-
BAB 10
IRISAN KERUCUT
-
Irisan Kerucut
Irisan kerucut adalah kurva yang diperoleh sebagai
hasil perpotongan antara kerucut dan bidang.
-
Jenis Irisan Kerucut
Titik Garis Dua garis
Elips Lingkaran Parabola Hiperbola
-
Eksentrisitas
Pandang garis 𝑙, yang disebut direktriks dan titik 𝐹, yang disebut fokus.
Eksentrisitas 𝑒 didefinisikan sebagai
𝑒 =|𝑃𝐹|
|𝑃𝑙|
-
Jenis Irisan Kerucut
0 < 𝑒 < 1: elips 𝑒 = 1: parabola 𝑒 > 1: hiperbola
-
10.1 Parabola
-
Parabola
Parabola adalah himpunan titik yang memenuhi:
jarak dari titik ke fokus sama dengan jarak dari titik
ke direktriks.
-
Parabola
Rumus umum:
𝑦 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐,
dengan 𝑎, 𝑏, 𝑐 konstanta real.
Misalkan 𝐷 = 𝑏2 − 4𝑎𝑐.
-
10.2 Elips dan Hiperbola
-
Elips
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
Jika 𝑎 = 𝑏: lingkaran
Jika 𝑎 ≠ 𝑏: elips
-
Contoh
1. Sketsalah irisan kerucut yang memenuhi persamaan 𝑥2 +𝑦2 − 4𝑥 + 10𝑦 + 13 = 0.
2. Sketsalah irisan kerucut yang memenuhi persamaan 4𝑥2 +𝑦2 − 16𝑥 + 2𝑦 + 1 = 0.
3. Carilah persamaan lingkaran yang titik ujung dari
diameternya adalah (1,3) dan (7,11).
-
Hiperbola
𝑥2
𝑎2−𝑦2
𝑏2= 1 −
𝑥2
𝑎2+𝑦2
𝑏2= 1
Hiperbola memiliki sepasang asimtot miring:
𝑦 =𝑏
𝑎𝑥 dan 𝑦 = −
𝑏
𝑎𝑥.
-
10.4 Representasi Parameter
dari Kurva pada Bidang
-
Fungsi Eksplisit dan Implisit
Pada saat suatu objek bergerak pada bidang,
pergerakannya dapat digambarkan dengan suatu kurva.
Tidak semua kurva dapat diekspresikan dalam fungsi
eksplisit 𝑦 = 𝑓(𝑥) atau 𝑥 = 𝑓(𝑦), sebagian harus dituliskansecara implisit, 𝑓 𝑥, 𝑦 = 0.
-
Representasi Parameter
dari Kurva pada Bidang
Untuk merepresentasikan kurva secara
implisit, digunakan representasi parameter:
𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑡 di [𝑎, 𝑏].
𝑡 disebut parameter, yang biasanyamengukur waktu.
(𝑓(𝑎), 𝑔(𝑎)) disebut titik awal dan (𝑓(𝑏), 𝑔(𝑏)) disebut titik akhir.
-
Kurva Tertutup dan Sederhana
Jika kedua titik ujung dari suatu kurva berimpit, kurva
tersebut tertutup.
Jika 𝑡 yang berbeda mengakibatkan titik yang berbedapada bidang (kecuali mungkin pada 𝑡 = 𝑎 dan 𝑡 = 𝑏), kurvadisebut sederhana.
-
Contoh
Sketsalah kurva berikut.
1. 𝑥 = 𝑡2 + 2𝑡, 𝑦 = 𝑡 − 3,−2 ≤ 𝑡 ≤ 3.
2. 𝑥, 𝑦 = (𝑎 cos 𝑡, 𝑏 sin 𝑡), 0 ≤ 𝑡 ≤ 𝜋.
-
Sikloid
Misalkan 𝑃 adalah titik yang terletak pada suatu roda.
Sikloid adalah kurva yang menggambarkan
pergerakan titik 𝑃 pada saat roda tersebutmenggelinding sepanjang bidang datar.
-
Persamaan Parameter Sikloid
Koordinat untuk 𝑃(𝑥, 𝑦) adalah𝑥 = 𝑂𝑀 = 𝑂𝑁 − 𝑀𝑁 = ⋯𝑦 = 𝑁𝑅 = 𝐶𝑁 + 𝐶𝑅 = ⋯
Sehingga persamaan parameter untuk sikloid
adalah (𝑥, 𝑦) = (𝑎(𝑡 − sin 𝑡), 𝑎(1 − cos 𝑡))
-
Keistimewaan Sikloid (1)
Kurva dengan waktu tempuh minimum.
-
Keistimewaan Sikloid (2)
Waktu suatu partikel 𝑃 menggelinding pada sikloiduntuk mencapai titik terendah akan sama di mana
pun 𝑃 diletakkan pada awalnya.
© Physics StackExchange © Wikimedia
-
Turunan
Misalkan 𝑥 = 𝑓 𝑡 , 𝑦 = 𝑔 𝑡 , 𝑡 di [𝑎, 𝑏] adalahsuatu persamaan parameter untuk suatu
kurva di bidang.
Jika 𝑓, 𝑔 dapat diturunkan dan 𝑓′(𝑡) ≠ 0pada [𝑎, 𝑏], maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥=
ൗ𝑑𝑦 𝑑𝑡ൗ𝑑𝑥 𝑑𝑡
=𝑔′(𝑡)
𝑓′(𝑡)
-
Contoh
1. Tentukan 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2dari
𝑥 = 5 cos 𝑡, 𝑦 = 4 sin 𝑡 , 0 < 𝑡 < 3.
2. Jika 𝑥 = 2𝑡 − 1 dan 𝑦 = 𝑡2 + 2, tentukan
13𝑥𝑦2𝑑𝑥.
3. Tentukan luas daerah di atas sumbu−𝑥dan di bawah sikloid
𝑥, 𝑦 = 𝑡 − sin 𝑡, 1 − cos 𝑡 , 0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋.