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7/31/2019 Bloque I Funciones y Relaciones

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Matemticas IV.

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MATEMTICAS IVBachillerato.

ING. JOEL GONZLEZ ALDRETE.


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Matemticas IV. |Bloque I Relaciones y Funciones. | Ing. Joel Gonzlez Aldrete.

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Bloque IFunciones y Relaciones.Relacin.Una relacin es un conjunto de parejas ordenadas, formadas de la correspondencia entre los elementos de dos conjuntos dados.

Ejemplos:

1. La distancia recorrida por un vehculo con su velocidad.2. Los nombres de los alumnos con su calificacin.

3. Los presidentes de un pas con el periodo de presidencia.

4. SeaA el conjunto formado por todos los pases del mundo y sea B el conjunto formado por todas

las capitales polticas del mundo. La relacin 1 R = "tiene por capital poltica a" establece que

solamente existe un elemento del segundo conjunto que se puede asociar con cada elemento del

primer conjunto. Ejemplos de elementos de esta relacin son:

(Francia , Pars ), (Espaa ,Madrid), (Inglaterra , Londres ), etc.

Las Relaciones se pueden clasificar como:

Caso 1.- De un elemento del primer conjuntoa un elemento del segundo conjunto.

Caso 2.- De dos o ms elementos del primer conjunto

a un elemento del segund conjunto.

Caso 3.- De un elemento del primer conjunto

a dos o ms elementos del segundo conjunto.

Funcin.

Unafuncines una relacin con la caracterstica de que a cada elemento del primer conjunto le corresponde uno y solamente un elemento del segundoconjunto.

Formalmente, para poder establecer una funcin es necesario que:

1) Exista un conjuntoXllamado dominiode la funcin.

2) Exista un conjunto Yllamado codominiode la funcin.

3) Exista una regla de correspondenciaentre los dos conjuntos, de tal forma que a los elementos del dominio les haga corresponder uno y solo uno de los

elementos del codominio.

Una funcin se denota usualmente por una letra minscula, por ejemplo:f, g, etc.


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Ejemplo.

La correspondencia entre los conjuntosXy Y: representauna funcin ya que cada elemento del dominio tiene asociado uno y slo un elemento del codominio.

Una funcinfdefinida del conjuntoXal conjunto Yse denota comof : XY.

Xcorresponde al dominio de la funcin,

Ypertenece al codominio de la funcin y

fes la caracterstica de la funcin (regla de correspondencia).

La caracterstica indica que se debe hacer con cada elemento del conjuntoX

para obtener los elementos correspondientes en el conjunto Y.

Para indicar los elementos del dominio se escoge una letra que representa a todos los elementos de este conjunto. Esta letra recibe el nombre de variable, ya

que puede tomar como valor cualquier elemento del conjunto. Usualmente se escoge la letra x. El valor que toma la variable xno depende de ninguna

condicin. Esta variable puede tomar como valor cualquier elemento del dominio, por eso se le llama variable independiente.

Los elementos del segundo conjunto tambin pueden ser representados si utilizamos una variable (usualmente la letra y). No obstante, esta segunda variable

depende del valor que se le ha asignado a la variable independiente, y es por eso que recibe el nombre de variable dependiente.

Considerando lo anterior, si yes una funcin dex,

lo cual se expresa simblicamente como: y=f(x).

Imagen y Rango.

El elemento que se obtiene en el segundo conjunto despus de aplicar la regla de correspondencia

a un elemento del primer conjunto, recibe el nombre de imagen.

Sixes el elemento en el dominio la imagen se denota comof(x).Rangoo recorridoes el conjunto formado por todas las imgenes correspondientes al dominio.

X Y

Dominio Codominio

Variable VariableIndependiente Dependiente

X Y


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En lenguaje cotidiano o ms simple, diremos que las funciones matemticas equivalen al proceso lgico comn que se expresa como depende de. Las

funciones matemticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefnica que depende de su duracin, o el costo de

enviar una encomienda que depende de su peso.

Ejemplo 1. Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos.

Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente.Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente.Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos.

Notemos tambin que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso.

Ejemplo 2. Correspondencia entre el conjunto de los nmeros reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla"doble del nmero ms 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3

Con estos ejemplos vamos entendiendo la nocin de funcin: como vemos, todos y cada

uno de los elementos del primer conjunto (X) estn asociados a uno, y slo a uno, delsegundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X

sin su correspondiente elemento en Y. A uno y slo a uno significa que a un mismo

elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y.

El nmero 3 es la imagen del nmero 0 bajo f; por su parte,1 es la preimagen del nmero 5

Ejemplo 3. Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relacin de dependencia o

correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cudruplo".

Vamos a examinar si esta relacin es una funcin de A en B y determinaremos dominio y recorrido.

A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde

un nico elemento de Y, la relacin de dependencia es una funcin (funcin de A en B).

Dominio = {1, 2, 3} Recorrido = {4, 8, 12}

Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12}

Conjunto XConjunto Yngela 55

Pedro 88Manuel 62Adrin 88Roberto 90

Conjunto XConjunto Y Desarrollo

2 1 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 1 1 1 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 10 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 31 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 52 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 73 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 94 11 f(4) = 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11


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Aqu debemos recordar que toda funcin es una relacin, pero no todas las relaciones son funciones.Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes:

Si tenemos los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5}

Podemos establecer las relaciones

f= { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) }

g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) }

h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }

Est claro quef, g y h son relaciones deA en B, pero slofes una funcin (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es

funcin ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una funcin ya que Dom(h) = {1; 2; 3}A (falta el 4).

Ejemplo 4. Sea X = {4, 1, 0, 4, 9}, Y = {4,3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer

su raz cuadrada". Vamos a determinar si esta regla constituye funcin de X en Y.

A simple vista se aprecia que los nmeros 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los nmeros 4 y 1 no les corresponden

elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relacin no es funcin de X en Y.

Las funciones pueden clasificarse de la siguiente forma:

Una funcin inyectiva es aquella que al tomar dos valores diferentes en el dominiosus imgenes van a ser diferentes.

Ejemplo:

El dominio esXa,b,c,dEl codominio es YA,B,C,D,ELa imagen de a esA; de b esB ; de c es C; y de desD.

El rango esR A,B,C,DSe trata de una funcin inyectiva puesto que la asociacin es uno a uno, independientemente de que sobre el elementoE.


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Una funcin suprayectiva es cuando el rango es igual al codominio.

Significa que todos los elementos del codominio estn relacionados con alguno del dominio.

Ejemplo:

Sea la funcin:fx2x2 1,x Z, 3 x 3Si se tabula, se tiene:

El dominio esX

3,2,1,0,1,2,3

El codominio es Y1,3,9,19La imagen de 3 y 3 es 19, de 2 y 2 es 9 , de 1 y 1 es 3 y de 0 es1 .

El rango esR 1,3,9,19Se trata de una funcin suprayectiva porque todos los elementos del codominio estn asociados con al menos uno del dominio.

Una funcin es biyectiva si es inyectiva y suprayectiva simultneamente.Ejemplo:

Sea la funcinfx4x,x N,x 5Tabulando, se tiene:

El dominio esX1,2,3,4,5

El codominio es Y4,8,12,16,20 La imagen de 1 es 4 , de 2 es 8 , de 3 es 12, de 4 es 12 y de 5 es 20

El rango esR 4,8,12,16,20Al cumplir con ser una funcin inyectiva y suprayectiva, es tambin biyectiva.

Tipos de Funciones.

Funciones expresadas en forma explcita: En general, si es posible resolver una ecuacin paray en trminos dex , se escribey fxy sedice que la funcin est dada explcitamente. Esto significa que la variable dependiente est despejada.Ejemplos:


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Funciones expresadas en forma implcita: Por otra parte, cuando la regla que define a una funcinfest dada por una ecuacin enx yy , de la

formafx, y0 , se dice que la funcin est dada implcitamente. Esto significa que la variable dependiente no est despejada.Ejemplos:

Funciones algebraicas: Son aquellas en que aparecen las operaciones de suma, resta, multiplicacin, divisin potenciacin y radicacin.

Lasfunciones racionalesse obtienen con el cociente de dos funciones polinmiales.

Lafuncin es irracionalcuando algn exponente del polinomio no es entero.

Funciones Trascendentes: Son las funciones trigonomtricas, las trigonomtricas inversas, las logartmicas y las exponenciales.

Las funciones logartmicas: Donde a es la base del logaritmo


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Funciones Continuas: Una funcin es continua cuando su grfica no presenta ningn corte.

Ejemplos.

En la funciny 4x 7 , no existe un valor dex que haga que la curva tenga un cortebrinco por lo tanto, es continua.

En la funciny 12 3x , se sabe que para que est definido en R, se debe de cumplir que,

12 3x 0 o bien: 12 3x , resolviendo: se tiene quex 4 , por lo que el dominioes R a partir de valores iguales o menores a 4 . As que es continua en el intervalo ,4.

Funciones Discontinuas: Una funcin es discontinua si su grfica presenta al menos un corte.

En la funcin =1

3valor dey parax 3 no est definido, por lo que el dominio es R

exceptuandox 3 . El dominio puede expresarse como la unin de los intervalos ,3U 3,, asque es discontinua en ese valor.

En la funcin =1

24los valores dey parax 2 yx 2 no estn definidos, por lo que el

dominio es R exceptuandox 2 yx 2 . El dominio puede expresarse como la unin de los

intervalos ,2U 2,2U 2,, as que la funcin es discontinua para estos dos valores.


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Algebra de Funciones.

El desarrollo de las funciones nos lleva a generar una serie de reglas que permiten tomar decisiones acerca de los dominios y codominios, entre otros, estacombinacin de operaciones algebraicas de las funciones:

Seanfy g dos funciones, definimos las siguientes operaciones:

Suma: (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Diferencia: (f - g)(x) = f(x) - g(x)

Producto: (fg)(x) = f(x)g(x)

Cociente: (f/g)(x) = f(x)/g(x)

Los resultados de las operaciones entre funcionesf,g nos conduce a analizar el dominio de las funciones, as paraf + g, f - g yfg el dominio es la interseccin del

dominio de f con el dominio de g. En el caso del cociente entre funciones el dominio de f / ges la interseccin del dominio de fcon el dominio de g,para losque g(x) = 0.

Ejemplos: Tomemos las siguientes funciones:

f(x)= x2

g(x)= xLas operaciones estaran definidas

Suma (f+g)(x) = x2 + x

Diferencia (f-g)(x) = x2 - x

Producto (f g)(x) = (x2)(x) =x3

Cociente (f/g)(x) = x2 / x = x para x 0

Ntese que en el caso de cociente el caso de x0, en este caso no existe este valor debido a las races de la funcin g(x)

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