Universidade Tecnológica Federal do Paraná - UTFPR
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Resumo
Nesse trabalho foi utilizada uma máquina fotográfica digital, com a função multi-burst (fotos tiradas em seqüência) para analisar o movimento de queda livre e com os dados obtidos calcular o valor da aceleração da gravidade local. Para avaliar o experimento, foi também calculado um valor teórico para aceleração da gravidade local e comparado com o obtido experimentalmente, foi possível observar um desvio pequeno. O que mostrou que a máquina fotográfica digital pode ser uma boa ferramenta de auxílio pedagógico no ensino de física.
Palavras-chave: queda livre, aceleração da gravidade, máquina fotográfica
digital.
Abstract
Experimental classes of kinematics using digital (Multi-Burst) camera -
Free Fall.
In this work we used a digital camera, with multi-burst function (photos taken in sequence) to analise the free fall movement and with the data obtained calculate the value of the local acceleration of gravity. To evaluate the experiment, was also calculated a theoretical value for acceleration of gravity location and compared with that obtained experimentally, it was possible to observe a small deviation. What showed that the digital camera can be a good tool to aid pedagogical in the teaching of physics.
Aulas experimentais de cinemática utilizando máquina fotográfica digital (Multi-
Burst)- Queda Livre.
Elida P. Moraes Corveloni
Maria E. Gozzi
Alexsandro F. Mendes
Verônica L. L. Costa
Eliane S. Gomes
Ronaldo C. Viscovini
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Keywords: free fall, acceleration of gravity, digital camera .
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Introdução
A tecnologia está cada vez mais presente no nosso cotidiano e, ao se pensar nela, é
praticamente inevitável associá-la a vários recursos modernos que contam com o uso de sistemas
eletrônicos de controle, telas de projeção, mecanismos de gravação de dados, como
computadores, câmeras filmadoras e máquinas fotográficas digitais. Esses materiais podem ser
utilizados como recursos didáticos para auxiliar em práticas experimentais.
Nesse trabalho utilizou-se de uma máquina fotográfica digital, com a função multi-burst
(fotos tiradas em seqüência) para analisar o movimento de queda livre e com os dados obtidos foi
calculada a aceleração da gravidade local.
A queda livre é um caso particular do Movimento Retilíneo Uniformemente Variado
(MRUV).
No século IV a.C., Aristóteles afirmava que “o movimento para baixo de qualquer corpo
pesado é tanto mais rápido quanto maior for seu tamanho”. Somente dezenove séculos mais
tarde Galileu Galilei (1564-1642), cientista italiano da Renascença, proclamou e publicou a
verdade sobre este assunto, que ele conseguiu descobrir, lançando mão de experiências, é que a
autoridade de Aristóteles sobre a questão foi seriamente abalada. Nos últimos anos de sua vida,
Galileu escreveu um tratado, intitulado Diálogo sobre duas novas ciências, no qual apresenta seus
estudos sobre os movimentos. Este tratado pode ser considerado como o marco inicial do estudo
da Dinâmica (Halliday e Resnick, 1981).
Desde aquela época o movimento de queda livre de corpos tem sido estudado com
grande precisão. Quando os efeitos do ar podem ser desprezados, todos os corpos em um dado
local caem com a mesma aceleração, independente das suas formas e dos seus respectivos pesos.
Quando a distância da queda livre é pequena em comparação ao raio da Terra, a aceleração é
constante, ou seja, a velocidade varia linearmente com o tempo. A aceleração constante de um
corpo em queda livre denomina-se “aceleração da gravidade”, e seu módulo é designado por “g”
(Young e Freedman, 2006).
No Movimento Retilíneo Uniformemente Variado (MRUV) considerando o movimento no
eixo-x, sendo a aceleração constante, a aceleração instantânea e média é igual em todos os
instantes, e então se utiliza a equação 1. (Halliday, Resnick e Krane, 2003).
0
0
,−
−=
∆
∆==
t
vv
t
vaa xxx
xmedx Equação 1
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Isolando o xv ,
tavv xxx += 0 Equação 2
Este resultado permite que se determine a velocidade para todos os instantes de tempo.
A equação 2 fornece a velocidade como uma função do tempo que pode ser escrita como ( )tvx
ou simplesmente como xv . Observe que a equação 2 possui forma bmxy += , que representa
uma reta. Assim, a curva xv contra t fornece uma reta com inclinação xa e que intercepta o eixo
vertical em xv0 (Figura 1 (b)) (Halliday, Resnick e Krane, 2003).
Quando deseja-se avaliar como a posição varia com o tempo. No caso em que ( )tvx é
uma reta, a velocidade média em qualquer intervalo é dada pela equação 3:
12
12.
tt
xx
t
xv xmed
−
−=
∆
∆= Equação 3
Também é igual à média entre o valor inicial e final da velocidade neste intervalo. Durante
o intervalo de 0 a t (equação 4),
( )xxxmed vvv 0.2
1+= Equação 4
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Figura 1. Gráficos que relacionam variáveis do (Halliday, Resnick e Krane,
2003).
Vê-se, a partir da linha reta da Figura 1 (b), que este comportamento é coerente. Quando
se combinam as equações 2, 3, 4, é possível eliminar xv , isolando o valor de x para obter a
equação 5:
2
002
1tatvxx xx ++= Equação 5
A equação 5 fornece a posição x para todos os instantes de tempo. Esta equação também
pode ser usada para determinar o deslocamento de 0xx − . A Figura 1 (a) mostra um gráfico de x
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contra t, que possui a forma de uma parábola. As equações 4 e 5 são válidas apenas para
aceleração constante (Halliday, Resnick e Krane, 2003).
As equações com aceleração constante (equações 2 e 5) podem ser aplicadas à queda
livre. Para isso, consideram-se duas pequenas diferenças:
• posiciona-se o eixo y na direção de queda livre, adotando-se seu sentido positivo
para cima;
• substitui-se a aceleração constante a por –g, uma vez que a escolha do sentido
positivo do eixo y para cima implica que a aceleração para baixo é negativa. A
escolha de ga y −= implica que g seja sempre um número positivo.
A partir dessas pequenas modificações, as equações que descrevem a queda livre de
corpos são dadas por (equações 6 e 7):
gtvv yy −= 0 Equação 6
2
002
1gttvyy y −+= Equação 7
Da mesma forma que as equações 2 e 5 são utilizadas para resolver problemas que
envolvem a aceleração constante, as equações 6 e 7 são básicas para resolver problemas
associados à queda livre (Halliday, Resnick e Krane, 2003).
Neste trabalho foi estudado o movimento de queda livre utilizando uma máquina
fotográfica digital, para obter o valor de “g” experimental e comparar com o valor teórico local,
com a finalidade de avaliar o aparato experimental como ferramenta para uso didático.
Materiais e métodos
Foi utilizada uma torre metálica (185 cm) com escala de 10 cm, onde na parte superior
estava preso um eletroímã ligado a uma fonte ajustável de alimentação elétrica com 6V. O
eletroímã prendia o corpo em estudo e quando a alimentação era interrompida,
simultaneamente acionava-se a máquina fotográfica digital Sony P100 - modelo Cyber-shot 5.1
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mega pixels, tinha início a queda do corpo e a seqüência de fotos registrava o movimento com um
intervalo de (1/30) s entre cada foto.
A máquina fotográfica encontrava-se em um tripé a 2,5 metros da torre, tendo o cuidado
de nivelar tanto a máquina fotográfica quanto a torre.
(a) (b)
Figura 2 - Aparato experimental.
a) Torre graduada com 185 cm de altura.
b) Topo da torre com corpo preso ao eletroímã.
Resultados e discussão
A escala em frente a qual o experimento foi fotografado era de 10 em 10 cm,
intercalando-se as cores em preto e branco. A seqüência de imagens foi obtida pela máquina
fotográfica no modo multi-burst com um intervalo de (1/30) s entre cada foto, para análise do
movimento o intervalo de tempo considerado foi o utilizado pela máquina. Essa seqüência de
imagens foi analisada no editor de imagem Paint (Windows), e colocada no modo de ampliação
máxima e contou-se quantos pixels havia em 10 cm da escala (Figura 3).
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Figura 3. Imagem onde é possível observar a relação de pixel/
centímetro.
Com o editor de imagem verificou-se que em 10 cm estavam 17 pixels, foi então feita a
relação de número de pixels com centímetros o que resultou em que 1 pixel ≅ 0,59 cm. Com isso e
com uma análise detalhada de cada foto ampliada, foi possível obter as posições do objeto em
queda livre em cada instante da queda.
A seqüência de imagens obtidas pela máquina fotográfica no modo multi-burst, já com as
posições medidas marcadas, encontra-se na Figura 4.
A Tabela 1 mostra o intervalo de tempo e a posição do objeto em cada foto, considerando
o y inicial o ponto mais alto da escala.
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Tabela 1 - Posição (m) do corpo em queda livre e intervalo de tempo
correspondente (s).
Foto t (s) y (m)
1 0,033 0,053
2 0,067 0,083
3 0,100 0,123
4 0,133 0,165
5 0,167 0,224
6 0,200 0,283
7 0,233 0,365
8 0,267 0,459
9 0,300 0,559
10 0,333 0,677
11 0,367 0,789
12 0,400 0,924
13 0,433 1,083
14 0,467 1,235
15 0,500 1,400
16 0,533 1,577
Com os dados dessa tabela e utilizando a planilha eletrônica Excel (Windows), foi possível
construir um gráfico (Figura 4), de onde foi obtida por regressão polinomial a equação que
representa o movimento de queda livre.
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Figura 4. Gráfico obtido a partir dos dados tabelados, que representa o
movimento de queda livre.
Com a equação obtida:
2.9758,4.2219,00451,0 xxy ++= Equação 8
podemos fazer uma analogia com equação do movimento de queda livre.
Comparando as equações 7 e 8, lembrando que os dados obtidos experimentalmente
consideraram o sentido positivo (crescente) do eixo-y para baixo, podemos então concluir:
yo = 0,045 m posição onde se encontrava o objeto quando foi tirada a primeira foto.
voy = 0,22 m/s é a velocidade do objeto, quando esse encontrava-se em y0.
g = 2 x 4,98 = 9,95 m/s2 foi o valor aproximado obtido para a aceleração da gravidade a partir da
regressão polinomial.
y = 4,9758x2 + 0,2219x + 0,0451
R2 = 0,9999
0
0,2
0,4
0,6
0,8
1
1,2
1,4
1,6
1,8
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6
t (s)
y (
m)
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Maroja, Viturino e Jefferson (2005) em seu artigo afirmam que os resultados teóricos
mostram que o valor da aceleração da gravidade g não é constante, dependendo da altitude e da
latitude bem como da morfologia local das rochas. Por esse motivo o valor teórico da aceleração
da gravidade foi calculado utilizando um modelo matemático que leva em conta essas variáveis.
A latitude e altitude foram obtidas no site Astronomia Urbana, para a cidade de Goioerê -
PR, onde foi desenvolvido o experimento temos: latitude = -24°11’05’’ (Sul) e altitude = 505 m.
O valor teórico da aceleração da gravidade foi determinado pela seguinte equação
fornecida pelo Observatório Nacional:
( )h
sen
seng .000003086,0
.90130066943799,01
.86390019318513,01.7803267714,9
2
2 −−
+=
µ
µ Equação 9
onde
μ é a latitude do ponto sobre o modelo teórico da terra;
h é a altitude (em metros) sobre a superfície do modelo.
O modelo teórico considerado é o de um elipsóide de revolução com a mesma massa e a
mesma velocidade angular reais da Terra. A primeira parcela do lado direito da equação refere-se
à fórmula da gravidade teórica – ou normal – recomendada pela União Internacional de Geofísica
e Geodésia, e é conhecida como a equação Somigliana. A segunda parcela é a estimativa teórica
do gradiente vertical da gravidade. O sinal negativo é para levar em conta o afastamento em
relação ao centro de massa do modelo de Terra, quando h>0. O valor calculado pela equação é
uma estimativa teórica de “g” (Castro, 2006).
Com essa equação o valor aproximado do “g” teórico obtido para a cidade de Goioerê - PR
foi de g = 9,78 m/s2.
Comparando os valores da aceleração da gravidade, teórico e o obtido
experimentalmente, temos:
gExperimental. = 9,95 m/s2 e gTeórico = 9,78 m/s2
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É possível notar uma diferença relativamente pequena entre os dois valores. O erro
relativo entre o valor teórico e o valor experimental foi de aproximadamente 1,74%, o que mostra
que a máquina fotográfica digital pode ser uma boa ferramenta de auxílio nas aulas experimentais
de física.
Os problemas encontrados que podem ter contribuído para esse desvio foram:
- a dificuldade de simultaneamente acionar a máquina e desligar a fonte de alimentação;
- resolução da imagem adquirida pela máquina fotográfica era fixa não sendo possível
melhorá-la, o que dificultou trabalhar com a imagem;
Conclusões
Após experimentação realizada que se subsidiaram no referencial teórico do movimento
retilíneo uniformemente variado (MRUV) e da aceleração gravitacional, e um aparato
experimental constituído por uma máquina fotográfica digital e uma aparelhagem simples
constatou que é possível apresentar didaticamente o movimento de queda livre. Isto possibilta
aos acadêmicos aprenderem experimentalmente a cinemática do MRUV e a matemática
associada (regressão polinomial e erros). Pequenas variações no aparato experimental
permitiriam o estudo da maioria dos movimentos em uma ou duas dimensões.
Referências
H.O.S. Castro, Caracterização experimental do escoamento bifásico com formação de espuma da
mistura Óleo-Refrigerante R134A ao longo de m tubo reto de secção constante. Dissertação
(Mestrado em Engenharia Mecânica na área de concentração Ciências Térmicas, Programa de
Pós-graduação em Engenharia Mecânica), Universidade Estadual Paulista “Júlio de Mesquita
Filho” - Unesp, Ilha Solteira, Fevereiro de 2006.
D. Halliday e R. Resnick, Física 1, Ed. LTC. 3ª ed., Rio de Janeiro - RJ. 1981.
D. Halliday, R. Resnick e K.S. Krane, Física 1, Ed. LTC, 5ª ed., Rio de Janeiro- RJ. 2003.
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D. Halliday, R. Resnick e Walker J., Física 1, Ed. LTC. 6ª ed., Rio de Janeiro - RJ. 2002.
A.M. Maroja, M.F.C. Viturino e Jefferson S. P., “Medida da aceleração da gravidade”. In: XVI
Simpósio Nacional de Ensino de Física 1, 2005. disponível no site
http://www.sbf1.sbfisica.org.br/eventos/ snef/xvi/cd/resumos/T0297-1.pdf, acessado em
02/09/2008
Site Astronomia Urbana http://paginas.terra.com.br/educacao/Astronomia/latPR.html, acessado
em 02/09/2008.
H.D. Young e R. A. Freedman, Física 1 – Mecânica, Ed. Pearson Education do Brasil, 10ª ed. São
Paulo - SP. 2006.