunto A, con un nico elemento de un conjunto B. Las funciones se denotan
por: f, g, h,
Simblicamente:f : A B
x y = f (x)
( ){ })(,/,/, xfyByAxAXByxf ==Donde:
A = Conjunto de partida
B = Conjunto de llegada
Y= f(x): Se llama regla de correspondencia de la funcin. Decimos
que y es la imagen o valor de x por f. Adems, x es la variable
independiente e y es la variable dependiente.
Ejemplos:1) De las siguientes grficas, establecer cuales son funciones de
A en B.
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
4
1
3
5
2
4
6
1
3
5
2
4
6
-
A B
h
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Solucinf y h son funciones de A en B, pues a cada elemento A le corresponde un nico
elemento de B.
g no es funcin de A en B, pues a 3 A le corresponden 4 y 6 B; es decir,
ms de un elemento.
2) Establecer cuales de los siguientes conjuntos son funciones:
f = {(2;3), (4;5), (6;7), (8;9)}
g = {(2;4), (3;6), (5;8), (3;10)}
Solucinf es funcin, pues las primeras componentes no se repiten.
g no es funcin, pues la primera componentes 3 se repite en dos pares
ordenados.
3) Si f representa a una funcin dada por:
f = {(2; x + y), (4;8), (2;6), (4;x - y)}
Hallar el valor de: 2x - y
Solucin En una funcin, si dos pares ordenados tienen la misma primera componente,
entonces las segundas componentes deben ser iguales
Por lo que:
x + y = 6
x y = 8
De donde; resolviendo la sistema se obtiene:
x = 7 , y = - 1 __________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
5
1
3
5
2
4
6
-
A Bf
D(f) R(f)
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Luego: 2x y = 2 (7) (-1) = 15
4) R1 y R2, dadas al inicio, Son funciones?
Por qu?
1.2. DOMINIO Y RANGO DE UNA FUNCINSea la funcin:
f : A B
y y = f (x)
Luego:
Dominio de f. Denotado por Dom(f) D(f) esta dado por:
{ })(,//)( xfyByAxfD ==Conjunto de las primeras componentes, de los pares ordenados de f.
Rango de f. Denotado por Ran(f) o R(f), esta dado por:
{ })(, /)( xfyAxByfR ==Conjunto de las segundas componentes, de los pares ordenados de f.
Grficamente:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
6
2
4
6x y=f(x)
-
A Bf
2
4
6
8
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Ejemplos:Sean los conjuntos:
A = {1; 3; 5; 7} y B = {2; 4; 6; 8}
Hallar dominio y rango de:
1) f = {(1;4), (3;2), (5;6), (7;8)}
SolucinGrficamente:
2) ( ){ }11/, =+= yxAXByxgSolucin
(x, y) A X B, entonces la funcin g est definida de A en B, por lo que x A
e y B. Luego los pares ordenados que cumplen la relacin de
correspondencia: x + y = 11 son:
g = {(3; 8), (5; 6), (7; 4)}
De donde:
D(g) = {3; 5; 7}
R(g) = {4; 6; 8}
Grficamente:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
7
1
3
5
7
De donde:
D(f) = {1; 3; 5; 7}
R(f) = {2; 4; 6}
-
A1
3
57
B
g
2
4
68
x y
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
3) ( ){ }yxAyxh == /, 2Solucin:
A2 = A x A, entonces h es una funcin definida de A en A. de donde:
h = {(1;1), (3;3), (5;5), (7;7)}
Luego:
D(h) = {1; 3; 5; 7}
R(h) = {1; 3; 5; 7}
1.3. EVALUACIN DE UNA FUNCINConsideremos una funcin f con regla de correspondencia:
y = f(x) , x D(f)
Si x toma el valores especficos, por ejemplo x = x0, entonces se tiene:
y0=f(x0). Se dice que la funcin f ha sido evaluada en x0. En otras palabras:
Cuando x = x0, el valor de la funcin es f(x0)
Ejemplos:1) Si f(x) = 2x2 3x + 6, el valor de f en el punto x = 1 es:
f(1) = 2(1)2 - 3(1) + 6 = 5
2) Sea f(x) = ,5
3 xx hallar f(2)
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
8
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Solucin
Como x = 2 entonces 56
52)2(
)2(3
=
=f
Tambin se dice que f(2) = 56
es imagen de 2 por f.
1.4. FUNCIONES REALESLlamadas tambin funciones reales de variable real, son aquellas funciones
definidas de R en R, donde R es el conjunto de los nmeros reales.
Dominio y RangoSea la funcin real:
f : R R
x y = f (x)
Luego:
Dominio de f: { })(,//)( xfyRyRxfD ==Rango de f: { })(,/)( xfyRxRyfR ==
En otras palabras, el dominio es el conjunto de x R para el que existe un nico y R y el rango es el conjunto de y R que corresponden a x R.
Criterio para el clculo del dominio y rango de una funcinEl dominio de una funcin f se determina analizando los valores posibles que
pueda tomar x, de tal manera que y=f(x) sea un nmero real, salvo que dicho
dominio sea especificado.
El rango de una funcin f se determina despejando la variable x en funcin de
y, luego se analiza todos los valores posibles que pueda tomar y, de tal
manera que x sea un nmero real.
Ejemplo: Hallar dominio y rango de la funcin:
26)( xxxf =
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
9
-
- -3 2 +
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
i) Calculando el dominio
Como y = f(x) entonces: y = 26 xx
Luego y es real si 6 x - x2 0 pues no existe raz cuadrada de
un nmero real negativo.
De donde, por propiedad de las desigualdades:
x2 + x 6 0
Aplicando puntos crticos para inecuaciones:
(x + 3) (x -2 ) 0
Luego el dominio es: D(f) = [ ]2,3
ii) Calculando el rango
Como 26 xxy = , y 0
Despejando x en funcin de y:
Al elevar al cuadrado ambos extremos se obtiene:
y2 = 6 x + x2
De donde, ordenando y cambiando de signo:
x2 + x (6 y2) = 0
Por formula general para una ecuacin cuadrtica:
2))6()(1(411 2y
x
=
De donde:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
10
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
2))6(411 2y
x
=
Luego x es real si: 1 + 4 (6 y2) 0
De donde obtenemos. 425
425 y
25
25 y
y
25.
25
Por lo tanto: R(f) =
+
25,
25,0
De donde:
=
25,0)( fR
1.5. FUNCIONES REALES ESPECIALES Son aquellas funciones reales que por sus caractersticas toman el nombre de funciones reales especiales o solamente funciones especiales. Entre ellas tenemos:
a. Funcin constante. Se define por:
f ={(x,y) R x R /y = c, c=Constante}
Su dominio es D(f) = R, su rango R(f) = {c} y su grafica es una recta horizontal. Esto es:
X
f(x) = cc
y
b. Funcin identidad: Se define por:
f = {(x, y) R x R /y = x}
Su dominio es D(f) = R, su rango R(f)= R y su grfica es la recta de pendiente uno que divide al primer cuadrante del plano cartesiano en dos partes iguales.
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
11
-
xy = a + bxy
a
b
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
X
y = x
y
c. Funcin valor absoluto. Se define por:
f = {(x, y) R x R /y = |x|}
Su dominio es D(f) = R, su rango R(f) = [0, + ] y su grafica es la unin de dos rectas simtricas respecto al eje y.
X
y = |x|
y
d. Funcin Lineal Su grfica es una lnea recta y se define por:
( ){ }bxayRXRyxf +== /, Donde: a y b R; b 0
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
12
D(f) = R
R(f) = R
-
xy
a
h
Si a > 0
V(h,k)
x
y
k
h
Si a < 0
V(h,k)
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Adems: Si b > 0 la funcin lineal, es una funcin oferta.
Si b < 0 la funcin lineal, es una funcin demanda.
e. Funcin Cuadrtica Su grafica es una parbola con eje perpendicular al eje x:
( ){ } )1......(/, 2 cbxayRXRyxf ++==Donde: a, b y c R; a 0
De donde:
Si a > 0 la parbola se abre hacia arriba.
Si a < 0 la parbola se abre hacia abajo
V(h, k) se llama vrtice de la parbola.
El dominio de la funcin cuadrtica es: D(f) = R
El rango se determina completando cuadrados en la variable x:
Como: y = ax2 + bx + c y = a
bca
bxabxa
42
222
+
++
y = abac
abxa
44
2
22
+
+
Luego: y - k = a (x - h)2..(2)
Obtenindose el vrtice de la parbola: V(h, k)__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
13
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Donde: h = - 4
b-4ac k ;2
2
aab
=
La expresin (2) es equivalente a expresin (1)
Luego: Si a > 0 se tiene D(f) = R y R(f) = [ +,K a < 0 se tiene D(f) = R y R(f) = ]K,
Adems teniendo en cuenta ecuaciones (1) (2) y la grfica de la funcin
cuadrtica, se tiene:
i) Si a > 0 entonces la parbola se abre hacia arriba y tiene un valor
mnimo en y = k, cuando x = h. La curva es cncava (el vrtice es el
punto ms bajo de la curva). Se dice tambin que es una funcin de
oferta parablica.
ii) Si a < 0 entonces la parbola se abre hacia abajo y tienen un valor
mximo en y = K, cuando x = h.
La curva es convexa o cncava hacia abajo (el vrtice es el punto
ms alto de la curva). Se dice tambin que es una funcin de
demanda parablica.
Ejemplos1. Sea la funcin f(x) = x2 6x + 13
Para hallar el valor mximo o mnimo (vrtice de la parbola) tenemos
dos procedimientos:
i) Sabemos que y = ax2 + bx + c, de la cual mediante
completar cuadrados se obtiene el vrtice de la parbola: V(h,k)
donde:
abh2
= y aback
44 2
=
Luego, de la ecuacin dada: y = x2 6x + 13
Se obtiene: a = 1; b = -6 y c = 13
De donde: 3)1(26
=
=h
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
14
-
xy
4
3
V(3,4)
y = x2 - 6x + 13
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
4)1(4
)6()13)(1(4 2=
=k
Entonces vrtice de la parbola: V(3,4)
Finalmente, como a = 1 > 0 entonces la parbola se abre hacia arriba
y tienen valor mnimo en y = 4 cuando x = 3.
Grficamente:
ii) Expresando y = x2 + 6x + 13 en la forma (2) dada anteriormente:
y k = a (x - h)2
Completando cuadrados en la variable x:
Como: y = x2 6x 13
Dividimos el coeficiente de x entre 2 y el resultado elevado al cuadrado
sumamos y restamos, esto es:22
2
2613
266
+
+= xxy
De donde: 91336 22 ++= xxy
Luego: y = (x 3)2 + 4
Finalmente: y 4 = (x + 3)2: forma deseada
De donde vrtice: V (3,4)
Luego, como a = 1 > 0 entonces la parbola se abre arriba y tienen valor
mnimo en y = 4 cuando x = 3.
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
15
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
2. Sea y = 16 8x 2x2. Hallar su valor mximo o mnimo.
SolucinExpresaremos y = 16 8x 2x2 en la forma:
y k = a (x - h)2
Como : y = 16 8x 2x2
Ordenando: y = -2x2 8x + 16
Multiplicando por 1 ambos extremos:
- y = 2x2 + 8x - 16
Dividiendo entre 2 a toda la ecuacin, para que el coeficiente de x2 sea 1:
842
2+= xxy
Completando cuadrados en la variable x:
222 )2(8)2(42
++= xxy
de donde:
24)2(2
12)2(2
2
2
+=
+=
xy
xy
Cambiando de signo:
Y = -2(x + 2)2 + 24
Ordenando: y 24 = -2 (x + 2)2 : forma deseada
De donde el vrtice es: V (-2, 24)
Luego, como a = -2 < 0 entonces la parbola se abre hacia abajo y tiene
valor mximo en y = 24 cuando x = -2.
Grficamente
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
16
-
xy
24
-2
V(-2,24)
y = 16 - 8 2x2
X
6
-3
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
3. Dadas las siguientes ecuaciones:
a) y = 2x + 6 b) y = | x | + 2
c) y = 3 d) y = x2 4
Para cada caso:
- Asignar nombre que le corresponda segn las funciones reales especiales
- Graficar y hallar dominio y rango
Solucin
a) y = 2 x + 6 : Funcin lineal
Grfica:
D(f) = R Para graficar:
R (f) = R
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
17
En la ecuacin si x = 0 entonces y = 6 y si y = 0 entonces x = -3. Luego unir los puntos por la lnea recta.
-
x2-1
y
X
y = 33
y
- 2- 1
y
-2 2
- 4
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
b) y = | x | + 2 : Funcin valor absoluto
Grfica:
D(f) = R
R (f) = [2, + }
Para graficar:X ... -2 -1 0 1 2 ...
. 4 3 2 3 4 ...y = |x| + 2
c) y = 3 : Funcin constante, donde constante c = 3
Grfica:
D(f) = R
R (f) = 3
d) y = x2 4 : Funcin cuadrtica
Grafica:
D(f) = R
R (f) = [-4 , + }
Vrtice V (0, -4) la funcin tiene un valor mnimo relativo en y = -4 cuando x = 0
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
18
-
x x
y
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Para graficar:
X ... -2 0 2 ... . 0 -4 0 ...y = x2 - 4
1.6. APLICACIONES DE LAS FUNCIONES A LA RESOLUCIN DE PROBLEMAS CONCRETOS
1. Un agricultor dispone de 80m. de alambre y desea cercar un
terreno de forma rectangular. Si uno de los lados no necesita cerco, Cules
sern las dimensiones del terreno para que el rea sea la mxima?
SolucinSean x e y dimensiones del terreno
rea del terreno: A = x.y (1)
Permetro por cercar: 2x + y por dato: 2x + y = 80 .(2)
Despejando y en (2): y = 80 2x .. (3)
(3) en (1) : A = x . (80-2x)
De donde: A(x) = 80x 2x2: A(x) es una funcin cuadrtica
Luego completando cuadrados se obtiene:
A(x) 800 = - 2 (x - 20)2:
Expresin similar a: y k = a (x - h)2
Por lo tanto vrtice : V(20, 800)
De donde, como a = -2 < 0 entonces la funcin A (x) tiene un valor mximo
de 800 cuando x = 20(ancho). Luego en (3):
Y = 80 2(20) = 40 (largo)
Rspta. Las dimensiones del terreno deben ser ancho 20 m. y largo 40m, a fin de obtener un rea cercada mxima de 800 m2.
2. Una pequea empresa puede producir ciertos artculos a un
costo de S/. 20 cada uno. Se estima que si el precio de venta de cada
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
19
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
artculo es x soles, entonces se vendern al mes 80 x artculos. Cul
deber ser el precio de venta de cada artculo, para obtener la mxima
utilidad mensual?
SolucinSea x = Nmero de artculos por producir y vender.
Como : Utilidad = Venta costo
Entonces U(x) = V(x) C(x) (1)
Hallando venta: como se venden 80 x artculos a x soles cada uno,
entonces:
V(x) = x (80 - x) .(2
Hallando costo: Es igual al producto del costo de cada artculo por el
nmero de artculos vendidos(los que debieron ser producidos) , esto es:
C(x) = 20 (80 - x) . (3)
Reemplazando (2) y (3) en (1):
U(x) = x(80 - x) 20(80 - x)
De donde se obtiene: U(x) = -x2 + 100x -1600
Luego, completando cuadrados obtenemos:
U(x) 900 = -(x - 50)2
Expresin similar a: y k = a (x - h)2
Por lo que, como a = -1 < 0, entonces la funcin U(x) tienen un valor
mximo en U(x) = 900 cuando x = 50.
Rspta. Debern producirse y vender 50 artculos al mes para obtener una utilidad mxima de S/. 900
3. En una empresa se obtiene los siguientes datos:
x unidades 0 10 20 30 40
C(x) soles 35 85 135 185
235
Donde : C(x) = costo__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
20
-
82)( 2 ++= xxxf
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Se pide: a) Determinar la funcin lineal de costo
b) Hallar costo para 10 000 unidades
Solucina) Por definicin de funcin lineal:
C(x) = a + bx (1)
Donde: a es intercepto con eje vertical,
cuando x = 0, entonces en este caso:
a = 35 (2)
b es pendiente, entonces:
50103585)(
=
=
=
xxCb
Como la pendiente de una funcin lineal es constante, entonces:
b = 5 . (3)
Finalmente (2) y (3) en (1):
C(x) = 35 + 5x : Funcin lineal de costo
b) Como: C(x) = 35 + 5X y x = 10000
Entonces: C(10000) = 35 + 5 (10 000)
De donde: C (10 000) = 50035
Por lo tanto, el costo para 10 000 unidades es de S/. 50035.
AUTOEVALUACIN 1
1. Hallar dominio y rango de la siguiente funcin:
A) [-2, 0] B) [-2, -1] C) [-2, 4] D) [3, 4] E) [1, 2] 2. Si f representa una funcin dada por:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
21
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
f = {(2, x + y), (3,4), (2,10), (3,x-y)}
Cul o cules de los siguientes conjuntos son funciones?
g = {(x, 3), (y, 5), (x+y, 4)
h = {(x-y, 4), (x, 2), (4,3)}
i= {(8,2), (y, 4), (x, 2)}
A) g y h B) slo g C) todas D) g e i E) N.A.
3. Sea M = {x Z / 1 < x < 10} Si f = {(x, y) M x M / x + y = 12} y si a es la suma de todos los elementos del D(f) y b es la suma de todos los elementos del R(f). El valor de E = a + b es:
A) 42 B) 50 C) 84 D) 60 E)N.A.
4. La utilidad obtenida al vender X artculos es descrita por U(x)=30X+1200
soles. Si en el ltimo mes se obtuvo una utilidad de 16200 soles. Cuntos
artculos se vendieron?
A) 630 B) 50 C) 1300 D) 820 E) 500
5. Sea f (x) = ax + b una funcin tal que:
f (1) = -2 y f (3) = 1
Hallar el valor de: a + b
A) -1 B) 2/3 C) 0 D) -2 E) 4
6. Para la funcin cuadrtica 64)( 2 ++= xxxf su valor mnimo est dado en:
A) y = -2 B) y = 4 C) y = 2 D) y = 5 E) y = -4
7. Hallar el valor de E = m + n, sabiendo que el conjunto:
{(n; m+n), (n; 12), (m; m-n), (m; 2)} es una funcin
A) 10 B) 11 C) 12 D) 15 E) 208. Graficar en el plano cartesiano:
xya 483) = 29) 2 += xxyb 32) ++= xyc
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
22
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
CAPTULO 2
LMITES Y CONTINUIDAD
2.1. NOCIN INTUITIVA DE LMITEEs nuestra vida cotidiana se presenta situaciones tales como: llegaste cerca de
la hora de ingreso al trabajo, ests muy cerca de culminar tus estudios
universitarios, estuvimos cerca de la produccin mxima de conservas en la
empresa. Ahora, traslademos estas ideas al lenguaje matemtico:
Sea la funcin: 3;;2)( += xRxxxf
Si asignamos valores a X cercamos a 3 Qu sucede con )(xf ?
Del enunciado planteado se desprende que la funcin 2)( += xxf est
definida para todo nmero real, excepto para 3=x , lo cual nos llevar a la
siguiente tabla:
X 2 2,5 2,9 2,99 3 3,01 3,1 3,5 4 2)( += xxf 4 4,5 4,9 4,99 5 5,01 5,1 5,5 6
De donde se deduce que, al aproximar los valores de X cercamos al valor 3, se
tiene que las imgenes )(xf se aproximan al valor 5.
Simblicamente:
Cuando 3x , se tiene que 5)( xf
Escribiendo, luego: 5)(lim3 = xfx y se lee: El lmite de )(xf es 5,
cuando x se aproxima o tiende a 3
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
23
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
2.2. DEFINICIN FORMAL DE LMITE
Sea f una funcin definida en algn intervalo abierto que contenga a 0x . El
lmite de dicha funcin f(x) cuando x tiende a 0x es L y se escribe
Lmlix0
=f(x)x , si y solo si 0 > , 0> tal que
| | | | Existe
tal que< , 0> tal que
| | | |
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Luego:
Demostrar que:
Solucin
Por definicin del lmite:
Lmlix0
=f(x)x , si y solo si 0 > , 0> tal que
| | | |
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
2.3. TEOREMAS Y PROPIEDADES PARA CALCULAR LMITES
Teorema 1:Si k es una constante y a un nmero cualquiera, entonces
Teorema 2:Para cualquier nmero dado a,
Teorema 3:Si m y b son dos constantes cualesquiera, entonces
Teorema 4:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
26
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Teorema 5:
Teorema 6:Si f es un polinomio y a es un nmero real, entonces
Teorema 7:Si q es una funcin racional y a pertenece al dominio de q, entonces
Teorema 8:
2.4. Clculo de lmites. Calcular el lmite de una funcin, requiere aplicar los teoremas y propiedades en forma adecuada. Ejemplos:
Solucin
Solucin
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
27
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Solucin
Solucin
Solucin
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
28
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
2.5. CLCULO DE LMITES PARA FORMAS INDETERMINADASCuando al calcular el lmite de una funcin se obtienen formas indeterminadas:
.,0
,00 ctecc = Se presentan dos casos:
a) Cancelacin de factores comunes: Factorizar numerador y/o denominador, luego cancelar los factores comunes.
Ejemplo
Calcular: 416lim
2
4
xx
x
Solucin
Al evaluar se obtiene 00
, factorizando el numerador se obtiene:
44lim
22
4
xx
x
( )( )( )4
44lim4
+=
xxx
x simplificando: x4
( )4lim4 += xx finalmente evaluando 844 =+=
b). Por racionalizacin: Para expresiones con radicales multiplicar numerador y denominador por la conjugada de cada una de las formas con radicales,
luego simplificar factores comunes.
Ejemplo
Calcular: 1
1lim1
xx
x
Solucin
Al evaluar se obtiene 00
; por lo que, multiplicamos numerador y denominador
por la conjugada de 1x que es 1+x
( )( )( )( )
( )( )1
11lim11
11lim1
1lim11
+=
+
+=
xxx
xxxx
xx
xxx
( ) 2111lim1
=+=+=
xx
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
29
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
2.6. LMITES LATERALES
Lmite lateral derechoSea f una funcin definida en todos los nmeros del intervalo abierto (a, c).
Entonces, el lmite de f (x), cuando x se aproxima a a por la derecha es L, y se
escribe
Lmite lateral izquierdoSea f una funcin definida en todos los nmeros de (d, a). Entonces, el lmite
de f (x), cuando x se aproxima a a por la izquierda es L, y se escribe
Teorema 9
Ejemplos
Para los siguientes casos calcular los lmites indicados, si existen:
Solucin
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
30
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Grficamente:
Solucin
Grficamente
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
31
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Solucin
Grficamente:
2.7. LMITES INFINITOS Existen ciertas funciones que aumentan o disminuyen sin lmite a medida que
la variable independiente se acerca a un valor fijo determinado.
Crecimiento infinito
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
32
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Decrecimiento infinito
Teorema 13:
Teorema 14:
Teorema 15:
Teorema 16:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
33
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Teorema 17:
Asntotas Una asntota es una recta a la cual se aproxima una curva indefinidamente.
Trazar las asntotas, tanto verticales como horizontales, es de gran ayuda para
dibujar la grfica de una funcin.
Asntota verticalUna asntota vertical es una recta paralela al eje y.
Se dice que la recta x = a es una asntota vertical de la grfica de la funcin f
si por lo menos uno de los siguientes enunciados es verdadero:
Ejemplos
Calcular los siguientes lmites:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
34
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
S o l u c i o n e s
1. Solucin:
2. Solucin:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
35
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
3. Solucin:
4. Solucin:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
36
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
5. Solucin:
6. Solucin:
2.8. LMITES AL INFINITO
Teorema de lmite18:
Asntota horizontalUna asntota horizontal es una recta paralela al eje x.__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
37
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Teorema de lmite19:
Ejemplos: Calcular los siguientes lmites
+
+
+
+ 1
1021lim.1
22
xx
xx
x
384358.9lim.2
+
+++ x
xxx
x
2.9. CONTINUIDAD DE UNA FUNCINNocin intuitiva de continuidadIntuitivamente una funcin es continua, si su grfica se traza sin levantar el lpiz
de la hoja de papel como en la figura No 1 y no como en la figura No 2.
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
38
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
-1 1 2
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
-1 1 2 3
-3
-2
-1
1
2
3
4
Fig. N 01 Fig. N 02
Funcin continua Funcin discontinua
Definicin de continuidadLa funcin f es continua en el nmero a si f est definida en algn intervalo
abierto que contenga a a, y si para cualquier 0> existe un 0> tal que:
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Clases de discontinuidad: La discontinuidad puede ser evitable o esencial.La discontinuidad evitable se denomina tambin discontinuidad de "hueco": en la grfica de las funciones donde sucede este caso se puede ver un "hueco" en
el punto del plano cartesiano cuyas coordenadas son (a, f(a)).
La discontinuidad esencial tambin recibe el nombre de discontinuidad de "salto": se presenta cuando los lmites laterales existen pero son diferentes.
(Ver Fig.2)
Adems, podemos mencionar a la discontinuidad infinita, la cual sucede
cuando el lmite de la funcin es infinito, para x que tiende al nmero a.
Teoremas de continuidad
Ejemplos
Solucin
x -4 0 2f (x) -6 -2 0f (-3) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se
cumple; conclusin:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
40
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
f es discontinua en -3.
Solucin
x -6 -1 0 2 3 5 6 9h(x) -0.5 -1 -1.25 -2.5 -5 5 2.5 1 f (4) no existe; por lo tanto, la parte (i) de los criterios de continuidad no se
cumple; conclusin: f es discontinua en 4.
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
41
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Solucin
x -4 -3 -2 -1 0 8y -0.5 -1 0 1 0.5 0.1
{ }21324 2
)(.4
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
5. Analizar si la funcin:
=)(xf 1,14
1,31,2
>
=
-
xx
+
1232
352234
24
23
++
+
xxxx
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
3. Calcular el siguiente limite: limx1
A) 0 B) -0,5 C) 0,5 D) 1 E) 2
4. En los parntesis escriba V si el enunciado es verdadero y F si es falso.a) El limite de una funcin, si existe, no siempre es nico ( )b) Evitable y esencial son clases de discontinuidad ( )
5. Dada la funcin:
>+
= 3,13,24)( 2
sixsixxf
Analizar continuidad en 30 =6. Calcular el siguiente lmite:
lim (x2 4x + 3) x-2
A) 10 B) 12 C) 14 D) 15 E) -8
7. Sea la funcin:
>+
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
DERIVADAS
3.1. INTRODUCCIN
Analicemos el siguiente grfico:
GRFICO N 01
En el grfico N 01 se ha trazado una recta tangente a los puntos:
A: Donde el valor del ngulo es menor de 90 (primer cuadrante) y el valor de
la pendiente de la recta, es positiva, pues la tangente de los ngulos
menores de 90 toman valores positivos.
La recta est inclinada a la derecha del grfico de la funcin dada.
B: Donde el valor del ngulo es mayor de 90 (segundo cuadrante) y el valor
de la pendiente de la recta, es negativa, pues la tangente de los ngulos
mayores de 90 toman valores negativos.
La recta est inclinada a la izquierda del grfico de la funcin dada.
C y D: Donde el valor del ngulo es igual a 0 y el valor de la pendiente de la
recta, es cero, pues la tangente de 0 es tambin cero.
La recta es horizontal al grfico de la funcin dada.
E: El valor del ngulo es menor de 90, el valor de la pendiente de la recta es
positiva. Tal como en el punto A.
De otro lado, dados los grficos:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
45
y
X
A B
C
D
E
-
xy
dxdyxf
x
== 0
lim)('
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
En el grfico N 02:
Se ha trazado una secante que corta a la curva en los puntos A y B, cuyas
coordenadas respectivas son:
A (X, Y) y B (X1, Y1)En el tringulo rectngulo ABC del grfico N 03 formado, se obtiene:
x = x1 - x Es la variacin de las abscisas y se lee: Delta de x
y = Y1 - Y Es la variacin de las ordenadas y se lee: Delta de y
3.2. DERIVADA DE UNA FUNCIN La derivada de una funcin, se expresa como el lmite de y / x cuando x se acerca o tiende a cero y cuya expresin es la siguiente:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
46
x
Y
B (x1 y1)
xx1
y1
X
Y
A
B
C X
Y
GRFICO N 02 GRFICO N 03
A (x y)
Y
-
0xx
)x(f)xx(flimdxdy
+=
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Interpretacin geomtrica. En el grfico siguiente, se observa que cuando el punto B imaginariamente se aproxima al punto A, la secante se transforma en tangente y x en cero, es decir los puntos A y B se confunden.
Reemplazando y por su valor: y = Y1 - Y; obtenemos en la expresin
matemtica de la derivada:
limdxdy
=
xy
lim= x
yy1
x 0 x 0
Adems por ser 11 y)x(f = y y)x(f = segn el grfico N 02 y
reemplazando en la ecuacin anterior, obtenemos:
limdxdy
= ( ) ( )
xxfx1f
x 0
Pero adems x = x1 - x Despejando x1: x1 = x + x . Obteniendo finalmente la definicin de la derivada:
(1)
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
47
Y
X
Y
B
A
C
x
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Por lo que, geomtricamente, la derivada se interpreta como la pendiente de la
recta tangente a la curva en un punto determinado.
Notacin. La derivada de una funcin se denota por:
f '(x) = dxdy
3.3. DEDUCCIN DE REGLAS DE DERIVACIN
Para deducir algunas reglas de derivacin aplicaremos la definicin de la derivada (Expresin 1). Esto es:
a. Sea f(x)= x : Funcin identidad
Luego, al aplicar la definicin de la derivada (Expresin 1), obtenemos:
xxlim
xx)xx(lim
dxdy
=
+
=
x 0 x 0
Despus de simplificar y calcular el lmite, se obtiene:
1dxdy
=
Cul es la interpretacin del resultado?
Que si la funcin es f(x) = x su derivada es dxdy
= 1
b) Se f (x) = x2 Reemplazando en la frmula general (1).
Desarrollando el binomio y simplificando x2:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
48
( )0x
x
2x2xxlimdxdy
+=
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
x
2xxx2limx
2x2xxx2x2limdxdy
+
=
++
=
x 0 x 0
Factorizando x en el numerador y simplificando con el denominador.
xxx
xxxdxdy +=
+
= 2lim)2(lim
x 0 x 0
Calculando el lmite obtenemos finalmente:
x2dxdy
=
Interpretacin:
Si la funcin es f (x) = x2 su derivada es 2x
Ahora se puede llevar a una generalizacin :
Si 3x)x(f = su derivada ser dxdy
= 3x2
Si 4x)x(f = su derivada ser dxdy
= 4x3
De donde: Si f ( x ) = xn, entonces dy/dx = nxn - 1
c) Derivada de una funcin Constante.
Si c)x(f = ; c= Constante, entonces:
0x
0x
cclimx
)x(f)xx(flimdxdy
=
=
=
+
=
x 0 x 0Esto significa que la derivada de una constante o nmero, por ejemplo: - 3, - 5,
1, 10, 50, siempre ser cero. Puesto que, el grfico de una funcin constante
es una recta paralela al eje x, por ser su ngulo cero, su tangente cero, su
pendiente cero y por lo tanto su derivada.
d) Derivada de una Constante por x__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
49
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Sea la funcin =)x(f c x ; donde: c= Constante
Aplicando la frmula general y realizando operaciones:
xcxxcxclim
xcx)xx(clim
dxdy
+
=
+
= Simplificando cx
x 0 x 0
cxxclim
dxdy
=
= Simplificando x
x 0
Interpretacin: Esto significa que si una funcin es por ejemplo: - 3x, 8x, 10x,
12x, sus derivadas respectivas sern: - 3, 8, 10, 12.
Resolvamos, ahora, el siguiente ejercicio:Aplicando la definicin de la derivada, hallar la pendiente de la recta tangente a
la funcin f(x)=4-x2 en el punto xo=3; es decir, hallar f'(3)
En Efecto
Definicin de la derivada: h
xfhxfxf
h
)()(lim)(' 00
00+
=
Tambin se usa: h = xLuego, para el caso solicitado se tiene:
)1..(..........)3()3(lim)3('0 h
fhffh
+=
Como: 24)( xxf = , entonces
)2(....................594)3( ==f
2)3(4)3( hhf +=+
)3.....(..........65
6942
2
hhhh
=
=
Reemplazando (2) y (3) en (1):
hhhf
h
565lim)3('2
0
+=
, de donde
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
50
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
6lim)6(lim)3('00
==
= hh h
hhf
Por lo tanto: 6)3(' =f
3.4. REGLAS DE DERIVACIN
Sean u(x) , v(x) y w(x) funciones de x; c una constante, luego se
tienen las siguientes reglas de derivacin:
1) dxd
( x ) = 1
2) dxd
(c ) = 0
3) dxd
(Xn ) = n x n-1
4) cxdxcxd
=
)(
5) =dxud n )(
n u 1n '1 uundxdu n
= Funcin Compuesta
'Donde u es la derivada de u respecto de x
6) =+dxwd
dxvd
dxud )()()(
dxdw
dxdv
dxdu
+
7) dxdu
dudy
dxdy .=
8) '')( vuuv
dxduv
dxdvu
dxuvd
+=+=
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
51
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
La derivada de un producto de dos funciones: es la primera funcin, por la
derivada de la segunda, ms la segunda funcin por la derivada de la primera".
Ejemplo
Derivar 2(4 1)(10 5)y x x= + Solucin
2
2
2 2 2
2
(4 1) ' 4(10 5) ' 20
08,:
' ' (4 1)20 (10 5)4
(4 1)20 (10 5)4 80 20 40 20
120 20
u x uv x v xAplicando la frmula No del productode dos funcionesdy uv vu x x xdxEfectuando operaciones y simplificandody x x x x x xdxdy xdx
= + =
= =
= + = + +
= + + = + +
= + 20x
9)
vdxdvu
dxduv
dxvud
2
)/( =
= vuvvu2
''
La derivada de un cociente de dos funciones es: la segunda funcin (v) por la
derivada de la primera, menos la primera funcin (u) por la derivada de la
segunda, entre la segunda funcin (v) al cuadrado.
Ejemplo
Derivar:2(4 1)
(2 3)xyx
+=
uyv
=
Solucin
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
52
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
2
2 2 2
2 2 2
2
2
(4 1) ' 8(2 3) ' 2
09,:
' ' (2 3)8 (4 1)2 16 24 (8 2)(2 3) (2 3)
8 24 2(2 3)
u x u xv x vAplicando la frmula No del cocientede dos funcionesdy vu uv x x x x x xdx v x xEfectuando operaciones y simplificandody x xdx x
= + =
= =
+ += = =
+=
10) =dxud )(ln
u1
'1 uudx
du=
ln: Logaritmos Neperianos
Ejemplo Derivar: 2ln(3 4)y x=
Solucin
2 2
2 2
ln(3 4) (3 4) ' 610 log :
1 1 1 6' (6 )(3 4) (3 4)
y x u x u xAplicando la frmula No del aritmo naturaldy du xu xdx u dx u x x
= = =
= = = =
11) =dxed u)( eu 'uedx
du u=
e: Base de los logaritmos naturales (2,718)
Ejemplo Derivar: 3xy e=Solucin
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
53
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
3
3 3
3 ' 3exp 11
' ( 3) 3
x
u u x x
y e u x uAplicando la frmula onencial Nody e du e u e edx
= = =
= = = =
Ejemplos de aplicacin
Derivar y verificar la solucin aplicando las reglas respectivas:
1) =y 1423 2135 ++ xxx Derivada de un polinomio
Solucin: ='y 2/144 2615 ++ xxx
sup :
' r '( )
Por uesto quedyy Es p imera derivada o f xdx
=
2) =y 21
2
2
+
xx Derivada de un cociente
Solucin:
='y 22 )2(6+xx
3) =y )1)(1( 22 + xx Derivada de un producto
Solucin: ='y 34x
4) =y )1)(2 22( + xxx Derivada de un producto
Solucin:
='y 2264 23 + xxx
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
54
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
5) =y 23 xe Derivada de una funcin exponencial
Solucin: ='y - 236 xxe
6) 74)(
2
+=
xxxxf Derivada de un cociente
Solucin:
='y 22
)7(2814
xxx
3.5. DERIVADAS DE ORDEN SUPERIORAl aplicar las derivadas es necesario hallar ms de una derivada de una
funcin. Esto es, si queremos hallar la segunda derivada entonces debemos
derivar otra vez la primera derivada. Si derivamos otra vez la segunda
derivada, se obtendr la tercera derivada y as sucesivamente.
As tenemos:
Sea la funcin y = f(x) , luego:
y ' = dxdy
: Primera derivada
y '' = 2
2
dxyd : Segunda derivada
y ''' = 33
dxyd : Tercera derivada
.
.
.
.
yn = nn
dxyd = f n(x) ; n-sima derivada
Evaluacin de derivadasPara evaluar derivadas tener en cuenta la siguiente notacin:__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
55
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
)(xf n o f n(xo)
x=x0
Cuyo significado es, evaluar la n-sima derivada de la funcin )(xf en el
punto x = x0
Ejemplo 1
Sea: xxxxf 42)( 34 +=
Hallar: )('' xf X = -1SolucinHallamos primera derivada:
464)(' 3 += xxxfHallamos la segunda derivada:
612)('' = xxf
Finalmente, evaluamos la segunda derivada en x = -1
6)1(12)1('' =f Ejemplo 2
Para cada funcin hallemos su segunda derivada:
a) 322)( xxf = y = -12x
b) xxxf 33)( 3 =
y = 18x
c) 11622)( 23 ++= xxxxf y = 12x + 4
18=
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
56
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
3.6. APLICACIONES DE LA DERIVADA 3.6.1. Razn de cambio Sea la funcin y=f(x), la relacin funcional establece una cierta nocin dinmica, en el sentido que, si la variable independiente x sufre un cambio, esto determina un cambio tambin en la variable dependiente y. Estos cambios son posibles de medicin y comparacin, como resultado de aplicar la
derivada.
EjemploLa relacin entre las ventas V y el costo de publicidad P para un producto est
dado por:
V = 4 (P2 - P)
Hallar la rapidez de cambio en las ventas, para un costo de publicidad P = 5000
soles:
SolucinRelacin entre V y P: V(P)=4 (P2-P)
Razn de cambio: dPdV
Nos piden, calcular la primera derivada y evaluar en P= 500. Esto es:
39996)1)500(2(4)2(4 500500 === == PP PPdPdV
Rspta. Para un costo en publicidad de 5000 soles la rapidez de cambio en las ventas es de 39 996 soles.
3.6.2. Anlisis de crecimiento y decrecimientoEsta aplicacin est orientada a reconocer cuando y dnde una funcin es
creciente o decreciente, lo cual es importante para el tema de mximos y
mnimos, que ser abordado ms adelante.
Consideremos las siguientes grficas:
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
57
-
x x(1) (2)
f(x) f(x)
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Al trazar las grficas de izquierda a derecha, se observa que en (1) y (4) la
funcin crece en un cierto intervalo. Mientras que en (2) y (3) la funcin decrece
en un cierto intervalo.
Definicin. Si la funcin f(x), derivable en un intervalo, crece en dicho intervalo, entonces su primera derivada es positiva; y si la funcin decrece,
entonces la primera derivada es negativa.
EjemploSea f una funcin definida por f(x)=x2
Hallar los intervalos en donde f es creciente o decreciente.
SolucinBastar encontrar la primera derivada, esto es: f(x)=2x
Aplicando la definicin, tenemos:
1) f(x) > 0 si 2x>0 de donde x > 0
Entonces f es creciente en (0,+ )
2) f(x) < 0 si 2x
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
3.6.3. Valores extremos de una funcin Una de las aplicaciones ms importantes de la derivada es el estudio de los
valores extremos (mximos y mnimos) de una funcin. Lo cual es gran utilidad,
como por ejemplo para determinar el costo mnimo de cierto producto o calcular
una utilidad mxima.
Valor mximo. La funcin f(X) tiene un valor mximo en x1, si su valor aqu es mayor que en cualquier otro punto x de cierto intervalo que comprenda el punto
x1.
Valor mnimo. La funcin f(X) tiene un valor mnimo en x2, si su valor aqu es menor que en cualquier otro punto x de cierto intervalo que comprenda el punto
x2.
Criterios para determinar los valores extremos:
Criterios de anlisis de los mximos y mnimos de una funcin:A. Criterio de la primera derivada Sea la funcin derivable y=f(x), luego:
1. Hallar f'(x)
2. Hallar los puntos crticos c de f'(c) = 0
3. Efectuar anlisis del signo de la derivada, tal como sigue:
mximotienefuncinlaenxxxparaxfxxparaxf
Sii ,,0)(,0)(
) 11
1
>>
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
ii) Si f''(c) < 0 , entonces f(c) es un valor mximo relativo en x=c
Consideraciones para hallar valores extremos de una funcinCuando un punto, en el grafico de una funcin es un mximo o un mnimo su derivada es cero. Esto es:
a) En un Mximo: La derivada 0dxdy
= pues la pendiente de la recta tangente
es m = 0
Recordemos que:La derivada de una funcin, representa la pendiente de la recta tangente al grfico de una funcin en un punto dado
Punto CrticoGrafico N 01
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
60
m = m = -
xIzquierda Derecha
Mximo
m = 0
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
En el grfico N 01 a la izquierda del punto crtico (x) donde hay un mximo, la pendiente de la recta es positiva m = + y a la derecha del punto crtico (x), la pendiente es negativa m = -
b) En un Mnimo: Tambin 0dxdy
= pues la pendiente de la recta es m = 0
Punto crtico
Grafico N 02
En el grfico N 02, a la izquierda del punto crtico (x ), la pendiente de la recta es negativa m = - y a la derecha del punto crtico (x ), la pendiente de la recta es positiva m = +
Ejemplo Hallar los valores mximos y mnimos de la funcin:
2x43x
344xy +=
Solucin
Aplicando criterio de la primera derivada.
1er paso: Derivar la funcin dada: 2x43x344xy +=
x)2(42x)3(343x4
dxdy
+= Efectuando las operaciones
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
61
m = 0
m = -
xIzquierda Derecha
Mnimo m =+
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
x82x43x4dxdy
+= Derivada de la funcin
2do paso: Igualar a cero la derivada
0dxdy
=
Pues en los mximos y mnimos de una funcin sus derivadas son cero, luego:
0x82x43x4 =+
3er paso: Hallar los puntos crticos
Para ello, resolvemos la ecuacin anterior:
0x82x43x4 =+
Factorizando x4 (por ser factor comn)
0)2x2x(x4 =+0)1x()2x(x4 =+
Igualando a cero cada factor:
0x4 = 0)1x()2x( =+ 01x02x ==+ De donde
Ahora debemos formular las siguientes preguntas:Qu representan x = 0, x = -2, x = 1?
Mximos Mnimos?
El siguiente paso permite responder a las preguntas4to paso: Para cada punto crtico, se dan valores supuestos: a) Primero ligeramente menor (a la izquierda).
b) Luego ligeramente mayor (a la derecha).
Para x = 0Menor que cero: 5,0x = (Negativo)
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
62
01x = 22x = 13x =
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Se reemplaza en la derivada y se determina su signo (valor de la pendiente).
)1x()2x(x4dxdy
+=
(4)( 0,5)( 0,5 2)( 0,5 1)
( 2)( 1,5)( 1,5)
dydxdydx
= +
= +
El producto resultante de los signos es positivo:
( )( )( )dydx
= +
Por lo que, pendiente = =dxdy
Mayor que cero: 5,0x = (Positivo)
)1x()2x(x4dxdy
+=
(4)(0,5)(0,5 2)(0,5 1)
(2)(2,5)( 0,5)
dydxdydx
= +
=
El producto resultante de los signos es negativo:
)()()(dxdy
++=
Por lo que, pendiente = )(dxdy
=
Tener presente que slo interesa el signo y no el valor
Conclusin: Segn el grfico N 01, la pendiente cambia de ms a menos y por lo tanto x = 0 representa un mximo.
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
63
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Para x = 1, siguiendo el mismo procedimiento, consideremos valores menor y mayor que 1.
Menor que 1: 5,0=x Se reemplaza en la derivada y se determina su signo (valor de la pendiente).
)1x()2x(x4dxdy
+=
(4)(0,5)(0,5 2)(0,5 1)
(2)(2,5)( 0,5)
dydxdydx
= +
=
)()()(dxdy
++=
Por lo que, pendiente= )(dxdy
= Negativa
Mayor que 1: 5,1=x Se reemplaza en la derivada y se determina su signo (valor de la pendiente).
)1x()2x(x4dxdy
+=
(4)(1,5)(1,5 2)(1,5 1)
(6)(3,5)(0,5)
dydxdydx
= +
=
)()()( +++=dxdy
Por lo que, pendiente = )(dxdy
+= Positiva
Conclusin: Segn el grfico N 02, la pendiente cambia de menos a ms y por lo tanto x = 1 representa un mnimo.
Para x = - 2, de igual forma tomando valores menor y mayor que x= -2
Menor que -2: 5,2=x
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
64
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
)1x()2x(x4dxdy
+=
)15,2()25,2()5,2(4 +=dxdy
)5,3()5,0()10( =dxdy
)()()( =dxdy
Pendiente = )(dxdy
=
Mayor que -2: 5,1=x)1x()2x(x4
dxdy
+=
)15,1()25,1()5,1(4 +=dxdy
)5,2()5,0()6( =dxdy
)()()( +=dxdy
Pendiente = )(dxdy
+=
Conclusin: x = - 2, representa un mnimo, pues la pendiente cambia de menos a ms.
5to paso: Despus de hallar los puntos crticos es necesario hallar la ordenada, reemplazando los puntos crticos en la funcin original:
2x43x344xy +=
Si x = 0 entonces 02x43x344xy =+=
Si x = 1 entonces352)1(43)1(
344)1( =+=y
Si x = - 2 entonces3
322)2(43)2(344)2( =+=y
6.- Finalmente tenemos que:
(0, 0) Es un mximo__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
65
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
(1, - 5/3) Es un mnimo( - 2, - 32/3) Es un mnimo
7.- Su grfica es:
1 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4
1 1 1 0
9 8 7 6 5 4
3 2 1
1234
56789
1 01 1
Aplicando el Criterio de la Segunda DerivadaResulta muchas veces engaoso hallar valores mayores y menores que los puntos crticos, por lo tanto, se puede aplicar la segunda derivada, para hallar los mximos y mnimos de una funcin.
Trabajemos con el mismo ejemplo anterior:
Hallar los mximos y mnimos de la funcin 2x43x344xy += aplicando
criterio de la segunda derivada.Solucin
1 Derivar la funcin dada:
2x43x344xy +=
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
66
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
x82x43x4dxdy
+=
2 Igualar a cero la derivada hallada:
0x82x43x4 =+
3 Hallar los puntos crticos de x, resolviendo la ecuacin resultante:0x82x43x4 =+
02x2xx4 = +( ) ( ) 01x2xx4 =+
01x = 22x = 1x =Hasta aqu los pasos son los mismos que en la primera derivada.
4 Hallar la segunda derivada de la funcin:
8x82x122dx
y2d+=
5 Reemplazar los puntos crticos en la segunda derivada:
a) Si el signo resultante es POSITIVO es un MINIMO b) Si el signo resultante es NEGATIVO un MAXIMO.
Para x = 0
88)0(82)0(12882122
2=+=+= xx
dx
yd
822
=
dxyd (Signo Negativo)
Por lo tanto, para x = 0 tenemos un mximo.
Para x = -2
248)2(82)2(12882122
2=+=+= xx
dx
yd
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
67
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
=2dx
y2d (Signo Positivo)
Por lo tanto, para x= -2 tenemos un mnimo.
Para x = 1
128)1(82)1(12882122
2=+=+= xx
dx
yd
=2dx
y2d (Signo Positivo)
Por lo tanto, para x= 1 tenemos un mnimo.
6 Hallar los valores de la ordenada para cada punto crtico, en la funcin original.
243344 xxxy +=
Si x = 0 entonces y = 0
SI x = -2 entonces3
32=y
Si x = 1 entonces35
=y
7 Su Grfica Sera la misma dada anteriormente.Nota. A fin de orientar el uso de los criterios es necesario tener presente lo siguiente: Si la funcin es de tercer grado o mayor, debe utilizarse de preferencia el criterio de la segunda derivada y, si es de segundo grado, debe utilizarse el criterio de la primera derivada.
3.6.4. Concavidad y convexidad de una funcin. Punto de inflexinLa curva y=f(x) es cncava hacia arriba en el intervalo (a, b), si todos los
puntos de la misma estn por debajo de cualquier tangente a la curva en dicho
intervalo
La curva y=f(x) es cncava hacia abajo en (a, b), si todos los puntos de la
misma estn por arriba de cualquier tangente a la curva en dicho intervalo
__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
68
-
5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6 7 8
6
5
4
3
2
1
1
2
3
4
5
6
7
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Si la segunda derivada de la funcin f(x) es negativa en todos los puntos del
intervalo (a, b) es decir f''(x)0, entonces la curva es cncava hacia
abajo(llamada convexa) en dicho intervalo.
El punto que, en una curva continua, separa la parte convexa de la cncava, se
llama punto de inflexin de la curva.Teorema. Sea y=f(x) la ecuacin de una curva. Si f''(a)=0 f''(a) no existe, y la segunda derivada f''(x) cambia de signo al pasar por el valor x=a, entonces
el punto de la curva de abscisa x=a es el punto de inflexin.
En la siguiente grfica
Apreciamos que:
-La curva es cncava hacia abajo en el intervalo (-2,0)
-La curva es cncava hacia arriba en el intervalo (0,2)
- (0,1) es el punto de inflexin.
EjemploPara la funcin f(x)=12-12x+x3, hallar los intervalos de concavidad y su punto
de inflexin. Adems graficar:
SolucinPrimera derivada: f(x)=-12+3x2__________________________________________________________________________________________________________ Jaime Paredes Snchez
69
-
Universidad Los ngeles de Chimbote CLCULO SUPERIOR FACULTAD DE CIENCIAS CONTABLES FINANCIERAS Y ADMINISTRATIVAS ESCUELA PROFESIONAL DE ADMINISTRACIN__________________________________________________________________________________________________________
Segunda derivada: f(x)= 6x
Luego, la curva es cncava hacia arriba o cncava si:
f(x)>0 6x > 0 0 xDe donde, el intervalo donde la curva es cncava es:
(0, + )
Adems, la curva es cncava hacia abajo o convexa si
f(x)< 0 6x < 0 x < 0
De donde, el intervalo donde la curva es convexa es:
(- ,0)
La funcin si tiene un punto de inflexin, pues hay un cambio de concavidad,
o