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1
Aula 18 – Árvores Adelson-Velskii e Landis
Algoritmos e Estruturas de Dados I
Prof. Jesús P. [email protected]
Q1-2017
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2
AVL
G.M. Adelson-Velskii y E.M. Landis“An algorithm for the organization of information”. Proceedings of the USSR Academy of Sciences, vol. 146, pp. 263–266, 1962
AVL foi a primeira estrutura (conhecida) de árvore de altura balanceada/equilibrada.
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3
AVL
Georgy M. Adelson-VelskyRussia
(1922-2014/abril/26)
Evgenii Mikhailovich Landis Ucrania
(1921-1997)
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5
Árvores AVL
Uma árvore AVL é definida como:Uma árvore vazia é uma árvore AVL.Sendo T uma ABB, com subárvores esquerda (L) edireita (R) , T será uma árvore AVL contanto que:
L e R são árvores AVL
A definição de uma ABB de altura equilibrada (AVL) requer que cada subárvore seja também de altura equilibrada.
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6
Fator de balanceamento
O fator de balanceamento/equilibrio de um nó T em uma ABB é definido como:
Para qualquer nó T em uma árvore AVL, o fator de balanceamento assume o valor: +1, 0, -1.
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7
RR
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8
LL
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9
LR
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10
LR (outro exemplo)
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11
RL
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12
Rotações
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13
Rotações
O processo de rebalanceamento é conduzido utilizando 4 tipos de rotações
LLRRLRRL
Suponha que o novo nó inserido é Y:As rotações são caracterizadas pelo ancestral A (com fator de balanceamento +2 ou -2) mais próximo do nó Y.
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14
Rotações
LL: Y inserido na subárvore esquerda da subárvore esquerda de ALR: Y inserido na subárvore direita da subárvore esquerda de ARR: Y inserido na subárvore direita da subárvore direita de ARL: Y inserido na subárvore esquerda da subárvore direita de A
Seja B o filho de A no qual ocorreu a inserção de YLL (A = +2; B = +1)LR (A = +2; B = -1)RR (A = -2; B = -1)RL (A = -2; B = +1)
A
B
Y
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15
Rotação LL
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16
Rotação LL
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17
Rotação LL
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18
Rotação LL
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19
Rotação LL
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Rotação LL
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Rotação LL
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22
Rotação LL
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23
Rotação RR
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24
Rotação RR
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25
Rotação RR
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Rotação RR
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27
Rotação RR
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28
Rotação RR
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29
Rotação RR
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30
Rotação RR
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31
Rotação LR (a)
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32
Rotação LR (b)
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33
Rotação LR (b)
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34
Rotação LR (b)
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35
Rotação LR (c)
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Rotação LR (c)
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Rotação LR (c)
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38
Rotação LR
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39
Rotação LR
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40
Rotação LR
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41
Rotação LR
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42
Rotação LR
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43
Rotação LR
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44
Rotação LR
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45
Rotação LR
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46
Rotação RL (a)
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47
Rotação RL (b)
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48
Rotação RL (b)
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49
Rotação RL (b)
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50
Rotação RL (c)
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52
Atividade
Suponha que serão realizadas as seguintes inserções de chaves na árvore AVL ao lado:
72136
(a) Apresente a árvore AVL resultante (1 árvore)(b) Indique o tipo de rotações consideradas em cada inserção
4
5
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53
Atividade em aula
Operações
7 : RR2 : --1 : LL3 : LR6 : RL
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54
Provamos que AVL é uma árvores balanceada?
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55
Balanceamento de árvores AVL
Uma árvore AVL de altura h é balanceada se h = O(log(n))
Outra forma de pensar: Dada uma árvore AVL de altura h, qual seria o valor mínimo possivel para n?
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56
Balanceamento de árvores AVL
Uma árvore AVL de altura h é balanceada se h = O(log(n))
Outra forma de pensar: Dada uma árvore AVL de altura h, qual seria o valor mínimo possivel para n?
h-1
h-2
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57
Balanceamento de árvores AVL
Seja Th uma árvore AVL com altura h e número mínimo de nós.
T1 T2 T3 T4
Nesta definição → h=4
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58
Balanceamento de árvores AVL
Basta calcular um limite inferior do número de nós de Th.Seja |Th| o número de nós de Th.
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59
Analogia com a sequência de Fibonacci
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60
AVL
Como Temos
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61
AVL
AVL é uma árvore balanceada!
Como Temos
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62
AVL
●Um teorema provado por Adelson-Velskii e Landis garante que a árvore balanceada nunca será 45% mais alta que a correspondente árvore perfeitamente balanceada, independentemente do número de nós existentes.
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63
AVL
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64
Implementações
Árvores balanceadas são muito utilizadas em problemas reais:
JAVA: TreeMap, TreeSet.C++: Map, Set do STL.
Custo de busca, inserção, remoção da árvore AVL: O(log n)
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65
Considerações de avaliações empíricas
Há um custo adicional para manter uma árvore balanceada, mesmo assim garantindo O(log2 n), mesmo no pior caso, para todas as operações.
Em testes empíricos:Uma rotação é necessária a cada duas inserções.Uma rotação é necessária a cada cinco remoções.
A remoção em árvore balanceada é tão simples (ou tão complexa) quanto a inserção.
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66
Sobre as rotações
(simplificando um pouco...)
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67
Rotação: Esquerda & Direita
Varredura e-r-d: T1, X, T2, Y, T3 Varredura e-r-d: T1, X, T2, Y, T3
X
YT1
T3T2
Y
T3X
T2T1
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68
Rotação: Esquerda & Direita
X
YT1
T3T2
Y
T3X
T2T1
Varredura e-r-d: T1, X, T2, Y, T3 Varredura e-r-d: T1, X, T2, Y, T3
R. a direita(y)
R. a esquerda(x)
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69
Rotação: LL
p
T3f
T2T1
a
T4 p
f
T2T1
a
T4T3
R. a direita(a)
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70
p
T3
Rotação: RR
a
T1
f
T4
p
a
T2T1
f
T4T3
R. a esquerda(a)T2
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71
Rotação: LR
p
fT1
a
T4f
p
T2T1
a
T4T3T3T2
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72
p
T2T1
Rotação: LR
p
fT1
a
T4f
p
T2T1
a
T4T3
R. a esquerda(p)
T3T2
f
a
T4
T3
R. a direita(a)
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73
Rotação: RL
T1
f
a
pf
a
T2T1
p
T4T3T3T2
T4
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74
Rotação: RL
T1
f
a
pf
a
T2T1
p
T4T3
R. a direita(p)
T3T2
R. a esquerda(a)
T4
T1
T2
a
f
p
T4T3
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75
Como determinar o tipo de rotação?
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76
LL
LR
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77
RR
RL
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78
Remoção em árvores AVL
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79
Remoção
A remoção em árvores AVL é similar à remoção em umaABB.
Todavia, é preciso verificar o balanceamento e, senecessário, aplicar algumas das rotações.
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80
Remoção
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81
Remoção
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82
Remoção
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83
Remoção
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84
Remoção
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85
Remoção
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86
Remoção
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87
Remoção
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88
Remoção
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89
Remoção
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90
Remoção
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91
Remoção
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92
Remoção
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93
Remoção
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94
Sobre os slides
Slides baseados em:
Szwarcfiter, J.L. & Markezon, L. Estruturas de Dados e seus Algoritmos, 3a edição, LTC, 2010.
Horowitz, E. & Sahni, S.; Fundamentos de Estruturas de Dados, Editora Campus, 1984.
Wirth, N.; Algoritmos e Estruturas de Dados, Prentice/Hall do Brasil, 1989.
Material de aula do Prof. José Augusto Baranauskas (USP/Riberão Preto)
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95
Árvores de Busca Binária
Por que ABBs?São estruturas eficientes de busca (se a árvore estiver balanceada).Permitem minimizar o tempo de acesso no pior caso.
Complexidade das operações de busca, inserção, remoção:
Se balanceada → O(lg (n))
Senão → O(n)
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96
Árvores balanceadas
As seguintes árvores são as ditas balanceadas – com altura O(lg(n)):
AVLRubro-negras / vermelho-preto / red-black treeB
As árvores Rubro-negrasapresentam uma alturade, no máximo, igual a2 lg(n+1).
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97
Árvores balanceadas
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98
Árvore Rubro-Negra
Rudolf BayerComputer scientist
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99
Árvore Rubro-Negra
Somente em 1978, Leo Guibas e Robert Sedgewick, atribuiram a 'coloração' na árvore.
A cor "vermelho" foi escolhida porque era a mais bonita produzida pela impressora laser a cores disponíveis para os autores, enquanto trabalhavam na Xerox PARC.
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100
Árvore Rubro-Negra
As ARN possuem um bit extra para armazenar a cor de cada nó, que pode ser VERMELHO ou PRETO.
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