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Geometria Analtica
MUDANA DE COORDENADAS
Prof. Onzimo Cardoso
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Vetores
Uma reta dita ser orientada quandofixamos um sentido o qual representado por
uma seta:
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Vetores
O sentido oposto ao considerado positivo,
denominamos negativo:
Se considerarmos que tem sentido positivo,ento , que tem sentido contrrio dito tersentido negativo;
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Segmento Orientado
Um segmento que liga dois pontos e possui
um sentido dito ser umsegmento orientado:
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Segmento Nulo
Um segmento dito ser nulo se sua
extremidade coincide com a origem:
=
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Segmentos Opostos
Se um segmento orientado
O segmento um segmento de sentidooposto ao de:
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Medida de um Segmento
Dado um segmento arbitrrio. Podemos
escolher dois pontos pertencentes a ele e aotamanho do comprimento entre os dois
pontos em questo, chamamos de unidade;
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Medida de um Segmento
Feito isso, a cada segmento orientado,
podemos associar um nmero real querepresenta seu tamanho;
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Medida de um Segmento
O comprimento de um segmento orientado
denominamos mdulo de erepresentamos porou
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Medida de um Segmento
O segmento nulo tem mdulo igual a 0 (zero);
=
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Direo e Sentido
Dois segmentos no nulos e tmmesma direo se as retas que passam pelos
pontos e respectivamente so
paralelas:
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Direo e Sentido
No exemplo em questo e tem mesmadireo e sentidos opostos;
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Direo e Sentido
S podemos comparar sentido de segmentos
orientados que possuam a mesma direo
Dois segmentos orientados opostos possuem
sentidos contrrios;
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Segmentos Equipolentes
Dois segmentos orientados so ditos serem
equipolentes quando possuem mesma
direo, mesmo mdulo e mesmo sentido:
e so
equipolentes
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Segmentos Equipolentes
Dois segmentos nulos so sempre
equipolentes;
Quando dois segmentos e soequipolentes denominamos:
~
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Propriedades de Equipolncia
I. Reflexiva: ~ ;
II. Simtrica: ~ , ento ~ ;
III. Transitiva:
~ e
~ , ento
~ ;
IV. Dado um segmento orientado e umponto , existe um nico ponto tal que ~ ;
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Vetor
Dado um segmento orientado chamamosde vetor representado por qualquersegmento orientado equipolente a;
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Vetor
O vetor representado por um segmento
comumente designado por uma letra
minscula com uma seta sobreposta ou por
uma seta sobreposta ao segmento que orepresenta:
=
O mdulo de um vetor representado por:
=
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Vetor
Os segmentos nulos, por serem equipolentes
entre si, determinam um nico vetor,
chamado vetor nulo, o qual indicado por 0;
Dado um vetor = , o vetor o oposto
dee representado porou ;
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Vetor
Um vetor dito serunitriose = 1;
Um versorde um vetor um vetor unitriode mesmo sentido e mesma direo de ;
Dois vetores e so ditos serem colinearesse tiverem a mesma direo;
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Vetor
Se , e possuem representantes, e pertencentes ao mesmo plano , diz-seque eles socoplanares:
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Vetor
Dois vetores e so sempre coplanares,uma vez que podemos represent-los
iniciando em um mesmo ponto e
consideramos o plano que contm os doisvetores e o ponto em questo;
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Vetor
Trs vetores podero ou no ser coplanares:
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Adio de Vetores
Sejam e dois vetores representados pelossegmentos orientadose :
Os pontos e determinam um vetor que, por definio, asomados vetores e :
= +
Regra Ponta-
Calda
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Adio de Vetores
Regra do
Paralelogramo
= +
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Propriedades da Adio
I. Comutativa: + = + ;
II. Associativa: + + = + + ;
III. Existe um nico vetor nulo 0 tal que paratodo vetor , tem-se + 0 = 0 + ;
IV. Para todo vetor , existe um nico vetor
oposto tal que + = 0
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Diferena de Vetores
Chama-se diferea de e ao vetor = = + ;
M lti li d V t
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Multiplicao de um Vetor por um
Escalar
Dado um vetor 0 e um nmero real 0,chama-se produto do nmero real pelo vetor ovetor = de modo que:
= = ;
tem a mesma direo de ;
tem o mesmo sentido de se > 0e sentidocontrrio ao de se < 0;
Se = 0ou = 0ento o produto igual a 0;
M lti li d V t
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Multiplicao de um Vetor por um
Escalar
Se 0 < < 1 e 0 ento o vetor = possui mdulo menor que ;
M lti li d V t
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Multiplicao de um Vetor por um
Escalar
Se 0 < < 1e 0ento o vetor = possui mdulo menor que ;
=
0 < < 1
M lti li d V t
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Multiplicao de um Vetor por um
Escalar
Se > 0 e 0 ento o vetor = possui mdulo maior que ;
=
> 0
M lti li d V t
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Multiplicao de um Vetor por um
Escalar
A multiplicao = de um vetor por umescalar tal que:
Mdulo : = ;
Direo : e tem a mesma direo;
Sentido : o mesmo de se > 0, e contrrioao de se < 0;
M lti li d V t
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Multiplicao de um Vetor por um
Escalar
Se e so vetores quaisquer e e sonmeros reais, temos:
1. =
2. + = a +
3. + = + 4. 1 =