Download - Bab Vi Geometri Netral
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 1/66
Oleh:1.Dwi Retno Palupi (063214006)
2.Eka Yuniarti (063214014)3.Nurul ik!ah (063214026)
4."!u #ha$unah (06321402%)
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 2/66
Geometri Netral ???
Geometri absolut pertama diperkenalkan oleh Y. Bolyai dari
Hongaria (1802-1860. Geometri ini didasarkan pada empat postulat pertama dari !u"lides dan melepaskan postulat ke lima
yaitu postulat kese#a#aran.
Geometri absolut ini termuat dalam geometri terurut.
$edudukan geometri terurut dalam perkembangan geometri dapat
terlihat dalam skema berikutGeometri Terurut
(Postulat 1&2)
Geometri Affine (Postulat 1,2&5)
Geometri Absolut(Postulat 1,2,3&4)
Geometri Euclides
(Postulat 1,2,3,4&5)
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 3/66
Pengertian Pangkal, Postulat,Definisi pada Geometri Netral
$arena geometri netral #uga termuat dalam geometriterurut% maka pengertian pangkal geometri terurut #ugamen#adi pengertian pangkal pada geometri netral. &elain ituditambah pengertian pangkal yang ke-' yaitu kongruensi.
engertian pangkal geometri absolut% menurut as"hialah)
* +itik-titik
*$eantaraan
*$ongruensi
+itik dipandang sebagai unsur yang tidak dide,inisikan%sedangkan keantaraan kongruensi sebagai relasi-relasi yangtidak dide,inisikan.
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 4/66
&k$io!a 6.1
ika dan B titik berlainan% maka sebarang sinar yang berpangkal di / dan tepat satu titik sedemikian hingga
B/. B
/
B/
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 5/66
&k$io!a 6.2
B
/
!
AB!"
!"E#
$i%a AB!" dan !"E#, ma%a ABE#
ABE#
&k$io!a 6.3
ABBA
B
ifat refle%sif
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 6/66
&k$io!a 6.4
'ika &#*
B /
3 B3 /3dan [A’B’C’]
dan AB≡A’B’danBC≡B’C’,
maka AC ≡A’C’
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 7/66
&k$io!a 6.+
B
3 B3
3
//3
ika B/ dan 3B3/3 adalah dua segitigaika B/ dan 3B3/3 adalah dua segitiga dengan B/dengan B/ B3/3% /B3/3% / /33%/33%
BB 3B33B3 sedang dan 3 adalah dua titik berikutnya sedemkian hinggasedang dan 3 adalah dua titik berikutnya sedemkian hingga
4B/5 dan 4B3/3354B/5 dan 4B3/335 dan Bdan B B33% maka B33% maka 33.33.
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 8/66
"ari a%sioma'a%sioma ini daat diturun%an
ba*a %on+ruensi adala suatu relasi
e%uialensi- .elasi e%uialensi memenui sifat /
a- refle%sif
b- simetri%
c- transitif
Pada a%sioma 0-1 menunu%%an sifat simetris
ada a%sioma 0-2 menunu%%an sifat transitif
ada a%sioma 0-3 menunu%%an sifat refle%sif
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 9/66
Pada a%sioma 0-4 tama% adana enumlaan +aris an+
menadi dasar untu% teori anan+-
AB AB
B! B!
a%a berdasar%an ostulat %a sesuatu an+ sama ditamba den+an
sesuatu an+ sama umlana sama, a%ibatna
AB B! 6 A!
AB B! 6 A!
B /
3 B3 /3
A! 6 A!
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 10/66
"ari a%sioma 0-5 %on+ruensi se+men daat dierluas menadi %on+ruensi sudut
A%sioma 0-5 (a)
$i%a AB! dan AB! adala se+iti+a
B! B!
!A !A
AB AB
a%a se+iti+a AB! dan se+iti+a AB! sisi'sisina sama
7 AB! 7 AB!
∠A 6 ∠ A
∠B 6∠ B
∠B 6∠ !
$adi %on+ruensi se+men daat dierluas menadi
%on+ruensi sudut
B
/
3 B3
/3
udut 7AB! dan 7AB! besarna sama
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 11/66
A%sioma 0-5 (b)
andang B dan 3B33
Pernataan Alasan
B3B3 diketahui
∠B7 ∠3B33 kibat B/ 3B3/3
BB33 dibuat
B/ 3B3/3 &%&d%&
∠B7 ∠3B33 kibatb kongruensi
adi
kongruensi
segmen dapat
diperluas
men#adi
kongruensisudut
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 12/66
Kongruensi segmen dapat diperluas
menjadi kongruensi sudut
Kongruensi dua segmen AB ≡ CD
ekuivalen dengan AB = CD untukpanjang
jadi simbol untuk segmen = simbol
untuk panjang
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 13/66
DISKUSI
Buktikan
jika AB ≡ CD, maka CD ≡ AB
Diketahui : AB ≡ CD
A B
C D
Pernyataan
AB≡ CD
CD ≡ AB
Alasan
DiketahuiKongruensi adalah
relasi ekivalensi
maka memenuhi
sifat simetris
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 14/66
Definisi !"Suatu sudut siku#siku adalah sudut yangkongruen dengan $elurusnya%su$lemennya&, 'esarnya suatu sudut siku#siku sama dengan ( π
Definisi !)
*ingkaran dengan $usat +
dan jari#jari r ialah tem$atkedudukan titik P
sedemikian hingga +P r
r
O
P
M
N
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 15/66
-.+/I SAC0./1 DA*A2 3.+2.-/I
4.-/A*
Dalam mem$elajari geometri netral kita'ertolak dari se'agian teori sa5hery, teta$i
tidak menggunakan a$a yang diteta$kan
sa5hery yaitu:6Postulat kesejajaran eu5lides
harus diangga$ valid73eometri netral di$elajari dengan 5ara mengamati
teorema#teorema!
Istilah yang digunakan dalam $engukuran segmen
garis dan sudut, misalnya sudut siku#siku dan
ukuran derajat sudut juga meru$akan 'agian
dalam geometri netral
“Postulat kesejajaran euclides
harus diana! "alid#
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 16/66
*.22A !"
8ika di'erikan 9 ABC dan ∠ A! maka adasegitiga A"B"C" sedemikian hingga 9 A"B"C"
mem$unyai jumlah sudut yang sama
dengan 9 ABC, dan ∠ A" ≤ ( ∠ A
A C
B $
%
&
' &’
'’
( )
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 17/66
Bukti
Diketahui 9 ABC
Buktikan
Ada 9 A"B"C" yang
jumlah sudutnya
sama dengan 9 AB
dan ∠ A" ≤ ( ∠ AC
B $
%
&
' &’
'’
( )
Pernyataan
"! ∠ A ∠ " dan ∠ )
∠ C ∠ ; ∠ <=
∠ > ∠ )=
Alasan
Di'uat
Di'uat
Di'uat
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 18/66
Pern*ataan
)! Ditentukan . titik tengah BC shg B. .C
<! Per$anjang A. hingga titik > shg A. .>
! B. .C
∠ B.A ∠ >.C
A. .>
9 A.B ≡ 9 >.C
Alasan
Segmen mem$unyai
titik tengah
Segmen da$at
di$er$anjang *angkah "
Bertolak 'elakang
*angkah )
Sisi sudut sisi
A C
%
&
' &’
'’
( )
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 19/66
Pern*ataan?! ∠ ) ∠ )=
∠ < ∠ <=
! ∠ A ; ∠B ; ∠C ∠" ; ∠) ; ∠< ; ∠
@! ∠" ; ∠) ; ∠< ; ∠ ∠"=; ∠)= ; ∠<= ; ∠=
∠" ∠CA>
∠)= ∠ A>C
∠<= ; ∠ ∠ >CA
2aka ∠" ;∠) ;∠< ;∠ ∠CA> ;∠ A>C ;∠ >CA
Sehingga∠ A ;∠B ;∠C ∠CA> ;∠ A>C ;∠ >CA
Alasan Aki'at 9 kongruen
Aki'at 9 kongruen
Diketahui
*angkah
Aki'at langkah @
A C
%
&
' &’
'’
( )
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 20/66
Pern*ataan! 8umlah sudut 9 ABC jumlah sudut 9 A>C
! ∠ A ∠" ; ∠)
2aka ∠" ≤ ( ∠ A
Atau ∠) ≤ ( ∠ A
"! titik A dengan ∠CA> A" titik B dengan
∠ A>C B" titik C dengan ∠>CA C"
""! 9 A>C 9 A"B"C"
")! jumlah sudut 9ABC jumlah sudut 9A"B"C"
dengan ∠ A" ≤ ( ∠ A
Alasan Aki'at langkah
*angkah "
Di'uat
*angkah dn "
-er'ukti
A C
%
&
' &’
'’
( )
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 21/66
Sepintas lemma ini tidak ada artinya, padahal tidak,sebab dalam geometri netral kita tidak dapat
mengasumsikan bahwa jumlah sudut dalam segitiga selalukonstan, (Teorema Euclides yang buktinya bergantungpada postulat kesejajaran) !leh karena itu postulat inipenting sebab lemma itu menunjukkan bahwa diberikansuatu segitiga tertentu, maka dapat dibuat segitiga
yangn kongruen tetapi mempunyai jumlah sudut sama"ontoh# $iberikan %&'" seperti di bawah ini
B
/
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 22/66
,eore!a 6.1 (-&#ER/
EENDRE) Jumlah sudut sebarang segitiga kurang atausama dengan 180o
Bukti tak langsung
Alasan
Pengandaian
*emma !"
*emma !"
Pern*ataan
"! ∆ ABC dengan jumlah sudut "o ; ,
'ilangan $ositif
)! Dari ∆ ABC da$at di'uat ∆ A"B"C"dengan
jumlah sudut "o ; sedemikian hingga
∠ A" ≤ ( ∠ A
<! ∆ A)B)C) dengan jumlah sudut "o ;
sedemikian hingga ∠ A) ≤ ( ∠ A" ≤ %(&) ∠ A
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 23/66
,eore!a6.1
Alasan
*emma !"
Di$ilih
Aki'at $engandaian
Aki'at langkah ? E
ter'ukti
Pern*ataan
! Dari ∆ An#"Bn#"Cn#" da$at di'uat ∆ AnBnCn
dengan jumlah sudut "o ; sedemikian
hingga∠ An
≤ %(&
n
∠ An#"
?! 4 5uku$ 'esar sedemikian hingga ∠ An
seke5il mungkin! 2isal ∠ An ≤ o
! ∠ An ; ∠Bn ; ∠Cn "o ;
@! ∠Bn ; ∠Cn ≥ "o
-erjadi kontardiksi dengan teorema ?!< maka
$engandaian salah sehingga teorema !" ini
'enar
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 24/66
Contoh 61
Alasan
*emma !"
-eorema !" %ter'ukti&
Pern*ataan
"! terda$at ∆ A"B"C" sedemikian hingga
∠ A" ; ∠B" ; ∠C" "" dan ∠ A" ≤ )?oF)
)! terda$at ∆ A)B)C) sedemikian hingga∠ A) ; ∠B) ; ∠C) "" dan ∠ A) ≤ )?oF
<! terda$at ∆ A<B<C< sedemikian hingga
∠ A< ; ∠B< ; ∠C< "" dan ∠ A< ≤ )?oF
! terda$at ∆ ABC sedemikian hingga
∠ A ; ∠B ; ∠C "" dan ∠ A ≤ )?oF"
?! terda$at ∆ A?B?C? sedemikian hingga
∠ A? ; ∠B? ; ∠C? "" dan ∠ A? ≤ )?oF<) ≤ ∠"o
! ∠B? ; ∠C? > "o tidak mungkin terjadi
2isalkan " dan ∠ A )?o maka dalam ∆ ABC dida$at ∠ A ; ∠B ;
∠C "" dan ∠ A
)?o
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 25/66
Teorema akibat (corollary)Teorema akibat (corollary)
umlah sudut sebarang segiempat kurang atau samaumlah sudut sebarang segiempat kurang atau samadengan *+dengan *+oo--
A
CD
B
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 26/66
&pakahPer$eipanan tu
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 27/66
Definisi 6.3Definisi 6.3
Suatu segiempat disebut persegipanjang jika semuaSuatu segiempat disebut persegipanjang jika semuasudutnya adalah siku.sikusudutnya adalah siku.siku
ngat !!!!
/arena dalam geometri netral kita tidak menggunakan postulat ke.0Euclides, maka tidak otomatis kita dapat menggunakan proposisi
Euclides yang terkenal, seperti#a sisi.sisi yang berhadapan dari suatu persegipanjang adalah sejajar
b sisi.sisi tersebut sama panjang
c diagonal persegipanjang membagi persegipanjang menjadi dua
segitiga yang kongruenika kita ingin menyatakan sebarang akibat, kita harusmembuktikannya dengan berdasarkan de1inisi di atas tanpamenggunakan postulat kesejajaran
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 28/66
Teorema 6."Teorema 6."
ika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada jugaika ada sebuah persegipanjang, maka akan ada jugasebuah persegipanjang dengan salah satu sisinya lebihsebuah persegipanjang dengan salah satu sisinya lebihpanjang dari pada ruas garis tertentu-panjang dari pada ruas garis tertentu-
$iketahui # persegipanjang &'"$$iketahui # persegipanjang &'"$ruas garis 2yruas garis 2y B C
D A
G y
'uktikan # adapersegipanjang
lain dengansalah satusisinya lebihpanjang dari
pada 2y
C C
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 29/66
#ukti $
B C
D A
G y
C)
D)
Pernyataan %lasan
ruas garis 2y
3 &da persegipanjang &'"$ diketahui
diketahui
segiempat $4"4"$ ≡ &'"$
4 5ukis segiempat $4"4"$ sehingga dibuat
C C
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 30/66
B C
D A
G y
C)
D)
* "4$4≡ AB ≡ CD
""4 ≡ BC
$$4 ≡ AD
&kibat langkah 4
5angkah 4 dan * 6 $4"
4"$ adalah persegipanjang
0 ', ", "4 teletak pada satu garis 7anya ada satu garis
8ang tegak lurus "$
$i "
C C "
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 31/66
B C
D A
G y
C)
D)
&kibat langkah 0+ &'""4$4$ adalah segiempat
&'"4$4 adalah persegipanjang
9 &$4 : 4&$ &kibat langkah * dan 0
; 5ukis segiempat $*"*"4$4
$*"
*"
4$
4≡ $
4"
4"$
Sedemikian hingga segiempat
$ibuat
$*
"*
&, $, $4
teletak pada satu garis
CB C C)
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 32/66
C<
D<
B C
D A
G y
C)
D)
< "*$* ≡ "4$4
$4$* ≡ $$4
"*"4 ≡ ""4
&kibat langkah ;
&kibat langkah ; dan <3 $*"
*"
4$
4 adalah persegipanjang
$, $4, $* terletak pada satu garis
33 ", "4, "* terletak pada satu garis 7anya ada satu garis
8ang tegak lurus "$
$i "
CB C C C
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 33/66
Dn
CnB C
D A
G y
C) C<
D) D<
&kibat langkah 3334 &'""4"*$*$4$ ialah segiempat &'"*$* ialah persegipanjang
&kibat langkah < dan 333* &$* : *&$
30 =ilih n cukup besar sehingga n &$ > 2y $ipilih
3+ &'"n$n adalah persegipanjang yang salah
satu ruas garisnya lebih panjang dari 2y
Terbukti
36 $apat disimpulkan &$n : n &$ &kibat langkah 9 dan 3*
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 34/66
Teorema &kibatTeorema &kibat
&&'ika ada sebua persegi panang, maka ada'ika ada sebua persegi panang, maka adasebua persegi panang yang dua sisinya yangsebua persegi panang yang dua sisinya yangberdekatan panangnya masing*masing lebiberdekatan panangnya masing*masing lebipanang dari dua segmen tertentu+panang dari dua segmen tertentu+
A
B C
D
W
YXZ
Diketaui $ persegi panang %#Dsegmen garis - dan
/0
#uktikan $ ada persegi panang%1G2 dengan %1 -dan %G /0
W
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 35/66
'ukti #'ukti #
Pernyataan Alasan
1. Persegi panjang ABCD
Segmen XY dan ZW
diketahui
2. Ada persegi panjang ABEF e!rema ".2
Dengan AF #XY
A
B C
D
W
YXZ
>
.
3 0
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 36/66
$. Buat persegi panjang %ang
&!ngruen dengan persegi panjang
ABFE 'eru(ang)u(ang dan(etakkan di atas persegipanjang ABFE
di'uat
*. er'entuk persegi panjang
AF+, dengan A+ #ZW
-. adi ter'ukti ada persegipanjang AF+, denganA+#ZW
Aki'at (angkah $
W
YXZ A
BC
D >
.
3 0
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 37/66
,eore!a 6.3
!Jika ada sebuah persegi panjang maka ada persegipanjang dengan panjang dua sisi "ang berdekatan masing#masing sama dengan s$gmen %& dan segmen '()
A B
CD
X YZ
W
Diketahui : $ersegi $anjang ABCD
ruas garis H1 dan J
Buktikan : $ersegi $anjangdengan AB= H1
dan AD=J
C=D=
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 38/66
ukti :
Pernyataan Alasan
1.Persegi panjang ABCD
/uas garis XY dan ZW
diketahui
2. Ada persegi panjang AB0C0D0
Dengan AB0#XY dan AD0#ZW
Aki'at te!rema ".2
BA
CD
X YZ
W
CD
B=
C=D=
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 39/66
$. Am'i( titik B pada garis AB0
Sedemikian hingga AB XY
di'uat
*. Am'i( titik D pada garis AD0
Sedemikian hingga AD ZW
di'uat
-. arik garis tegak (urus D0C0 di'uat
BA
CD
X YZ
W
CD
B=B
D
C=D=C==
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 40/66
3e(a(ui B sedemikian hingga
3em!t!ng D0C0 di titik C4
Dan ∠BC4D0 ≡ ∠BC4C0
". ∠BC4D0 56° 7 8 π9
∠BC4C0 56° 7 8 π9
De:. sudut siku)siku dan
aki'at (angkah -
;. ∠ABB0 1<6° 7π9 Sudut (urus
=ika ∠ABC4 > 56° maka
BA
CD
X YZ
W
CD
B=B
D
C=D=C==
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 41/66
∠C4BB0 < 56° dan jm( sudutsegiempat
ABC4D0 > $"6°> terjadi k!ntradiksi
Dengan aki'at te!rema ".1
=ika ∠C4BB0 > 56° maka
∠ABC4 < 56° dan jm( sudut
BB0C0C4 > 56°> terjadi k!ntradiksi
Dengan aki'at te!rema ".1
BA
CD
X YZ
W
CD
B=B
D
C=D=C==
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 42/66
=3aka satu)satun%a kemungkinan
Ada(ah ∠ABC4 56°
<. ABC4D0 ada(ah persegi panjang Aki'at (angkah ;
5. arik garis ⊥ BC4 me(a(ui D
Sedemikian hingga mem!t!ng BC4
Dititik C dan ∠DCB∠D4CB
di'uat
16. ∠ADD0 1<6° Sudut pe(urus
BA
CD
X YZ
W
CD
B=B
DC D==
C=D=C==
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 43/66
BA
CD
X YZ
W
CD
B=B
DC D==
L8ika ∠ ADCM° maka ∠CDD= N °
Dan jumlah sudutsegiem$at ABCD= M<°, terjadi
kontradiksi dengan teorema !"
L8ika ∠ ADCN° maka ∠CDD= M °
Dan jumlah sudut segiem$at
CDD=C7 M<°, terjadi kontradiksi denganteorema !"
L2aka satu#satunya
kemungkinan adalah ∠ ADC
°
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 44/66
8arena ∠"9AB9 6 ∠AB9!9 6 ∠B9!9"9 6
∠!9"9A 6:; ma%a se+iemat AB9!9"9
adala erse+ianan+
'a5i teore!a 6.3
,ER",.
T 6 4
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 45/66
Teorema 6.4Teorema 6.4
ika ada sebuah persegipannjang, maka setiap segitigaika ada sebuah persegipannjang, maka setiap segitiga
siku.siku mempunyai jumlah sudut 3;siku.siku mempunyai jumlah sudut 3;°°--
$iketahui # persegipanjang &'"$
'uktikan # setiap segitiga siku.sikumempunyai jumlahsudut 3;°
$&
' "
w & $& $
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 46/66
#ukti $
%lasanPernyataan3 ∆&'" siku.siku di ' dibuat
4 Segmen 2y : '"
segmen @A : &'
dibuat
* $ari segiempat &'"$ dapat dibuat
segiempat &'"$ dengan '" : 2y dan
'& : Bw
Teorema +*
w
B
y2
' "
$&
' ""
w & $& $
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 47/66
6 '" : '" dan '& : '& &kibat langkah *
0 7ubungkan & dengan " $ibuat
w
B
y2
' "
$&
' ""
+ ∆&'" ≡ ∆&'" sisi, sudut, sisi
9 umlah sudut ∆&'" : jumlah sudut
∆&'"
&kibat langkah +
; = adalah jumlah sudut ∆&'"
C adalah jumlah sudut ∆&"$
dibuat
< = D C ≤ *+° &kibat teorema +3
w & $& $
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 48/66
3 &da * kemungkinan
3 p : C : 3;°
4 = 3;°, C 3;°
* p 3;°, C > 3;°
&kibaat langkah <
33 /emungkinan 3 # p 3;°, maka C > 3;°
Terjadi kontradiksi dengan teorema +3
adi kemungkinan 3 salah
5angkah 3
B
y2
' "
&
' ""
w & $& $
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 49/66
34 /emungkinan 4 # p > 3;°, maka C 3;°
Terjadi kontradiksi dengan teorema +3
adi kemungkinan 4 salah
5angkah 3
3* Satu.satunya kemungkina yang benar
adalah p : 3;° dan C : 3;°
Terbukti
B
y2
' "
&
' ""
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 50/66
Teorema 6.5Teorema 6.5
ika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitigaika ada sebuah persegipanjang, maka setiap segitiga
memiliki jumlah sudut 3;F-memiliki jumlah sudut 3;F-
$iketahui # persegipanjang =HS
'uktikan # setiap segitiga(segitiga sembarang)memiliki jumlah sudut3;F
=
S H
HS
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 51/66
=
!
#ukti $
%lasanPernyataan3 Segiempat =HS diketahui
4 7ubungkan titik S dan ,
titik = dan H, sedemikian hingga S dan=H berpotongan di !
dibuat
* Terbentuk %=!, %!H, %S!H,
%=!S, %=SH dan %=H
&kibat langkah 4
HS
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 52/66
T
HS
=
!
dibuat
6 =andang sebarang segitiga, misal
%=!
0 Tarik garis tinggi melalui !
sehingga memotong = di T
9 umlah sudut %=T! : jumlah sudut
%=! yaitu 3;F
+ &da %=T! dan %T! &kibat langkah 0Teorema +6
; ∠!T= : <F dan ∠!T : <F Siku.siku
HS
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 53/66
I
H
T =
!
< /arena %=T! dan %T! sisi !T berimpit,
maka jika disatukan akan terbentuk %=!
3 umlah sudut %=! adalah
jumlah ∠∆=T! D ∠∆T! J (∠!T= D
∠
!T): 3;F D 3;F . (<F D <F) : 3;F
=enjumlahan sudut
33 ika ditarik garis tinggi pada %!H
sehingga terbentuk %I! dan %HI!
dibuat
HS
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 54/66
H
T
I
=
!
3* 'egitu juga dengan segitiga.segitiga yang
lain, akan terbentuk segitiga sembarangdengan jumlah sudut 3;F
34 $engan langkah yang sama seperti langkah
9.3 maka diperoleh %H! dengan jumlahsudut 3;F
Terbukti
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 55/66
'umla udut uatu egitiga'umla udut uatu egitiga
'erdasarkan teorema +3 (Saccheri.5agendre) dan'erdasarkan teorema +3 (Saccheri.5agendre) dan
teorema +0 maka adanya segitiga dengan jumlahteorema +0 maka adanya segitiga dengan jumlahsudut 3;F adalah ekiKalen dengan persegipanjangsudut 3;F adalah ekiKalen dengan persegipanjang
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 56/66
Teorema 6.6Teorema 6.6
&&'ika ada sebua segitiga dengan umla sudut 789:,'ika ada sebua segitiga dengan umla sudut 789:,
maka akan ada sebua persegipanang+maka akan ada sebua persegipanang+
Diketaui $ ;%# dengan
umla sudut 789:
#uktikan $ adapersegipanang %#
B
/
"
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 57/66
& '=#ukti $
%lasan Pernyataan3 %&'" diketahui
4 Tarik garis tinggi melalui ", hingga
memotong &' di =
dibuat
&kibat langkah 4* &da %&=" siku.siku di = dan %"='
siku.siku di =
Teorema +66 mlh sudut %&=" : jumlah %'=" :3;F
3= "
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 58/66
+ ∆&=" ditempelkan pada ∆&=" dengan =
berlainan pihak dengan = dari sisi &" dan&= bersesuaian ="
$ibuat
9 mlh sdt ∆&=" : 3;°, jadi : ∠3 D ∠ 4 : <° &kibat langkah 6
&kibat langkah ;< ∠3 D ∠4 : ∠3 D ∠4 : <°
∠&"& : <°
∠3 D ∠4 : ∠3 D ∠4 : <°
∠&=& : <°
&
34
3=
4
3= "
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 59/66
&
34
3=
4
&kibat langakh *
&kibat langkah <
3 ∠&=" : <°
∠&=" : <° ∠=&= : <°
∠="= : <°
33 Laka segiempat &=&" adalahpersegipanjang
$e1inisipersegipanjang
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 60/66
&kibat 3 teorema +3&kibat 3 teorema +3ika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 3;M,ika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut 3;M,maka setiap sgitiga mempunyai jumlah sudut 3;M-maka setiap sgitiga mempunyai jumlah sudut 3;M-
$iketahui # ∆&'" dengan jumlahsudut 3;M
'ukatikan # setiap segitigamempunyai jumlah sudut3;M &
"
'
"3
= "
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 61/66
#ukti $
Pernyataan %lasan
3 ∆&'" dengan jumlah sudut 3;M
4 &da persegipanjang &="=
* $ari persegipanjang &="=, maka
setiap segitiga memiliki jumlah sudut 3;M6 adi jika sebuah segitiga jumlah
sudutya 3;M, maka setiap segitiga
memiliki jumlah sudut
Teorema ++
Teorema +0
Tebukti
$iketahui
& ' &
3 4
3=
4
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 62/66
&kibat 4 teorema ++
ika sebuah segitiga mempunyai jumlah sudut kurangdari 3;M, maka setiap segitiga mempunyai jumlahsudut kurang dari 3;M-
$iketahui # ∆=H denga jumlah sudutkurang dari 3;M
'uktikan # setiap segitiga mempunyai jumlah sudut kurang dari 3;M
#ukti $
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 63/66
#ukti $
Pernyataan %lasan
3 Segitiga sembarang dengan jumlah
sudut ≤ 3;M
$iketahui
Teorema +34 ∆=H denga jumlah sudut (p) ≤ 3;M
* = : 3;M Teorema +3
6 Setiap segitiga jumlah sudutnya 3;M $ipilih
0 Terjadi kontrndiksi dengan langkah 3
jadi p 3;M
Terbukti
$ b di k t kib t 3 d 4$engan membandingkan teorema akibat 3 dan 4
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 64/66
$engan membandingkan teorema akibat 3 dan 4$engan membandingkan teorema akibat 3 dan 4dari teorema ++, kita amati suatu 1akta pentingdari teorema ++, kita amati suatu 1akta penting yang tidak termuat dalam Teorema Saccheri yang tidak termuat dalam Teorema Saccheri5agendre Geometri netral adalah homogen-,5agendre Geometri netral adalah homogen-,dalam arti bahwa semua segitiga mempunyaidalam arti bahwa semua segitiga mempunyai jumlah sudut 3;M, atau semua segitiga jumlah sudut 3;M, atau semua segitiga
mempunyai jumlah sudut kurang dari 3;Mmempunyai jumlah sudut kurang dari 3;M
enis geometri netral yang pertama tersebutenis geometri netral yang pertama tersebutmerupakan geometri Euclides Sedangkan yangmerupakan geometri Euclides Sedangkan yangkedua secara historis muncul geometri non.kedua secara historis muncul geometri non.EuclidesEuclides
P i i i i G t i N t lProposisi proposisi Geometri Netral
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 65/66
Proposisi*proposisi Geometri NetralProposisi*proposisi Geometri Netralbidangbidang
33 $ua gairs yang tidak beimpit mempunyai paling$ua gairs yang tidak beimpit mempunyai palingbanyak satu titik potongbanyak satu titik potong
44 Setiap segmen garis mempunyai tepat satu titikSetiap segmen garis mempunyai tepat satu titiktengahtengah
** Setiap sudut mempunyai tepat satu garis bagiSetiap sudut mempunyai tepat satu garis bagi66 /omplemen dari sudut.sudut yang sama aadalah sama/omplemen dari sudut.sudut yang sama aadalah sama
00 Sudut yang bertolak balakang besarnya samaSudut yang bertolak balakang besarnya sama
Intuk proposisi.proposisi pada nomer selanjutnya,silahkan lihat di buku Sistim Geometri bab GeometriNetral- halaman 3*
7/17/2019 Bab Vi Geometri Netral
http://slidepdf.com/reader/full/bab-vi-geometri-netral 66/66