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Aula 4
Sinais e Sistemas – Capítulo 1
Simon Haykin
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Sinais Elementares Servem como blocos de construção para sinais mais
complexos Modelam sinais físicos que ocorrem na natureza Sinais elementares:
Sinais exponenciais; Sinais senoidais; Função degrau; Função impulso; Função rampa.
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Sinais Exponenciais Caso contínuo: x(t)=Beat, B e a são reais, onde B é a
amplitude e a é uma constante de tempo Se a<0: exponencialmente decrescente Se a>0: exponencialmente crescente Exemplo: (a) a=-6, B=5, (b) a=5, B=1
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Sinais Exponenciais Caso contínuo
O circuito abaixo ilustra um exemplo físico clássico que é o capacitor com fuga
O modelo matemático em t≥0 é o seguinte:
A solução da equação acima é
onde RC é a constante de tempo
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Sinais Exponenciais Caso discreto: x[n]=Brn, definindo-se r=e
Se 0<r<1: exponencial decrescente Se r>1: exponencial crescente Se r<0: um sinal exponencial de tempo discreto com sinais + e –
alternando-se (verifique em casa!)
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Sinais Exponenciais Caso discreto: x[n]=Brn, definindo-se r=e
É possível que um sinal exponencial tenha valor complexo quando B, a ou tenham valores complexos. Exemplos: ejwt, ejn
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Sinais Senoidais Caso contínuo: x(t)=Acos(t+)
Sinal periódico, T=2π/ω
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Sinais Senoidais Para a geração de um sinal senoidal temos o indutor e
capacitor em paralelo.
Frequência natural de oscilação angular:
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Sinais Senoidais Caso discreto: x[n]=Acos(n+)
O período de um sinal de tempo discreto é medido em amostras, x[n]=x[n+N], onde N é o período. Então, x[n+N]=Acos(n+ N+)
Para que a condição de periodicidade seja satisfeita tem-se que: N=2m ou =2m/N
Nem todos os sistemas senoidais de tempo discreto com valores arbitrários de são periódicos. deve ser um múltiplo na forma de razão de 2.
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Sinais Senoidais Exemplo: A=1, =0 e N=12
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Sinais Senoidais
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Sinais Senoidais
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Sinais Senoidais
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Sinais Senoidais
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Sinais Senoidais
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Tarefa para Casa
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Relação entre sinais senoidais e exponenciais complexos Caso contínuo:
Identidade de Euler:
Caso contínuo:
Assim, , ondeAssim,Assim,Assim, , portanto
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Relação entre sinais senoidais e exponenciais complexos Caso discreto:
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Relação entre sinais senoidais e exponenciais complexos
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Sinal senoidal exponencialmente amortecido Resultante da multiplicação de um sinal senoidal por
uma exponencial decrescente de valor real:
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Sinal senoidal exponencialmente amortecido Exemplo físico: resposta natural RLC
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Sinal senoidal exponencialmente amortecido Para o caso discreto temos que
Para que o sinal decresça com o tempo: 0<|r|<1
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Função degrau Caso contínuo:
Caso discreto:
Caso contínuo:
Caso discreto:
Caso contínuo:
Caso discreto:
Caso contínuo:
Caso discreto:
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Função degrau A função degrau é um sinal simples de aplicar, como
uma fonte DC aplicada em t=0 fechando-se uma chave
Como sinal de teste, um degrau é útil para revelar a rapidez com que o sistema responde a uma mudança abrupta no sinal de entrada
Uma observação similar se aplica a u[n] no contexto discreto
A função degrau também é usada para construir outros sinais
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Função degrau
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Função degrau
T=1s
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Tarefa para casa
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Função Impulso
Tempo discreto
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Função ImpulsoTempo contínuo
Á medida que T diminui, o pulso retangular se aproxima melhor do impulso.
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Propriedades do ImpulsoO impulso é uma função par , isto é,
Propriedade de Peneiramento
Mudança de escala de tempo
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A Função RampaTempo Contínuo
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A Função RampaTempo Discreto