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Estruturas Isostticas DECivil . PUCRS- Profas: Maria Regina Costa Leggerini / Slvia Baptista Kalil
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CAPTULO III
ESTRUTURAS ISOSTTICAS - NOES INICIAIS
I. GRAUS DE LIBERDADE (GL)
DEFINIO: Graus de liberdade so o nmero de movimentos rgidos possveis e independentes que umcorpo pode excecutar.
A. Caso espacial
Estruturas submetidas a foras em todas as direes do espao. Estas foras podem ser reduzidas a trsdirees ortogonais entre si (x,,y,z), escolhidas como referncia. Neste caso o corpo possui 6 graus deliberdade pois pode apresentar 3 translaes (na direo dos 3 eixos) e 3 rotaes (em torno dos 3 eixos).
Exemplo:
B. CASO PLANO
Estruturas submetidas a foras atuantes em um s plano, por exemplo x,y . Neste caso possuem 3 graus deliberdade pois podem apresentar 2 translaes (na direo dos dois eixos) e 1 rotao(em torno do eixoperpendicular ao plano que contm as foras externas).
Exemplo:
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II. VNCULOS
A. DEFINIO:
todo o elemento de ligao entre as partes de uma estrutura ou entre a estrutura e o meio externo, cuja
finalidade restringir um ou mais graus de liberdade de um corpo.
A fim de que um vnculo possa cumprir esta funo, surgem, no mesmo, reaes exclusivamente nadireo do movimento impedido.
OBS 1: Um vnculo no precisa restringir todos os graus de liberdade de uma estrutura, quem o far ser oconjunto de vnculos.
OBS 2 : As reaes desenvolvidas pelos vnculos formam o sistema de cargas externas reativas.
OBS 3 : Somente haver reao se houver ao , sendo as cargas externas reativas dependentes das ativas,
devendo ser calculadas.
B. CLASSIFICAO
Os vnculos podem ligar elementos de uma estrutura entre si ou ligar a estrutura ao meio externoe,portanto, se classificam em vnculos internos e externos.
B.1. VNCULOS EXTERNOS: So vnculos que unem os elementos de uma estrutura ao meio externo ese classificam quanto ao nmero de graus de liberdade restringidos..
B.1.a. Caso espacial:
Podem restringir at 6 graus de liberdade (GL) e portanto podem ser classificados em 6 espcies.No quadro abaixo so apresentados alguns exemplos de vnculos externos para o carregamento espacial
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Exemplo de vnculos espaciais:
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B.1.b. Caso plano
Nestes casos o vnculo pode restringir at 3 graus de liberdade (GL) e portanto se classificam em 3espcies.
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B.2. VNCULOS INTERNOS
So aqueles que unem partes componentes de uma estrutura. No caso plano podem ser de 2a e 3a espcie.
Ex 1 : Vnculo de 3a espcieSejam duas barras livres no espao com carregamento plano:
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Cada barra tem 3 GL ,portanto, juntas somam 6 GL.Unindo-as rgidamente ,por exemplo, atravz de umasolda, o nmero de GL do conjunto passa a ser 3,portanto
3 GL restringidos.
Se chamarmos de RT o nmero de movimentos restringidos de um sistema teremos neste caso RT = 3(vnculo de 3a espcie)
Ex 2 : Vnculo de 2a espcie (PINOS OU RTULAS)
RTULAS :
So vnculos que tem reaes internas verticais e horizontais podendo transmitir foras nestas direes quese anulam internamente. Permitem apenas o giro relativo entre as barras por ela unidas.
PARA QUE AS RTULAS DE UMA ESTRUTURA ESTEJAM EM EQUILBRIO NECESSRIO QUE O MOMENTO POLAR DAS CARGAS EXTERNAS EMRELAO ELAS SEJA NULO.
EX: Sejam duas barras livres no espao e submetidas a um carregamento plano. Cada barra possui 3 GL eportanto o conjunto apresenta 6 GL.
Representao Estrutural :
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Se forem unidas por exemplo por uma rtula, o nmero de graus de liberdade doconjunto passa a ser 4 . Neste caso RT = 2 (vnculo de 2a espcie)
(vnculo de 2 espcie)
III . CLASSIFICAO ESTRUTURAL
De acordo com a sua estaticidade uma estrutura pode ser:
A. HIPOSTTICAS:
Quando o nmero de movimentos restringidos (RT) for menor do que o nmero de movimentos rgidos
possveis e independentes (GL) . Uma estrutura hiposttica est em equilbrio instvel.
B. ISOSTTICA:
Quando o nmero de restries (RT) for igual ao nmero de movimentos possveis(GL). Uma estruturaisosttica est em equilbrio estvel. A eficcia da vinculao deve ser examinada.
C. HIPERESTTICA:
Quando o nmero de restries (RT) for maior do que o nmero de movimentos possveis(GL). Umaestrutura hiperesttica est em equilbrio estvel.
IV . VERIFICAO DO EQUILBRIO
A. ESTATICIDADE
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De acordo com a classificao j vista podemos dizer que uma estrutura ser:
hipostticas: RT < GL
isostticas: . RT = GL
hiperestticas: . RT > GL
B. GRAU DE CONEXO E RETENO TOTAL DE UMA ESTRUTURA(RT)
Sejam duas barras livres no espao com carregamento plano. O nmero de GL deste conjunto 6. Se estasbarras forem unidas rgidamente por um vnculo interno de 3a espcie o nmero de GL passa a ser 3. O
nmero de movimentos restringidos foi 3 .
RT = 3
Se possuirmos mais de duas barras podemos executar raciocnio idntico ao anterior,ou seja, se tivermos 3barras livres o nmero de GL do conjunto 9. Ligando-as rgidamente (vnculo de 3a espcie) o nmerode GL passa a ser 3, portanto
RT = 6.
ou
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Por outro lado, se tivermos ligado as barras por pinos ou rtulas ( vnculos de 2a espcie) , teremos:
caso de 2 barras:
caso de 3 barras:
ou no caso de 4 barras
Podemos resumir e generalizar da seguinte maneira:
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n r r.(n-1)
O nmero de movimentos impedidos em um vnculo de classe r onde concorrem n barras :
n - nmero de barras que concorrem em um vnculo
(n-1) - grau de conexo de um vnculor - nmero de movimentos impedidos por este vnculo(classe do vnculo)
Chamando:
C1 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexo dos vnculos de primeira espcie.C2 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexo dos vnculos de segunda espcie.C3 = ###(n-1) - Soma dos graus de conexo dos vnculos de terceira espcie
Assim teremos:
1x C1 - nmero de movimentos impedidos pelos vnculos de primeira espcie2x C2 - nmero de movimentos impedidos pelos vnculos de segunda espcie3x C3 - nmero de movimentos impedidos pelos vnculos de terceira espcie
Podemos ento definir Reteno Total (RT) ou nmero de movimentos restringidos por todos os vnculosde uma estrutura como:
C. GRAU DE ESTATICIDADE OU GRAU DE HIPERESTATICIDADE ( gh)
Podemos definir grau de estaticidade total de uma estrutura como a diferena entre a reteno total e onmero de graus de liberdade que ela pode apresentar.
gh = RT - GL
Barras concorrentes em um vnculo classe do vnculo RT2 2 2 x 13 2 2 x 24 2 2 x 3
2 3 3 x 13 3 3 x 24 3 3 x 3
r.(n-1)
RT = 1 x C1 + 2 x C2 + 3 x C3
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No caso plano cada barra livre possui 3 GL logo, se tivermos m barras o nmero de GL do conjunto ser 3x m.
Resulta:gh = RT - 3m
ou
Ento:gh < 0 Hipostticagh = 0 Isostticagh > 0 HiperestticaOBS: O exposto acima serve apenas para casos de carregamentos planos e a eficcia vincular deveser tambm examinada.
Por exemplo, a estrutura abaixo apresenta gh = 0 porm pode se movimentar na direo x.
D. ESTATICIDADE EXTERNA
Quando quisermos verificar a estaticidade externa de uma estrutura, consideramos a estrutura como um
conjunto monoltico, portanto com 3 GL e consideramos apenas as restries dos vnculos externos, ouseja:
onde Rtext a reteno total somente dos vnculos externos (soma da classe dos vnculos)
E . ESTATICIDADE INTERNA
A estaticidade interna a diferena entre a estaticidade total e a estaticidade externa.
gh = ( C1 + 2.C2 + 3.C3) - 3.m
gext = RText - 3
gint = gh - gext
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EXEMPLOS:
Determine o grau de estaticidade total , interno e externo das estruturas abaixo.
1.
R: gh = 0 (isosttica)gext = 0gint = 0
2.
R: gh = 0 (hiposttica) ineficcia vinculargext
= 0gint = 0
3.
R: gh = -2 (hiposttica)gext = 0gint = -2
4.
R: gh = 0 (isosttica)gext = 1gint = -1
5.
R: gh = 0 (hipo- inef vincular)gext = 2gint = -2
6.
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10.
R: gh = 0 (isosttica)gext = 1gint = -1