Bases MatemáticasAula 01 – Linguagem Matemática
Rodrigo Hausen
v. 2016-6-9 1/23
Proposições
DefiniçãoUma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira oufalsa, mas não simultaneamente ambas.
Valor verdade: verdadeiro, falso.
“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.
v. 2016-6-9 2/23
Proposições
DefiniçãoUma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira oufalsa, mas não simultaneamente ambas.
Valor verdade: verdadeiro, falso.
“Hoje é dia de aula.”
– é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.
v. 2016-6-9 2/23
Proposições
DefiniçãoUma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira oufalsa, mas não simultaneamente ambas.
Valor verdade: verdadeiro, falso.
“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira
“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.
v. 2016-6-9 2/23
Proposições
DefiniçãoUma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira oufalsa, mas não simultaneamente ambas.
Valor verdade: verdadeiro, falso.
“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.”
– é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.
v. 2016-6-9 2/23
Proposições
DefiniçãoUma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira oufalsa, mas não simultaneamente ambas.
Valor verdade: verdadeiro, falso.
“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa
“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.
v. 2016-6-9 2/23
Proposições
DefiniçãoUma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira oufalsa, mas não simultaneamente ambas.
Valor verdade: verdadeiro, falso.
“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.”
– não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.
v. 2016-6-9 2/23
Proposições
DefiniçãoUma proposição é uma sentença declarativa que é verdadeira oufalsa, mas não simultaneamente ambas.
Valor verdade: verdadeiro, falso.
“Hoje é dia de aula.” – é proposição, pois é verdadeira“Hoje é feriado.” – é proposição, pois é falsa“Hoje está quente.” – não é proposição!Quente para quem? É subjetivo!Não podemos dizer que ela é verdadeira nem falsa.
v. 2016-6-9 2/23
Proposições – exemplos
As seguintes frases são exemplos de proposições:“2 + 5 = 7”“A função f (x) = −x é uma função crescente.”“2259875 + 34576 é primo.”“√17 é irracional.”
v. 2016-6-9 3/23
Proposições – não são exemplos
Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”
subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)
v. 2016-6-9 4/23
Proposições – não são exemplos
Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade
“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)
v. 2016-6-9 4/23
Proposições – não são exemplos
Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”
“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)
v. 2016-6-9 4/23
Proposições – não são exemplos
Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”
não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)
v. 2016-6-9 4/23
Proposições – não são exemplos
Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações
“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)
v. 2016-6-9 4/23
Proposições – não são exemplos
Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações
“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)
v. 2016-6-9 4/23
Proposições – não são exemplos
Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”
não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)
v. 2016-6-9 4/23
Proposições – não são exemplos
Nenhuma das seguintes frases é proposição:“Hoje está quente.”subjetivo, não posso atribuir um único valor verdade“Como você está?”“Vamos dançar!”não são declarações“Esta afirmação é falsa.”não pode ser verdade nem falso, pois se contradiz (paradoxo)
v. 2016-6-9 4/23
proposições abertas
DefiniçãoProposição aberta: proposição que depende de algo que podemudar, ou seja, depende de uma variável.
Notação: p(x), q(x), p(x ,y), . . .
Exemplosp(x) = “x é par e x é número primo”
será verdade apenas se x = 2q(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”será verdade apenas quando um dos números for nulo, ouambos
Valor verdade de proposição aberta depende da(s) sua(s)variável(eis).Ex.: p(x) = “x é par e x primo”; p(2) é verdadeiro, p(3) é falso.
v. 2016-6-9 5/23
proposições abertas
DefiniçãoProposição aberta: proposição que depende de algo que podemudar, ou seja, depende de uma variável.
Notação: p(x), q(x), p(x ,y), . . .
Exemplosp(x) = “x é par e x é número primo”será verdade apenas se x = 2
q(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”será verdade apenas quando um dos números for nulo, ouambos
Valor verdade de proposição aberta depende da(s) sua(s)variável(eis).Ex.: p(x) = “x é par e x primo”; p(2) é verdadeiro, p(3) é falso.
v. 2016-6-9 5/23
proposições abertas
DefiniçãoProposição aberta: proposição que depende de algo que podemudar, ou seja, depende de uma variável.
Notação: p(x), q(x), p(x ,y), . . .
Exemplosp(x) = “x é par e x é número primo”será verdade apenas se x = 2q(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”
será verdade apenas quando um dos números for nulo, ouambos
Valor verdade de proposição aberta depende da(s) sua(s)variável(eis).Ex.: p(x) = “x é par e x primo”; p(2) é verdadeiro, p(3) é falso.
v. 2016-6-9 5/23
proposições abertas
DefiniçãoProposição aberta: proposição que depende de algo que podemudar, ou seja, depende de uma variável.
Notação: p(x), q(x), p(x ,y), . . .
Exemplosp(x) = “x é par e x é número primo”será verdade apenas se x = 2q(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”será verdade apenas quando um dos números for nulo, ouambos
Valor verdade de proposição aberta depende da(s) sua(s)variável(eis).Ex.: p(x) = “x é par e x primo”; p(2) é verdadeiro, p(3) é falso.
v. 2016-6-9 5/23
proposições abertas
DefiniçãoProposição aberta: proposição que depende de algo que podemudar, ou seja, depende de uma variável.
Notação: p(x), q(x), p(x ,y), . . .
Exemplosp(x) = “x é par e x é número primo”será verdade apenas se x = 2q(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”será verdade apenas quando um dos números for nulo, ouambos
Valor verdade de proposição aberta depende da(s) sua(s)variável(eis).Ex.: p(x) = “x é par e x primo”; p(2) é verdadeiro, p(3) é falso.
v. 2016-6-9 5/23
Universo do discurso
Em uma proposição aberta, é importante identificar o contexto noqual as variáveis estão definidas.
DefiniçãoUniverso do discurso ou domínio do discurso: coleção deobjetos para qual vale uma determinada proposição.
Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso: pares de números reais (explícito)p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso: números naturais (implícito)
v. 2016-6-9 6/23
Universo do discurso
Em uma proposição aberta, é importante identificar o contexto noqual as variáveis estão definidas.
DefiniçãoUniverso do discurso ou domínio do discurso: coleção deobjetos para qual vale uma determinada proposição.
Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso: pares de números reais (explícito)p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso: números naturais (implícito)
v. 2016-6-9 6/23
Universo do discurso
Em uma proposição aberta, é importante identificar o contexto noqual as variáveis estão definidas.
DefiniçãoUniverso do discurso ou domínio do discurso: coleção deobjetos para qual vale uma determinada proposição.
Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso:
pares de números reais (explícito)p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso: números naturais (implícito)
v. 2016-6-9 6/23
Universo do discurso
Em uma proposição aberta, é importante identificar o contexto noqual as variáveis estão definidas.
DefiniçãoUniverso do discurso ou domínio do discurso: coleção deobjetos para qual vale uma determinada proposição.
Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso: pares de números reais (explícito)
p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso: números naturais (implícito)
v. 2016-6-9 6/23
Universo do discurso
Em uma proposição aberta, é importante identificar o contexto noqual as variáveis estão definidas.
DefiniçãoUniverso do discurso ou domínio do discurso: coleção deobjetos para qual vale uma determinada proposição.
Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso: pares de números reais (explícito)p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso:
números naturais (implícito)
v. 2016-6-9 6/23
Universo do discurso
Em uma proposição aberta, é importante identificar o contexto noqual as variáveis estão definidas.
DefiniçãoUniverso do discurso ou domínio do discurso: coleção deobjetos para qual vale uma determinada proposição.
Exemplosq(x ,y) = “x,y são números reais e x ⋅ y = 0”universo do discurso: pares de números reais (explícito)p(x) = “x é par e x é número primo”universo do discurso: números naturais (implícito)
v. 2016-6-9 6/23
Conjunto verdade
Dada uma proposição aberta p(x) definimos. . .
DefiniçãoConjunto verdade: conjunto de todos os valores de x tal quep(x) é verdadeira. verdadeira.
ExemplosConjunto verdade de “x é par e x é número primo” é:
{2}Conjunto verdade de “x é primo e 3 < x < 14” é:{5,7,11,13}Conjunto verdade de “x é real e x2 + 1 = 5” é:{−2,2}
v. 2016-6-9 7/23
Conjunto verdade
Dada uma proposição aberta p(x) definimos. . .
DefiniçãoConjunto verdade: conjunto de todos os valores de x tal quep(x) é verdadeira. verdadeira.
ExemplosConjunto verdade de “x é par e x é número primo” é:{2}Conjunto verdade de “x é primo e 3 < x < 14” é:
{5,7,11,13}Conjunto verdade de “x é real e x2 + 1 = 5” é:{−2,2}
v. 2016-6-9 7/23
Conjunto verdade
Dada uma proposição aberta p(x) definimos. . .
DefiniçãoConjunto verdade: conjunto de todos os valores de x tal quep(x) é verdadeira. verdadeira.
ExemplosConjunto verdade de “x é par e x é número primo” é:{2}Conjunto verdade de “x é primo e 3 < x < 14” é:{5,7,11,13}Conjunto verdade de “x é real e x2 + 1 = 5” é:
{−2,2}
v. 2016-6-9 7/23
Conjunto verdade
Dada uma proposição aberta p(x) definimos. . .
DefiniçãoConjunto verdade: conjunto de todos os valores de x tal quep(x) é verdadeira. verdadeira.
ExemplosConjunto verdade de “x é par e x é número primo” é:{2}Conjunto verdade de “x é primo e 3 < x < 14” é:{5,7,11,13}Conjunto verdade de “x é real e x2 + 1 = 5” é:{−2,2}
v. 2016-6-9 7/23
Quantificadores
Através de proposições abertas podemos fazer afirmações sobretodos os elementos de um conjunto usando os quantificadores:
∀, lido como “para todo”, ou “qualquer que seja”
∃, lido como “existe”, “existe algum” ou“existe pelo menos um”
∀ é chamado quantificador universal
∃ é chamado quantificador existencial
Proposição universal: diz respeito a todos os objetos do universodo discurso.
Proposição particular: aquela que não é universal.
v. 2016-6-9 8/23
Quantificadores
Através de proposições abertas podemos fazer afirmações sobretodos os elementos de um conjunto usando os quantificadores:
∀, lido como “para todo”, ou “qualquer que seja”∃, lido como “existe”, “existe algum” ou“existe pelo menos um”
∀ é chamado quantificador universal
∃ é chamado quantificador existencial
Proposição universal: diz respeito a todos os objetos do universodo discurso.
Proposição particular: aquela que não é universal.
v. 2016-6-9 8/23
Quantificadores
Através de proposições abertas podemos fazer afirmações sobretodos os elementos de um conjunto usando os quantificadores:
∀, lido como “para todo”, ou “qualquer que seja”∃, lido como “existe”, “existe algum” ou“existe pelo menos um”
∀ é chamado quantificador universal
∃ é chamado quantificador existencial
Proposição universal: diz respeito a todos os objetos do universodo discurso.
Proposição particular: aquela que não é universal.
v. 2016-6-9 8/23
Quantificadores
Através de proposições abertas podemos fazer afirmações sobretodos os elementos de um conjunto usando os quantificadores:
∀, lido como “para todo”, ou “qualquer que seja”∃, lido como “existe”, “existe algum” ou“existe pelo menos um”
∀ é chamado quantificador universal
∃ é chamado quantificador existencial
Proposição universal: diz respeito a todos os objetos do universodo discurso.
Proposição particular: aquela que não é universal.
v. 2016-6-9 8/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a:
∀n ∈ N,n é ímpar
proposição universal
“O número 2 é par.” é“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo
proposição universal
“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímpar
proposição universal
“O número 2 é par.” é“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo
proposição universal
“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparuniversal ou particular?
proposição universal“O número 2 é par.” é“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo
proposição universal
“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é
“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo
proposição universal
“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é universal ou particular?
“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo
proposição universal
“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular
“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo
proposição universal
“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a:
∀n ∈ N,n não é primo
proposição universal
“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primo
proposição universal
“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primouniversal ou particular?
proposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal
“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a:
∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
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Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par
(proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)
“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a:
∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares
e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m
(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares
Universo do discurso: números naturais (N).
“Todos os números naturais são ímpares”equivale a: ∀n ∈ N,n é ímparproposição universal“O número 2 é par.” é proposição particular“Nenhum número natural é primo.”equivale a: ∀n ∈ N,n não é primoproposição universal“Há números naturais pares.”equivale a: ∃n ∈ N,n é par (proposição particular)“Ao menos dois números naturais são pares.”equivale a: ∃n ∈ N e m ∈ N, n e m são pares e n ≠ m(proposição particular)
v. 2016-6-9 9/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”universal ou particular?
proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.”
proposição universal
“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular
“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.”
proposição universal
“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.”
proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” universal ou particular?
proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal
“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é
proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal
“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
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Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é
proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular
“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição
particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular
pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”
“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição
universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.
v. 2016-6-9 10/23
Quantificadores, proposições universais e particulares(continuando os exemplos)Universo do discurso: números naturais (N).
“O número natural 0 é menor ou igual do que qualquer outronúmero natural.”proposição particular“Todo número natural é maior ou igual do que o númeronatural 0.” proposição universal“n < n + 1∀n ∈ N” é proposição universal“∃n ∈ N,n2 = n” é proposição particular“Nem todo número natural é maior ou igual a 0.”é proposição particular pois equivale a“Existe algum número natural que não é maior ou igual a 0.”“Não existe número natural negativo.” é proposição universalpois equivale a “Todo número natural não é negativo.”
Veremos negação de proposições com quantificadores mais à frente.v. 2016-6-9 10/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere uma proposição universal como
p = “∀x ∈ U,p(x) é verdade.”
ou uma proposição particular como
p = “∃x ∈ U,p(x) é verdade.”
DefiniçãoExemplo para p: elemento do universo U tal que p(x) éverdadeiro.Contra-exemplo para p: elemento do universo U tal quep(x) é falso.
v. 2016-6-9 11/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos:
2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?
Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.
“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1,
2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1, 2,
3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40
Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo?
Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Para todo n ∈ N par, (n + 1)2 é ímpar.”Exemplos: 2, 4, 6(todo número par é um exemplo? sim ou não? pense em casa)
O número 3 é exemplo ou contra-exemplo?Nenhum dos dois, pois 3 está fora do universo do discurso.
Existe contra-exemplo? Pense em casa.“Para todo m ∈ N,m2 −m + 41 é primo.”
Exemplos: 1, 2, 3, . . . , 40Há contra-exemplo? Sim, o número 41.412 − 41 + 41 = 412, um número composto.
v. 2016-6-9 12/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo:
5
Contra-exemplo:
2“Nenhum número natural é primo.”
(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)
Exemplo:
4
Contra-exemplo:
2
“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:
8
Contra-exemplo:
1
v. 2016-6-9 13/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo:
2“Nenhum número natural é primo.”
(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)
Exemplo:
4
Contra-exemplo:
2
“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:
8
Contra-exemplo:
1
v. 2016-6-9 13/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2
“Nenhum número natural é primo.”
(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)
Exemplo:
4
Contra-exemplo:
2
“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:
8
Contra-exemplo:
1
v. 2016-6-9 13/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”
(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)
Exemplo:
4
Contra-exemplo:
2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:
8
Contra-exemplo:
1
v. 2016-6-9 13/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo:
2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:
8
Contra-exemplo:
1
v. 2016-6-9 13/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo: 2
“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:
8
Contra-exemplo:
1
v. 2016-6-9 13/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo: 2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo:
8
Contra-exemplo:
1
v. 2016-6-9 13/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo: 2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo: 8Contra-exemplo:
1
v. 2016-6-9 13/23
Exemplos e contra-exemplos
Considere as proposições abaixo:“Todo número natural é ímpar.”Exemplo: 5Contra-exemplo: 2“Nenhum número natural é primo.”(equivale a: “Todo número natural não é primo.”)Exemplo: 4Contra-exemplo: 2“O quadrado de todo número natural é maior do que 4.”Exemplo: 8Contra-exemplo: 1
v. 2016-6-9 13/23
Comportamento do valor verdade
“para todo” ∀ “existe” ∃existem exemplos inconclusivo verdadeira
nao existem exemplos — falsaexistem contraexemplos falsa inconclusivo
nao existem contraexemplos verdadeira —
v. 2016-6-9 14/23
Alterando e juntando proposições
Dadas duas proposições p, q:
disjunção de p e q: proposição “p ou q”
A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.
v. 2016-6-9 15/23
Alterando e juntando proposições
Dadas duas proposições p, q:
disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.
Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.
v. 2016-6-9 15/23
Alterando e juntando proposições
Dadas duas proposições p, q:
disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.
conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.
v. 2016-6-9 15/23
Alterando e juntando proposições
Dadas duas proposições p, q:
disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”
A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.
v. 2016-6-9 15/23
Alterando e juntando proposições
Dadas duas proposições p, q:
disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.
Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.
v. 2016-6-9 15/23
Alterando e juntando proposições
Dadas duas proposições p, q:
disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.
negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.
v. 2016-6-9 15/23
Alterando e juntando proposições
Dadas duas proposições p, q:
disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”
A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.
v. 2016-6-9 15/23
Alterando e juntando proposições
Dadas duas proposições p, q:
disjunção de p e q: proposição “p ou q”A proposição “p ou q” é verdadeira quando pelo menos umadas proposições p ou q forem verdadeiras.Caso contrário, “p ou q” é falsa.conjunção de p e q: proposição “p e q”A proposição “p e q” é verdadeira quando ambas p e q foremverdadeiras.Caso contrário, “p e q” é falsa.negação de p: proposição “não p”A proposição “não p” é verdadeira quando p é falsa, evice-versa.
v. 2016-6-9 15/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
“não (p e q)” = “(não p)
ou (não q)”“não (p ou q)” = “(não p) e (não q)”
Cuidado ao se “distribuir” a negação:“e” torna-se “ou”“ou” torna-se “e”
v. 2016-6-9 16/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
“não (p e q)” = “(não p) ou (não q)”
“não (p ou q)” = “(não p) e (não q)”
Cuidado ao se “distribuir” a negação:“e” torna-se “ou”“ou” torna-se “e”
v. 2016-6-9 16/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
“não (p e q)” = “(não p) ou (não q)”“não (p ou q)” = “(não p)
e (não q)”
Cuidado ao se “distribuir” a negação:“e” torna-se “ou”“ou” torna-se “e”
v. 2016-6-9 16/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
“não (p e q)” = “(não p) ou (não q)”“não (p ou q)” = “(não p) e (não q)”
Cuidado ao se “distribuir” a negação:“e” torna-se “ou”“ou” torna-se “e”
v. 2016-6-9 16/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
“não (p e q)” = “(não p) ou (não q)”“não (p ou q)” = “(não p) e (não q)”
Cuidado ao se “distribuir” a negação:“e” torna-se “ou”“ou” torna-se “e”
v. 2016-6-9 16/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é
“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”
v. 2016-6-9 17/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”
Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”
v. 2016-6-9 17/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é
“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”
v. 2016-6-9 17/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”
Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”
v. 2016-6-9 17/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é
“b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”
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Negação da Disjunção e da Conjunção
Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”
Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”
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Negação da Disjunção e da Conjunção
Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é
“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”
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Negação da Disjunção e da Conjunção
Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”
, ou seja, “−1 < x ≤ 2”
v. 2016-6-9 17/23
Negação da Disjunção e da Conjunção
Negação da proposição “x é divisível por 2 e 3” é“x não é divisível por 2 ou x não é divisível por 3”Negação da proposição “x é divisível por 2 ou 3” é“x não é divisível por 2 e x não é divisível por 3”Negação da proposição “b é soma de quadrados ou b éprimo” é “b não é soma de quadrados e b não é primo”Negação da proposição “x > 2 ou x ≤ −1” é“x ≤ 2 e x > −1”, ou seja, “−1 < x ≤ 2”
v. 2016-6-9 17/23
Negação do quantificador
Considere a proposição aberta p(x).
negação de “∀x ∈ U,p(x)” é
“∃x ∈ U, não p(x)”negação de “∃x ∈ U,p(x)” é “∀x ∈ U, não p(x)”
Escreva as afirmações abaixo na forma simbólica e diga quais sãosuas negações:
Todo número natural pode ser decomposto como produto deprimos.Existe inteiro n tal que n + 3 = 4
v. 2016-6-9 18/23
Negação do quantificador
Considere a proposição aberta p(x).
negação de “∀x ∈ U,p(x)” é “∃x ∈ U, não p(x)”
negação de “∃x ∈ U,p(x)” é “∀x ∈ U, não p(x)”
Escreva as afirmações abaixo na forma simbólica e diga quais sãosuas negações:
Todo número natural pode ser decomposto como produto deprimos.Existe inteiro n tal que n + 3 = 4
v. 2016-6-9 18/23
Negação do quantificador
Considere a proposição aberta p(x).
negação de “∀x ∈ U,p(x)” é “∃x ∈ U, não p(x)”negação de “∃x ∈ U,p(x)” é
“∀x ∈ U, não p(x)”
Escreva as afirmações abaixo na forma simbólica e diga quais sãosuas negações:
Todo número natural pode ser decomposto como produto deprimos.Existe inteiro n tal que n + 3 = 4
v. 2016-6-9 18/23
Negação do quantificador
Considere a proposição aberta p(x).
negação de “∀x ∈ U,p(x)” é “∃x ∈ U, não p(x)”negação de “∃x ∈ U,p(x)” é “∀x ∈ U, não p(x)”
Escreva as afirmações abaixo na forma simbólica e diga quais sãosuas negações:
Todo número natural pode ser decomposto como produto deprimos.Existe inteiro n tal que n + 3 = 4
v. 2016-6-9 18/23
Negação do quantificador
Considere a proposição aberta p(x).
negação de “∀x ∈ U,p(x)” é “∃x ∈ U, não p(x)”negação de “∃x ∈ U,p(x)” é “∀x ∈ U, não p(x)”
Escreva as afirmações abaixo na forma simbólica e diga quais sãosuas negações:
Todo número natural pode ser decomposto como produto deprimos.Existe inteiro n tal que n + 3 = 4
v. 2016-6-9 18/23
Implicação
DefiniçãoDadas duas proposições p, q podemos construir a proposição“p ⇒ q”, que pode ser lida como:
“se p, então q”“p implica q”
A implicação “p ⇒ q” é falsa somente quando p é verdadeira e q éfalsa. Ela é verdadeira em todos os outros casos.
Numa implicação p ⇒ q:p é chamada de hipóteseq é chamada de tese, conclusão ou consequente.
v. 2016-6-9 19/23
Tabela verdade da implicação
Lá em casa, meu quintal é descoberto. Considere a proposição:“Se chove lá em casa, então o quintal estará molhado.”
É a implicação p ⇒ q ondep = “chove em casa”
q = “quintal está molhado.”(considere que ambas estão bem definidas e não há ambiguidade)
p q p ⇒ qV V V
V F F (não é possível chover sem molhar)F V V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F V (quando não chove quintal fica seco,
a menos que eu o molhe)
Note que “p ⇒ q” equivale a “(não p) ou q.”
v. 2016-6-9 20/23
Tabela verdade da implicação
Lá em casa, meu quintal é descoberto. Considere a proposição:“Se chove lá em casa, então o quintal estará molhado.”
É a implicação p ⇒ q ondep = “chove em casa”
q = “quintal está molhado.”(considere que ambas estão bem definidas e não há ambiguidade)
p q p ⇒ qV V VV F
F (não é possível chover sem molhar)F V V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F V (quando não chove quintal fica seco,
a menos que eu o molhe)
Note que “p ⇒ q” equivale a “(não p) ou q.”
v. 2016-6-9 20/23
Tabela verdade da implicação
Lá em casa, meu quintal é descoberto. Considere a proposição:“Se chove lá em casa, então o quintal estará molhado.”
É a implicação p ⇒ q ondep = “chove em casa”
q = “quintal está molhado.”(considere que ambas estão bem definidas e não há ambiguidade)
p q p ⇒ qV V VV F F (não é possível chover sem molhar)F V
V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F V (quando não chove quintal fica seco,
a menos que eu o molhe)
Note que “p ⇒ q” equivale a “(não p) ou q.”
v. 2016-6-9 20/23
Tabela verdade da implicação
Lá em casa, meu quintal é descoberto. Considere a proposição:“Se chove lá em casa, então o quintal estará molhado.”
É a implicação p ⇒ q ondep = “chove em casa”
q = “quintal está molhado.”(considere que ambas estão bem definidas e não há ambiguidade)
p q p ⇒ qV V VV F F (não é possível chover sem molhar)F V V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F
V (quando não chove quintal fica seco,a menos que eu o molhe)
Note que “p ⇒ q” equivale a “(não p) ou q.”
v. 2016-6-9 20/23
Tabela verdade da implicação
Lá em casa, meu quintal é descoberto. Considere a proposição:“Se chove lá em casa, então o quintal estará molhado.”
É a implicação p ⇒ q ondep = “chove em casa”
q = “quintal está molhado.”(considere que ambas estão bem definidas e não há ambiguidade)
p q p ⇒ qV V VV F F (não é possível chover sem molhar)F V V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F V (quando não chove quintal fica seco,
a menos que eu o molhe)
Note que “p ⇒ q” equivale a “(não p) ou q.”
v. 2016-6-9 20/23
Tabela verdade da implicação
Lá em casa, meu quintal é descoberto. Considere a proposição:“Se chove lá em casa, então o quintal estará molhado.”
É a implicação p ⇒ q ondep = “chove em casa”
q = “quintal está molhado.”(considere que ambas estão bem definidas e não há ambiguidade)
p q p ⇒ qV V VV F F (não é possível chover sem molhar)F V V (eu mesmo posso molhar o quintal)F F V (quando não chove quintal fica seco,
a menos que eu o molhe)
Note que “p ⇒ q” equivale a “(não p) ou q.”
v. 2016-6-9 20/23
Implicação – exemplos
Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar.
verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro
Cuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.
v. 2016-6-9 21/23
Implicação – exemplos
Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiro
Se 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro
Cuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.
v. 2016-6-9 21/23
Implicação – exemplos
Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar.
falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro
Cuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.
v. 2016-6-9 21/23
Implicação – exemplos
Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falso
Se 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro
Cuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.
v. 2016-6-9 21/23
Implicação – exemplos
Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par.
verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro
Cuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.
v. 2016-6-9 21/23
Implicação – exemplos
Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiro
Se minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro
Cuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.
v. 2016-6-9 21/23
Implicação – exemplos
Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.
verdadeiroCuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.
v. 2016-6-9 21/23
Implicação – exemplos
Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro
Cuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.
v. 2016-6-9 21/23
Implicação – exemplos
Qual o valor verdade das implicações abaixo?Se 2 é par, então 3 é ímpar. verdadeiroSe 2 é par, então 4 é ímpar. falsoSe 2 é ímpar, então 3 é par. verdadeiroSe minha mãe é um trator, então eu sou uma motosserra.verdadeiro
Cuidado com a implicação! Se a hipótese é falsa, o valorverdade da implicação será sempre verdadeiro.
v. 2016-6-9 21/23
Recíproca, contrapositiva e inversa
Dada uma implicação p ⇒ qq⇒ p é a recíproca da implicação originalnão q⇒ não p é a contrapositiva da originalnão p ⇒ não q é a inversa da original
Quais proposições são equivalentes?uma implicação e sua contrapositiva
a recíproca e a inversa
Cuidado! Não confunda uma implicação com sua recíproca. Elasnão são equivalentes!
v. 2016-6-9 22/23
Recíproca, contrapositiva e inversa
Dada uma implicação p ⇒ qq⇒ p é a recíproca da implicação originalnão q⇒ não p é a contrapositiva da originalnão p ⇒ não q é a inversa da original
Quais proposições são equivalentes?uma implicação e sua contrapositivaa recíproca e a inversa
Cuidado! Não confunda uma implicação com sua recíproca. Elasnão são equivalentes!
v. 2016-6-9 22/23
Recíproca, contrapositiva e inversa
Dada uma implicação p ⇒ qq⇒ p é a recíproca da implicação originalnão q⇒ não p é a contrapositiva da originalnão p ⇒ não q é a inversa da original
Quais proposições são equivalentes?uma implicação e sua contrapositivaa recíproca e a inversa
Cuidado! Não confunda uma implicação com sua recíproca. Elasnão são equivalentes!
v. 2016-6-9 22/23
Para casa
Ler páginas de 1 a 19 do livro Bases Matemáticas e fazer osrespectivos exercícios.
ATENÇÃO
Pegue a versão 12 do texto, datada de setembro de 2015.
v. 2016-6-9 23/23