Download - Busqueda de una raiz-Metodos numericos
MÉTODOS NUMÉRICOSRaíces de ecuaciones
MÉTODO GRÁFICO
f(x)
x
Visual
xr
MÉTODO GRÁFICO
x f(x)
0 1
0.05 0.90122942
0.1 0.80483742
0.15 0.71070798
0.2 0.61873075
0.25 0.52880078
0.3 0.44081822
0.35 0.35468809
0.4 0.27032005
0.45 0.18762815
0.5 0.10653066
0.55 0.02694981
0.6 -0.05118836
0.65 -0.12795422
0.7 -0.2034147
0.75 -0.27763345
0.8 -0.35067104
0.85 -0.42258507
0.9 -0.49343034
0.95 -0.56325898
1 -0.63212056-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 0.45 0.5 0.55 0.6 0.65 0.7 0.75 0.8 0.85 0.9 0.95 1
0.57
xe)x(fx -= -
MÉTODO DE BISECCIÓN
f(x)
x
MÉTODO DE BISECCIÓN
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
MÉTODO DE BISECCIÓN
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0<)x(f).x(f si
MÉTODO DE BISECCIÓN
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
2. El segmento se bisecta, tomando el punto de
bisección xr como aproximación de la raíz buscada.
MÉTODO DE BISECCIÓN
xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xr)
2
sir
xxx
+=
MÉTODO DE BISECCIÓN
La fórmula de recurrencia para el método
de bisección es el promedio de los valores
inferior y superior de los extremos del
intervalo:
i sr
x xx
2
+=
MÉTODO DE BISECCIÓN
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
2. El segmento se bisecta, tomando el punto de
bisección xr como aproximación de la raíz buscada.
3. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la
raíz.
MÉTODO DE BISECCIÓN
xi xsxi
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xr)
rxx =i
MÉTODO DE BISECCIÓN
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
2. El segmento se bisecta, tomando el punto de
bisección xr como aproximación de la raíz buscada.
3. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la
raíz.
4. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de
bisección xr coincide prácticamente con el valor exacto
de la raíz.
MÉTODO DE BISECCIÓN
xsxi
f(x)
x
f(xs)
f(xr)
2
sir
xxx
+=
xr
MÉTODO DE BISECCIÓN
Iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xr f(Xr) e(%) e*(%)
1 0 1 1 -0.63212056 0.5 0.10653066 11.84
2 0.5 1 0.10653066 -0.63212056 0.75 -0.27763345 32.24 33.33
3 0.5 0.75 0.10653066 -0.27763345 0.625 -0.08973857 10.2 20.00
4 0.5 0.625 0.10653066 -0.08973857 0.5625 0.00728282 0.82 11.11
5 0.5625 0.625 0.00728282 -0.08973857 0.59375 -0.04149755 4.69 5.26
6 0.5625 0.59375 0.00728282 -0.04149755 0.578125 -0.01717584 1.94 2.70
7 0.5625 0.578125 0.00728282 -0.01717584 0.5703125 -0.00496376 0.56 1.37
8 0.5625 0.5703125 0.00728282 -0.00496376 0.56640625 0.0011552 0.13 0.69
9 0.56640625 0.5703125 0.0011552 -0.00496376 0.56835938 -0.00190536 0.21 0.34
10 0.56640625 0.56835938 0.0011552 -0.00190536 0.56738281 -0.00037535 0.04 0.17
11 0.56640625 0.56738281 0.0011552 -0.00037535 0.56689453 0.00038986 0.04 0.09
12 0.56689453 0.56738281 0.00038986 -0.00037535 0.56713867 7.2379E-06 0 0.04
13 0.56713867 0.56738281 7.2379E-06 -0.00037535 0.56726074 -0.00018406 0.02 0.02
14 0.56713867 0.56726074 7.2379E-06 -0.00018406 0.56719971 -8.8412E-05 0.01 0.01
Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143
xe)x(fx -= -
MÉTODO DE BISECCIÓN
0.5
0.75
0.625
0.5625
0.59375
0.578125
0.56640625
0.5703125
0.567143…
0 1
xe)x(fx -= -
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
f(x)
x
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0<)x(f).x(f si
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
2. Se traza una recta que une los puntos [xi, f(xi)], [xs,
f(xs)].
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
2. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs,
f(xs)).
3. Se obtiene el punto de intersección de esta recta con
el eje de las abscisas: (xr, 0) y se toma xr como
aproximación de la raíz buscada.
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
xi xsxr
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xr)
s i i sr
i s
x f(x ) x f(x )x
f(x ) f(x )
-=
-
O método de interpolación lineal
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
La fórmula de recurrencia para el método de la regla
falsa se obtiene de comparar dos triángulos semejantes:
si
r i r s
r s i r i s
r i s i r s i s
r i r s s i i s
r i s s i i s
s i i sr
i s
f(x )f(x )
x x x x
(x x )f(x ) (x x )f(x )
x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )
x f(x ) x f(x ) x f(x ) x f(x )
x [f(x ) f(x )] x f(x ) x f(x )
x f(x ) x f(x )x
f(x ) f(x )
=- -
- = -
- = -
- = -
- = -
-=
-
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
2. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs,
f(xs))
3. Se obtiene el punto de intersección de esta recta con
el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como
aproximación de la raíz buscada.
4. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la
raíz.
xr
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
xi xsxs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
f(xs)
rxx =s
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
1. Consiste en considerar un intervalo (xi, xs) en el que se
garantice que la función tiene raíz.
2. Se traza una recta que une los puntos (xi, f(xi)), (xs,
f(xs))
3. Se obtiene el punto de intersección de esta recta con
el eje de las abscisas: (xr, 0); se toma xr como
aproximación de la raíz buscada.
4. Se identifica luego en cuál de los dos intervalos está la
raíz.
5. El proceso se repite n veces, hasta que el punto de
intersección xr coincide prácticamente con el valor
exacto de la raíz.
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143
xe)x(fx -= -
iteración Xi Xs f(xi) f(Xs) Xr f(Xr) e(%) e*(%)
1 0 1 1 -0.63212056 0.61269984 -0.07081395 8.03
2 0 0.61269984 1 -0.07081395 0.30634992 0.42977907 45.98 100.00
3 0.30634992 0.61269984 0.42977907 -0.07081395 0.45952488 0.17205878 18.98 33.33
4 0.45952488 0.61269984 0.17205878 -0.07081395 0.53611236 0.04890582 5.47 14.29
5 0.53611236 0.61269984 0.04890582 -0.07081395 0.5744061 -0.01136694 1.28 6.67
6 0.53611236 0.5744061 0.04890582 -0.01136694 0.55525923 0.01866424 2.1 3.45
7 0.55525923 0.5744061 0.01866424 -0.01136694 0.56483266 0.0036226 0.41 1.69
8 0.56483266 0.5744061 0.0036226 -0.01136694 0.56961938 -0.00387865 0.44 0.84
9 0.56483266 0.56961938 0.0036226 -0.00387865 0.56722602 -0.00012965 0.01 0.42
10 0.56483266 0.56722602 0.0036226 -0.00012965 0.56602934 0.00174607 0.2 0.21
11 0.56602934 0.56722602 0.00174607 -0.00012965 0.56662768 0.00080811 0.09 0.11
12 0.56662768 0.56722602 0.00080811 -0.00012965 0.56692685 0.0003392 0.04 0.05
13 0.56692685 0.56722602 0.0003392 -0.00012965 0.56707644 0.00010477 0.01 0.03
14 0.56707644 0.56722602 0.00010477 -0.00012965 0.56715123 -1.244E-05 0 0.01
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
f(x)
x
Caso de convergencia lenta
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
MODIFICADO
Las funciones con curvatura significativa hacen que el
método de la regla falsa converja muy lentamente.
Esto se debe a que con interpolación lineal, uno de los
valores extremos se queda estancado.
Para tales casos, se ha encontrado un remedio: el
método de la regla falsa modificado, que reduce a la
mitad el valor de la función en el punto extremo que se
repita dos veces, con lo que la convergencia se acelera
significativamente.
MÉTODO DE LA REGLA FALSA
MODIFICADOf(x)
x
f(xi)
f(xi)/2
f(xi)/4
PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0<)x(f).x(f si
3 raíces (o 5, o 7 o …)
hay una raíz
hay un número impar de raíces
PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0<)x(f).x(f si
3 raíces (1 simple y 1 doble)
hay una raíz
hay un número impar de raíces
PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0>)x(f).x(f si
2 raíces (o 4, o 6 o …)
no hay raíz
hay un número par de raíces
PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
xi xs
f(x)
x
f(xi)
f(xs)
0>)x(f).x(f si
1 raíz doble
no hay raíz
hay un número par de raíces
PRECAUCIONES EN EL USO
DE MÉTODOS CERRADOS
Los métodos cerrados siempre convergen,
aunque lentamente.
En la mayoría de los problemas el método de la
regla falsa converge más rápido que el de
bisección.
Conviene utilizar la calculadora graficadora o una
computadora para graficar la función y realizar
los acercamientos necesarios hasta tener
claridad sobre su comportamiento.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
f(x)
x
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
1. Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
f(x)
x
x)x(g)x(f -=
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
1. Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.
2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, cuando g(x) = x.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
La fórmula de recurrencia para el método del punto fijo se obtiene de
considerar una función que el resultado de sumar la función f con la función
identidad:
g(x) f(x) x
f(x) g(x) x
f(x) 0 g(x) x 0
g(x) x
= +
= -
= - =
=
g(x) f(x) x
f(x) g(x) x
f(x) 0 g(x) x 0
g(x) x
= +
= -
= - =
=
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
f(x)
xxr
x
g(x)
f(x)
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
1. Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.
2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.
3. El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
f(x)
xxr
Las funciones x y g(x) se cortan
exactamente en la raíz xr
x
g(x)
f(x)
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
1. Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.
2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.
3. El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.
4. El método consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0), considerando éste como segunda aproximación de la raíz, x1.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
f(x)
xx0 x1
g(x0)
10 x)x(g =
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
1. Considera la descomposición de la función f(x) en una diferencia de dos funciones: una primera g(x) y la segunda, siempre la función x: f(x) = g(x) - x.
2. La raíz de la función f(x) se da cuando f(x) = 0, es decir, cuando g(x) – x = 0, por lo que g(x) = x.
3. El punto de intersección de las dos funciones, da entonces el valor exacto de la raíz.
4. El método consiste en considerar un valor inicial x0, como aproximación a la raíz, evaluar el valor de esta función g(x0), considerando éste como segunda aproximación de la raíz.
5. El proceso se repite n veces hasta que g(x) coincide prácticamente con x.
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
f(x)
xx0 x3 x2 x1
Requisito para convergencia
1<)x('g
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Sólo hay convergencia si la magnitud de la pendiente de
g(x) es menor que la pendiente de la recta f(x) = x.
– La ecuación de recurrencia es:
– Si x* es el verdadero valor de la raíz:
– Y por el teorema del valor medio:
– Si , los errores disminuyen en cada iteración
– Si , los errores crecen en cada iteración
i 1 ix g(x )+
=
* *x g(x )=* *
i 1 ix x g(x ) g(x )+
- = -
* *
i ig(x ) g(x ) (x x )g'( )- = -
*
i 1 i 1
*
i i
x x Eg'( )
x x E+ +
- = =
-
g'(x) 1<
g'(x) 1>
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
solución monótona
solución oscilante
Convergencia
Divergencia
< 1g'(x)
> 1g'(x)
MÉTODO DEL PUNTO FIJO
Decisiones Función Recurrencia Xr = 0.567143
xe)x(fx -= -
iteración Xi f(Xi) g(Xi) e(%) e*(%)
1 0 1 1 100.00
2 1 -0.63212056 0.36787944 76.32 100.00
3 0.36787944 0.32432119 0.69220063 35.13 171.83
4 0.69220063 -0.19172713 0.5004735 22.05 46.85
5 0.5004735 0.10577003 0.60624354 11.76 38.31
6 0.60624354 -0.06084775 0.54539579 6.89 17.45
7 0.54539579 0.03421655 0.57961234 3.83 11.16
8 0.57961234 -0.01949687 0.56011546 2.20 5.90
9 0.56011546 0.01102765 0.57114312 1.24 3.48
10 0.57114312 -0.00626377 0.56487935 0.71 1.93
11 0.56487935 0.00354938 0.56842873 0.40 1.11
12 0.56842873 -0.00201399 0.56641473 0.23 0.62
13 0.56641473 0.0011419 0.56755664 0.13 0.36
14 0.56755664 -0.00064773 0.56690891 0.07 0.20
15 0.56690891 0.00036732 0.56727623 0.04 0.11
16 0.56727623 -0.00020833 0.5670679 0.02 0.06
17 0.5670679 0.00011815 0.56718605 0.01 0.04
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x)
x
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
1. Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como
aproximación de la raíz y obtener el valor de la función
por ese punto.
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
x1
f(x)
x
f(x1)
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
1. Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como
aproximación de la raíz y obtener el valor de la función
por ese punto.
2. Trazar una recta tangente a la función por ese punto.
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
x1
f(x)
x
f(x1) f '(x1)
O método de la tangente
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
1. Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como
aproximación de la raíz.
2. Obtener el valor de la función por ese punto y trazar
una recta tangente a la función por ese punto.
3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las
abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación
de la raíz.
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
x1
f(x)
x
f(x1)
x2
f(x2)
i+1xf'(xi)
= xi -f(xi)
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
El método de Newton Raphson se puede deducir a partir
de la interpretación geométrica que supone que el punto
donde la tangente cruza al eje x es una interpretación
mejorada de la raíz.
i 1 ii
i 1 i
ii
i 1 i
ii 1 i
i
ii 1 i
i
f(x ) f(x )f '(x )
x x
0 f(x )f '(x )
x x
f(x )x x
f '(x )
f(x )x x
f '(x )
+
+
+
+
+
-=
-
-=
-
- = -
= -
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
En realidad, el método de Newton Raphson, que supone la
obtención de la raíz de f(x), se obtiene a partir de su desarrollo en
serie de Taylor, la cual se puede escribir:
donde, al despreciar el residuo R2, la serie de Taylor truncada a dos
términos, queda:
Y realizando manipulaciones algebraicas:
i+1 i i i+1 i 2f(x ) = f(x ) + f '(x )(x - x ) + R
i i i+1 i0 = f(x ) + f '(x )(x - x )
ii 1 i
i
f(x )x x
f '(x )+
= -
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
1. Consiste en elegir un punto inicial cualquiera x1 como
aproximación de la raíz.
2. Obtener el valor de la función por ese punto y trazar
una recta tangente a la función por ese punto.
3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las
abscisas (x2, 0), constituye una segunda aproximación
de la raíz.
4. El proceso se repite n veces hasta que el punto de
intersección xn coincide prácticamente con el valor
exacto de la raíz.
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
x1
f(x)
x
f(x1)
x2
f(x2)
f(x3)
x3
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
En ocasiones resulta difícil o imposible obtener la primera derivada
de la función. En tal caso, se puede hacer una aproximación
suficientemente buena de su valor en xi, por diferencias finitas hacia
delante:
o por diferencias finitas hacia atrás:
con h = 0.001, por ejemplo.
Si la función no tiene singularidades en la vecindad de la raíz,
ambas aproximaciones por diferencias funcionan bien.
i ii
f(x ) f(x h)f '(x )
h
- -
i ii
f(x h) f(x )f '(x )
h
+ -
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
El método de Newton Raphson converge muy
rápidamente, pues el error es proporcional al
cuadrado del error anterior:
– La velocidad de convergencia cuadrática se explica
teóricamente por la expansión en serie de Taylor, con
la expresión:
– El número de cifras significativas de precisión se
duplica aproximadamente en cada iteración
i 1 2E R+
=
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Derivada Función Recurrencia Xr = 0.567143
xe)x(fx -= -
iteración Xi f(Xi) f'(Xi) e(%) e*(%)
1 0 1 -2 100.00
2 0.5 0.10653066 -1.60653066 11.84 100.00
3 0.566311003 0.00130451 -1.567615513 0.15 11.71
4 0.567143165 1.9648E-07 -1.567143362 0.00 0.15
5 0.56714329 4.4409E-15 -1.56714329 0.00 0.00
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
f(x)
x
La velocidad de convergencia es muy sensible al valor inicial elegido
lento
rápido
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.
x
x3 x1
x2x0
f(x)
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Aunque el método trabaja bien, no existe garantía de convergencia.
xx1x2x0
f(x)
x3x4
MÉTODO DE LA SECANTE
f(x)
x
MÉTODO DE LA SECANTE
1. Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los
cuales se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)
MÉTODO DE LA SECANTE
x0 x1
f(x)
x
f(x0)
f(x1)
MÉTODO DE LA SECANTE
1. Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los
cuales se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)
2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.
MÉTODO DE LA SECANTE
x0 x1
f(x)
x
f(x0)
f(x1)
MÉTODO DE LA SECANTE
1. Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los
cuales se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)
2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.
3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas
(x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.
MÉTODO DE LA SECANTE
x0 x1
f(x)
x
f(x0)
f(x1)
x2
f(x2)
i i 1 i 1 ii 1
i 1 i
x f(x ) x f(x )x
f(x ) f(x )- -
+
-
-=
-
MÉTODO DE LA SECANTE
1. Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los
cuales se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)
2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.
3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas
(x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.
4. Se reemplazan los subíndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a
ser x0 y x2 pasa a ser x1.
MÉTODO DE LA SECANTE
x0 x1
f(x)
x
f(x0)
f(x1)
x2
f(x2)
x0 x1
f(x0)f(x1)
MÉTODO DE LA SECANTE
1. Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los
cuales se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)
2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.
3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas
(x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.
4. Se reemplazan los subíndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a
ser x0 y x2 pasa a ser x1.
5. Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0 , x1.
MÉTODO DE LA SECANTE
x0
f(x)
x
f(x0)
x1
f(x1)
x2
MÉTODO DE LA SECANTE
1. Consiste en elegir dos puntos iniciales cualquiera x0, x1 para los
cuales se evalúan los valores de la función: f(x0) = f(x1)
2. Se traza una recta secante a la función por esos dos puntos.
3. El punto de intersección de esta recta con el eje de las abscisas
(x2, 0) constituye una segunda aproximación de la raíz.
4. Se reemplazan los subíndices: xi = xi+1, de manera que x1 pasa a
ser x0 y x2 pasa a ser x1.
5. Se traza una segunda secante por los nuevos puntos x0, x1,
obteniendo una segunda aproximación con x2.
6. El proceso se repite n veces hasta que el punto de intersección x2
coincide prácticamente con el valor exacto de la raíz.
MÉTODO DE LAS SECANTES
x0
f(x)
x
f(x0)
x1
f(x1)
x2
f(x2)
MÉTODO DE LA SECANTE
Derivada Función Recurrencia Xr = 0.567143
xe)x(fx -= -
iteración X0 X1 f(X0) f(X1) X2 f(X2) e(%) e*(%)
1 0 0.4 1 0.27032005 0.54818554 0.02981207 3.34
2 0.4 0.54818554 0.27032005 0.02981207 0.56655382 0.00092388 0.1 3.24
3 0.54818554 0.56655382 0.02981207 0.00092388 0.56714126 3.1783E-06 0 0.10
4 0.56655382 0.56714126 0.00092388 3.1783E-06 0.56714329 3.3904E-10 0 0.00
COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS
ESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS
0.01
0.10
1.00
10.00
100.00
1000.00
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17
iteraciones
Err
or
rela
tivo
esti
mad
o p
orc
en
tual
Bisección Regla falsa Punto fijo Newton-Raphson Secante
xe)x(fx -= -
COMPARATIVO DE LOS ERRORES RELATIVOS
ESTIMADOS, POR DIFERENTES MÉTODOS
Los métodos de bisección, de regla falsa y de punto fijo convergen
linealmente al valor verdadero de la raíz.
– El error relativo verdadero es proporcional y menor que el error
correspondiente de la iteración anterior.
– En bisección y regla falsa, la convergencia está garantizada.
– En punto fijo, la convergencia depende de que la pendiente de la
tangente no sobrepase el 1, en positivo o en negativo.
Los métodos de Newton Raphson y de la secante convergen
cuadráticamente al valor verdadero de la raíz.
– El error relativo verdadero es proporcional al cuadrado del error
correspondiente de la iteración anterior.
– Cuando el error relativo en una iteración es menor que 1 (inferior al
100%), la convergencia está garantizada.
– Cuando el error relativo en una iteración es mayor que 1, la divergencia
está garantizada.