Download - Bidang dan garis dalam d3
![Page 1: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/1.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi TigaBidang dan Garis dalam Ruang Dimensi Tiga
Geometri Analitik Ruang
Yulian Sari, M.Si
Universitas Riau Kepulauan
March 2015
![Page 2: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/2.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Bidang dalam Ruang Dimensi Tiga
De�nition 1Jika N adalah vektor tak nol, P0 adalah suatu titik padaruang dimensi tiga, maka himpunan semua titik P yangmana
�!P0P dan N adalah orthogonal dide�nisikan sebagai
bidang yang melalui P0 terhadap N sebaga vektor normal.
![Page 3: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/3.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Theorem 2Jika P0(x0, y0, z0) titik pada bidang dan vektor normalN =(a, b, c), maka persamaan bidang tersebut adalah
a(x� x0) + b(y� y0) + c(z� z0) = 0 (1)
Theorem 3Jika a, b, c adalah konstanta yang tidak semuanya nol, kurvadari persamaan
ax+ by+ cz+ d = 0 (2)
adalah bidang dan (a, b, c) adalah vektor normal bidangtersebut.
![Page 4: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/4.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
De�nition 4Dua bidang dikatakan paralel jika dan hanya jika vektornormal masing-masing bidang tersebut saling paralel
I Misalkan terdapat dua bidang dengan persamaansebagai berikut
a1x+ b1y+ c1z+ d1 = 0
dana2x+ b2y+ c2z+ d2 = 0
dengan vektor normal berturut-turut N1 = (a1, b1, c1)dan N2 = (a2, b2, c2), maka dua bidang tersebut paraleljika dan hanya jika
N1 = kN2, dengan k konstanta.
![Page 5: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/5.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
De�nition 5Dua bidang dikatakan tegak lurus jika dan hanya jika vektornormal masing-masing bidang tersebut orthogonal.
I Misalkan terdapat dua bidang dengan persamaansebagai berikut
a1x+ b1y+ c1z+ d1 = 0
dana2x+ b2y+ c2z+ d2 = 0
dengan vektor normal berturut-turut N1 = (a1, b1, c1)dan N2 = (a2, b2, c2), maka dua bidang tersebut tegaklurus jika dan hanya jika
N1 �N2 = 0.
![Page 6: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/6.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Example 6Tentukan jarak bidang 2x� y+ 2z+ 10 = 0 ke titik (1, 4, 6)Penyelesaian.
I Misalkan P adalah titik (1, 4, 6) dan pilih sebarang titikQ pada suatu bidang.
I Agar lebih mudah, pilihlah titik yang berpotongan padasumbu x. Misal Q(�5, 0, 0)
I Diperoleh �!QP = 6i+ 4j+ 6k
dan vektor normalnya
N = 2i� j+ 2k
![Page 7: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/7.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Example 6Tentukan jarak bidang 2x� y+ 2z+ 10 = 0 ke titik (1, 4, 6)Penyelesaian.
I Misalkan P adalah titik (1, 4, 6) dan pilih sebarang titikQ pada suatu bidang.
I Agar lebih mudah, pilihlah titik yang berpotongan padasumbu x. Misal Q(�5, 0, 0)
I Diperoleh �!QP = 6i+ 4j+ 6k
dan vektor normalnya
N = 2i� j+ 2k
![Page 8: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/8.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Example 6Tentukan jarak bidang 2x� y+ 2z+ 10 = 0 ke titik (1, 4, 6)Penyelesaian.
I Misalkan P adalah titik (1, 4, 6) dan pilih sebarang titikQ pada suatu bidang.
I Agar lebih mudah, pilihlah titik yang berpotongan padasumbu x. Misal Q(�5, 0, 0)
I Diperoleh �!QP = 6i+ 4j+ 6k
dan vektor normalnya
N = 2i� j+ 2k
![Page 9: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/9.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
I Perhatikan gambar berikut
I
I Karenad =
����!QP��� cos θ
dan
cos θ =
���N0 � �!QP���
jN0j����!QP
��� ,
![Page 10: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/10.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
I Perhatikan gambar berikut
I
I Karenad =
����!QP��� cos θ
dan
cos θ =
���N0 � �!QP���
jN0j����!QP
��� ,
![Page 11: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/11.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
I Perhatikan gambar berikut
I
I Karenad =
����!QP��� cos θ
dan
cos θ =
���N0 � �!QP���
jN0j����!QP
��� ,
![Page 12: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/12.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
sehingga
d =����!QP
������N0 � �!QP
���jN0j
����!QP��� =
���N0 � �!QP���
jN0j
=j(2i� j+ 2k) � (6i+ 4j+ 6k)jp
4+ 1+ 4
=203
![Page 13: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/13.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Persamaan Parametrik dan Persamaan SimetrikI Misalkan L adalah garis dalam ruang dimensi tigasedemikian sehingga memuat titik P0(x0, y0, z0) danparalel dengan vektor R = (a, b, c), sehingga garis Ladalah himpunan titik P(x, y, z) sedemikian sehingga�!P0P paralel dengan vektor R.
I Misalkan t adalah skalar yang bukan nol, maka�!P0P = tR.
I Perhatikan gambar berikut.
![Page 14: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/14.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Persamaan Parametrik dan Persamaan SimetrikI Misalkan L adalah garis dalam ruang dimensi tigasedemikian sehingga memuat titik P0(x0, y0, z0) danparalel dengan vektor R = (a, b, c), sehingga garis Ladalah himpunan titik P(x, y, z) sedemikian sehingga�!P0P paralel dengan vektor R.
I Misalkan t adalah skalar yang bukan nol, maka�!P0P = tR.
I Perhatikan gambar berikut.
![Page 15: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/15.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Persamaan Parametrik dan Persamaan SimetrikI Misalkan L adalah garis dalam ruang dimensi tigasedemikian sehingga memuat titik P0(x0, y0, z0) danparalel dengan vektor R = (a, b, c), sehingga garis Ladalah himpunan titik P(x, y, z) sedemikian sehingga�!P0P paralel dengan vektor R.
I Misalkan t adalah skalar yang bukan nol, maka�!P0P = tR.
I Perhatikan gambar berikut.
![Page 16: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/16.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
I Karena �!P0P = (x� x0, y� y0, z� z0)
sehingga
(x� x0, y� y0, z� z0) = t(a, b, c).
I Hal tersebut berarti
x� x0 = ta, y� y0 = tb, z� z0 = tc.
atau
x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc.
I Misalkan parameter t adalah sebarang bilangan riil, titikP adalah suatu titik pada garis L sedemikian sehinggamerepresentasikan garis L, sehingga persamaan diatasdisebut sebagai persamaan parametrik pada garis.
I Jika salah satu nilai a, b, c adalah 0, maka denganeliminasi diperoleh
x� x0
a=
y� y0
b=
z� z0
cdisebut sebagai persamaan simetrik pada garis.
![Page 17: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/17.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
I Karena �!P0P = (x� x0, y� y0, z� z0)
sehingga
(x� x0, y� y0, z� z0) = t(a, b, c).
I Hal tersebut berarti
x� x0 = ta, y� y0 = tb, z� z0 = tc.
atau
x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc.
I Misalkan parameter t adalah sebarang bilangan riil, titikP adalah suatu titik pada garis L sedemikian sehinggamerepresentasikan garis L, sehingga persamaan diatasdisebut sebagai persamaan parametrik pada garis.
I Jika salah satu nilai a, b, c adalah 0, maka denganeliminasi diperoleh
x� x0
a=
y� y0
b=
z� z0
cdisebut sebagai persamaan simetrik pada garis.
![Page 18: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/18.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
I Karena �!P0P = (x� x0, y� y0, z� z0)
sehingga
(x� x0, y� y0, z� z0) = t(a, b, c).
I Hal tersebut berarti
x� x0 = ta, y� y0 = tb, z� z0 = tc.
atau
x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc.
I Misalkan parameter t adalah sebarang bilangan riil, titikP adalah suatu titik pada garis L sedemikian sehinggamerepresentasikan garis L, sehingga persamaan diatasdisebut sebagai persamaan parametrik pada garis.
I Jika salah satu nilai a, b, c adalah 0, maka denganeliminasi diperoleh
x� x0
a=
y� y0
b=
z� z0
cdisebut sebagai persamaan simetrik pada garis.
![Page 19: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/19.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
I Karena �!P0P = (x� x0, y� y0, z� z0)
sehingga
(x� x0, y� y0, z� z0) = t(a, b, c).
I Hal tersebut berarti
x� x0 = ta, y� y0 = tb, z� z0 = tc.
atau
x = x0 + ta, y = y0 + tb, z = z0 + tc.
I Misalkan parameter t adalah sebarang bilangan riil, titikP adalah suatu titik pada garis L sedemikian sehinggamerepresentasikan garis L, sehingga persamaan diatasdisebut sebagai persamaan parametrik pada garis.
I Jika salah satu nilai a, b, c adalah 0, maka denganeliminasi diperoleh
x� x0
a=
y� y0
b=
z� z0
cdisebut sebagai persamaan simetrik pada garis.
![Page 20: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/20.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Example 7
Persamaan parametriks dari suatu garis yang paralel denganvektor yang direpresentasikan oleh R = (11, 8, 10) danmemuat titik (8, 12, 6) adalah
x = 8+ 11t, y = 12+ 8t, z = 6+ 10t
Berikut gambar yang sesuai dengan ilustrasi tersebut
![Page 21: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/21.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Soal Latihan
1. Tentukan dua persamaan simetriks dari garis yangmelalui titik (-3,2,4) dan (6,1,2)
2. Diberikan dua bidang x+ 3y� z� 9 = 0 dan2x� 3y+ 4z+ 3 = 0 yang saling berpotongan.Tentukan
2.1 persamaan simetrik2.2 persamaan parametrik
3. Tentukan persamaan simetrik dari garis yang melaluititik (1,�1, 1) tegak lurus dengan garis 3x = 2y = zdan paralel dengan bidang x+ y� z = 0
![Page 22: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/22.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Soal Latihan
1. Tentukan dua persamaan simetriks dari garis yangmelalui titik (-3,2,4) dan (6,1,2)
2. Diberikan dua bidang x+ 3y� z� 9 = 0 dan2x� 3y+ 4z+ 3 = 0 yang saling berpotongan.Tentukan
2.1 persamaan simetrik2.2 persamaan parametrik
3. Tentukan persamaan simetrik dari garis yang melaluititik (1,�1, 1) tegak lurus dengan garis 3x = 2y = zdan paralel dengan bidang x+ y� z = 0
![Page 23: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/23.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Soal Latihan
1. Tentukan dua persamaan simetriks dari garis yangmelalui titik (-3,2,4) dan (6,1,2)
2. Diberikan dua bidang x+ 3y� z� 9 = 0 dan2x� 3y+ 4z+ 3 = 0 yang saling berpotongan.Tentukan
2.1 persamaan simetrik
2.2 persamaan parametrik
3. Tentukan persamaan simetrik dari garis yang melaluititik (1,�1, 1) tegak lurus dengan garis 3x = 2y = zdan paralel dengan bidang x+ y� z = 0
![Page 24: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/24.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Soal Latihan
1. Tentukan dua persamaan simetriks dari garis yangmelalui titik (-3,2,4) dan (6,1,2)
2. Diberikan dua bidang x+ 3y� z� 9 = 0 dan2x� 3y+ 4z+ 3 = 0 yang saling berpotongan.Tentukan
2.1 persamaan simetrik2.2 persamaan parametrik
3. Tentukan persamaan simetrik dari garis yang melaluititik (1,�1, 1) tegak lurus dengan garis 3x = 2y = zdan paralel dengan bidang x+ y� z = 0
![Page 25: Bidang dan garis dalam d3](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022052215/55b95e2fbb61eb25798b466b/html5/thumbnails/25.jpg)
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
PendidikanMatematika
Bidang dan Garisdalam RuangDimensi Tiga
Soal Latihan
1. Tentukan dua persamaan simetriks dari garis yangmelalui titik (-3,2,4) dan (6,1,2)
2. Diberikan dua bidang x+ 3y� z� 9 = 0 dan2x� 3y+ 4z+ 3 = 0 yang saling berpotongan.Tentukan
2.1 persamaan simetrik2.2 persamaan parametrik
3. Tentukan persamaan simetrik dari garis yang melaluititik (1,�1, 1) tegak lurus dengan garis 3x = 2y = zdan paralel dengan bidang x+ y� z = 0