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SECO DE MECNICA ESTRUTURAL E ESTRUTURAS
DISCIPLINA DE ESTRUTURAS METLICAS E MISTAS
APONTAMENTOS DE ESTRUTURAS METLICAS
DINAR CAMOTIM
CILMAR BASAGLIA
NUNO SILVESTRE
LISBOA,SETEMBRO DE 2010
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Estruturas Metlicas (de Ao)
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ESTRUTURAS METLICAS (DE AO)
1. INTRODUO
Em Portugal, as estruturas metlicas so quase exclusivamente utilizadas na construo
de edifcios com fins de natureza industrial e/ou comercial (instalaes fabris, armazns,
centros comerciais, pavilhes gimnodesportivos, etc.). Utilizam-se ainda frequentemente
em pontes de pequeno porte e em passadios para pees.
Figura 1.1 Estruturas de edifcios industrial e comercial
Recentemente, tem-se observado a utilizao de estruturas metlicas em vrias obras
de prestgio (e.g., na Expo 98), com grande impacto esttico/visual, e ainda na reparao
de estruturas deterioradas (constitudas por diversos materiais: beto, madeira, etc.).
Figura 1.2 Edifcios (i) Turning Torso (Sucia) e (ii) Burj Al Arab (Dubai)
(ainda) rara a utilizao de estruturas metlicas em edifcios destinados a habitao
ou a escritrios, apesar de esta tendncia esteja a mudar lentamente. Existem vrias razes
para este facto, nomeadamente razes de natureza econmica/comercial (no cientfica).
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Figura 1.3 Estruturas de edifcios destinados a habitao
Tem-se ainda assistido recentemente a um incremento significativo da construo mista
elementos estruturais em que o ao e o beto (armado) trabalham conjuntamente.
Figura 1.4 Estruturas mistas ao-beto
O objectivo da primeira parte da disciplina de Estruturas Metlicas e Mistas (EMM)
consiste em fornecer os conhecimentos necessrios para o dimensionamento e verificao
de segurana de estruturas constitudas por um conjunto de prticos planos, nomeadamente
edifcios industriais correntes.
Figura 1.5 Prticos planos com divesas configuraes
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Figura 1.6 Estrutura tridimensional constituda por um conjunto de prticos planos
Procurar-se- proporcionar uma familiarizao com a filosofia, os fundamentos e a
aplicao das disposies do novo Eurocdigo 3, o qual est j em vigor no nosso pas como estatuto de Norma Europeia (EN). Aps um perodo experimental, que se estender at
2012-2013, a utilizao deste regulamento passar a ser obrigatria em todos os pases da
Comunidade Europeia.
Algumas disposies do Eurocdigo 3 (verses ENV ou EN) foram j introduzidas na
disciplina de Estruturas Metlicas e/ou de Dimensionamento de Estruturas.
O Eurocdigo 3 (EC3) Dimensionamento de Estruturas de Ao um de um conjuntode dez regulamentos estruturais europeus. constitudo pelos seguintes 17 documentos,
os quais se encontram agrupados em 6 Partes:
(i) Parte 1.1: Regras Gerais e Regras para Edifcios
(ii) Parte 1.2: Segurana ao Fogo
(iii) Parte 1.3: Elementos e Chapas Enformados a Frio
(iv) Parte 1.4: Aos Inoxidveis
(v) Parte 1.5: Estruturas Laminares Planas (carregadas no seu prprio plano)(vi) Parte 1.6: Cascas
(vii) Parte 1.7: Estruturas Laminares Planas Carregadas Transversalmente
(viii) Parte 1.8: Ligaes
(ix) Parte 1.9: Fadiga
(x) Parte 1.10: Tenacidade
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(xi) Parte 1.11: Estruturas com Elementos Traccionados
(xii) Parte 1.12: Aos de Alta Resistncia.
(xiii) Parte 2: Pontes
(xiv) Parte 3: Torres, Mastros e Chamins(xv) Parte 4: Reservatrios, Silos e Condutas
(xvi) Parte 5: Estacas
(xvii)Parte 6: Estruturas de Aparelhos de Elevao
Nesta disciplina apenas se vo abordar disposies contidas nas Partes 1.1 (regras gerais e
regras para edifcios), 1.5 (estruturas laminares planas) e, eventualmente, 1.8 (ligaes).
Note-se que algumas das Partes referidas atrs no se encontram ainda traduzida em
portugus encontram-se em vrios estgios de evoluo (muito provavelmente,
algumas delas no chegaro msmo a ser traduzidas).
Apresentar-se-o ainda vrios anexos da Parte 1.1 da verso anterior do EC3 (ENV
estatuto de Pr-Norma Europeia), os quais deixaram de figurar na nova verso (EN).
Para alm destes apontamentos, fundamentais para o acompanhamento da primeira parte
desta disciplina (Estruturas Metlicas), referem-se ainda os livros (i) Estabilidade
Estrutural, de Antnio Reis e Dinar Camotim, (ii) Manual de Dimensionamento de
Estruturas Metlicas, de Rui Simes, e (iii) Manual de Dimensionamento de Estruturas
Metlicas: Mtodos Avanados, de Lus Simes da Silva e Helena Gervsio. Enquanto o
primeiro contm princpios fundamentais de estabilidade estrutural e mtodos de anlise
no-linear de estruturas (esbeltas), o segundo e terceiro abordam e ilustram a aplicao
das disposies das Partes 1.1 e 1.5 do EC3.
A restante bibliografia fornecida na disciplina tem um carcter mais abrangente e destina-
se a proporcionar conhecimentos fundamentais e/ou especializados sobre tpicos
relacionados com a anlise e o dimensionamento de estruturas metlicas (de ao).
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2. SISTEMATIZAO DAS DISPOSIES DO EC3RELATIVAS A PRTICOS PLANOS
A utilizao do EC3 para dimensionar e verificar a segurana de prticos planos envolve
o cumprimento sequencial de um certo nmero de etapas que no se encontram explicitae/ou adequadamente identificados no texto do EC3.
Identificam-se e descrevem-se sucintamente as vrias etapas, definidas de modo a
minimizar o (inevitvel) grau de interdependncia entre elas. Em seguida, trata-se cada
uma delas separadamente, introduzindo os conceitos fundamentais e ilustrando a aplicao
das respectivas disposies regulamentares.
Pode dizer-se que, para cada combinao de aces relevante, o Dimensionamento ea Verificao da Segurana (DVS) de um prtico plano envolve as seguintes etapas:
(I) Classificao do Prtico
- Necessidade de considerar efeitos de 2 ordem (equilbrio na configurao deformada
no linearidade geomtrica)
- Seco das barras (fenmenos de encurvadura local esbelteza das paredes)
Classe 1: Anlise plstica (com formao de rtula plstica)
Classe 2: Anlise plstica (sem formao de rtula plstica)
Classe 3: Anlise elstica (seco bruta)
Classe 4: Anlise elstica (seco efectiva enfraquecida)
Rigidez (anlise elstica)
- LigaesResistncia (anlise plstica)
(II) Considerao das Imperfeies
- Imperfeies Globais (do prtico)
- Imperfeies Locais (das barras)
- Foras Equivalentes s Imperfeies
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(III) Escolha do Mtodo de Anlise Global
- Anlise Elstica
Rgido-Plastica- Anlise Plstica Elstica-Perfeitamente Plstica (conceito de rtula plstica RP)
Elasto-Plstica (espalhamento)
(IV) Clculo dos Esforos de Dimensionamento
- Anlise de 1 ordem (geometricamente linear)
- Anlise de 2 ordem (geometricamente no-linear vrias possibilidades)
(V) Verificao da Estabilidade do Prtico
- Escolha e clculo dos comprimentos de encurvadura das barras comprimidas
(VI) Verificao da Segurana das Barras
- Tenses Directas (seces)
- Fenmenos de Instabilidade (barras e/ou troos livres de barra contraventamento)
-Outros Fenmenos
(VII) Verificao da Segurana das Ligaes
corte
Parafusos traco
corte + traco
Conjuntos de parafusos
- Ligaes soldadas tipos de cordes de soldadura
- Ligaes mistas parafusos + soldadura
(VIII) Verificao da Deformabilidade do Prtico
Deslocamentos
- Estados Limites de Utilizao (Servio)Vibraes
- Ligaes aparafusadas
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Para combinaes de aces que incluam uma aco ssmica, h ainda que satisfazer as
disposies relevantes do Eurocdigo 8 (EC8). Estas disposies sero abordadas na
disciplina de Dinmica e Engenharia Ssmica.
De uma maneira um pouco simplista, pode dizer-se que o processo de DVS de um
prtico plano pode subdividir-se nos seguintes grandes blocos:
Dados: Geometria + Aces
Esforos de Dimensionamento
Comprimentos de Encurvadura
VS das
Barra
VS das
Ligaes
Deformabilidade
(I) (V)
(VI) (VII)
Estados Limites ltimos (ELU)
Estados Limitesde Servio (ELS)(ou de Utilizao)
Inicialmente, aborda-se a Verificao da Segurana (VS) das barras, admitindo conhecidos
os valores dos esforos de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura.
Abordam-se em seguida os aspectos relacionados com a determinao dos esforos
de dimensionamento e dos comprimentos de encurvadura.
Finalmente, no caso de haver ainda tempo disponvel, apresentam-se alguns conceitos
relativos VS das ligaes.
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3. VERIFICAO DA SEGURANA DAS BARRAS
3.1 CLASSIFICAO DAS SECES TRANSVERSAIS
A geometria da seco transversal dos perfis , muitas vezes, condicionada pelos requisitosespecficos de uma determinada aplicao, o que faz com que existam seces com uma
enorme variedade de formas e dimenses (sobretudo no caso dos perfis enformados
a frio). A figura 3.1 mostra as geometrias das seces de alguns dos perfis de ao utilizados
com mais frequncia em estruturas de edifcios: seces em U, C, Z, hat, rack e I.
Figura 3.1 Geometria das seces dos erfis em U, C, Z, hat, rack e I
A classificao de uma seco est relacionada com a sua resistncia e capacidade de
rotao quando submetida a tenses normais. Essa classificao depende das dimenses e
da tenso de cedncia dos seus elementos (paredes) comprimidos, os quais podem ser
(i) interiores (ambas as extremidades apoiadas) ou (ii) salientes (uma extremidade
apoiada e a outra livre).
Elementos salientes
Elemento interior
Elemento interior
Figura 3.2 Defnio dos elementos (paredes) interiores e salientes de uma seco
Esta classificao destina-se a permitir avaliar a resistncia ltima e a capacidade de rotao
da seco, tomando em considerao a possibilidade da ocorrncia de fenmenos de
encurvadura local (das paredes da seco a abordar mais adiante).
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O EC3 considera 4 Classes de Seco, as quais se caracterizam em seguida (aprsenta-se a
exemplificao para o caso de uma seco a flexo pura)
4 3 2 1
(cr)EL
Encurvadura Local
(i) Classe 1 seces em que se pode atingir a resistncia plstica e, para alm disso,
existe capacidade de rotao suficiente para que se forme uma rtula plstica.
pl
Mpl
M
EL
pl
Mpl
M
EL
fy
fy
Mpl
(ii) Classe 2 seces em que se pode atingir resistncia plstica, mas sem ser possvel
garantir capacidade de rotao suficiente para que se forme uma rtula plstica
( necessrio efectuar a verificao, a qual depende da ordem de formao das rtulas
plsticas na estrutura m anlise).
fy
fy
Mpl
pl
Mpl
M
EL
pl
Mpl
M
EL
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(iii) Classe 3 seces onde se pode atingir apenas a resistncia elstica (tenso de
cedncia na fibra mais solicitada), em virtude de os fenmenos de encurvadura
local impedirem que se chegue resistncia plstica.
fy
fy
Mel
Mpl
M
ELMel
M
ELMel
el
(iv) Classe 4 seces onde a ocorrncia (prematura) de fenmenos de encurvadura local
faz com que no se atinja sequer a tenso de cedncia na fibra mais solicitada.
fy
max
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ANEXO: FENMENOS DE ENCURVADURA LOCAL
Os fenmenos de encurvadura local, de grande importncia no dimensionamento de
estruturas metlicas constitudas por perfis com paredes muito esbeltas (por exemplo, as
vigas de alma cheia ou os perfis enformados a frio), consistem na encurvadura das
paredes dos perfis, enquanto os respectivos eixos permanecem indeformados (rectos).
Deste modo, indispensvel utilizar conceitos de estabilidade de placas para efectuar a
verificao da segurana das barras em relao a estados limites ltimos que envolvam este
tipo de fenmenos de encurvadura.
A figura A.1 ilustra fenmenos de encurvadura local em barras de ao com seco em I.
Figura A.1 Fenmenos de encurvadura local em barras com seco em I.
A.1 PLACAS UNIFORMEMENTE COMPRIMIDAS E SIMPLESMENTE APOIADAS
A tenso crtica de bifurcao elstica de uma placa quadrada ideal (geometricamente
perfeita) simplesmente apoiada e uniformemente comprimida dada por
2
2
2
crb
t
v112
E4
=
)(
, (A.1)
onde (i) E o mdulo de elasticidade, (ii) v o coeficiente de Poisson e (iii) be tso a largura/comprimento e a espessura da placa. A bifurcao ocorre num modo
de instabilidade (ou encurvadura) caracterizado por uma semi-onda tanto na direco
longitudinal (a da compresso) como na direco transversal.
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/cr
1
b
b
b
b
Figura A.2 Bifurcao de equilbrio e modo de encurvadura de uma placa quadrada
ideal simplesmente apoiada e uniformemente comprimida
Em placas longas (a>>bem termos prticos, basta que se tenha a> 4b), como o caso
das paredes das barras metlicas com seco de parede fina, os valores de cr so(praticamente) independentes do comprimento da placa (a) e do grau de restrio
rotao dos bordos transversais (de comprimento b). Esta caracterstica deve-se ao facto
de o modo de encurvadura da placa envolver uma combinao de (i) vrias semi-ondas
longitudinais, de comprimento igual sua largura, com (ii) uma nica semi-onda
transversal. Deste modo, pode dizer-se que uma placa longa se comporta como um
conjunto de placas quadradas ligadas entre si, conforme mostra a figura A.3, o que quer
dizer que os resultados relativos a placas quadradas so tambm vlidos para placas longas.
a >>b
b
b
b
b
b b
b b bb
Placa quadrada Placa longa
Figura A.3 Modo de encurvadura de uma placa quadrada e uma placa longa
A ttulo de exemplo, a figura A.4 mostra dois elementos estruturais constitudos por
placas longas e submetidos a compresso: (i) uma coluna tubular e (ii) um painel reforado.
Em ambos os casos, podem obter-se estimativas (em geral, conservativas) da tenso crtica
das placas/paredes atravs de (A.1), pois so placas longas cujos bordos longitudinais se
admitem (conservativamente) como simplesmente apoiados (i.e., sem restrio rotao).
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(a) (b)
Figura A.4 Elementos estruturais constitudos por placas longas: (a) coluna tubular e
(b) painel reforado.
As placas comprimidas tm, em regime elstico, um comportamento de ps-encurvadura
(trajectria de equilbrio) estvel caracterizado por uma elevada resistncia ps-crtica (ou
resistncia de ps-encurvadura). Isto significa que, mesmo aps ocorrer a encurvadura
(bifurcao), a placa pode ainda suportar um aumento de carga considervel sem apresentar
deslocamentos significativos. O comportamento de ps-encurvadura de uma placa
(quadrada ou longa) comprimida ideal (sem imperfeies geomtricas) definido por
2
2
cr tqv1
831
+= )(
, (A.2)
onde a tenso aplicada e qo deslocamento transversal mximo por ela provocado.
A trajectria de ps-encurvadura da placa est representada na figura A.5, onde se mostra
tambm as distribuies das tenses de compresso na placa antes e depois da bifurcao.
Observa-se que as tenses permanecem uniformes at bifurcao, passando a exibir um
andamento no linear aps essa occorrncia d-se uma redistribuio das tenses normais
longitudinais, caracterizada por uma transferncia da zona central (mais flexvel ou
fraca) para a vizinhana dos bordos longitudinais (zona mais rgida ou forte). Por outro
lado, a figura A.6 mostra as distribuies das tenses normais longitudinais (x) e
transversais (y) instaladas na placa na fase de ps-encurvadura. Para alm da redistribuio
de x, j referida, desenvolvem-se tambm tenses transversais de traco na zona central
da placa, as quais tm um papel crucial na resistncia de ps-encurvadura (a traco
transversal aumenta a rigidez de flexo da zona central da placa analogia com um cabo).
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/ cr
cr
Figura A.5 Distribuies das tenses de compresso na placa antes e depois da bifurcao
Figura A.6 Distribuio de tenses, na fase de ps-encurvadura, de uma placa quadrada
A figura A.7 compara qualitativamente as trajectrias de equilbrio de colunas e placasideais comprimidas. Observa-se que a resistncia de ps-encurvadura das placas
muito superior das colunas (quase desprezvel), o que justifica a diferena entre os
mtodos de dimensionamento destes dois elementos estruturais. Enquanto aceitvel
/cr
1
Trajectria
Fundamental
Trajectrias de
Ps-encurvadura
Bifurcao
q/t
Coluna
Placa
Figura A.7 Trajectrias de equilbrio de placas e colunas uniformemente comprimidas
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admitir que cr a mxima tenso (carga) que as colunas podem suportar, essa hiptese
claramente demasiado (excessivamente) conservativa no caso das placas.
Pe-se ento a seguinte questo, de grande importncia para o dimensionamento de estruturas
metlicas constitudas por perfis de parede fina: qual o valor da tenso (carga), j em fase
de ps-encurvadura, que corresponde ao estado limite ltimo da placa (colapso iminente)?
Na grande maioria dos regulamentos de estruturas metlicas, a resposta a esta questo
envolve o conceito de largura efectiva.
A.1.1 CONCEITO DE LARGURA EFECTIVA
A resposta mais lgica questo colocada no ponto anterior consiste em admitir que o
estado limite ltimo da placa corresponde a atingir-se a tenso de cedncia (fy) nafibra mais solicitada. Esta situao est representada na figura A.8. Note-se que, ao admitir
esta hiptese se est a desprezar a reserva de resistncia elasto-plstica da placa (o
colapso d-se quando se atinge um ponto limite da trajectria). Esta resistncia adicional, de
difcil determinao ( necessrio um mtodo numrico que contabilize o espalhamento da
plasticidade), pequena e pode ser encarada como um factor de segurana a figura A.8
ilustra este facto.
max = fymax = fy
ColapsoReserva de resistnciaelasto-plstica
Figura A.8 Estado ltimo (cedncia da fibra mais solicitada) e colapso da placa quadrada
Subsiste a (muito importante) questo de saber para que carga (isto , em que ponto da
trajectria de ps-encurvadura) se tem max=fy. Para resolver este problema, von Karman
sugeriu uma metodologia aproximada baseada nas seguintes duas ideias fundamentais (uma
delas uma hiptese simplificativa que foi posteriormente validada experimentalmente):
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IDEIA1: Substituir a seco bruta com uma distribuio de tenses varivel por uma
seco efectiva submetida a uma distribuio de tenses uniforme (ambas estaticamente
equivalentes ao esforo de compresso actuante) a seco efectiva obtm-se removendo
material da zona central da placa (a zona mais fraca). No estado limite ltimo daplaca, o valore do esforo normal (Nu) ento dado por
b
b /2e
b /2e
fy fyfy fy
u
b
0u tbdytyN == )( (seco bruta) yeu ftbN = (seco efectiva)
onde u a tenso mdia da placa no estado limite ltimo (ou colapso). Igualando as
duas expresses, obtm-se
ye
u fb
b=
expresso que relaciona a tenso mdia no colapso com a largura efectiva.
DIFICULDADE: Para determinar o valor de be necessrio conhecer a distribuio de
tenses instalada na placa ( )(y ), no estado ltimo da placa (max=fy). Por outras palavras,
apenas se substituiu o conceito de ps-encurvadura pelo conceito de largura efectiva,
mas sem dimnuir a complexidade do problema a resolver. Para simplificar o problema,
indispensvel a segunda ideia que se apresenta a seguir. Antes disso, apresenta-se na
figura A.9, a ttulo ilustrativo, a variao exacta da largura efectiva com a tenso aplicada
(m a tenso mdia actuante na placa).
1 m/cr
1
0.5
be/b
Figura A.9 Variao da largura efectiva com a tenso actuante (placa simplesmente apoiada)
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IDEIA2(Hiptese Simplificativa): Na placa com a seco efectiva a encurvadura ocorre
precisamente quando se atinge a tenso de cedncia, isto , tem-se cre=fy. Logo, vem
2
2
2
cr b
t
v112
E
4
= )(
(placa real)
2
e
2
2
creb
t
v112
E4
=
)(
(placa efectiva fictcia)
Utilizando agora a hiptese simplificativa , tem-se
y
2
e
cr
2
e
2
2
cre fb
b
b
t
v112
E4 =
=
=
)(
y
cre
fb
b = (mas sempre < 1)
Finalmente, utilizando a relao da pgina anterior, vem
ycrye
u ffb
b ==
expresso que permite determinar (aproximadamente) a tenso mdia no colapso a partir
de duas quantidades fceis de calcular deste modo, evita-se a necessidade de
conhecer o comportamento de ps-encurvadura da placa.
A.2 PLACAS SUBMETIDAS A OUTRAS DISTRIBUIES DE TENSES
No caso de placas submetidas a outras distribuies de tenses, definidas por um
parmetro =1/2, onde 1 a mxima tenso de compresso e 2 a tenso actuante na
outra extremidade da placa, necessrio introduzir, na expresso que fornece u , o
valor correcto de cr, o qual dado pela expresso genrica
1 1
1(>0) (
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onde k um coeficiente de encurvadura que depende da distribuio das tenses actuantes
e pode ser encontrado na literatura (por exemplo, nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5). A ttulo
ilustrativo, refira-se que (i) k=4.0 para a compresso pura (=1 problema estudado) e
(ii) k=23.9para a flexo pura (=
1
).
A.3 PLACAS COM OUTRAS CONDIES DE FRONTEIRA
A expresso (A.3) tambm se aplica a placas com outras condies de fronteira (apoio)
vlida para placas com combinaes arbitrrias de distribuies de tenses actuantes
e condies de apoio. Os valores de k podem ser encontrados na literatura,
nomeadamente nas tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 (para duas condies de apoio: (i) quatro
bordos simplesmente apoiados e (ii) trs bordos simplesmente apoiados e um bordo
livre). A tabela A.1 ilustra alguns valores de coeficientes de encurvadura.
Condies de Fronteira CargaCoeficiente de
encurvadura (k)
CompressoUniforme
4.0
CompressoUniforme
0.43
Flexo Pura 23.9
Tabela A.1 Valores de k
A.4 ESBELTEZA NORMALIZADA DE PLACA LARGURA EFECTIVA
Tal como as restantes esbeltezas normalizadas (de coluna, de viga, etc.), a esbelteza
normalizada de (uma) placa, definida como
cr
y
p
f
=
uma grandeza que traduz a importncia relativa da plasticidade e da instabilidade no
colapso da placa. Assim, enquanto (i) valores baixos e elevados de p (em relao a 1.0)
indicam colapsos governados pela plasticidade e pela instabilidade, respectivamente, (ii) um
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valor de p prximo de 1.0significa que ambos os fenmenos tm uma influncia
significativa no colapso da placa.
No caso de uma placa constituda por uma ao com E=210 GPa (103N/mm2), tomando
em considerao (A.3) e fazendo [ ] 50y MPaf235.)(/= , o valor de p dado por
k428
tbp
.
/=
expresso que figura no EC3 e a partir da qual se obtm directamente o valor da
largura efectiva da placa no seu estado limite ltimo (be).
Tem-se ento que bbe = , onde um coeficiente (ou factor) de reduo. Pode
mostrar-se que este coefciente de reduo relaciona tambm os valores deNu(esforo
normal ltimo) eNpl(esforo normal de plastificao ou resistncia plstica). De facto,
plye
yeu Nftbb
bftbN ===
Com base neste conceito, von Karman props a seguinte frmula para determinar a
resistncia tima de uma placa (a qual corresponde curva da figura abaixo)
=
=
1se1
1se1
p
p
p
1
p
1
fyfy
cr
cr
1/p
Note-se que os dois troos da curva correspondem ao colapso de placas em que se tem
(i) cr>fy(troo horizontal) e (ii) (i) fy>cr(troo horizontal) expresso que figura
no EC3 e a partir da qual se obtm directamente o valor da largura efectiva da placa
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no seu estado limite ltimo (be). Para alm disso, importante realar a semelhana
formal entre a frmula de von Karman e a expresso da curva de dimensionamento
de colunas perfeitas, estudada na disciplina de Estruturas Metlicas. A nica (e muito
importante) diferena reside na troca de
2
1 / (colunas) por p1 / (placas), o quetraduz o facto de o dimensionamento de colunas no contabilizar qualquer resistncia
de ps-encurvadura (a curva de colunas fica abaixo da de placas ver a figura A.11).
A.5 PLACAS REAIS(COM IMPERFEIES)
No caso das placas reais, as quais possuem imperfeies geomtricas (sobretudo) e
tenses residuais, deixa de ocorrer bifurcao de equilbrio. O conjunto trajectria
fundamental + trajectria de ps-encuvadura das placas ideais substudo por uma
trajectria de equilbrio no linear, qual esto associados deslocamentos de flexodesde o incio do carregamento, conforme mostra a figura A.10.
Como, para um determinado nvel de carregamento, existem maiores deslocamentos na
placa real que na placa ideal, o correspondente estado limite ltimo atingido
para uma carga mais baixa ver a figura A.10.
Placa real
Placa ideal
max= fy
q
cr
Figura A.10 Trajectrias de equilbrio e estados limites ltimos das placas ideais e reais
Para contabilizar a diminuio da carga ltima, devido presena das imperfeiesgeomtricas e das tenses residuais, Winter props, com base num elevado nmero de
resultados experimentais, a substituio (modificao) da frmula de von Karman por
=
=
6730se220
6730se1
p2
p
p
p
..
.
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
22
expresso que ainda hoje figura em vrios regulamentos, nomedamente no EC3. Deve
referir-se, no entanto, que os valores do coeficiente 0.22e da esbelteza limite 0.673
tm sofrido variaes resultantes de estudos mais recentes (a ttulo de curiosidade,
interessante mencionar que Winter props originalmente o valor 0.25para o coeficiente).
Finalmente, a figura A.11 mostra uma comparao entre as curvas de dimensionamento (i)
de von Karman, (ii) de Winter e (iii) baseada na carga crtica de bifurcao (semelhante
curva de dimensionamento de colunas). interessante observar que, para valores de p
superiores a cerca de 1.3, a curva de Winter (placas reais) passa a estar acima da
curva baseada na tenso crtica de bifurcao (placas ideais ), facto que reflecte a
contabilizao da resistncia de ps-encurvadura (note que a diferena aumenta com p ).
Figura A.11 Comparao entre curvas de dimensionamento de von Karman, de Winter e
baseada na tenso crtica de bifurcao.
-
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23
3.2 DETERMINAO DA CLASSE DE UMA SECO
A determinao da classe de uma seco faz-se classificando os seus elementos (paredes)
comprimidos, atravs das Tabelas 5.2 do EC3-1-1 (ver figs. 3.2 a 3.4) e com base
nos diagramas das tenses actuantes.
A classificao faz-se com base na esbelteza dos elementos b/t, envolve o parmetro
yf235/= e o coeficiente de encurvadura k. Depende ainda do tipo de elemento, o
qual pode ser interior (tratado como simplesmente apoiado) ou saliente (tratado como
apoiado-livre).
Os valores limites de esbelteza dos elementos comprimidos so fixados com base em
anlises estatsticas de resultados experimentais e/ou numricos, os quais contabilizam a
influncia de imperfeies geomtricas iniciais, tenses residuais, etc.
A classe de uma seco maior das classes dos seus elementos comprimidos.
A classe de uma barra maior das classes das suas seces.
A classe de uma seco depende (i) dos esforos que nela actuam, no estado limite ltimo,
e (ii) do ao que a constitui (ver tabelas).
A determinao da classe de uma seco submetida a flexo composta no imediata
conservativamente, pode sempre considerar-se o caso da compresso pura.
Um grande nmero de perfis laminados correntes (formados por aos de resistncia
normal) so de classe 1 ou 2 para qualquer solicitao (e.g., ver a tabela da fig. 3.5).
Os perfis soldados e as chapas utilizadas na construo mista tm frequentemente seces
de classe 3 ou 4.
-
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Figura 3.2
-
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Figura 3.3
-
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Figura 3.4
-
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Figura 3.5
-
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EXEMPLO ILUSTRATIVO
IPE 550
Ao S235 (fy=235 MPa= 235N/mm2) =1
reaA=13440 mm2d=468mm
b=210mm
ft =17.2mm
t =11.1mmw
Classificar a seco representada, quando submetida a flexo em torno do eixo de maior
inrcia composta com compresso de valorNEd=1300kN(Caso I) ouNEd=750kN(Caso II)
RESOLUO
Classificao do Banzo Comprimido
Compresso uniforme
45992
111210
2
tbc w .
.=
=
= (desprezando os raios de concordncia)
99785217
4599
t
c
f === ..
Alma de classe 4 compresso pura (classificao conservativa)
Nada se pode concluir
(i) Determinao da classe da seco paraNEd=1300kN(Caso I)
Hiptese 1:Distribuio plstica de tenses no estado limite ltimo da seco(classe 1 ou 2)
- Clculo do esforo normal de plastificao da alma
-
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kN122110235111468fdtN 3
ywwpl === .,
ComoNpl,w=1221kN =
= .
)..(
)..(
36671410330670
42
330670
42242
t
c
ww
......
. =
=+
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
30
ComoNpl,w=1221kN>NEd=750kN,a linha neutra plstica cruza a alma, como mostra a figura
3.18. Assim, o primeiro passo consiste em determinar a zona plastificada da alma devido ao
esforo normal, i.e.,
ywNEd ftcN = mm52287235111
10750c
3
N .. =
=
mm763772
52287468
2
c
2
cc N .
.=
+=+=
Deste modo, o valor do parmetro (relao entre a altura da zona comprimida da alma e a
altura total da alma) dado por
508070468
76377 ... >==
Tem-se, ento,
7411807013
396
113
396242
t
c
w
..
. =
=
>=
05481807013
456
113
456242
t
c
w
..
. =
=
-
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3.3 RESISTNCIA A TENSES DIRECTAS
3.3.1TENSES NORMAIS(NEd + My,Ed+ Mz,Ed)
Seces de Classe 1 e 2
- Resistncia Plstica
- Critrios (diagramas) de interaco no lineares
Resistncia plstica (a forma do diagramavaria de seco para seco)
Resistncia plstica (aproximaolinear conservativa)
Resistncia elstica
1
1
M/Mpl
N/Npl
Figura 3.7 Critrios (diagramas) de interaco no lineares
No caso mais geral (comportamento tridimensional), existem N+My+Mz. habitual serem
desenvolvidos critrios de interaco planos MN,y MN,z, em que a presena do esforonormal j est embebida nos valores de MN,ye MN,z. Em alternativa, pode utilizar-se um
critrio (diagrama) de interaco espacial (tridimensional).
Seces de Classe 3
- Resistncia Elstica
- Critrios (diagramas) de interaco lineares equivalente a
ydEdx f, , (3.10)
onde 0Myyd ff /= e 0M o coeficiente parcial de segurana (para o qual o EC3-1-1
prope o valor 1.0).
-
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1
1
M/Mel
N/Nel
Figura 3.8 Critrio de interaco linear
Seces de Classe 4
- Resistncia Elstica da seco efectiva
Critrios que envolvem seces efectivas correspondentes actuao individual de
cada um dos esforos actuantes (NEd,My,Ed,Mz,Ed)
Equivalncia a
ydEdx f, 0Myyd ff /= , (3.11)
na reunio das seces efectivas.
J se estudaram, na disciplina de Estruturas Metlicas, as VS das seces de Classe 1 e 2.
A VS das seces de Classe 3 envolve apenas a resistncia elstica e resume-se a um
simples problema de Resistncia de Materiais.
A VS das seces de Classe 4 qualitativamente semelhante das seces de Classe 3,
mas requer o conhecimento prvio das caractersticas geomtricas da(s) seco (es)efectivas envolvidas propriedades efectivas.
EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECO DE CLASSE 2)
Verificar a segurana da seco
-
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d=hw=249.6mm A=45.94cm2
tw=6.6mm Wpl.y=484cm3
b=135mm Wpl.z=96.95cm3
tf=10.2mm
de ao S235 (fy=235MPa), sujeita aos esforosNEd=580kN,My,Ed=25.5 kNmeMz,Ed=16.4 kNm
RESOLUO
Necessidade de contabilizar a reduo deMpl.y,Rddevida aNEd EC3-1-1 (6.2.9.1)
kN59107901
102354594AfN
3
0M
y
Rdpl .., =
==
NEd=580kN>0.25Npl,Rd=270kN
kN56193101
23566624950
fth50N50kN580N
3
0M
yww
RdwplEd ...... ,, ===>=
necessrio reduzirMpl.y,Rd(bastava uma das condies)
Necessidade de contabilizar a reduo deMpl.z,Rddevida aNEd EC3-1-1 (6.2.9.1)
kN12387101
235666249
fthNkN580N
3
0M
yww
RdwplEd ...,, ===>=
necessrio reduzirMpl.z,Rd
Como a seco est submetida a flexo desviada, adopta-se o critrio
1M
M
M
M
RdzN
Edz
RdyN
Edy
+
,,
,
,,
,
onde (i) MN,y,Rde MN,z,Rdso momentos plsticos reduzidos pela presena de NEd e (ii)e so constantes que dependem do tipo da seco
Seco em I: 1masn5;2 ==
5370591079
580
N
Nn
Rdpl
Ed ..,
=== =2.685 > 1.0
IPE 270
-
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).(
)(,,,,
a501
n1MM RdyplRdyN
=
kNm74113
01
1023510484fWM
63
0M
yypl
Rdypl .
.
,,, =
=
=
{ } 40104010509445
0215132944550
A
bt2A50a f ..,.min
.
...,.min,.min ==
=
=
)(.)..(
).(. ,,, EdyRdyN MkNm8765
4010501
5370174113M >=
=
n a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd
n>a: MN,z,Rd=Mpl,z,Rd
2
a1
an1
n=0.537 e a=0.401 n>a
kNm782201
10235109596fWM
63
0M
yzpl
Rdzpl ...,
,, =
=
=
)(.
.
..,,,,, Edz
2
RdzplRdzN MkNm6121
40101
401053701MM >=
=
Finalmente, tem-se
1M
M
M
M
RdzN
Edz
RdyN
Edy
+
,,
,
,,
, 1627047701506121
416
8765
225 68522
=++=++=++ .....
.
.
.
.,,
,
,,
,
,
A segurana da seco no seria verificada (o critrio linear muito conservativo)
-
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3.3.1.1SECES DE CLASSE 4
A VS das seces de Classe 4 requer, no caso mais geral, o conhecimento dos valores
das seguintes caractersticas geomtricas:
(i) rea EfectivaAeff
(ii) Excentricidades eNye eNz(afastamento em relao ao eixo nova posio de G)
(iii) Mdulo de flexo efectiva Weff,y,min(fibra com tenso mxima)
(iv) Mdulo de flexo efectiva Weff,z,min(fibra com tenso mxima)
Os valores deAeff, eNye eNzso determinados numa seco efectiva obtida admitindo
que na seco bruta actua apenas Nc,Ed(esforo nomal de compresso)
O valor de Weff,y,min determinado numa seco efectiva obtida admitindo que na seco
bruta actua apenas My,Ed.
O valor de Weff,z,min determinado numa seco efectiva obtida admitindo que na seco
bruta actua apenas Mz,Ed.
Deste modo, constata-se que, no caso mais eral, existem trs seces efectivas diferentes.A figura 3.9 ilustra as seces efectivas de uma seco em I com banzos iguais.
Figura 3.9 Tipos de seces efectivas numa seco em I
Em seces bissimtricas e monossimtricas tem-se eNy=eNz=0e eNy=0ou eNz=0.
-
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3.3.1.1.1DETERMINAO DE UMA SECO EFECTIVA
Passos
(i) Determinar os valores de (os quais definem o diagrama das tenses actuantes) noselementos (paredes) comprimidos paralelos ao eixo de flexo, com base nos valores dos
esforos actuantes e nas propriedades da seco bruta.
(ii) Determinar os valores e a localizao das larguras efectivas nos elementos comprimidos
paralelos ao eixo de flexo, atravs do seguinte procedimento:
(a) A partir do valor de , determinar o coeficiente de encurvadura k, atravs das
tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5.
(b) A partir do valore de k, determinar a esbelteza normalizadas de placa p ,
atravs da expresso
k428
tbf
cr
y
p.
/== . (3.12)
(c) A partir dos valores de p e ,determinar o factor de reduo , atravs de expresses
que dependem de o elemento ser interno ou saliente:
- Elementos Internos
=1.0 para 6730p .
2
p
p 30550
)(. += 1.0 para 6730p .> [com 03 + )( )]
- Elementos Salientes
=1.0 para 7480p .
2
p
p 1880
.= 1.0 para 7480p .>
-
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-
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(d) Uma vez conhecido o valor de,determinar os valores das larguras efectivas (bc,eff) dos
elementos comprimidos atravs das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5 a partir dos
valores de bc,eff, imediato obter as respectivas reas efectivas (Ac,eff).
(e) Se for necessrio (i.e., se a largura efectiva no for contnua), determinar, a partir
de bc,eff, as parcelas que constituem a largura efectiva do elemento comprimido
(be1e be2), tambm atravs das tabelas 4.1 e 4.2 do EC3-1-5.
(iii) Determinar os valores de nos elementos (paredes) comprimidos perpendiculares ao
eixo de flexo, com base nos valores dos esforos actuantes e nas propriedades de uma
seco fictcia, constituda pelas respectivas reas brutas e pelas reas efectivas
dos elementos paralelos ao eixo de flexo (j determinadas em (ii)).
(iv) Determinar os valores e a localizao das larguras efectivas nos elementos comprimidos
perpendiculaes ao eixo de flexo, atravs do procedimento descrito em (ii).
(v) Determinar a(s) propriedade(s) efectiva(s) relevante(s).
NOTA: No caso de uma seco submetida a compresso pura, tem-se sempre =1.
3.3.1.1.2VERIFICAO DA SEGURANA
Flexo desviada composta com traco
0M
y
yd
zeff
Edz
yeff
EdyEd f
fW
M
W
M
A
N
=++
min,,
,
min,,
, . (3.13)
Flexo desviada composta com compresso
0M
y
yd
zeff
NzEdEdz
yeff
NyEdEdy
eff
Ed f
f
W
eNM
W
eNM
A
N
=+
++
+min,,
,
min,,
, . (3.14)
OBSERVAES
(i) A aplicao das equaes de interaco faz-se para a fibra mais solicitada pertencente
reunio de todas (no mximo trs) seces efectivas. Os valores de Weff,y,mine
Weff,z,mindizem respeito a essa fibra.
-
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(ii) No caso de a fibra mais solicitada no pertencer a alguma das seces efectivas, o
valor da parcela associada ao esforo correspondente ser nulo.
(iii) Os sinais das parcelas dependem da combinao de compresses e traces, a qual
varia de caso para caso. No podem somar-se compresses e traces e
conveniente adoptar a conveno de atribuir sinal positivo tenso dominante
(compresso ou traco).
EXEMPLO ILUSTRATIVO
Verificar a segurana da seco
10
400
6
10
800
300
y
zG
(mm)z
zG=444.32mm(medido a partir da base)
formada por trs chapas de ao S355 (fy=355MPa) soldadas entre si (cordes de soldadura de
largura a=6mm), sujeita aos esforosNEd=390kN(compresso ou traco) eMy,Ed=630 kNm
(momento flector positivo)
RESOLUO
- 8140355
235
f
235
y
.===
- rea: 2mm11800680010300400A =++= )(
- Cordes de soldadura: a=6mm mm49826a .==
a
a
6 mm
-
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(I) Determinao deAeffe eNy(NEd)
Seco Efectiva do Banzo Superior
mm51188249826400c ./).( ==
=1.0(banzo uniformemente comprimido) k=0.43
k=0.43 748024414308140428
1051188
K428
tc fp ..
...
)/.(
.
/>=
==
68201880
2
p
p ..
=
=
mm56128511886820cb effc ..., ===
mm128049826561282a2tb2b weffcbanzoe ...)( ,sup. =++=++=
Seco Efectiva do Banzo Inferior
mm51138249826300c ./).( ==
=1.0(banzo uniformemente comprimido) k=0.43
k=0.43 ( )
748091404308140428
1051138
K428
tc fp ..
...
)/.(
.
/>=
==
86901880
2
p
p ..
=
=
mm37120511388690cb effc ..., ===
mm7226349826371202b banzoe ...)( inf. =++=
Seco Efectiva da Alma
mm027834982800b .).( ==
=1.0(alma uniformemente comprimida) k=4.0
-
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k=4.0 ( )
6730823248140428
602783
K428
tb wp ..
..
)/.(
.
/>=
==
32708232
130550823230550
22p
p ..
)(..)(.=
+=
+=
mm05256027833270bb effc ..., ===
mm03128b50bb effc2e1e .. , ===
mm5213649803128b almae ...)( =+= (junto de cada banzo)
A figura abaixo mostra a seco efectiva determinadas.
136.52
136.52
263.72
Clculo da rea efectiva (Aeff) e da excentricidade (eNy)
2
eff mm447076652136210722631280A .).()..( =++=
mm37419447076
67474152136267852136105722638151280z effG ..
)....()..()( =
+++=
mm95243741932444eNy ... == ()
(II) Determinao de Weff,y,min(My,Ed)
Seco Efectiva do Banzo Superior
mm128049826561282b be ...)( sup. =++= (idntico ao caso anterior)
-
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Seco Efectiva da Alma
- Clculo de na alma
280.1
1
= 2 1 2mm106016800103001280A =++= ).(
mm4040210601
41068001053008151280zG .
).(=
++=
962040402498810
4981040402.
..
)..(=
=
- Clculo dena alma
9620.= 9122789296817k 2
.... =+= (Tabela 4.1 do EC3-1-5)
9122k .= ( )
6730179191228140428
602783
K428
tb wp ..
...
)/.(
.
/>=
==
76801791
96203055017913055022
p
p ..
).(..)(.=
=
+=
- Clculo de bc e das parcelas be1e be2
mm0939996201
02783
1
bbc ..
.=
+=
=
-
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mm50306093997680bb ceff ... ===
mm61225030640b40b eff1e .... ===
mm91835030660b60b eff2e .... ===
mm091314986122abb 1ealmae ...)( sup, =+=+=
mm3257649809399027839183abbb t2ealmae ..)..(.)( inf, =++=++=
A figura abaixo mostra a seco efectiva determinada.
280.1
131.09
576.32
300
Clculo do Mdulo de Flexo Efectivo (Weff,y,min)
)basedapartiramedido(.
)(
mm67389
6131.09)(576.3210280.1)(300
65.55)-(8106131.06298.166576.3210815)280.15(300z effG
=
=+++
+++=
4
22
22
3333
effy
mm1175472955
6738955658106091311629867389632576
6738981510128038410300
12
091316
12
325766
12
101280
12
10300I
=
=++
+++
+
+
+
+
=
)..(.)..(.
).(.
...)(
3effy
yeff mm72273156167389820
IW .
).(
)()( supmin,, =
=
3effy
yeff mm714301658567389
IW .
).(
)()( infmin,, ==
-
8/10/2019 Apontamentos de Estruturas Metlicas
48/207
Estruturas Metlicas (de Ao)
46
(III) Verificao da Segurana
MPa35501
355ff
0M
y
yd === .
NEd=390kN (Compresso)
- Fibras superiores
01815066001550
355722731561
95241039010630
355447076
10390
fW
eNM
fA
N 363
ydyeff
NyEdEdy
ydeff
Ed
....
.
.
.)( supmin,,
,
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
47
L=2.60m
p
b/2 b/2bc c
a
t
a = 150.0mm b = 60.5mm h = 54.0 mmc = 14.5mm t = 1.0mm
h
H
Seco Transversal
Beto
H = 120mm
y yGZ
Figura 3.10 Geometria, dimenses e aces da chapa de pavimento misto
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
48
RESOLUO
(I) Dados
- Chapa de pavimento: HI Bond 55 comfy=320MPa
8570320
235.==
- Valor do momento actuante mximo
mmkN4382250925010898312p 3 //.)...( =+= (carga uniformemente distribuda)
Chapa Beto
Coeficiente de majorao
mkNm0938
62438251M
2
Edy /...
., =
= (momento mximo meio vo)
(II) Caractersticas Geomtricas da Seco Bruta
- rea
..
031554
514arctg == mm91.55
03.15cos54
= (comprimento das paredes inclinadas)
2
mm83232019155256025302A ..)...( =+= (clula com 150mmde largura)
mmm21552m150
83232A
2/.)(.
.== (rea por metrode largura)
- Centro de gravidade
zG=27mm(a partir da linha mdia)
- Momento de inrcia:
Ia=Ib cos2+ Ic sen
2 aa
bc
c
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
49
[ ] )clulapor(....
).(..
).(cos..
....
4
23
23
23
y
mm291153893130791358420888219
0315sen12
019155
031512
01915522701560
12
015602I
=++=
=
+
+
+
+
=
mmm9769261150
29115389I
4
y /..
.==
(II) Determinao de Weff,y,min(My,Ed)
Seco Efectiva do Banzo Superior
mm559502560c ... ==
=1.0(banzo uniformemente comprimido) k=4.0
k=4.0 67302221048570428
01559
K428
tc fp ..
...
)./.(
.
/>=
==
67102221
13055017913055022
p
p ..
)(..)(.=
+=
+=
mm92395596710cb effc ..., ===
mm9619923950b50bb effc2e1e .... , ====
be1
be2e1b = = 19.96mm
e1b
Seco Efectiva das Almas
- Clculo de nas almas
[ ] )clulapor(..)..(.. 2mm24213010192399155225302A =+++=
)secodabasedapartiramedido(..
.)..(......
mm0225
24213
5540192395270191552500125302zG
=
=+++
=
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
50
800022454
0224
1
2 .).(
.=
==
- Clculo de bce das parcelas be1e be2
8290.= 1219789296817k 2 .... =+= (Tabela 4.1 do EC3-1-5)
mm91545029155b ... ==
7519k .= ( )
6730516012198570428
019154
K428
tb wp ..
...
)./.(
.
/
-
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53/207
Estruturas Metlicas (de Ao)
51
O valor de clculo do esforo transverso VEddeve satisfazer a condio
01V
V
Rdc
Ed .,
, (3.15)
onde Vc,Rd o valor de clculo da resistncia da seco ao esforo transverso. No
caso do dimensionamento plstico, Vc,Rd igual a Vpl,Rd(valor de clculo da resistncia
plstica), dado por
0M
yv
RdplRdc
3fAVV
)/(,, == , (3.16)
ondeAv a rea de corte da seco, a qual depende da sua geometria e do sentido de
actuao esforo transverso.
O dimensionamento elstico conservativo e, por esse motivo, s se adopta quando tal
indispensvel, nomeadamente na verificao da segurana de seces de Classe 3 ou 4
submetidas a combinaes de esforo transverso, momento flector e/ou momento torsor.
O valor de Vc,Rd=Vel,Rdobtm-se a partir da condio
0,1)3(f 0MyEd
, (3.17)
onde Ed determinado atravs de expresso (j conhecida da Resistncia de Materiais)
tI
SVEdEd= . (3.18)
Em seces em I ou H em que a relao entreAf(rea de um banzo)Aw(rea da alma)
satisfaz a condio 60AA wf ./ , a tenso tangencial na alma (provocada por um esforotransverso paralelo a ela) pode ser determinada, aproximadamente, atravs da expresso
w
EdEd A
V= . (3.20)
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
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-
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53
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
54
3.3.3TENSES NORMAIS (NEd + My,Ed + VY,Ed) +TENSES TANGENCIAIS (VZ,Ed + VY,Ed)
O EC3 estipula que, no caso de se ter RdplEd V50V .. (o esforo transverso actuante no
excede 50%da resistncia plstica da seco ao corte), a influncia do esforo transverso
pode ser desprezada e a resistncia da seco condicionada unicamente pelas tenses
normais (situao j abordada na seco 3.3.1).
Se RdzplEdz V50V ,,, .> e/ou RdyplEdy V50V ,,, .> o EC3 preconiza que a influncia do esforo
transverso (i) tem que ser considerada e (ii) pode ser traduzida por uma reduo da tenso
de cedncia do ao na(s) respectiva(s) rea(s) de corte Av,ze/ouAv,y. Essa reduo da
tenso de cedncia definida por:
Av,z: fy(1-z)fy com
2
Rdzpl
Edz
z 1V
V2
=,,
, (3.21)
Av,y: fy(1-y)fy com
2
Rdypl
Edy
y 1V
V2
=
,,
, . (3.22)
Verifica-se ento a resistncia s tenses normais de uma seco transversal enfraquecida
(pela reduo da tenso de cedncia) em uma ou em ambas as reas de corte.
Observe-se que a reduo da tenso de cedncia pode fazer baixar a classe da seco.
Para alm disso, nas seces de Classe 4 (sem e com reduo defy), a presena de esforo
transverso superior a 50%da resistncia plstica da seco influencia as propriedades
efectivas (aproxima-as das propriedades brutas).
No caso de seces de Classe 3 ou 4, as quais apenas podem atingir uma resistncia
elstica, pode adoptar-se um procedimento alternativo: verificar a resistncia da seco
atravs do bem conhecido critrio de von-Mises, cuja expesso
0M
y
yd
2
Ed
2
EdEdcomp
ff3
=+=, . (3.23)
No caso das seces de Classe 4, o valor de Ed nula nas zonas no efectivas da seco.
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
55
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
56
EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECO DE CLASSE 1)
Verificar a segurana da seco de um perfil IPE270 de ao Ao S235 (fy=fyd=235MPa)cujas caracteristicas geomtricas so
A=45.95cm2 hw=249.6mm tw=6.6mm Wpl,y=484cm
3 Av,z=22.14cm3,
a qual se encontra submetida combinao de esforos My,Ed=105 kNm e
Vz,Ed=210kN, a qual ocorre tipicamente em apoios intermdios de vigas contnuas.
RESOLUO
)(..
)/.(.)/(,
,,, Edz
0M
yzv
Rdzpl VkN430001
352314223fAV >=
==
kN2150V50kN210V RdzplEdz .. ,,, =>=
necessrio considerar a interaco entre tenses normais e tangenciais
No caso das seces em I com banzos iguais submetidas a flexo em torno do eixo de
maior inrcia, o EC3-1-1 preconiza explicitamente a utilizao da expresso
0M
w
2
wzypl
RdVy t4
AW
M
=
,
,, comAw=hwtw(rea da alma) em geral, tem-seAw
-
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-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
58
159014300
21021
V
V2 22
Rdzpl
Edz
z ..,,
, =
=
=
).(... ,2
zv
22
w cm1422Acm471610666249A ==
necessrio considerar a interaco entre tenses normais e tangenciais
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
59
3923018983
80021
V
V2 2
2
Rdzpl
Edz
z ..,,
, =
=
=
wydyzwy fMPa7215355392301f1f ,, .).()( === 04417215
235w .. ==
fydyfy fMPa355ff ,, == 8140355
235f .==
(I) Determinao deAeffe eNy(NEd)
Seco Efectiva do Banzo Superior
mm51188249826400c ./).( ==
=1.0(banzo uniformemente comprimido) k=0.43
k=0.43 748024414308140428
1051188
K428
tc
f
f
p .....
)/.(
.
/>=
==
68201880
2
p
p ..
=
=
mm56128511886820cb effc ..., ===
mm128049826561282a2tb2b weffcbanzoe ...)( ,sup. =++=++=
Seco Efectiva do Banzo Inferior
mm51138249826300c ./).( ==
=1.0(banzo uniformemente comprimido) k=0.43
k=0.43 748091404308140428
1051138
K428
tc
f
f
p .....
)/.(
.
/>=
==
86901880
2
p
p ..
=
=
mm37120511388690cb effc ..., ===
mm7226349826371202b banzoe ...)( inf. =++=
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
60
Seco Efectiva da Alma
mm027834982800b .).( ==
=1.0(alma uniformemente comprimida) k=4.0
k=4.0 ( )
6730200240441428
602783
K428
tb
w
wp ..
..
)/.(
.
/>=
==
40902002
13055020023055022
p
p ..
)(..)(.=
+=
+=
mm26320027834090bb effc ..., ===
mm13160b50bb effc2e1e .. , ===
mm6216849813160b almae ...)( =+= (junto de cada banzo)
A figura abaixo mostra a seco efectiva determinada.
263.72
168.62
168.62
Clculo de Aeffe eNy
2
eff mm647461662168210722631280A .).()..( =++=
mm89418647461
66972562168319462168105722638151280z effG ..
)....()..()( =
+++=
mm43258941832444eNy ... == ()
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
61
(II) Determinao de Weff,y,min(My,Ed)
Seco Efectiva do Banzo Superior
mm128049826561282b be ...)( sup. =++= (idntico ao caso anterior)
Seco Efectiva da Alma
- Clculo de na alma
280.1
1
= 2 1 2
mm106016800103001280A =++= ).(
mm4040210601
41068001053008151280zG .
).(=
++=
962040402498810
4981040402.
..
)..(=
=
962.0= 9122789296817k 2 .... =+= (Tabela 4.1 do EC3-1-5)
9122k .= ( )
673092009196091220441428
602783
K428
tb
w
wp ...
...
)/.(
.
/>=
==
95409200
962030550920030550
22p
p
..
).(..)(.
=
=
+
=
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
62
- Clculo de bce das parcelas be1e be2
mm0939996201
02783
1
bbc ..
.=
+=
=
mm73380093999540bb ceff ... ===
mm291527338040b40b eff1e .... ===
mm442287338060b60b eff2e .... ===
mm7816049829152abb 1ealmae ...)( sup, =+=+=
mm866204989338344228abbb t2ealmae ....)( inf, =++=++=
A figura abaixo mostra a seco efectiva determinada.
280.1
300
160.78
620.86
Clculo do Mdulo de Flexo Efectivo (Weff,y,min)
)basedapartiramedido(.
)(
mm90399
6160.78)(620.8610280.1)(300
80.39)-(8106160.78320.436620.8610815)280.15(300z effG
=
=+++
+++=
-
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Estruturas Metlicas (de Ao)
63
42
22
23333
effy
mm120065504093993980810678160
4332093996866209399815101280
593991030012
781606
12
866206
12
101280
12
10300I
=+
+++
++
+
+
+
=
)..(.
)..(.).(.
).(...
)(
3effy
fyeff mm99528580219399820
IW .
).(
)()( sup,min,, =
= (fibras superiores do banzo comprimido)
3effy
almawyeff mm8512927712109399820
IW .
).(
)()( ,min,, =
= (fibras superiores da alma)
(III)Verificao da Segurana
Fibras Superiores do Banzo Comprimido
1778063101470
3559952858021
43251039010630
355647461
10390
fW
eNM
fA
N 363
fydfyeff
NyEdEdy
fydeff
Ed
=+==
+
+
=
+
+...
..
.
..)( ,sup,min,,
,
,
A segurana da secco no verificada(nas fibras superiores da alma)
Em alternativa, poder-se-ia ter utilizado o critrio de von Mises, o que envolveria os
seguintes procedimentos:
(i) Determinar as tenses normais devidas aNEd+ My,Sd, o que obrigaria a calcular
as propriedades efectivas da seco (tal como foi feito anteriormente).
(ii) Determinar as tenses tangenciais devidas a Vz,Ed, com base na seco bruta.
(iii) Determinar o ponto da seco onde o valor da tenso de comparao comp,Ed
mximo e comparar esse valor comfyd como bvio, admite-se que a tenso normal
Ed nula nas zonas no efectivas da seco.
-
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66/207
Estruturas Metlicas (de Ao)
64
(iv) Neste caso particular, a mxima tenso de comparao ocorreria na vizinhana do
n alma-banzo superior (i) nas fibras superiores do banzo comprimido (ponto 1
mxima tenso normal) ou (ii) nas fibras superiores da alma (ponto 2tenso
normal um pouco inferior ao valor mximo, mas tenso tangencial cerca do dobro daanterior ponto 2). Para os valores considerados, a mxima tenso de comparao
ocorre no ponto 2, o qual condiciona portanto a resistncia da seco.
2
1
3.3.4TORO
Uma barra com seco de parede fina aberta submetida a um momento torsor Texibe
(i) rotao das suas seces transversais em torno do eixo da barra e (ii) deslocamentos
axiais de empenamento u(a seco deixa de estar contida num plano).
u
u
x
y
T
T
Figura 3.11 Barra submetida a momento torsor T empenamento ue rotao
Se as seces puderem empenar livremente, isto , se (i) os apoios da barra no impedirem
o empenamento e (ii) o momento torsor for constante, diz-se que a barra est submetida aToro Uniforme (ou Toro de Saint-Venant) ver a figura 3.12.
-
8/10/2019 Apontamentos de Estruturas Metlicas
67/207
Estruturas Metlicas (de Ao)
65
Figura 3.12 Barra submetida a toro uniforme
Se (i) o empenamento for restringido (impedido) em alguma seco (e.g., num apoio) ou
(ii) o momento torsor for varivel, diz-se que a barra est submetida a Toro No-
Uniforme ver a figura 3.13 (o empenamento est impedido no encastramento).
Figura 3.13 Barra submetida a toro no uniforme
No caso da toro uniforme, as seces exibem deslocamentos axiais de empenamento que,
por serem iguas em todas as seces, no introduzem tenses normais. O momento torsor
Tsv equilibrado unicamente por tenses tangenciais sv, cuja determinao foi
estudada na disciplina de Resistncia de Materiais.
-
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68/207
Estruturas Metlicas (de Ao)
66
No caso da toro no uniforme, para alm das tenses tangenciais sv, desenvolvem-se
tambm (i) tenses normais w(devidas restrio ao empenamento), cuja resultante se
designa por bimomento (Bw) e (ii) tenses tangenciais w(tambm devidas restrio ao
empenamento) que equilibram as tenses normais w. Deste modo, o momento torsorresistente (TR) constitudo por duas parcelas (ver a figura 3.13)
wsvR TTT +=
onde (i) Tsv=GJ(toro uniforme) e (ii) Tw=EIw(toro no uniforme)
o ngulo de rotao da seco em torno do eixo da barra. Conforme mostra a figura 3.13,
os valores relativos de Tsve Twvariam ao longo do comprimento da barra.
Tw
Tsv
T
T=TR=Tsv+Tw
Figura 3.13 Parcelas Tsve Twdo momento torsor resistente
Para caracterizar o comportamento de toro de uma seco necessrio conhecer duas
propriedades geomtricas: (i) a constante de toro de Saint-Venant (J), cuja
determinao se estudou na disiplina de Resistncia de Materiais, e (ii) a constante de
empenamento (Iw). Existem tabelas com expresses analticas e/ou valores de JeIwpara diversos tipos de seces.
O EC3 estipula que o momento torsor devido ao empenamento (Tw,Ed) pode ser desprezado
nas seces de parede fina fechada (por exemplo, seces RHS seces tubulares
rectangulares). Em seces circulares tubulares circulares, Tw,Ed mesmo nulo (devido
simetria radial da seco).
Resultante
de svResultante
de w
-
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69/207
Estruturas Metlicas (de Ao)
67
O EC3 estipula tambm que o momento torsor de Saint-Venant (Tt,Ed) pode ser desprezado
nas seces de parede fina aberta (por exemplo, em I ou H). Neste tipo de seces a
resistncia toro devida, quase unicamente, resistncia das seces ao empenamento.
Como o comportamento das seces de parede fina aberta bastante complexo (devido
ao empenamento), aborda-se aqui apenas a toro das seces de parede fina fechada.
Sabe-se, da Resistncia dos Materiais, que a tenso tangencial elstica devido toro de
Saint-Venant, em seces tubulares circulares (CHS) e rectangulares (RHS), dada por
rI
T
p
tt= )(
4
i
4
ep RR2
I =
tA2
T
m
tt= ))(( thtbAm =
3.3.4.1 VERIFICAO DA SEGURANA
Em seces de Classe 1, 2, 3 ou 4 (a classificao das seces no envolve a resistncia s
tenses tangenciais, inclusive as devidas toro), tem-se
01T
T
Rd
Ed .
Dimensionamento Plstico
- Seces circulares
( )3
fRR
3
2drrr2
3
fT
yd3
i
3
e
R
R
yd
Rdpl
e
i
==
)(,
- Seces rectangulares
3
ftA2T
yd
mRdpl )(, =
RiRe
r
3
fyd
3fyd
r
th
b
Am
-
8/10/2019 Apontamentos de Estruturas Metlicas
70/207
Estruturas Metlicas (de Ao)
68
Dimensionamento Elstico
- Seces circulares
=
=
3fRR
R23f
RIT yd4i
4e
e
yd
e
pRdel )(,
Observe-se que, para um dado valor deRe, quanto maior for o valor deRi(isto , menor
o valor de t=(ReRi)), mais pequena a diferena entre os valores de Tel,Rde Tpl,Rd.
- Seces rectangulares
Como a tenso tangencial se admite uniforme na espessura em regime elstico, os valores
das resistncias elstica e plstica so idnticos: (TRd
)el=(T
Rd)
pl.
3.3.4.1.1ESFORO TRANSVERSO (VEd) +MOMENTO TORSOR (TEd)
Numa combinao VEd+TEd, a verificao da segurana toma a forma
01V
V
RdTpl
Ed ...
onde Vpl.T.Rd o esforo transverso resistente (plstico) da seco reduzido pela presena das
tenses tangenciais de toro (t,Edtenses elsticas). Nas seces tubulares, tem-se
==
0M
y
Edt
RdplRdTpl3f
1VV
)/(,
...
3.3.4.1.2MOMENTOFLECTOR (MEd) +ESFOROTRANSVERSO (VEd) +MOMENTOTORSOR (TEd)
Numa combinaoMEd+VEd+TEdem que o nvel de esforo transverso seja elevado em
relao ao esforo transverso reduzido pelas tenses tangenciais de toro (VEd>0.5Vpl.T.Rd),
o factor de reduo da tenso de cedncia do ao na rea de corte () +e dado por
2
RdTpl
Ed 1V
V2
=
..
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Alternativamente, pode sempre recorrer-se ao critrio de von-Mises, que neste caso toma
a forma
01f3f
2
0My
Ed
2
0My
Ed
.//
+
Como se trata de um critrio de resistncia elstica, a sua utilizao (i) rigorosa, nas
seces de Classe 3 ou 4, e (ii) conservativa, nas seces de Classe 1 ou 2.
EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECO CIRCULAR)
Determine o momento torsor resistente de dimensionamento (i) plstico e (ii)
elstico de um perfil de seco CHS 12710 de ao S235, cujas geometria definida
por (i) um dimetro exterior igual a 127.0mme uma espessura de 10.0mm.
RESOLUO
mm5632
127Re .== mm55310563tRR ei .. ===
( ) ( ) Nmm102529013
235553563
3
2
3
fRR
3
2T
633yd3
i
3
eRdpl =
== ..
..,
( ) ( ) Nmm100727013
235553563
56323
fRR
R2T
644yd4
i
4
e
e
Rdel =
== ..
...,
EXEMPLO ILUSTRATIVO (SECO RECTANGULAR DE CLASSE 1)
Verifique a resistncia da seco RHS 40020010 representada, de ao S235 e
submetida aos esforosMy,Ed=220kNm, Vz,Ed=435kNe TEd=100kNm.
-
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RESOLUO
1) Esforo Transverso Resistente Vpl.T.Rd
= 0My
Edt
RdzplRdTpl 3f1VV
/)/(,
,,,,
0M
yzv
Rdzpl3
fAV
= ,,,
22
zv mm7600210380mm37733400200
40011600
hb
hAA ==
+
=
+
= .,
kN21049013
23537733V Rdzpl .
.
.,, =
=
26
m
EdEdt mmN567
101903902
Nmm10100
tA2
T/.
)(
)(, =
==
kN6527013235
567121049V RdTpl .
./)/(
..,, =
= (reduo de cerca de 50%)
2) Interaco entre VEdeMpl,y,Rd
kN3263V50kN435V RdTplEdz .. ,,, =>= necessrio considerar a interaco
3) Factor de Reduo da Tenso de Cedncia emAv,z
424017526
43521
V
V2 22
RdTpl
Ed ..,,
=
=
=
MPa613523542401f1 y .).()( ==
alma
-
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4) Verificao da Segurana
01
613549510190
01
235219510200M RdVy .
.)(
.)(,, +=
kNm220MkNm2281M EdyRdVy =>= ,,, . A resistncia da seco est verificada
BanzosWpl,y AlmasWpl,y
-
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3.4 RESISTNCIA A FENMENOS DE INSTABILIDADE (ENCURVADURA)GLOBAL
Conforme se disse atrs, define-se Classe de uma Barra como a maior das classes das
suas seces transversais.
O EC3-1-1 trata separadamente a resistncia instabilidade de barras de classes
1+2, 3 e 4.
Os fenmenos de instabilidade global de uma barra que se consideram aqui so:
(I) INSTABILIDADEPORFLEXO(varejamento), quando na barra actua um esforo normal
de compresso COLUNAS
L
NEd
Ed
N
No caso de as condies de apoio serem idnticas nos vrios planos de flexo
possveis, a instabilidade ocorre por flexo em torno do eixo de menor inrcia.
NOTA: para que possa ocorrer instabilidade por flexo (e no por flexo-toro),
necessrio que a seco transversal da barra possua pelo menos um eixo de simetria.
No caso de existir dupla simetria ou simetria em relao a um ponto (e.g., seco em
Z), a coluna possui trs modos de instabilidade puros, todos desacoplados: (i) dois
modos de instabilidade por flexo (em torno da maior e da menor inrcia) e (ii) um
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modo de instabilidade por toro na maior parte dos casos, a carga de bifurcao
associada ao modo de instbilidade por toro bastante superior s duas restantes
(uma excepo so as colunas com seco cruciforme, em que a carga de bifurcao
por toro pode ser crtica). No caso de existir simetria simples (um eixo), a colunapossui (i) um modo de instabilidade por flexo (no plano de simetria) os dois
restantes modos de instabilidade so por flexo-toro, na medida em combinam
flexo (no plano perpendicular ao plano de simetria) e toro. Nesta disciplina
no se abordam as instabilidades de colunas por toro ou por flexo-toro, as
quais so tratadas sobretudo na Parte 1-3 do EC3 (perfis enformados a frio).
(II) INSTABILIDADELATERALPORFLEXO-TORO(bambeamento), quando na barra
existe flexo em torno do eixo de maior inrcia VIGAS
O valor do momento para o qual ocorre instabilidade (momento crtico Mcr)
depende (i) do diagrama de momentos flectores actuanteMy,Ede (ii) das condies
de fronteira da barra (viga) fora do plano (flexo e/ou toro).
NOTA: enquanto a instabilidade por flexo est associada a um comportamento plano,
a instabilidade lateral envolve um comportamento espacial.
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Como os critrios de VS de barras envolvem pelo menos um destes dois fenmenos
de instabilidade, tratam-se inicialmente os casos de (i) barras submetidas a compresso
pura (colunas) e (ii) barras submetidas a flexo pura em torno do eixo de maior inrcia(vigas). Em seguida, abordam-se os casos de barras submetidas simultaneamente a
compresso e flexo em torno do eixo de maior inrcia (vigas-coluna ou colunas-viga).
Para alm do conhecimento da combinao de esforos actuantes e das condies de
apoio nas extremidades de uma barra, tambm necessrio conhecer as condies
de travamento da barra (isto , qual a localizao das seces intermdias que no se
podem deslocar/rodar livremente e qual a natureza da restrio), as quais permitem
definir os comprimentos livres da barra ou dos troos de barra aqueles nos quais podem
ocorrer os fenmenos de instabilidade global.
Podem distinguir-se trs tipos de travamento numa barra:
(I) INEXISTENTE. Todas as seces intermdias da barra se podem deslocar ou rodar
livremente Llivre=L.
(II) CONTNUO. Todas as seces intermdias esto impedidas de se deslocar ou rodar
Llivre=0(no ocorrem fenmenos de instabilidade).
(III) DISCRETO(ou PONTUAL). Existem uma ou mais seces intermdias impedidas
de se deslocarem ou rodarem (os fenmenos de instabilidade podem ocorrer em
troos de barra Llivre
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3.4.1 INSTABILIDADE POR FLEXO (COLUNAS)
A segurana da coluna est assegurada se se tiver
01N
N
Rdb
Ed .,
ondeNb,Rd a resistncia da barra instabilidade por flexo, e dada por
1M
y
Rdb
AfN
=, para colunas de Classes 1, 2, 3
1M
yeffRdb
fAN
=, para colunas de Classe 4
onde
(i) 011M .= (coeficiente parcial de segurana para ELU de encurvadura/instabilidade)
(ii) 011
22.
+=
(iii) ]).([. 220150 ++=
(iv) a esbelteza normalizada de coluna, dada por
cr
y
N
Af= para colunas de Classes 1, 2, 3
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cr
yeff
N
fA= para colunas de Classe 4
sendoNcro valor crtico do carregamento axial (carga crtica), sempre calculado
com base nas propriedades da seco bruta (mesmo em barras de Classe 4).
(v) um factor de imperfeio que est associado seleco de uma das cinco curvas
de dimensionamento includas no EC3-1-1 (curvas a0, a, b, ce d, representadas
na figura abaixo. O valor de obtido a partir da tabela 6.1 do EC3-1-1.
Factores de imperfeio associados s curvas de dimensionamento
Curva de Encurvadura a0 a b c d
Factor de imperfeio 0.13 0.21 0.34 0.49 0.76
Refira-se que:
(v1) O factor de imperfeio aumenta da curva a0para a curva d.
(v2) A escolha da curva de dimensionamento feita com base no Quadro 6.2 do
EC3-1-1 e depende (i) da configurao da seco, (ii) do eixo em torno do
qual ocorre a encurvadura, (iii) da classe do ao, (iv) do processo de
fabrico e (v) de algumas relaes entre as dimenses da seco.
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Pode dispensar-se a verificao da segurana em relao ao ELU associados encurvadura
por flexo (apenas necessrio verificar a resistncia das seces) quando se tem
120 = . (coluna muito compacta) ou 040N
N
cr
Ed . (esforo axial diminuto)
OBSERVAES
(i) No caso de uma barra de seco constante e submetida a esforo axial uniforme, tem-se
2
cr
2
crL
EIN
=
ondeLcr o comprimento de encurvadura, grandeza que contabiliza a influncia
das condies de apoio da coluna no valor deNcr note-se que os comprimentos de
encurvadura associados a cada plano de flexo podem ser diferentes.
(ii) Barras de Classe 4. No caso de o plano de flexo da barra no ser um plano de simetria
necessrio contabilizar o momento adicional devido excentricidade do esforo
axial (MEd=NEdeN) i.e., a barra passa a ser uma viga-coluna.
(iii) No caso de barras com seco varivel, a VS envolve obrigatoriamente a realizao
de uma anlise de 2 ordem (contablizando a presena de imperfeies iniciais).
(iv) A esbelteza normalizada de coluna pode ser expressa da forma alternativa
1
cr
cr
y 1
i
L
N
Af
== para colunas de Classes 1, 2, 3
1
eff
cr
cr
yeff A
A
i
L
N
fA
== para colunas de Classe 4
onde
A
Ii= , 393
f
E
y
1 .== , )/( 2y mmNf235
= , E=210GPa
-
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(v) No caso da encurvadura de colunas por toro ou flexo-toro, a esbelteza normalizada
de coluna dada por
cr
y
T N
Af
= para colunas de Classes 1, 2, 3
cr
yeff
TN
fA= para colunas de Classe 4
onde Tcrcr NN .= (instabilidadeportoro)e FTcrcr NN .= (instabilidade por flexo-
toro) no se aborda aqui o clculo destes valores crticos do esforo axial. O
EC3 estipula ainda que os valores de TouFTdevem ser obtidos a partir das
curvas associadas flexo em torno do eixo de menor inrcia (eixoz)
EXEMPLO ILUSTRATIVO
Avaliar a resistncia encurvadura por flexo da coluna representada na figura abaixo, a
qual (i) simplesmente apoiada e (ii) formada por um perfil HEA 140 de ao S235.
5.0m
EdN =200 kN
t =8.5
h=133
z
y
(mm)
f
Perfil HEA 140 de Ao S235
A=31.42 cm2
Iy=1033 cm4 iy=5.73 cm
Iz=389.3 cm4 iz= 3.52 cm
RESOLUO
Classificao da barra
HEA 140
seco de Classe 1 ( compresso) coluna de Classe 1
Ao S235
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Factor de ReduoyFlexo em Torno de y
m05L ycr ., = kN4856105000
10103310210
L
EIN
3
2
432
2
ycr
y
2
ycr .,
, =
==
).(..
,
209290856
10235104231
N
fA 32
ycr
y
y >=
=
=
Procedimento alternativo
fy=235 MPa =1 1=93.9
).(...,
209290993
1
357
50001
i
L
1y
ycr
y >===
21140
133
b
h.
-
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Caso 1:Resistncia encurvadura por flexo em torno de y, a qual relevante no
caso de a coluna se encontrar contraventada segundoy(flexo em torno dez)
kN4741001
2351042316420AfN
32
1M
yy
yRdb =
==
.
..,,
ParaNEd
-
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1M
y
yLTRdb
fWM
=,
onde
(i) 011M .= (ii) LT o factor de reduo para a instabilidade lateral
(iii) Wy=Wpl,y para vigas de Classes 1, 2
Wy=Wel,y para vigas de Classe 3
Wy=Weff,y para vigas de Classe 4
Relativamente determinao deLT, o EC3-1-1 preconiza dois procedimentos:
(I) Procedimento 1 Caso geral, aplicvel a vigas com qualquer seco transversal.
(II) Procedimento 2 Aplicvel apenas a vigas constitudas por perfis laminados a quente
ou por perfis soldados equivalentes (isto , com seces transversais semelhantes
s dos perfis laminados a quente). Este procedimento supostamente mais rigoroso
e econmico (na realidade, pode no ser bem assim).
Procedimento 1
O factor de reduo para a instabilidade lateral dado por
011
2
LT
2
LTLT
LT .)(
+
=
onde
(i) ]0.2)([1. 2LTLTLT ++= 50LT
(ii) LT a esbelteza normalizada de viga, dada por
cr
yy
LTM
fW
= com
(iii)Mcr o valor crtico do diagrama de momentos flectores actuante (momento crtico),
associado ocorrncia de instabilidade lateral por flexo-toro da viga, sempre
calculado com base nas propriedades da seco bruta (mesmo em barras de Classe 4).
Wy=Wpl,y Classe 1, 2
Wy=Wel,y Classe 3Wy=Weff,y Classe 4
-
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(iv) LT um factor de imperfeio. So propostos quatro valores, os quais correspondem
a quatro das cinco curvas de dimensionamento (estabilidade) de colunas, como mostra
a Tabela 6.3 do EC3-1-1. A escolha da curva de dimensinamento feita na Tabela
6.4 do EC3-1-1 e depende da geometria da seco e do processo de fabrico do perfil.
Tal como sucedia nas colunas, pode dispensar-se a verificao da segurana em relao ao
ELU associados encurvadura lateral (apenas necessrio verificar a resistncia das
seces) quando se tem
120 LTLT = . (viga muito compacta) ou 040M
M
cr
Ed . (momento diminuto)
NOTA1: A metodologia de dimensionamento de vigas adoptada pelo EC3-1-1 baseia-se nas
curvas de dimensionamento de colunas. No caso das colunas, esta metodologia semi-
emprica, pois as curvas correspondem soluo exacta de um modelo estrutural e so,
posteriormente, calibradas por comparao com um grande nmero de resultados
experimentais e/ou numricos). No caso das vigas, esta metodologia um pouco mais
emprica, pois calibram-se as curvas desenvolvidas para colunas, as quais no correspondem
exactamente soluo de um modelo estrutural (de viga), por comparao com resultados
numricos e/ou experimentais relativos a vigas (em menor nmero que os de colunas). A grande
vantagem reside no facto de se utilizarem as mesmas curvas para dimensionar colunas e vigas.
NOTA2: Relativamente ao EC3 (ENV), existe agora uma escolha mais refinada da
curva de dimensionamento (antes era a curvaapara perfis laminados e a curvacpara
perfis soldados), o que reflecte a actividade de investigao neste domnio levado a cabo nos
ltimos anos. De qualquer modo, a escolha da curva de dimensionamento ainda bem
menos refinada que no caso das colunas.
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Procedimento 2
O factor de reduo para a instabilidade lateral dado por
+= )( 2LT2
LTLT
LT
1
onde
(i) ])([1. 2LT,LTLT ++= 0LTLT 50
(ii) Os valores dos parmetros 0LT, eso estipulados nos Anexos Nacionais dos
vrios pases. Os valores recomendados (considerados nesta disciplina) so:
)mximovalor(., 400LT =
=0.75(valor mnimo)
Diferenas em relao ao Procedimento 1:
(i) A escolha do parmetro de imperfeio agora efectuada na tabela 6.5 do EC3-1-1.
No caso dos perfis laminados, essa escolha agora mais conservativa, o que de
algum modo atenua o efeito do valor mais alto de 0LT, (0.4em vez de 0.2).
(ii) As condies para ser dispensvel efectuar a verificao da segurana em relao ao
ELU associados encurvadura lateral (apenas necessrio verificar a resistncia
das seces) passam a ser
140 LTLT = . (como no EC3 (ENV)) e )aigual(. ,2
0LT
cr
Ed 160M
M
(iii) A alterao das expresses que fornecem LT e LT assegura que existe continuidade
para 0LTLT . = (eliminando o absurdo das curvas do EC3 (ENV)).
1.02
LT1 /
0.2 0.4
Curva b
Curva a
1
LT
LT
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NOTA: A existncia dos dois procedimentos alternativos resulta de uma disputa entre as
comunidades cientficas francfona (Frana + Blgica) e germnica (Alemanha + ustria), a
qual levou mesmo a Blgica a votar contra a aprovao do EC3-1-1.
Curva a
Curva c
0.2 0.4
1
LT
LT
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A tabela abaixo mostra uma comparao, para perfis dos tipos HEB e IPE, entre os
valores deLTpreconizados pelo EC3(ENV) (PR0) e pelos Procedimento 1 (PR1) e
Pr