Download - Caderno - Matemática Financeira
MatemáticaFinanceira
Luan Guerra
3º semestre
CADERNOCADERNO
AvisoEsse material foi criado a partir do caderno de um aluno do curso de administração.
Sendo assim, não substituirá nenhuma fonte didática como: livros, artigos científicos, etc.
ObservaçãoO objetivo dessa apresentação ésimplesmente ajudar o estudante, nada além disso.
CADERNO+
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Juros
• Juros Simples:
INT: $1000 . 5 =$1000 . 10% . 5 = 1500
INT: PV . I . N
Calculando o montante(Juros Simples)
• FV: PV + INT
= PV + PV . I . N
FV: PV. (1 + I. N)
PV: FV/ (1+ I . N)
Exercícios – Juros Simples
• Verifique se os dois capitais são (ou não são) equivalentes na data fiscal e à taxa de juros simples de 10% a.m.
Na data fiscal:
a) FV1 = PV1(1+ i . n)FV1 = 3635,35 (1+ 0,1 . 1)FV1 = 3635, 35 . 1,1 = $4000
Exercícios – Juros Simples
b) PV2 = FV2 / (1 + i . N)
PV2 = 5600 / (1 + i . N)PV2 = 5600 / 1,4 = $4000
Resp:
São equivalentes na dela 2 à taxa de 10% a. m.
Exercício
• O exemplo foi para verificar o valor que seria no futuro.
Exercícios – Juros Simples
a) FV1 = PV1 (1 + i . N)
FV1 = 3636, 35 (1 + 0,1 . 5)FV1 = 3636, 35 . 1,5FV1 = 5454, 53 (Aproximadamente)
Exercícios – Juros Simples
b) PV2 = FV2 / (1 + i . N)
PV2 = 5600 / (1 + 0,1 . 0) PV2 = 5600 / 1
PV2 = $5600
Exercício de Juros Simples
• Valor da dívida = FV1 / (1 + i . N)VD = 2000 / (1 + 0,1 . 3)VD = 2000 / 1,3VD = 1538,47 (Aproximadamente)
• Valor da dívida = FV2 / (1 + i . N)VD2 = 2500 / (1 + i . N)VD2 = 2500 / 1,8VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)
Exercício de Juros Simples
• VD1 + VD2 = X
VD = 1538,47 (Aproximadamente)
+
VD2 = 1388,89 (Aproximadamente)
_____________________________
$ 2927,36 (Aproximadamente)
Pagamentos
x / (1 + 0,1 . 10) + x / (1 + 0,1 . 15) = 2927,35
x / 2 + x / 2,5 = 2927,35
0,5x + 0,4x = 2927,35
0,9x = 2927, 35 ---- X= $3252,61
Resp: O valor $3252,61 será em cada cheque.
Capitalização Composta
• Taxas Equivalentes
Exemplo 1
• Determine a taxa anual equivalente a 2% a.m.
Modelo Meses
Modelo Anos
Resolução
FV 1 = FV 2PV . (1 + 0,02) = PV (1 + i a)
1 + i . a = 1,02¹²
ia = 1,02¹² - 1 = 0,2682 ou 26,82%
Ou seja...
FV 1 = $126, 82
FV 2 = $126, 82
Exercício II
• Determine a taxa mensal equivalente a 24% a.a.FV
Cap. Anual: FV 2 = PV (1 + ia)¹
Cap. Anual: FV 1 = PV (1 + im)¹²
Cont.
FV 1 = FV 2 (1 + im)¹² = (1 + ia)¹
(1 + im)¹²= 1,24¹
im = 1,24 ¹/¹²
= 0,0181
ou
i = 1,81% a.m.
Equivalência de Capitais a Juros Compostos
Dois capitais, com datas de vencimentos determinados, são equivalentes quando, levados para uma mesma data a mesma taxa de juros, tirevem valores gerais.
No sistemas de juros compostos, se dois capitais são equivalentes em determinado data também o serão em qualquer outro data.
Exercícios
Verifique se os dois capitais são equivalentes, a juros compostos de 10% a.m.
Exemplos
Data Focal
Meses
Resolução
Data focal:
1) FV1 = 2000 . (1 + 0,1)¹ = $ 2200
2) PV2 = 2662 / (1+0,1)² = $ 2200
Resposta
Eles são equivalentes a taxa de juros compostos de 10% a.m. (Data Focal)
Data Focal
Nova data focal
Data focal = 3º Mês
• FV 1 = 2000 (1 + 0,1)² = $2420
• PV 2 = 2662 / (1 + 0,1)¹ = $2420
Resposta: Eles são equivalentes a taxa de 10% a.m. em qualquer data focal.
Exercício
Verificar se os conjuntos de capitais A e B são equivalentes, considerando-se uma taxa de juros compostos de 10% a.m.
Resolução
Escolher uma data focal:
Resolução
FV: 2000 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2420 . 1.1¹ + 2662 = $10.648,00$10.648,00
FV: 2100 . 1,1³ + 2200 . 1,1² + 2300 . 1.1¹ + 2902,40 = $10.648,00$10.648,00
Respostas: São Equivalentes...
Equivalência de Capitais e Juros Compostos
• Exercício:
Em vendas à vista, uma loja dará um desconto de 5%, pagando-se com cheque pré-datado para um mês, “não hácobrança em juros”, com cheque pré-datado para dois meses, há um acréscimo de 3%.
Perguntas
a) Qual a melhor forma de pagamento para o cliente, se o rendimento do dinheiro for de 3,5% a.m.? É o pior?
b) Determine as taxas de juros cobradas nos cheques pré-datados?
a)
• À vista
•Cheque p/ 30 dias
• Cheque p/ 60 dias
a)
• À vista: 0,95 x = $95
• 1 Mês: 1 x = $100
• 2 Meses: 1,03 x = $103
a)
Data focal: 0 mês (à vista)
• À vista: 0,95 x = $95
a)
• Cheque para 30 dias:
FV = PV . (1 + i)n
PV = FV / (1 + i)n
FV = 1 x / (1,035)¹ = $96,62
a)
• Cheque para 60 dias:
FV = PV . (1 + i)n
PV = FV / (1 + i)n
FV = 1,03 x / (1,035)² = $96,15
Convenção Linear
Convenção Linear
• Montante no final do 5º ano:
FV=1000.(1+0,1)5 = $1610,51
• Montante no final do 5º ano e meio:
FV=1610,51.(1+0,1.0,5) = $1691,04
Convenção Exponencial
• Montante no final do 5º ano:
FV = 1000.(1+0,1)5 = $1610,51
Taxa semestral• Equivalente a 10%
iq = (1 + it)q/t - 1
Iq = (1 + 0,1)1/2 - 1
Iq = (1,1)1/2 - 1
Iq = 1,0488 – 1 = 0,0488 a.s.
Iq = 1,10,5 – 1
(1 + i) = 1,10,5
Convenção Exponencial
• Montante no final do 5º ano e médio:
FV = PV . (1+ isem )¹
• FV = 1610,51 . (1+ isem )¹
• FV = 1000 . 1,15 1000.1,1 5,5
$1689,12
Capitalização Composta
Atividade 6
Exercícios - 4
Qual o valor do capital, que aplicado a taxa de 18% ao trimestre durante 181 dias, produziu um montante de $5.000,00?
Resolução
PV?i = 18 a. t.n = 181 diasFV = $5000
Determine o capital:
PV = FV / (1 + i)n
PV = $5000 / (1 + 0,18)181/190
PV = $5000 / (1,18)2,011
PV = $5000 / 1,3950
PV = $3584,23
Exercício - 5
Certa aplicação rende 0,225% ao dia. Em que prazo um investidor poderá receber o dobro da sua aplicação?
FV = 2 PV1 = 0,225% a.d.n = ? dias
Resolução
FV = PV . (1 + i)n
(1 + i)n = (FV / PV)
n . ln (1 + i) = ln (FV / PV)
n = ln (FV / PV) / ln (1 + i)
n = ln (2PV / PV) / ln (1 + 0,00225)
= ln 2 / ln 1,00225 = 0,6931 / 0,0022
= 308,41 dias
Exercício - 6
A aplicação de $ 380.000,00 proporcionou um rendimento de $ 240.000,00 no final de 208 dias. Determinar as taxas diária, mensal, trimestral e anual de juros.
Resolução
PV = $380.000INT = $240.000_____________FV = $620.000
N = 208 diasi = ?
Determine a taxa:
FV / PV = (1 + i)n
1 + i = (FV / PV)
i = (FV / PV)
Taxa diária
i = (620000/380000)1/208 -1
= 0,024
ou
0,24 a% a.d.
Taxa Mensal
n = 203/30 meses = 6,93 meses
i = (620000 / 380000)30/208 – 1
= 0,0732
ou
7,32% a.m.
Taxa EQUIVALENTE
iq = (1+ it)q/t - 1
iq = (1+ 0,732160)³ - 1 ³ = 90/30 = 3 trimestres
= 0,2359
ou
23,59% a.t.
Taxa Anual
n = 208/360 ano = 0,5638 ano
i = (620000/380000)360/208 – 1
= 1,333
ou
=133,33% a.a.
Taxa Nominal
Poupança
• Nominal j = 6% a.a. Capitalização Mensal
Taxa i = 0,5% a.m.
• Taxa anual equivalente a 0,5%a.m.
iq = ( 1 + it)q/t – 1
Como calcular:
iq = (1 + 0,005)¹² - 1 = 0,0617 . 100%
EFETIVA = 6,17% a.a
Convenção
• A taxa efetiva por período de capitalização seja proporcional à taxa nominal:
j é a taxa nominalk é o número de vezes em que os juros são
capitalizados no período que se refere a taxa nominal
Exemplo 1
12% ao ano:
Taxa efetiva (anual): 12,68%
mês ao %112
%12 :efetiva Taxa ===
k
ji
1268,01)01,01(112
=−+=i
Exemplo 4
5% ao ano, capitalização semestralmente:
Taxa efetiva: i = j / k = 5/2 = 2,5 a.s.
iq = (1+ 0,025)2/1 -1 =
Iq = 1,0506 – 1 = 0,0506
5,06% a.a.
Cálculo da TAXA EFETIVA a partir da Taxa Nominal
A taxa efetiva (período referencial) equivalente à taxa nominal j capitalizada k vezes no período referencial é:
11 −
+=
k
k
ji
Exemplo 5
Um banco faz empréstimos à taxa de 5% ao ano, mas adotando a capitalização semestral do juros.
Qual seria o juro pago por um empréstimo de $10.000,00, feito por 1 ano?
Resolução
Juros = 5% a.a.K = 2 capital a.m.
a) FV = $10000INT = ?
N = 1 ano
Taxa Efetiva Semestral
i = j/ki = 5%/2= 2,5% a.s
Montante ao final de 1 ano:FV = PV . (1 + i)N
FV = 1000 . (1 + 0,025)²
FV: $10506,24
Cont.
INT = FV – PVINT = 10506,25 – 10000
INT = $506,25
b)
Taxa efetiva anual
i = INT/PV = 506,24/10000 = 0,050625
OU
5,0625% a.a.
Outra possibilidade?
• Taxa efetiva anual
iq = (1+ it)q/t - 1
iq = (1+ it)q/t - 1 = (1+0,025)² - 1 =
0,050625 ou 5,0625% a.a.
Exercício 6
Calcular o montante resultante de um investimento de $1.200 aplicado por 3 anos a juros nominais de 16% a.a., capitalizados mensalmente
Dados
PV = $1200Prazo = 3 anos
i = 16% a.a.
K= 12 Capitalização Mensal (em 1 ano)
FV = ?
Resolução
• Montante no final de 3 anos:
FV = $1200(1+ 0,16/12)12.3
FV = $1200(1+ 0,16/12)36
FV = $1200(1+ 0,0133)36
FV = $1200(1,0133)36
FV = $1200 . 1,6109
FV = $1933,15
Exercício 7
Qual o valor de resgate para um capital de $200 aplicado pelos seguintes prazos e taxas?
Resolução
a)
27 dias a 9% a.m., capitalização diária
FV = $200 (1 + 0,09/30)30 . 27/30
FV = $200 (1 + 0,003)27
FV = $200 (1,003)27
FV = $200 . 1,0842
FV = $216,85
b)
6 meses a 28% a.a., capitalização mensal
FV = $200 (1 + 0,28/12)12 .
FV = $200 (1 + 0,023)6
FV = $200 (1,023)6
FV = $200 . 1,1462
FV = $229,23
c)
8 meses a 18% a.s., capitalização mensal
FV = $200 (1 + 0,18/6)6. 8/6
FV = $200 (1 + 0,03)6 . 8/6
FV = $200 (1,03)8
FV = $200 . 1,12668
FV = $253,35
HP
F N
28 E 12 / i
6 N
200 PV
FV
Exercício 8
Vamos supor que tenham sido pesquisadas e encontradas as três taxas a seguir:
• Banco A: 15% a.a. capitalizados diariamente• Banco B: 15,5% a.a. capitalizados
trimestralmente• Banco C: 16% a.a. capitalizados anualmente
Qual dessas taxas será a melhor, caso você esteja pensando em abrir uma caderneta de poupança?
Resolução
Banco A: 15% a.a. capitalizados diariamente
FV = 100 (1 + 0,15/360)360 . 1 ano
FV = 100 (1 + 0,0004)360
FV = 100 (1,0004)360
FV = 100 . 1,1618
FV = 116,18
Resolução
Banco B: 15,5% a.a. capitalizados trimestralmente
FV = 100 (1 + 0,155/4)4 . 1 ano
FV = 100 (1+ 0,0388)4
FV = 100 (1,0388)4
FV = 100 . 1,1642
FV = $116,42
Resolução
Banco C: 16% a.a. capitalizados anualmente
FV = 100 (1 + 0,16)¹ = 100 . 1,16 = $116
Desconto
Exemplo
Uma empresa emitiu uma duplicata de $ 8.000,00 , com vencimento em 03 de novembro. No dia 16 de agosto descontou o título num banco que cobra 2% a.m. de desconto bancário. Determinar o valor de desconto.
O desconto bancário segue a regra dos banqueiros.
FV = $ 8.000,00i = 2% a.m. = 0,02 a.m.n = 16/08 a 03/11 = 79 dias = 79/30 mesesDB = ?
Como DB = FV * i * n , então:
DB = 8000 * 0,02 * ( 79/30 )
DB= $ 421,33
Valor Atual ou Valor de Resgate:
PV = FV ( 1 - i * n )
Exemplo
• Qual o valor de resgate do título do exemplo anterior ?
• PV = FV ( 1 – i * n )
• PV = 8.000,00 ( 1- 0,02 * 79/30 )
• PV = $ 7.578,67
Capitalização Simples
Resolução
INT = $421,33
PV . i . N = 421,33
7578,67 . i . 79/30 = $421,33
i = 2,11% a.m.
Capitalização Composta
i = (FV/PV)1/n – 1
i = (8000/7578,67)30/79 -1
i = 2,0758% a.m.
Desconto Simples para Séries de Mesmo Valor :
Vários títulos de mesmo valor apresentados a um banco, com vencimentos em datas diferentes podem ter seus valores de desconto (total) calculado. Sendo i a taxa de desconto, temos:
DB1 = FV * i * n1
DB2 = FV * i * n2
...........................DBN = FV * i * nN
DBTOTAL = DB1 + DB2 + ..... + DBN
DBTOTAL = FV * i * n1 + FV * i * n2 + .... + FV * i * nN
DBTOTAL = FV * i * ( n1 + n2 + ... + nN )
DBTOTAL = FV * i * (n1 + nN ) * N/2
ExemploQuatro duplicatas, no valor de $32.000,00 cada uma, com vencimentos para 90, 120, 150 e 180 dias, são apresentadas para desconto. Sabendo-se que a taxa de desconto cobrada pelo banco é de 3% ao mês, calcular o valor do desconto.
FV = $32.000,00 n1=90 dias = 3 mesesiD = 3% a.m. nN=180 dias = 6 mesesN = 4Desconto Total: DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 =DBTotal=32.000 .4.0,03.(3+6)/2 = $17.280,00
1 Resolução
D1 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 3 = 2.880,00D2 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 4 = 3.840,00D3 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 5 = 4 800,00D4 = FV . i . N1 = 32000 . 0,03 . 6 = 5.760,00
Dt = $17280,00
2 Resolução
Dt = FV . i . (n1 + Nn) . n/2Dt = 32000 . 0,03 . ( 3 + 6 ) . 4/2
Dt = 960 . 18 = $17280,00
ExemploUma empresa apresenta 6 títulos de mesmo valor para serem descontados em um banco. Sabendo-se que a taxa de desconto é de 2,8% ao mês, que os títulos vencem de 30 em 30 dias, a partir da data de entrega do boderô e que o valor líquido creditado a empresa foi de $25.000,00, calcular o valor de cada título.
PV = $25.000,00N=6 títulosn1=1 mêsn6=6 mesesiD=2,8% a.m.
Pede-se: FV
Resolução
PVt = n . FV – Dt25000 = 6 . FV – FV . id . (n1 + n6) . n/225000 = 6 . FV – FV . 0,028 . (1 + 6) . 6/225000 = 6FV – 0,5880FV
5,4120FV = 25000
FV = $4619,16
CALCULANDO O PV
PV = FV . (1 – i . N)
PV = 4619,36 . (1 – 0,028 . 1)
PV = $4490,02
PV = $25.000,00N=6 títulosn1=1 mêsn6=6 mesesiD=2,8% a.m.Pede-se: FVPV = N.FV – DBTOTAL
25.000 = 6 . FV – DBTOTAL (*)Por outro lado,DBTotal=FV.N.iD.(n1+nN)/2 = FV . 6 . 0,028 . (1+6)/2DBTotal=0,5880 FV (**)Substituindo (**) em (*), temos que:25.000 = 6FV – 0,5880FVResolvendo a equação acima, temos: FV= $4.619,36
Desconto Composto
PV = FV ( 1 – i )n
Desconto Composto :
É o abatimento concedido sobre um título por seu resgate antecipado, com os critérios da capitalização composta.
Dcomp = FV – PVsendo FV o valor nominal e PV o valor do resgate do título.
PV = FV ( 1 – i )n
Exercício
• Desconto Composto
Exemplo:FV = $1000Id = 2% am (Em meses para o vencimento)
PV = Valor de resgate ou creditado na conta (Valor presente)
Resolução
Exemplo
Um duplicata no valor de $25.000,00, com 90 dias para o seu vencimento, édescontada a uma taxa de 2% ao mês. Calcular o valor líquido creditado na conta e o valor do desconto concedido.
a) De acordo com o conceito de desconto Bancário.
b) De acordo com o conceito de desconto composto.
Dados: FV=$25.000,00N=90 dias = 3 mesesId=2% ao mês
a) Desconto BancárioDB=FV.iD.n = 25.000 . 0,02 . 3 = $1.500,00Valor líquido creditado na conta:PV = FV – DB = 25.000–1.500= $23.500,00
b) No desconto Composto, o valor líquido creditado em conta é de:
PV = FV.(1 – iD)n = 25.000 . (1-0,02)3= $23.529,80O valor do desconto composto é de:DCOMP = FV – PV = 25.000 – 23.529,80 = $1.470,20.
ANUIDADES OU SÉRIES DE
PAGAMENTOS
Valores que são pagos ou recebidos através de uma sucessão de pagamentos ou recebimentos.Chama-se de amortização quando o objetivo de sucessivos pagamentos é a liquidação de uma dívida.Chama-se de capitalização quando o objetivo de sucessivos pagamentos é constituir um capital em data futura.
Classificação das Séries de Pagamentos
As Séries de Pagamentos podem ser classificadas :
� Quanto ao prazo:Podem ser temporárias (duração limitada) ou perpétuas (duração ilimitada, como alugueis)
Classificação das Séries de Pagamentos
� Quanto a valor:Podem ser constantes (pagamentos ou recebimentos em valores iguais) ou variáveis (pagamentos ou recebimentos com valores diferentes)
Classificação das Séries de Pagamentos
� Quanto a forma:Imediatas: quando o primeiro pagamento ocorre no primeiro período. Subdividem-se em postecipada (primeiro pagamento se dáno final do primeiro período,ou seja, sem entrada) e antecipada (primeiro pagamento no início do primeiro período, ou seja, com entrada igual as demais prestações)
Classificação das Séries de Pagamentos
Diferidas: quando o primeiro pagamento não ocorre no primeiro período. O período sem pagamentos é chamado de Período de Carência, e normalmente, nele são cobrados juros. Também se subdividem em postecipadas e antecipadas.
Classificação das Séries de Pagamentos
� Quanto ao período:Podem ser periódicas (intervalos de tempo entre pagamentos iguais) ou não periódicas (intervalos de tempo entre pagamentos diferentes).
Modelo Básico de Série
O modelo básico de Série de Pagamentos que vamos tratar é uma série:
• Temporária• Constante• Imediata• Periódica
Exemplo
Determinar o montante ao final do 5o. mês de uma série de 5 pagamentos mensais, iguais e consecutivos de $ 1.000,00 a taxa de 1% ao mês, de forma postecipada.
Solução
Esquematicamente temos a série representada pelo Diagrama do Fluxo de Caixa: FV
0 1 2 3 4 5
$1000
´PASSO A PASSO - SOLUÇÃO
1a. parcela: FV1 = PV1(1+i)4
FV1 = 1000(1+0,01)4 = $ 1.040,602a. parcela: FV2 = PV2(1+i)3
FV2 = 1000(1+0,01)3 = $ 1.030,303a. parcela: FV3 = PV3(1+i)2
FV3 = 1000(1+0,01)2 = $ 1.020,104a. parcela: FV4 = PV4(1+i)1
FV4 = 1000(1+0,01)1 = $ 1.010,005a. parcela: FV5 = PV5(1+i)0
FV5 = 1000(1+0,01)0 = $ 1.000,00FVTOTAL= $ 5.101,01
Juros Compostos
i = 10% a.m.
FV = PV . (1 + i)n
FV1 = 1000 . (1 + 0,1)4
FV2 = 1000 . (1 + 0,1)3
FV3 = 1000 . (1 + 0,1)2
FV4 = 1000 . (1 + 0,1)1____________________________
FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)
Resultado
FVt = $5101,01
Juros Compostos
FVt = 1000 . (1,010 + 1,011 + 1,012 + 1,013 + 1,014)
FV = 1000 . 1,010 . 1,015 – 1/ 1,01 - 1
Fórmula
FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i
Fazendo com a fórmula:
FV = 1000 . (1 + 0,01)5 – 1/ 0,01
FV = $5101,01
Fórmula
2) Quantas prestações de $4.000,00 devo aplicar trimestralmente, à taxa de 7% ao trimestre, para acumular um montante de $100.516,08 no final de certo prazo? E qual esse prazo?
Exercício II
PMT = $4000i = 7% a.t.
FV = $100.516,08
n = ?
$ 4000
Determinar:
FV = PMT . (1 + i)n – 1/ i
(1 + i)n – 1/ i = FV / PMT
(1 + i)n – 1= i . FV / PMT
(1 + i)n = 1 + i . FV / PMT
n. Ln (1+ i) = ln (1 + i . FV / PMT)
Fórmula
N = ln (1 + i . FV / PMT) / Ln (1+ i)
Séries de Pagamentos Postecipados
Fórmula
Exercícios
• A que taxa devo aplicar $15.036,28 por ano para que eu tenha um montante de $500.000,00 no final de 10 anos?
Exercícios
$15036,28
$5000000
10
Resolução
Séries Postecipada
PMT = $15036,28FV = $500.000N = 10 prestações anuaisI = ? A.A
Determinar:
(1 + i)n – 1 / i = FV / PMT
(1 + i)10 – 1/ i = 500000/15036,38
(1 + i)10 – 1/ i = 33,2529
i = 25% a.a.
1 - Exercício
• Quanto terei que aplicar mensalmente, àtaxa de 1% ao mês, para ter um montante de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de acordo com os conceitos de termos postecipados?
Resolução
PMT
Meses
$ 1.000.000
Série Postecipada - Resolução
FV = $ 1.000.000N = 240 prestaçõesi = 1 % a.a
PMT = ?
De valor de cada prestação?
PMT = FV . i / ( 1 + i)n – 1
PMT = 1000000 . 0,01/1,01240 – 1
PMT = $ 1010,86
Na HP12C
G ENDF FIN1 i240 n1000000 FV
PMT = -1010,86 (CHS)
AO DIA?
G ENDF FIN0,033173 i (i = (1+0,01)(i = (1+0,01)1/301/30 --1)1)
7200 n (240.30 = 7200 ao dia)(240.30 = 7200 ao dia)
1000000 FV
PMT = -33,53 (CHS)
Outra maneira...
• Quanto terei que aplicar mensalmente, àtaxa de 1% ao mês, para ter um montante de $1.000.000,00 no final de 20 anos, de acordo com os conceitos de termos postecipados?
• E diariamente, à taxa equivalente a 1% ao mês? (ano comercial: 360 dias)
Nova Fórmula
FFC
FVA
FRC (i,n)
Exemplo
Qual é o valor de um empréstimo que pode ser liquidado em 10 prestações mensais (vencidas ou postecipadas), àtaxa de 2% ao mês, sendo as quatro primeiras prestações de $3.000,00 e as 6 últimas de $4.000,00?
Resolução
Série 1
END
PMT = $3000N = 4 prestações mensaisi = 2% a.m.
Valor atual
PV = PMT . (1 + i)n – 1 / i . (1 + i)n
PV = 3000 . 1,024 – 1 / 0,02 . 1,024
PV = $11.423,1861
Série 2
PMT = $4000N = 6 prestações mesesI = 2% a.m
Valor atual
PV = 4000 . 1,026 – 1 / 0,02 . 1,026
PV = 22.405,7236
Data Zero
PV = 22405,7236/ 1,024
PV = $20699,4252
Valor do empréstimo
X – 11423,1861 + 20699,4252 =
$32122,61
Exercícios 1
Qual o montante, no final de 20 meses, resultante da aplicação de 14 parcelas iguais, mensais e consecutivas de $1.800,00 cada uma, sabendo-se que a taxa contratada é de 3,5% ao mês e que a primeira aplicação é feita “hoje”?
Exercícios 1
Série Antecipada
PMT = $1800N = 14 Prest.I = 3,5% a.m.FV = ?
Montante no final do 14º mês
FV = (1+i) . PMT (1+i)n – 1/i
FV = 1,035.1800.1,03514-1/0,035
$32432,23
Montante no final do 20º mês
FV = PV . (1+i)n
= $32932,23 . 1,035
=
$40482,11
HP 12C
G begF fin
1800 CHS PMT
3,5 i14 n
FV = 32932,23
HP 12C
F FIN
32932,23 CHS PV
6 n3,5 i
FV $40482,11
Exercício 2
Série Antecipada
FV = $20000N = 12 prestações mensais
I = 3% a.m
PMT = ?
Valor de cada prestação
PMT = 1/(1+i) . FV . i/(1+i)n – 1
PMT = 1/1,03 . 20000 . 0,03/1,0312 – 1
PMT = $ 1368,20
HP 12C
G BEGF FIN
20000 FV
3 I12 N
PMT = -1368,20
Exercício 3
Um empréstimo de $50.000,00 deve ser liquidado em 12 prestações iguais. Sabendo-se que a primeira vence no final do 4o mês e que a taxa de juros cobrada pela instituição financeira éde 5% ao mês, determinar o valor da prestação.
Série Antecipada
PMT = ?PV = $60775,31
N = 12
I = 5% a.m
Valor de cada prestação
PMT = 1/(1+i) . PV . i.(1+i)n/(1+i)n-1
PMT = 1/1,05 . 60775,31 . 0,05 . 1,05/1,0512 – 1
PMT = $6530,48
HP12C
F fin50000 pv4 n5 i
FV = $-60775,31
Série de Pagamentos Antecipado
Exemplo:
Um financiamento de $40.000 será pago em oito prestações mensais de $6.413,44. O início do pagamento das prestações será logo ao término de um determinado período de carência. Considerando juros efetivos de 3% ao mês, determinar o período de carência.
Dados
Dados
PMT = $6413,44N = 8 prestações mensaisi = 3% a.m.
Fórmula
Valor atual
PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n
Resolução
PV: 1,03 . 6413,44 . 1,038 – 1 / 0,03 . 1,038
PV: 46370,9859
Período de Carência
HP12C
G BEGF FIN
6413,44 CHS PMT8 N3 i
PV 46370,9859F FIN
46370,9859 CHS FV40000 PV
3 iN = 5,00
Questão
Exemplo:
Um bem cujo valor à vista é de $10.000 serápago por meio de uma entrada de 20% mais 13 prestações antecipadas mensais de $800 cada e mais um pagamento final junto com a última prestação. Considerando que são aplicados juros efetivos de 4% ao mês e que há um período de carência de três meses, calcular o valor do pagamento final de modo que a dívida seja liquidada.
Dados
Dados
Série antecipada
PMT = $800N = 13 prestações mensaisi = 4% a.m.
Fórmula
Valor atual:
PV = (1+i) . PMT . (1+i)n – 1 / i . (1+i)n
Resolução
PV: 1,04 . 800 . 1,0413 – 1 / 0,04 . 1,0413
PV: 8308,06 (Mês 3)
Data Zero
PV = FV / (1 + i)n
PV = 8308,059 / 1,04³
PV = $7385,83
Resta uma dívida (data 0)
Parcela = 8000 – 7385,83 = $614,1658
Data 15X = 614,1658 . 1,0415
X = $1106,08
Solução 2
Data 15
FV = 8000 . 1,0415
FV = $14407,5480
Continuação
FV = PMT . (1 + i)n – 1 / i
FV = 800 . 1,0413 – 1 / 0,04
FV = 13301,47
X = 14407,5480 – 13301,47 = $1106,08
MÉTODOS DE AVALIAÇÃO DE FLUXO DE CAIXA
Exemplo
Uma pessoa tem as seguintes opções para investimento de $800.000,00 :
1. Receber $1.000.000,00 em 2 anos.2. Receber 4 pagamentos semestrais de
$230.000,00.3. Receber 24 pagamentos mensais de
$38.000,00.Qual a melhor alternativa se a taxa de
retorno (atratividade) é de 12% aa ?
Solução
1. FV = PV (1+i)n
1.000.000 = PV (1+0,12)2
PV = $ 797.193,88
NPV = 797.193,88 – 800.000,00
NPV = - $ 2.806,12
Solução
2. Série de pagamentos postecipada, com:
PMT = $ 230.000,00n = 4 parcelasi = 5,83% as
Calculando-se PV e NPV, temosPV = $ 800.085,57
NPV = $ 85,75
Solução
3. Série de pagamentos postecipada, com:
PMT = $ 38.000,00n = 24 parcelas
i = 0,9488793% am Calculando-se PV e NPV, temos:
PV = $ 812.182,61NPV = $ 12.182,61
Portanto a melhor alternativa é a 3.
Se NPV é negativo significa que as despesas são maiores que as receitas.
Se NPV é positivo significa que as receitas são maiores que as despesas.
Se NPV é igual a zero significa que as receitas e as despesas são iguais
Valor presente líquido VPL ou NPV
Receita Atualizada
VLP = CF1/(1+i)¹ + CF2/(1+i)² + CF2/(1+i)³ + CF2/(1+i)4 - CF0
Taxa Interna de Retorno (IRR)
O Método da Taxa Interna de Retorno éaquele que permite encontrar a remuneração do investimentos em termos percentuais.Encontrar a taxa Interna de Retorno éencontrar a taxa de juros que permite igualar receitas e despesas na data zero.
A Taxa Interna de Retorno é a taxa de desconto que leva o valor presente das entradas de caixa de um projeto a se igualar ao valor presente das saídas de caixa.Se NPV = 0, então:
Exercício
VPL
Exemplo
Um máquina no valor de $ 10.000,00 proporcionará receitas anuais de $ 3.500,00 , $ 2.800,00 , $ 2.300,00 e $ 1.700,00 , quando poderá ser revendida por $ 2.000,00. Imaginado-se uma taxa mínima de retorno de 7% aa, o investimento deve ser realizado?
Resolução
Resolução
i = 2%
VLP = 3500/1,07¹ + 2800/1,07² + 2300/1,07³+ 3700/1,74 – 10000 = $416,85
Valor ($416,85) > 0
Se o valor final for maior que zero, vale a pena!
HP12C
F reg10000 CHS g CF03500 g CFj2800 g CFj2300 g CFj3700 g CFj7 iF NPV = 416,85
Solução
O Fluxo de Caixa desse investimento pode ser representado da seguinte forma:
$ 3.500 $ 2.800 $ 2.300 $ 3.700
0 1 2 3 4
-$ 10.000
Solução – Através do NPVEm primeiro lugar o fluxo deve ser introduzido na calculadora. Para isso é necessário lembrar que os valores (receitas e despesas) devem ser introduzidos em ordem cronológica:
f Reg10000 CHS g CF0
3500 g CFj2800 g CFj2300 g CFj3700 g CFj
7 if NPV
Solução – Através do NPV
O resultado do NPV é $ 416,85 , o que significa que as estimativas de receitas são maiores que o investimento inicial, valendo a pena ser feito.
Solução – Através da IRR
A situação também poderia ser resolvida através da taxa interna de retorno:
f Reg10000 CHS g CF0
3500 g CFj
2800 g CFj
2300 g CFj
3700 g CFj
f IRR
Solução – Através da IRR
A resposta encontrada para IRR é 8,84% aa, maior que a taxa mínima de retorno exigida (7% aa), o que significa que o investimento deve ser feito.
Exercício
Uma taxa foi liquidada em quatro prestações anuais de $25331,01, $11200,00, $137250,00, $87500,00 respectivamente, vencimento final de cada ano. Sabendo-se que a taxa de juros cobrada for de 30% a.a., calcular o valor da dívida.
Resolução
HP12C
F reg0 g CF025331,01 g CFj11200 g CFj137250 g CFj83500 g CFj30 iF NPV = 117.819,84
VALOR PRESENTE LÍQUIDO
VPL ou NPV
VPL = SOMAN J = 1 CFJ / (1+i)j - CF0
VPL = CF1/(1+i)1 + CF2/(1+i)2 ...
Exemplo
Dado o fluxo de caixa de um projeto, avalie a viabilidade, sabendo-se que o investidor pode aplicar no mercado financeira à raxa de 15% ao anos.
Modelo
VPL (15%) = 145/1,15¹ + 184/1,15² + 210/1,15³+ 350/1,154 + 421,5/1,155
= $312,97 milhares de reais > 0
Projeto é viável
NA HP12C
F REG500 CHS G CF0145 G CFJ210 G CFJ350 G CFJ421,5 G CFJ15 IF NPV = 312,969
Taxa de Retorno (TIR ou IRR)
SOMAN J = 1 = CFj/ (1 + i)j = CF0
i = TIR
VPL(TIR) = 0
Exemplo
Determine a TIR de problema anterior e utilizar o resultado para avaliar a viabilidade do projeto.
145/(1+i)¹ + 184/(1+i)² + 210/(1+i)³ + 350/(1+i)4 + 421,5/(1+i)5
= 500
TIR = 34,37% a.a. > 15% a.a. O PROJETO É VIÁVEL
F REG500 CHS G CF0145 G CFJ210 G CFJ350 G CFJ421,5 G CFJ
F IRR = 34,367
Exercício 13 – Lista 4
Dívida na dada 6
Resolução
FV = PV . (1 + i)n
FV = 185428,78 . (1 + i)6
PV
PV = PMT . (1+i)12 – 1/i . (1+i)12
185428,78 = (1+i)6 = 25000 (1+i)12/ i.(1+i)12
IRR
HP 12C
F reg185428,78 CHS g CF0
0 g CFj6 g NJ
25000 g CFJ12 g NJ
F IRR 4
Exemplo
Um banco credita $200,16 na carta de um cliente, referente ao desconto de 3 duplicatas de valores. R$ 100, R$ 120 e R$ 80 com prazos.42, 63 e 84 dias, respectivamente.Determinar a taxa mensal de juros, cobrada nessa operação,
Exercício – Calculando a IRR
HP12C
F REG260,18 CHS G CF00 G CFJ100 G CFJ120 G CFJ80 G CFJ
F IRR = 4,9% em 21 dias
Taxa
i = (1+0,05)30/21 – 1 = 7,22% a.m
VPL e TIR
Exemplo: Considere as seguintes alternativas de investimento mutualmente exclusivas:
Exercício
Considerando um custo do capital de 10% a.a., pede-se:
A) Calcular o VPL para cada alternativa:
VPL(i) = 25/(1+i)¹ +
125/(1+i)² = -100
VPL(10%) = 25/1,1¹ + 25/1,1² = $26,03
HP12C
F REG100 CHS g CF0
25 g CFj125 g CFj
10 iF NPV 26,03
b) Determinar a TIR para cada alternativa:
TIR?25/(1,1)¹ + 25/(1,1)² = 100
TIRa = 25% a.a.
HP12C
F REG100 CHS g CF0
25 g CFj125 g CFj
F IRR 25,00
b)
• VPL(i) = 95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = -100
• VPL(10%) = 95/1,1¹ + 45/1,1² = $23,55
b)
TIR?
95/(1+i)¹ + 45/(1+i)² = 100
TIRb = 29,70% a.a.
c) Para cada alternativa (A e B), construa o gráfico de VPL versus custo do capital (i). Represente os dois gráficos num mesmo
plano cartesiano.
c)ALTERNATIVA b ALTERNATIVA a
Gráfico
Gráfico
Quando a reta intercepta o eixo do custo do capital, define a taxa de retorno.
d) Utilize os gráficos para estabelecer qual deve ser a
alternativa escolhida. Justifique sua reposta.
d)
Considerando o custo do capital de 10%a.a., seleciona-se a alternativa A, pois:
VPLb (10%) > VPLa (10%)
O valor de cada prestação é composto por: uma parcela de juros e uma de capital (amortização).
Sistema de Amortização
Sistema Francês de Amortização (PRICE)
Este sistema consiste em um plano de amortização de uma dívida em prestações periódicas, iguais e sucessivas, dentro de conceito de termos postecipados.
Exemplo
Um banco empresta $10000, com taxa de 10% a.m., para ser pago em 5 parcelas, sem carência, calculada pela tabela PRICE.Pede-se: elaborar a planilha de financiamento
Valor de cada prestação?
PMT = PV . i.(1+i)n/(1+i)n – 1
PMT = 10000. 0,1 . 1,15/1,15 – 1
PMT = $2.637,97
1º Parcela de Juros
INT1 = i . PV
INT1 = 0,10 . 10000 = $1000
1º Parcela da Armotização
A1 = PMT - INT1
A1 = 2637,97 – 1000 = $1637,97
Saldo devedor após o pagamento da 1º parcela
PV1 = PV0 - A1 = 10000 – 1637,97 = $8362,03
TABELA
Calculando o Juros:
Calculando Amortização:
Calculando o Saldo devedor:
Saldo devedor, logo após o pagamento da 1º parcela.
PV3
PV3 = PMT . (1+i)5-3 -1/i . (1+i)5-3
PV3 = 2637,97 1,1² - 1/ 0,1 . 1,1²
PV3 = $4578,32
Saldo devedor logo após o pagamento da t-ésima prestação
PVt = PMT . (1+i)n-t – 1/i . (1+i)n-t
Fórmula
At = A1 . (1+i)t-1
Cresce exponencialmente
Amortização
A1 = A1 . 1,1²
A3 = PV2 - PV3
Verificação de Taxa (Amortização x Taxas)
A2 / A1 = 1801,77 / 1637,97 = 1,10
Aumenta 10%
HP12C
F finG end10000 CHS PV10 I5 NPMT $2637,97
CONTINUANDO....
HP12C
PMT $2637,97
1 f AMORT 1000
X y 1637,97
RLC PV -8362,03
SAC
Sistema de Amortização Constante (SAC)
As amortização periódicas são todas iguais.
As prestações são periódicas, sucessivas e descrentes em progressão aritmética (PA).
As prestações são pagos no final de cada periódo.
Exemplos
Um banco empresta R$ 10000 com taxa de 10% a.m., para ser pago em cima parcelas mensais, sem prazos de carência, calculando pelo sistema de Amortização constante (SAC).Pede-se: Elaborar a planilha de financiamento.
Resolução
Resolução
Tabela
Juros
PMT
Como encontrar alguns valores das prestações?
P.A.
As prestações descrevem em P.A. com razão r = i . PV0 / n
PMTt = PMT1 – (t – 1) . r
Valor total pago:
Último termo de juros:
INTn = r
PMTn = A + R
PMTn = PV0 / n + i . PV0 / n
Lista 6 – Exercício da Caixa Econômica
Dados
12) PV0 = $864.000n = 120 prestações mensais
SAC
i = 1% a.m.
a)
PMT1 = ?PMT103 = ?
Valor da Amortização
A = PV0 / n = 864000 / 120 = $7200
Resolução a)
PMT1 = A + INT1
PMT1 = A + PV0
PMT1 = 7200 + 0,01 . 864000
PMT1 = 7200 + 8640 = $15840
PMT103 = PMT1 - 102 . r
r = i . PV0 / n = 0,01 . 7200 = 72
PMT1 = $15840
PMT103 = 15840 - 102 . 72
PMT103 = $8496,00
b)
Valor total de juros pagos:
Total do valor pago de juros:
Resultado b)
OBS:
PRICETodas as parcelas são iguais.Amortização cresce exponencialmente
SACParcelas diferentes. (Decrescente)Amortização todos iguais.
Gráfico
PRICE
PMT = VERDEA = ROSA
SEMPRE POSTECIPADO
SAC
PMT = AMARELAA = AZUL
Valor do Financiamento
r = i . PV0 / n
300 = i . 3000i = 15% a.m.
Curva “Price” x Reta “Seca”
SALDOS DEVEDORES
0,00
2.000,00
4.000,00
6.000,00
8.000,00
10.000,00
12.000,00
0 1 2 3 4 5 6
NÚMERO DA PARCELA
SA
LD
OS
DE
VE
DO
RE
S
Saldo Devedor Price
Saldo Devedor SAC
Amortização
Prestações e Amortizações
0,00
500,00
1.000,00
1.500,00
2.000,00
2.500,00
3.000,00
3.500,00
4.000,00
0 20 40 60 80 100 120 140
Número de Ordem das Prestações
Val
ore
s em
Rea
is
Amortização PRICE
Prestação PRICE
Amortização SAC
Prestação SAC
Amortização SAM
Prestação SAM
Devedor
Saldo Devedor
0,00
20.000,00
40.000,00
60.000,00
80.000,00
100.000,00
120.000,00
140.000,00
0 20 40 60 80 100 120
Número de Ordem das Prestações
Val
ore
s em
Rea
is
Saldo Devedor PRICE
Saldo Devedor SAC
Saldo Devedor SAM
Exercício
• Um empréstimo de $2000, contratado a juros efetivos de 1% ao mês, de acordo com tabela PRICE. Ele será pago em trÊs prestações mensais com carência de dois meses. Durante a carência os juros efetivos são capitalizados e incorporados ao principal. Construir a planilha de amortização.
HP 12C
F FING END2040,20 CHS PV3 N1 IPMT = 693,71
HP12C
PMT 693,71
1 f AMORT 20,40
X y 673,31
RLC PV 1366,89
Planilha