Populationsdynamik mit grafikorientierter Modellbildung
W. Oehme, Universität Leipzig
Bild: Wikipedia.org User Abubiju
Inhalt
1. Gleichungs- und grafikorientierte Modellbildung Kinematik der geradlinigen Bewegungen
2. Ausgewählte Ansätze im Physiklehrplan der Sekundarstufe 22.1. Mechanik: Bewegungen mit Reibung
TurmspringenWurfbewegungen
2.2. ElektrizitätslehreEinschalten einer Spule
2.3. Mechanische und elektromagnetische SchwingungenGedämpfter mechanischer Schwinger
3. Populationsdynamik
4. Ausblick
1. Gleichungs- und grafikorientierte Modellbildung
Nneu = Nalt + ΔNyalt = yneu + Δy
ΔN
y
t
ΔtΔy
dtdy
Tangente mit Anstieg
Kontinuierliche Veränderung Diskrete Veränderung
y
t
Δy
Δt
ΔNBild: Wikipedia.org User Darkone
Bild: Wikipedia.org User StefanGe
Bild: Wikipedia.org User Abubiju
ΔN
Bild: Wikipedia.org User Barbarossa
Kontinuierliche Veränderungen
y
x
Δx
Δy
dxdy
Tangente mit Anstieg
y
t
Δt
Δy
dtdy
Tangente mit Anstieg
xdxdyyy
yyy
altneu
altneu
Δ⋅+≈
Δ+=
Anstieg der Tangente
tdtdyyy
yyy
altneu
altneu
Δ⋅+≈
Δ+=
Anstieg der Tangente
Euler-Verfahren der Zeitintegration
tdtdvvv
tavvvvvtav
dtadvdtdva
Δ⋅+=
Δ⋅+=Δ+=Δ⋅=Δ⋅=
=
tdtdsss
tvssssstvs
dtvdsdtdsv
Δ⋅+=
Δ⋅+=Δ+=Δ⋅=Δ⋅=
=
Anstieg der Tangente bzw. Änderungsrate
Definitionsgleichung
Gleichungs- und grafikorientierte ModellbildungBeispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung
a -> v -> s
)(1.0)(0)(0
)(0)(5
1
2
ststms
smvsma
Startwertettt
tvsstavv
=Δ==
⋅=
⋅=
Δ+=Δ⋅+=Δ⋅+=
−
−
Gleichungsorientierte Modellbildung mit Moebius
Grafikorientierte Modellbildung mit Moebius
Verschiebung
Benennung
Papierkorb
Zustandsgröße
Änderungsrate
Wirkungspfeil
„Rückübersetzung“
„Rückübersetzung“ und Startwerte
Problem bei grafikorientierter Programmierung mit Moebius:
Vereinfachtes und nicht vereinfachtes Modell
2. Ausgewählte Ansätze im Physiklehrplan der Sekundarstufe 2
2.1. Mechanik: Bewegungen mit Reibung
Fahrphysik
Fallbewegungen mit Luftreibung: Fallschirmspringer, Regentropfen
Fallbewegungen mit Reibung in Flüssigkeiten:Wasserspringer nach dem Eintauchen,Absinkende Kugel
Bild: Flickr.com User Kamalsell
Bild: Behdad Esfahbod, Toronto Canada
Bild: Reg Mckenna, UK
Beispiel: Turmspringen
FINA-Regeln für die Tiefe des Sprungbeckens
5,00 m10 m
3,80 m3 m
3,60 m1 m
BeckentiefePlattform
Problemstellung: Warum wächst die Beckentiefe nicht proportional zur Absprunghöhe?
Bild: Reg Mckenna, UK
Bild: Wikipedia.org User Breesk, UK
Beispiel: 10 m-Sprung
smghv
mvmgh
/14221 2
≈=
=
2*vcam −=⋅
Phase 1: freier Fall aus 10 m Höhe
Phase 2: Tauchphase
Modell: Wirbelbildung -> Newtonsche ReibungAuftriebskraft = Gewichtskraft
Acc
vcvAcF
FFFF
FFFF
WW
WWW
W
AG
WAG
⋅⋅=
⋅=⋅⋅⋅=
−=−=
++=
ρ
ρ
21
21 22
rr
rrrr
Annahme: m= 60 kg
2vmc
dtdv
⋅−=
Bild: Reg Mckenna, UK
Grafisches ModellDiskussion:
a) t = 2,0 s -> v < 1,0 m/s und x < 4,0 m
b) Vollkugel: cw = 0,45ρw = 10³ kg/m³A = 0,15 m²
c = 1/2*cw*ρw*A = 35
c) Sprunghöhe 1m:v = 4,5 m/st = 2,0 s -> v< 1,0 m/s und x<3,0 m
Beispiel: Schräger Wurf
Eleganter: Geschlossene Lösung
Zunächst ohne Luftreibung
Beispiel: Schräger Wurf mit Luftreibung
vvcvvvcF
gmF
FFF
W
G
WG
rrr
rr
rrr
⋅⋅−=⋅⋅−=
⋅=
+=
222
0
yx
y
x
vvv
vv
v
gg
+=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛−
=
r
r
Erweitertes Modell wegen geschwindigkeitsabhängiger Reibung (komplex!)
yy
xx
vvcgmmavvcam
vvcgmam
⋅⋅−⋅−=⋅⋅−=⋅
⋅⋅−⋅=⋅rrr
x
y WFr
vr
GFr
2.2. Elektrizitätslehre: Einschaltvorgang an einer Spule
U
UR UL
0)0( =
⋅=
⋅==+
IdtdILU
IRUUUU
L
R
LR
2.3. Mechanische und elektromagnetische Schwingungen
Beispiel: Mechanische Schwingung mit ReibungModell: Langsame Schwingung eines Körpers in einer Flüssigkeit
Stokessche Reibung, geeignete Wahl des Ursprungs
xmk
dtdv
xkdtdvm
xkamFF
konsFF
F
AG
⋅−=
⋅−=⋅
⋅−=⋅=
=+rr
rr.Zunächst ohne Reibung:
FFr
GFr
AFr
x
0
vmcx
mk
dtdv
vcxkdtdvm
vcxkamvcFFFF
R
RF
⋅−⋅−=
⋅−⋅−=⋅
⋅−⋅−=⋅⋅−=+=rrr
mit Reibung:Reibungskraft entgegengesetzt zur aktuellen Bewegungsrichtung
FFr
GFr
AFr
x
0
Mechanische Schwingung mit Reibung
Ohne Reibung (ungedämpft) Mit Reibung (gedämpft)
Mechanische Schwingung mit Reibung
3. Populationsdynamik
• Lineares und exponentielles Wachstum• Beschränktes und logistisches Wachstum• Räuber-Beute-Modelle
– Ohne intraspezifische Wechselwirkung (Grundmodell)
– Mit intraspezifischer Wechselwirkung– Phasendiagramme
Bild: Wikipedia.org User Abubiju
Bild: Wikipedia.org User Barbarossa
Bild: Wikipedia.org User Roger McLassus
Lineares und exponentielles Wachstum
1aX =& XaX ⋅= 1&
Beschränktes und logistisches Wachstum
)1(1 GXXaX −⋅⋅=&
)(1 XGaX −⋅=&
)(1 XGaX −⋅=&
Die Wachstumsgeschwindigkeit verringert sichmit der Annäherung an den Grenzwert G.
Die Wachstumsgeschwindigkeit weicht umso stärkervon der des exponentiellen Wachstums ab, je näher die Population dem Grenzwert G kommt.
Räuber-Beute-ModelleGrundmodell
Quelle: Universität Bonn
Räuber-Beute-SystemeWeg zu den Lotka-Volterra-Gleichungen
XaX ⋅= 1& YaY ⋅−= 2
&
YXbYaY
YXbXaX
⋅⋅+⋅−=
⋅⋅−⋅=
22
11
&
&
Isolierte Populationen
Population X: Beute mit unbeschränkter Futterreserve
Exponentielles Wachstum
Population Y: Räuber ohne FutterExponentieller Abfall
Wechselwirkende PopulationenLotka-Volterra-Gleichungen
Begegnungsterme
Beute X
Räuber Y
Bild: Wikipedia.org UserManuel Anastácio
Grafikorientierte Modellierung
YXbYaY
YXbXaX
⋅⋅+⋅−=
⋅⋅−⋅=
22
11
&
&Lotka-Volterra-Gleichungen als Wachstumsraten
Rückkopplung
Rückkopplung
Wechselwirkung
Räuber-Beute-Modelle mit intraspezifischerWechselwirkung
Lotka-Volterra-GleichungenYYcYXbYaYXXcYXbXaX⋅⋅−⋅⋅+⋅−=
⋅⋅−⋅⋅−⋅=
222
111
&
&
PhasendiagrammeY(X)-Darstellung
Population ohne intraspezifische Wechselwirkung
Population mit intraspezifischer Wechselwirkung
Population strebt gegen FixpunktPopulation verläuft stets zyklisch,Verlauf abhängig von den Startwerten
Quelle: Bachelorarbeit D. Oehler, 2009
Logistisches Wachstumkontinuierlich und diskret
)1(GXXaX −⋅⋅=& )1(1 nnn xxcx −⋅⋅=+
GX ≤<0
Kontinuierlich: Verhulst-Gleichung Diskret: Logistische Gleichung
10 << x
3500
=<<
GGX
Logistisches WachstumVerhulst-Gleichung und Lotka-Volterra-Gleichung
XXGaXaX
GXXaX
⋅⋅−⋅=
−⋅⋅=
&
& )1(XXcXaX ⋅⋅−⋅= 11
&
1
1
cGa
aa
=
= variabler
4. Ausblick
Lehrplanbezug
LP Physik Sachsen:LK 11: LB 4 Modellbildung und SimulationLK 12: LB 8 Deterministisches Chaos
LP Mathematik SachsenKl. 10: LB 1 Wachstumsvorgänge und periodische Vorgänge
Wahlpflicht 2 Logistisches WachstumGK/LK 11 und 12: Wahlpflicht
Dynamische Systeme und fraktale StrukturenDifferentialgleichungen
Künstlich linearisierte Welt
Reale nichtlineare Welt
tsv = )1(
GXXaX −⋅⋅=&
Bild: Wikipedia.org User The weaver