การวเคราะหความแปรปรวน (Analysis of Variance)
การวเคราะหความแปรปรวนใชส าหรบทดสอบความแตกตางระหวางคาเฉลยของกลมตวอยางตงแต 3 กลมขนไป (ใชส าหรบกลมตวอยาง 2 กลมกได แตกลมตวอยาง 2 กลม ใช t-test สะดวกกวา) เหตทไมใช t-test กบกลมตวอยางตงแต 3 กลม ขนไป เนองจากใช t-test ทดสอบไดทละคเทานน ถามกลมตวอยางมากกวา 2 กลม ตองท า t-test หลายครง เชน ถามกลมตวอยาง 3 กลม แลวทดสอบดวย t-test จะตองท า t-test ถง 3 ครง คอ เปรยบเทยบกลม 1 กบ กลม 2 , กลม 1 กบ กลม 3 และ กลม 2 กบ กลม 3 ซงเสยเวลามาก และท าใหมความคลาดเคลอนแบบท 1 เพมขน กลาวคอ ความนาจะเปนทจะไดผลการทดสอบแตกตางกนอยางมนยส าคญโดยความบงเอญมมากขน เพอขจดปญหาดงทกลาวมาน จงจ าเปนตองใชการวเคราะหความแปรปรวน ซงสามารถท าการทดสอบความแตกตางระหวางคาเฉลยของกลมตวอยางไดทละหลายกลมในครงเดยวกน
การทดสอบคาเฉลยมากกวา 2 คาขนไปจงใชเทคนคการวเคราะหความแปรปรวน ซงเรยกยอ ๆ วา แอนโนวา (ANOVA)
1. ความเขาใจพนฐานเกยวกบการวเคราะหความแปรปรวน 1) ในการเปรยบเทยบคาเฉลยระหวางกลมหลาย ๆ กลม จะมความแปรปรวนทตองค านวณอย
2 ตว คอ ความแปรปรวนระหวางกลม และความแปรปรวนภายในกลม ก. ความแปรปรวนระหวางกลม (Between-groups variance) แสดงขนาดของความ
แตกตางระหวางคาเฉลยของกลมตาง ๆ ถาระหวางกลมมคาเฉลยแตกตางกนมาก คาความแปรปรวนระหวางกลมจะมคามากดวย
ข. ความแปรปรวนภายในกลม (Within-groups variance) แสดงการกระจายของคะแนนแตละตวภายในแตละกลมวามการกระจายมากหรอนอย คาทค านวณไดเรยกวาความคลาดเคลอน
2) สตรทใชในการทดสอบคอ F-ratio โดยเอาความแปรปรวนระหวางกลมเปนตวตงหารดวยความแปรปรวนภายในกลม แลวเปรยบเทยบคา F ทค านวณไดกบคา F ในตารางคาวกฤต F (Critical values of F) เพอสรปผลการวเคราะหขอมล
2. ขอตกลงเบองตนในการวเคราะหความแปรปรวน 1) ขอมลทจะน ามาวเคราะหตองอยในมาตราอนตรภาคหรออตราสวน 2) กลมตวอยางแตละกลมตองสมมาจากประชากรทมการแจกแจงเปนโคงปกต 3) กลมตวอยางแตละกลมตองเปนอสระจากกน 4) กลมตวอยางแตละกลมตองไดมาจากประชากรทมความแปรปรวนเทากน
3. ผลบวกของคะแนนเบยงเบนยกก าลงสอง (The sum of squares) ในการวเคราะหความแปรปรวน ตองหา sum of squares ทงหมด 3 ตว คอ
1) Total sum of squares ( ) ซงน าไปใชหาความแปรปรวนรวม
(Mean square total: MST)
2) Sum of squares between-groups ( ) ซงน าไปใชหาความแปรปรวนระหวางกลม
(Mean square between-groups: MSB)
3) Sum of squares within-groups ( ) ซงน าไปใชหาความแปรปรวนภายในกลม
(Mean square within-groups: MSW)
4. การวเคราะหความแปรปรวนแบบทางเดยว (One-way analysis of variance) หรอ การวเคราะหความแปรปรวนแบบม 1 ตวประกอบ
การวเคราะหความแปรปรวนแบบทางเดยว เปนการวเคราะหเพอตรวจสอบวา ตวแปรอสระ 1 ตว ซงแบงออกเปน k ประเภท จะใหผลตอตวแปรตามแตกตางกนหรอไม โดยมกลมตวอยาง k กลมซงจ านวนสมาชกในแตละกลมควรจะเทากนหรอใกลเคยงกน เชน ตองการเปรยบเทยบวธการจดการเรยนร 3 วธ วาจะสงผลใหผลการเรยนรของผเรยนในแตละวธ แตกตางกนหรอไม
ก. ลกษณะขอมลทใชในการวเคราะหความแปรปรวนแบบทางเดยว
ตาราง 1 แสดงขอมลของกลมตวอยาง k กลม ทเปนผลจากตวแปรอสระ 1 ตว แบงเปน k ประเภท กลม 1 กลม 2 กลม 3 … กลม j … กลม k
แทน ขอมลตวท 1 ใน กลมท 1 แทน ผลรวมขอมลทง n ตว ในกลมท 1 แทน ขอมลตวท 2 ใน กลมท 1 แทน ผลรวมขอมลทง n ตว ในกลมท 2
แทน ขอมลตวท i ใน กลมท j แทน ผลรวมขอมลทง n ตว ในกลมท 3 แทน ขอมลตวสดทายในกลมท 3 แทน ผลรวมขอมลทง n ตว ในกลมท j
ตาราง 2 ตวอยางคะแนน 3 กลม ทเปนผลจากตวแปรอสระ 1 ตว คอวธสอน ซงแบงเปน 3 แบบ
, และ เปนจ านวนขอมลในกลมท 1, กลมท 2 และ กลมท 3 ตามล าดบ
ข. สตรการทดสอบ
เมอ F แทน คาสถตเอฟ
แทน ความแปรปรวนระหวางกลม (Mean square between-groups)
แทน ความแปรปรวนภายในกลม (Mean square within-groups)
หา และ ไดจากสตรในตาราง 3
กลม 1 ( = 9) กลม 2 ( = 11) กลม 3 ( = 10) 7 6
15 8
15 6
12 8
16
11 12 9 7
17 12 19 11 13 8
10
17 6
18 14 16 8 7
15 9
11
93 129 121
ตาราง 3 แสดงสตรการวเคราะหความแปรปรวนแบบทางเดยว (มตวแปรอสระ 1 ตว)
Source of variation
df Sum of square
(SS) Mean square
(MS) F
Between-groups
Within-groups
Total -
เมอ F แทน คาสถตเอฟ แทน ความแปรปรวนระหวางกลม (Mean square between-groups) แทน ความแปรปรวนภายในกลม (Mean square within-groups)
แทน ผลบวกของคะแนนเบยงเบนยกก าลงสองระหวางกลม (Sum of squares between groups)
แทน ผลบวกของคะแนนเบยงเบนยกก าลงสองภายในกลม (Sum of squares within groups)
แทน ผลบวกของคะแนนเบยงเบนยกก าลงสองทงหมด (Total Sum of squares)
แทน จ านวนขอมลในแตละกลมตวอยาง k แทน จ านวนกลมตวอยาง N แทน จ านวนขอมลทงหมด
แทน ผลรวมของคะแนนในแตละกลมตวอยาง T แทน ผลรวมของคะแนนทงหมด
แทน ผลรวมทงหมดของคะแนนแตละตวยกก าลงสอง
ค. ตวอยางขนตอนการทดสอบ (ใชตวอยางขอมลในตาราง 2) 1) ตงสมมตฐาน
อยางนอยทสดมคาเฉลยของกลมตวอยาง 2 กลมไมเทากน 2) ก าหนดระดบนยส าคญทางสถต : α = 0.05 3) ค านวณคาสถต F จากสตร
ตวอยาง : น าขอมลจากตาราง 2 มาค านวณตามสตรในตาราง 3 ดงแสดงในตาราง 4
ตาราง 4 แสดงตวอยางการจดกระท าขอมลตามสตรในตาราง 3
N = 9 + 11 + 10 = 30 T = 93 + 129 + 121 = 343 = 117649
=
= = 961 + 1512.818 + 1464.1 – 3921.633 = 16.285
- = = 4383 3921.633 = 461.367
= 461.367 16.285 = 445.082
= = 8.1425 = = 16.4845
= = 0.4939
กลม 1 ( = 9) กลม 2 ( = 11) กลม 3 ( = 10)
7 6
15 8
15 6
12 8
16
49 36
225 64
225 36
144 64
256
11 12 9 7
17 12 19 11 13 8
10
121 144 81 49
289 144 361 121 169 64
100
17 6
18 14 16 8 7
15 9
11
289 36
324 196 256 64 49
225 81
121
= 93 = 1099 = 129 = 1643 = 121 = 1641 = 8649 =16641 =14641
4) เปดตารางคาวกฤต F (Critical values of F) df ของตวเศษ คอ df ของ และ df ของตวสวน คอ df ของ
ตามสตรในตาราง 3 df ของ คอ k – 1 = 3 – 1 = 2 = df1
df ของ คอ N – k = 30 – 3 = 27 = df2
df ของตวเศษ คอคา df1 ตามแนวนอนในตารางคาวกฤต F (ตารางคาวกฤต F มแนบทายหนงสอสถตฯ) df ของตวสวน คอคา df2 ตามแนวตงในตารางคาวกฤต F
df1 (degrees of freedom ของตวเศษ) DEGREES OF FREEDOM FOR NUMERATOR
1 2 … 30 … 500 ∞
df 2 (de
grees
of fre
edom
ของตวส
วน)
DEGR
EES
OF F
REED
OM F
OR D
ENOM
INAT
OR
1 161 200 250 254 254
4052 4999 6258 6361 6366 . . .
27 4.21 3.35 1.94 1.74 1.73 7.68 5.49 2.58 2.23 2.21
.
.
.
∞ 3.84 2.99 1.46 1.11 1.00 6.64 4.60 1.69 1.15 1.00
ในแถวคแตละค แถวบนเปนคาวกฤต F ท α = 0.05 แถวลางเปนคาวกฤต F ท α = 0.01
ท df1=2 พบ df2 = 27 นน แสดงคาวกฤต F = 3.35 ท α = 0.05 และคาวกฤต F= 5.49 ท α = 0.01
น าคา F ทค านวณไดในขอ 3 คอ F = 0.49 มาเปรยบเทยบกบคาวกฤต F = 3.35 ท α = 0.05 พบวา คา F ทค านวณได < คาวกฤต F ดงนน จงยอมรบ เสนอผลการวเคราะหดวยตารางไดดงน
แหลงความแปรปรวน df SS MS F
ระหวางกลม 2 16.285 8.1425 0.49
ภายในกลม 27 445.082 16.4845
รวมทงหมด 29 461.367
F.05 (2, 27) = 3.35 สรปไดวา วธสอนทง 3 แบบใหผลแตกตางกนอยางไมมนยส าคญทางสถต หรอกลาว
อกอยางหนงวา วธสอนทง 3 แบบใหผลไมแตกตางกน
ในกรณท คา F จากการค านวณ คาวกฤต F จะเปนการปฏเสธ ยอมรบ
(Reject Accept ) แสดงวา มคาเฉลยอยางนอย 1 ค แตกตางกนอยางมนยส าคญทางสถต ณ ระดบ α ทก าหนด ตองท าการทดสอบตอไปวาคาเฉลยคใดบางทแตกตางกน และแตกตางกนอยางไร โดยใชการเปรยบเทยบพหคณ (Multiple comparison test) ตามวธของเชฟเฟ (Scheffe’s method) การทดสอบ HSD ของทกย (Tukey’s HSD test) หรอ วธของนวแมนคลส (Newman Keuls method) ซงเปน “post hoc” หมายถง วธการทตามมาหลงการวเคราะหความแปรปรวน
ทมา : http://www.krupai.net/stat/stat.htm